83.3解过初值的连续性和可微性教学目的讨论解对初值的连续性与可微性定理，了解对参数的连续性定理教学要求理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理及其成立的条件。教学重点解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理定理的条件及其证明教学难点解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理定理的证明思想教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。真到现在，我们都是把初值(xo，y)看成固定的值，然后再研究初值问题=x+y(3. 1dxy(xo) = yo的解.当d(x,Jy)满足解的存在唯一定理和延拓定理时，(3.1)存在唯一解y=g(x)，这个解是自变量x的函数，从几何上说,通过点（xo,J。）的微分曲线有且一条，当初值x。和y变更时，对应解一般来说也要跟着变，所以(3.1)的解也应是Xo，y。的函数，方程dy-d=yy(x)= yo的解为y=yoer-%，它虽然是所有变量x,xo,J。的函数，也即(3.1)的解不仅依赖于自变量x，而且也依赖于初值（xo，J。），因此，考虑初值变化，，解可以看作三个变量x,xo,y的函数.记为y=p(x,xo,yo)
§3.3 解过初值的连续性和可微性 教学目的 讨论解对初值的连续性与可微性定理，了解对参数的连续性定理 教学要求 理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理及其成立的条件。 教学重点 解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理定理的条件及其证明 教学难点 解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理定理的证明思想 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 真到现在,我们都是把初值 ( , ) 0 0 x y 看成固定的值,然后再研究初值问题 0 0 2 2 y(x ) y x y dx dy = = + (3.1 的解.当 d(x, y) 满足解的存在唯一定理和延拓定理时, (3.1)存在唯一解 y = (x),这个解是自变量 x 的函数,从几何上说,通过点( 0 0 x , y )的微分曲线有且 一条,当初值 0 x 和 0 y 变更时,对应解一般来说也要跟着变,所以(3.1)的解也应是 0 x , 0 y 的函数,方程 0 0 y(x ) y y dx dy = = 的解为 0 0 x x y y e − = ,它虽然是所有变量 0 0 x, x , y 的函数,也即(3.1)的解不仅依赖 于自变量 x,而且也依赖于初值( 0 0 x , y ),因此,考虑初值变化,解可以看作三个 变量 0 0 x, x , y 的函数.记为 ( , , ) 0 0 y = x x y
它满足y=(xo,Xo,)现在提出一个应用上很重要问题.当初值发生变化时，对应解是怎样变化的？应用上需要，当初值xo，y变化不大时，相应解也变化不大，这就是解对初值的连续性，其确定义为定义，初值问题=f(x,y)dxy(xo)= yo的解y=p(x,xo,)在区间［a,b]上相存在,如果对V>0点38(c,a,b)>0,使得对于满足(xx）+(y)≤2的一切(x,),初值问题d=f(x,y)dx(*,*)y(xo)= yo的解y=p(x,x,y)都在[a,b]上存在，并且Iy=p(x,xo,yo)-y=p(x,xo,yo)ks,xe[a,b]则称初值(*，*)的解=9(o)在点（x0.)连续依赖于初值()小Xoa0一，解关于初值的对称性
它满足 ( , , ) 0 0 0 0 y = x x y . 现在提出一个应用上很重要问题.当初值发生变化时,对应解是怎样变化的? 应用上需要,当初值 0 0 x , y 变化不大时,相应解也变化不大,这就是解对初值的连 续性,其确定义为 定义,初值问题 0 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy = = 的解 ( , , ) 0 0 y = x x y 在区间[ a,b]上相存在,如果对 0 点 ( ,a,b) 0 ,使得 对于满足 2 2 0 0 2 0 0 ( − ) + (( − ) − − x x y y 的一切 ( , ) 0 _ 0 x y ,初值问题 _ 0 _ 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy = = (*,*) 的 解 ( , , ) _ 0 _ 0 y = x x y 都 在 [a,b] 上 存 在 , 并 且 | ( , , ) ( , , ) | , [ , ] 0 0 _ 0 _ y = x x0 y − y = x x y x a b 则称初值(*,*)的解 在点( 0, 0 x y )连续依赖于初值 ( , ) _ 0 _ 0 x y 一,解关于初值的对称性 ( , , ) _ 0 _ 0 y = x x y
