§3.3 解过初值的连续性和可微性 教学目的 讨论解对初值的连续性与可微性定理，了解对参数的连续性定理 教学要求 理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理及其成立的条件。 教学重点 解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理定理的条件及其证明 教学难点 解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理定理的证明思想 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 真到现在,我们都是把初值 ( , ) 0 0 x y 看成固定的值,然后再研究初值问题 0 0 2 2 y(x ) y x y dx dy = = + (3.1 的解.当 d(x, y) 满足解的存在唯一定理和延拓定理时, (3.1)存在唯一解 y = (x),这个解是自变量 x 的函数,从几何上说,通过点( 0 0 x , y )的微分曲线有且 一条,当初值 0 x 和 0 y 变更时,对应解一般来说也要跟着变,所以(3.1)的解也应是 0 x , 0 y 的函数,方程 0 0 y(x ) y y dx dy = = 的解为 0 0 x x y y e − = ,它虽然是所有变量 0 0 x, x , y 的函数,也即(3.1)的解不仅依赖 于自变量 x,而且也依赖于初值( 0 0 x , y ),因此,考虑初值变化,解可以看作三个 变量 0 0 x, x , y 的函数.记为 ( , , ) 0 0 y = x x y
它满足 ( , , ) 0 0 0 0 y = x x y . 现在提出一个应用上很重要问题.当初值发生变化时,对应解是怎样变化的? 应用上需要,当初值 0 0 x , y 变化不大时,相应解也变化不大,这就是解对初值的连 续性,其确定义为 定义,初值问题 0 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy = = 的解 ( , , ) 0 0 y = x x y 在区间[ a,b]上相存在,如果对 0 点 ( ,a,b) 0 ,使得 对于满足 2 2 0 0 2 0 0 ( − ) + (( − ) − − x x y y 的一切 ( , ) 0 _ 0 x y ,初值问题 _ 0 _ 0 ( ) ( , ) y x y f x y dx dy = = (*,*) 的 解 ( , , ) _ 0 _ 0 y = x x y 都 在 [a,b] 上 存 在 , 并 且 | ( , , ) ( , , ) | , [ , ] 0 0 _ 0 _ y = x x0 y − y = x x y x a b 则称初值(*,*)的解 在点( 0, 0 x y )连续依赖于初值 ( , ) _ 0 _ 0 x y 一,解关于初值的对称性 ( , , ) _ 0 _ 0 y = x x y
定理,设方程(3.1)满足初值问题 0 0 y(x ) = y 解的唯一的,记为 ( , , ) 0 0 y = x x y ,则 在此表达工中,(x,y)与( 0 0 x , y )可以调换其相对位置,即任解的存在范围成立着 关系式 ( , , ) 0 y = x x y 分析:要证 ( , , ) y = x x0 y0 有 ( , , ) 0 y = x x y ,即对(3.1)过点( 0, 0 x y )的解 存在范围内任点 1 x 由 ( , , ) 1 0 0 y = x x y 有 ( , ) y0 = x0 x1 y1 可看作为(3.1)过点 ( , ) 1 1 x y 的解.问题相易于证明,(3.1)过 ( , ) 1 1 x y 解也过( 0, 0 x y ),由解的唯一 性,(3.1)过 ( , ) 1 1 x y 与过( 0, 0 x y )表同一积分曲线,从而 分析：定理要求， 0, 取充分小的正数 ，使闭域 D：a x b,| y −(x, x0 , y0 ) | 整个在 G 内选取 0, 使闭域 R：(x－x 0 ) 2 0 2 +( y − y ) 2 在 D 内， 定理相当于要求证明（3.1）过 R 内任一点（ 0 