定理，设方程(3.1)满足初值问题y(x)=解的唯一的，记为y=(p(x,xo,)，则在此表达工中，（x,y)与（xo,y）可以调换其相对位置，即任解的存在范围成立着关系式y=p(xo,x,y)分析：要证=(x,Xo,yo）有y=p(xo,x,y),即对(3.1)过点（xo,y)的解存在范围内任点x由=0(x,Xo,)有=(xo,x)可看作为(3.1)过点(ai,J）的解。问题相易于证明，（3.1)过（xi,J）解也过（xo,J。），由解的唯一性，(3.1)过(x,Ji)与过（xo.）表同一积分曲线，从而分析：定理要求，Vε>0,取充分小的正数n0,使闭域R：（x一x。）2+(y-y）≤8在D内,定理相当于要求证明（3.1）过R内任一点（xo,y）解为y=p(x,Xo,）=边在D内，记y=p(x,xo,）=，不应证l-n,xe[a,b]估计|o-y|需用引理，从而要求f(x,y)在D内满足Lipschite条件，由有限复盖定理，这是可以做到的I (x)-(x) /≤/ y(x)-(x) le (x-0) ≤ (1(x0)-p(x0)I+/(x0)-0(x)1) eL(b-a)=| y - 0 /+1 0(x0)-0(x0)/e (b-a) ≤(8+/ 0(x0)-0() Del(b-a)1()-(x)选取min对连续性，，当//-由y=g(x,xo,)不能越过曲线y=(x,xo,)+，y=p(x,xo,y)一,但由解延拓定理，y=((x,xo,y)可延拓到无限接近G的边界，于是向右只能x=b穿出D，可在[xo,b]有定义
定理,设方程(3.1)满足初值问题 0 0 y(x ) = y 解的唯一的,记为 ( , , ) 0 0 y = x x y ,则 在此表达工中,(x,y)与( 0 0 x , y )可以调换其相对位置,即任解的存在范围成立着 关系式 ( , , ) 0 y = x x y 分析:要证 ( , , ) y = x x0 y0 有 ( , , ) 0 y = x x y ,即对(3.1)过点( 0, 0 x y )的解 存在范围内任点 1 x 由 ( , , ) 1 0 0 y = x x y 有 ( , ) y0 = x0 x1 y1 可看作为(3.1)过点 ( , ) 1 1 x y 的解.问题相易于证明,(3.1)过 ( , ) 1 1 x y 解也过( 0, 0 x y ),由解的唯一 性,(3.1)过 ( , ) 1 1 x y 与过( 0, 0 x y )表同一积分曲线,从而 分析：定理要求， 0, 取充分小的正数 ，使闭域 D：a x b,| y −(x, x0 , y0 ) | 整个在 G 内选取 0, 使闭域 R：(x－x 0 ) 2 0 2 +( y − y ) 2 在 D 内， 定理相当于要求证明（3.1）过 R 内任一点（ 0 0 x , y ）解为 y = (x, 0 0 x , y ) 边在 D 内，记 y = (x, 0 0 x , y ）= ，不应证| − | ( ) 1 2 1 L b a e − − = 由 y= ( , , ) 0 0 x x y 不能越过曲线 y= ( , , ) 0 0 x x y + , y= ( , , ) 0 0 x x y － ,但由解延 拓定理，y= ( , , ) 0 0 x x y 可延拓到无限接近 G 的边界，于是向右只能 x=b 穿出 D， 可在[x 0 ,b]有定义
Proof：对积分曲线取S：y=p(x,xo,yo)=p(x)，a≤x≤b，满足xy平面上一个有界闭集，由有限复盖定理实现条件V>0，有充分小的正数na,d0,8 =8(8,a,b),仅当(xx)+(-y)≤时(3.1)过(xo,)解y=p(x,xo,)在a,b)有定义，且y=(xo,xi,Ji)由
Proof: 对积分曲线取 S：y= ( , , ) 0 0 x x y (x), a x b,满足 xy 平面上一 个有界闭集，由有限复盖定理实现条件 0, 有充分小的正数 ，使闭域 D: ,| −( , , ) | 0 0 a x b y x x y 整个在 G 内，且 f(x,y)在 D 内满足 Lipschite 条件，Lipschite 常数为 L， 因 = − + − + = − − − + − = − + − = − − − − − − − − − ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 1 2 0 2 0 2 0 1 ( ) 1 (| | | ( ) ( ) |) ( ) 2 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | (| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |) (3.1) ( , ) ( , , ) ( ), 0 min{ , }, : ( ) ( ) , 0, | | | ( ) ( ) | , 2 1 ( ) [ , ] 0 L b a L b a L b a L x x L b a L b a y y x x e e e x x x x e x x x x e D ， R x y y x x y x R x x y y x a b ， e x x ， x x 整个 内 过 内任一点 解 由引理 取 满足 使闭域 在 连续 故对 仅当 时 （3.21）上式在 （x, 0 0 x , y ）有定义区间上成立。 由解的延拓定理，(3.1)过（ 0 0 x , y ）解 y= ( , , ) 0 0 x x y 可延拓到到区域 D 的边界上，设它在边界上点为（c, (c) ）,( (d,(d)), c d, 下面证明 c a,d b,若不然c a,d b,则由(3.21) | (c) −(c) |, | (d) −(d) | 即(c, (c),(d,(d))在D内， 与它为D的边界上有矛盾。 故 仅当 时 （ ）在 上有定义 从 在 上成立 这就证明了 = − + − = 2 0 0 2 0 0 0 0 ( , , ), ( ) ( ) , , [ , ] (3.21) [ , ] 0, a b x x y y y x x y a b ， a b 。 (3.1)过 (x0 , y0 )解y =(x, x0 , y0 )在[a,b]有定义， 且 y0 = (x0 , x1 , y1 )， 由
yi(x,J)的任意性，即可证明。Proof.在(3.1)满足y(x。)=y。的解存在区间内任取一值x,记y=p(x,xo,yo),则由解的唯一性知，（3.1)过点（xi,y）与过点(xo,y）的解是同一条积分曲线，即此解也可写成y=p(x,x,y)且显然有y=p(xo,x,J），由点（x,y）积分曲线上任一点因此关系式y=g(xo,xy）对该积分曲线上任意点（x，J）均成立。二．解对初值的连续依赖性dyy先看方程满足y(x）=y的解y=yoe*,显然它是自变量x,xo,y的连续可微函数，下面说明这一事实，为此先证明如下引理1.引理如果函数f(x，y)于某域D内连续，且关于y满足Lipschitz条件，则方程(3.1)的任意两个解p(x)及(x)，在它的公共存在区间内成立着不等式[p(x)-y(x)p(x)-(xo)le4x-0l(3. 20)其中x。为所考虑区间内的某一值。分析令V(x)= (p(x)-y(x)2,则(3.20)转化为V()≤V(x0)e244--ol即应证x≥xg时,V(x)≤V(x)e2/(0)
(x1 , y1 )的任意性， 即可证明。 Proof.在(3.1)满足 y(x 0 )=y 0 的解存在区间内任取一值 x , ( , , ), 1 1 1 0 0 记y = x x y 则 由解的唯一性知，(3.1)过点( 1 1 x , y )与过点 ( , ) 0 0 x y 的解是同一条积分曲线，即此 解也可写成 ( , , ) 1 1 y = x x y 且显然有 ( , , ) 0 0 1 1 y = x x y ，由点 ( 1 1 x , y ) 积分曲线上任一点因此关系式 ( , , ) 0 0 y = x x y 对该积分曲线上任意点( x , y )均成立。 二．解对初值的连续依赖性 先看方程 y dx dy = 满足 y(x0 ) = y0的解y = y0 e x−x0 ,显然它是自变量x, x0 , y0的连续可微函数 ，下面 说明这一事实，为此先证明如下引理 1． 引理 如果函数 f(x,y)于某域 D 内连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，则方程(3.1)的任意两个解 (x)及(x) ，在它的公共存在区间 内成立着不等式 | | 0 0 0 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | L x x x x x x e − − − (3.20) 其中 x 0 为所考虑区间内的某一值。 分析 令 V(x) = ((x) −(x)) 2 ,则(3.20)转化为 2 | | 0 0 ( ) ( ) L x x V x V x e − 即应证 2 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) L x x x x ，V x V x e − 时
若能证d(V(x)e-2*)≤0, x ≥ x即可dxV(x)e-21x =(V(x)-2LV(x)e-21rV(x)= 2(p(x)-y(x)(p (x)-y (x) = 2(p(x)-y(x)(f(x,p)- f(x,y) ≤2LV(x)设proof:p(x),y(x)在区间[a,b]上均有定义，令V(x) = (p(x)-y(x)*,xe[a,b),则V(x)= 2(p(x)-y(x)(f(x, p)- f(x,y)≤2LV(x)d-(V(x)e-2)≤0于是dx因此对xe[a,b)有V(x)≤V(x)e2(x0),xo≤x≤b,对区间a≤x≤xo,类似可证，由此V(x)≤V(x)e24-0l, x e[a,b]两边取平方根即得10(x)-y(x) [ p(x0)-y(x0)le4x-sl2.解对初值的连续依赖定理定理2假设f(x,y)于域G内连续且关于y满足局部Lipchitz条件，(xo,y)eG,y=p(x,xo,)是方程(3.1)满足初始条件y(xo)=y的解，它于区间a≤xb上有定义(a≤x≤b),那末，对>0,正数=(,a,b),使得当(x-x)+(-)8时，方程(3.1)的满足条件y(xo)=的解y=(x,x,)在区间a≤xb上也有定义，并且/p(x,x,)-p(x,xo,)8a≤xbIp(x,xo,yo)-p(x,xo,yo)ke(xi.y)小(xayo)AyoaXO3．解对初值的连续定理定理2、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足局部Lipschitz条
若能证 (V(x)e 2 ) 0, x x0即可 dx d x − Lx Lx V x e V x LV x e 2 ' 2 ( ) ( ( ) 2 ( )) − − = − ( ) 2( ( ) ( ))( ( ) ( )) 2( ( ) ( ))( ( , ) ( , )) 2 ( ) ' ' ' V x = x − x x − x = x − x f x − f x LV x proof: 设 (x),(x)在区间[a,b]上均有定义， 令 ( ) ( ( ) ( )) , [ , ], ( ) 2( ( ) ( ))( ( , ) ( , )) 2 ( ) 2 ' V x = x − x x a b 则V x = x − x f x − f x LV x 于是 ( ( ) ) 0 2 − Lx V x e dx d 因此对 x0 [a,b]有V(x) V(x)e 2L( x−x0 ) , x0 x b,对区间a x x0 ,类似可证， 由此 | | 0 0 2 | | 0 0 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( ) ( ) , [ , ] L x x L x x x x x x e V x V x e x a b − − − − 两边取平方根即得 2．解对初值的连续依赖定理 定理 2 假设 f(x,y)于域 G 内连续且关于 y 满足局部 Lipchitz 条件， a x b ， x x y x x y a x b x x y y ， y x y y x x y a x b a x b ， a b x y G y x x y y x y ， − − + − = = = = = | ( , , ) ( , , ) | , ( ) ( ) (3.1) ( ) ( , , ) ( ), 0, ( , , ), ( , ) , ( , , ) (3.1) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 在区间 上也有定义 并且 时 方程 的满足条件 的解 上有定义 那末 对 正数 使得当 是方程 满足初始条件 的解 它于区间 |( , , ) −( , , )| 0 0 0 0 x x y x x y 3．解对初值的连续定理 定理 2、若函数 f(x,y)在区域 G 内连续，且关于 y 满足局部 Lipschitz 条
件，则(3.1)的解y=(x,Xo.J）作为x，。,y的函数在它的存在范围内是连续的分析：对y=p(x,xo,xo)存在范围V内任一点(x,x,)，要证y=p(x,xo,yo)在(x,xo,)连续，即应证，>0,38>0,(x-x)2 +(xo -x0)2 +(y0 - y0)* ≤82时有1(x, xo,y)-(x,x,)Proof：对V(xo,y)eG(3.1)过(xo,)的饱和解y=p(x,xo,y)定义于α(xo, yo)0,38,>0,仅当(x-x)+(-%)8时10(x,x0, J0)-0(x,x0,0)k号,x [a,b]2而y=p(x,xoy)在[x,b连续，故s,>0,使当x-x8,时1 p(x,xo,)一(x,xo,o) ，x,xe[a,b],取S=min(01,8),则只要(x一)2+(-)≤82,就有I p(x, Xo,yo) - p(x,xo, yo) / ≤ / (x,Xosyo) - p(x,o,yo) I+/ (x,xo,yo) -(x,x0,0)+=622这说明p(x,xo,y)在(x,xo,y)连续。三、解对初值的可微性为了研究解对初值的可微性，先研异解对初值参数的连续依赖性，为此考察含参数的微分方程-(x,,)(3.1),dx设函数f(x,y,)在区域G：（x,y)G,α≤≤,内连续，且在G,内一致地关于y满足局部Lipschits条件(V(x,y,a)eG,3以(x,y,a)为中心球CG,，使f(x,y,)在C内对y满足Lipschits条件，L与无关)，对V(α,)，方程(3.1)通过点(xo,y)eG,的解存在惟一，记为y=p(x,xo,yo,)于是有y。=(xo,xo,y,类似于定理1，定理2有下面结果：1.解对初值各参数的连续依赖定理定理1，设
件，则(3.1)的解 ( , , ) 0 0 y = x x y 作为 x ,x 0 , y0的函数在它的存在范围内是连续的 分析：对 ( , , ) 0 0 y = x x x 存在范围 V 内任一点 ( , , ) 0 0 x x y ,要证 ( , , ) 0 0 y = x x y 在 ( , , ) 0 0 x x y 连续，即应证， 0, 0, − − + − + − | ( , , ) ( , , ) | ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 2 x x y x x y x x x x y y 时有 Proof: 对 (x0 , y0 )G,(3.1)过(x0 , y0 )的饱和解y = (x, x0 , y0 )定义于 而 在 连续 故 使当 时 由解对初值连续依赖定理 仅当 时 存在闭区间 使 在 上有定义 其中 对 解 作为 的函数在它的最大存在区间必包含 所以 下证 在 连续 上 令 0 0 2 2 0 0 0 0 2 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) [ , ] 0, | | , [ , ] 2 | ( , , ) ( , , ) | 0, 0, ( ) ( ) [ , ], ( , , ) [ , ] , ( , , ) , ( , , ) , , ( , , ) ( , ) ( , ) {( , , ) | ( , ) ( , ),( , ) } = − − − + − = = = = y x x y x b ， x x x x y x x y x a b ， x x y y a b y x x y a b ， a x x b。 x x y V y x x y x x x y x x y V ， x y x x y ， V x x y x y x x y x y G | ( , , ) 0 0 x x y － ( , , ) 0 0 x x y |< 2 ，x, x [a,b] ，取 min{ , } = 1 2 ，则只要（x－ x ） 2 +(y0 − y0 ) 2 2 ,就有 | ( , , ) 0 0 x x y － ( , , ) 0 x x0 y | | ( , , ) 0 0 x x y － ( , , ) 0 0 x x y |+| ( , , ) 0 0 x x y － ( , , ) | 0 0 x x y < 2 + 2 = 这说明 ( , , ) 0 0 x x y 在 ( , , ) 0 0 x x y 连续。 三、解对初值的可微性 为了研究解对初值的可微性，先研异解对初值参数的连续依赖性，为此考察 含参数 的微分方程 f (x, y,),(3.1) dx dy = ， 设函数 f (x, y,) 在区域 G ： （ x,y ） ( , , , ) 1 2 : ( , ) (3.1) ( , ) ( , , , ), ( , , ) ( , , ) ) , ; ( ( , , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 于是有 类似于定理 定理 有下面结果 方程 通过点 的解存在惟一 记为 以 为中心球 使 在 内对 满足 条件 与 无关 对 内连续 且在 内一致地关于 满足局部 条件 y x x y 。 ， ， x y G ， y x x y x y C G ， f x y C y Lipschits ， L ， G ， G y Lipschits x y G = = 1.解对初值各参数的连续依赖定理 定理 1，设
f(xy,a)在G,内连续，且在G,内关于y一致地满足局部Lipschits条件，(xo,xo，）eG,，y=p(x,xo,yo,%)是方程(3.1)通过点(xo,y)的解，在区间a≤x≤b上有定义，其中a≤x≤b,那末，对任意给定的>0，可以找到正数=8(s,a,b),使得(x-x0)2+(j-y0) +(a- 0)2≤82时，方程(3.1)通过点(x,)的解y=p(x,xo,o,)在区间a≤x≤b上边有定义，并且Ip(x,xo,yo,a)-p(x,Xo,yo,xo)ks,a≤x≤b2.解对初值和参数的连续性定理定理2、设f(x,y,a)在G,内关于y一致满足局部的Lipschitz条件，则方程(3.1)的解y=p(x,xo,y)作为x,xo,yo,a的函数在它的存在范围内是连续的。3.解对初值的可微性定理定理3若函数f(x,y)以及%都在区域G内连续，则方程(3.1)的解y=0(x,xo,)作为ayx,xo,y的函数在它的存在范围内是连续可微的。分析:即应证器,%,在y=0(x,zo,J)存在范围内存在且连续ax'ax'dyoProof：由%在G内连续知，f(x,y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件，因此，ay解对初值连续性定理成立，即y=p(x,xo,y)在它的存在范围内关于x，xo,是连续的，下面证明在它的存在范围内迎存在且连续ax'axayo首先证明存在且连续ayo(x, Xo,yo + Ay。)-p(x, Xo, Jo)lim存在且连续）（分析：即应证）Ay。→0Ayo设由初值（xo,y）和(xo,+AylAy飞α,α充分小)所确定的解分别为
时 方程 通过点 的解 在区间 上边有定义 并且 那末 对任意给定的 可以找到正数 使得 是方程 通过点 的解 在区间 上有定义 其中 在 内连续 且在 内关于 一致地满足局部 条件 ， x y y x x y a x b ， x x y y a x b ， ， a b y x x y x y ， a x b ， f x y G ， G y Lipschits ，x x G = − + − + − = = (3.1) ( , ) ( , , , ) ( ) ( ) ( ) , 0 ( , , ), ( , , , ) (3.1) ( , ) ( , , ) ( , , ) , 0 0 0 0 2 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 | ( , , , ) ( , , , )| , . x x0 y0 − x x0 y0 x0 a x b 2.解对初值和参数的连续性定理 定理 2、设 f (x, y,)在G内关于y一致满足局部的Lipschitz条件， 则方程(3.1) 的解y =(x, x0 , y0 )作为x, x0 , y0 ,的函数在它的存在范围内是连续的。 3．解对初值的可微性定理 定理 3 若函数 f(x,y)以及 都在区域G内连续， 则方程(3.1)的解y (x, x0 , y0 )作为 y f = 分析 即应证 在 存在范围内存在且连续 的函数在它的存在范围内是连续可微的 : , , ( , , ) , , 0 0 0 0 0 0 y x x y x x y x x y 。 = Proof: 由 在G内连续知，f x y 在G内关于y满足局部Lipschitz条件 y f ( , ) ,因此， 解对初值连续性定理成立，即 ( , , ) 0 0 y = x x y 在它的存在范围内关于 x, 0 0 x , y 是连续的，下面证明在它的存在范围内 存在且连续 0 0 , , x x y 首先证明 存在且连续 0 y （分析：即应证 0 lim y0 → 存在且连续 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) 0 y x x y y x x y + − ） 设由初值( 0 0 x , y )和 (x0 , y0 + y0 )(| y0 |,充分小)所确定的解分别为
y=p(x,xo,yo)=p和y=p(x,xo,yo +Ay)=y即=y+f(x,p)dx和y=+y+ff(x,y)dx于是：*af(x,p+(y -p) ( -= Ay + f" (f(x,y)- f(x,p)dx = Ayo + ["(y-p)dxay其中0<<由于%及连续，故有(+0-)+Oyayay这是当A%→0时，→0；且A%=0时，Y,=0，因此对A%0有[() + dy-p-正初值问题即2=AyoayAyoAyo+dxyz(x)=1的解，这里Ay±0可看作参数，显然当Ay。=0时上述初值问题仍然有解。根据解对初值和参数的连续性定理，知兰二是x,xo,=0,Ay的连续函数，从而存在Ayolimy-q_opAyo →0 Ay。-y。而是初值问题axodz_ of(x,p) -dxayz(x)=1ap* af(x, ) dx的解，不难求得expyoayTo它是xxoy的连续函数 存在且连续，且%--(0)exp)d同样可证axoaxoay对于器存在性及连续性，注意到y=0(s,xo,%)是方程的解，因而ax
= + = + + = = + x x x x y f x dx y y f x dx y x x y y x x y y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) 即 和 和 于是： − + − − = + − = + x x x x dx y f x y f x f x dx y 0 0 ( ) ( , ( )) ( ( , ) ( , )) 0 0 其中 1 ( , ( )) ( , ) 0 1, + = + − y f x y f x ， ， y f 由于 及 连续 故有 这是当 y0 → 0时， 1 → 0； 且y0 = 0时， 1 = 0， 因此对y0 0有 − + = + − x x dx y y f x y 0 0 1 0 ] ( , ) 1 [ 即 正初值问题 0 y z − = ( ) 1 ] ( , ) [ 0 1 = + = z x z y f x dx dz 的解，这里 y0 0可看作参数， 显然当y0 = 0时上述初值问题仍然有解。 根据 解对初值和参数的连续性定理，知 是x x z y 的连续函数， 从而存在 y 0 0 0 0 , , , − 而 是初值问题 0 0 0 0 0 lim x y y y = − → ( ) 1 ( , ) 0 = = z x z y f x dx dz 的解，不难求得 dx y f x y y x x = 0 ( , ) exp 0 它是 x, x0 , y0的连续函数 同样可证 0 x 存在且连续，且 dx y f x f x y x x x = − 0 ( , ) ( 0 , 0 ) exp 0 对于 存在性及连续性， 注意到y x x y 是方程的解， 因而 x ( , , ) 0 0 =
器=(s,(x,0,)由及的连续性，即推得结论。ax例1.已知方程dy = sin xydxCy(x, Xo, yo)μo=0Cy(x, Xo, yo) jro=0试求IV0=(1=0axoayo解：f(x,J)=sinxy,f=ycosxy,f，=xcosxy在xy平面上连续dy：方程=sinxy的解y=p(x,xo,。)作为x,x。y。的函数在xy平面上连续d可微， 由公式得[(~1:=-ex( (x(0) a) ==dyoay=exp(J, xcos(xo(x,0,0)dx)（易见y%=0是原方程的解，且满足y(0)=0,:0(x,0,0)=0）=exp(f'xdr)=e2r[--() d) :Oxoay=- f(0,0) exp(f, xdx)=0
f x x x y f ， 。 x 由 及的连续性 即推得结论 ( , ( , , )) 0 0 例 1．已知方程 xy dx dy = sin 试求 0 0 0 0 0 0 0 ] ( , , ) [ = = x y x y x x y ， 0 0 0 0 0 0 0 ] ( , , ) [ = = x y y y x x y 解： f (x, y) = sin x y, f x = y cos x y, f y = x cos x y在x y平面上连续 方程 x y的解y x x y 作为x x y 的函数在x y平面上连续 dx dy 0 0 0 0 = sin = ( , , ) , , 可微，由公式得 0 0 0 0 0 0 0 ] ( , , ) [ = = x y y y x x y = 0 0 0 0 0 0 0 ) | ( , ( , , )) exp( = = x y x x dx y f x x x y = exp( cos( ( ,0,0)) ) 0 x x x x dx (易见 y0 = 0是原方程的解， 且满足y(0) = 0,(x,0,0) = 0 ) =exp( x xdx 0 )= 2 2 1 x e 0 0 0 0 0 0 0 ] ( , , ) [ = = x y x y x x y = ( , ) 0 0 − f x y 0 0 0 0 0 ) | ( , ) exp( = = x y x x dx y f x = − f (0,0) exp( ) 0 xdx x =0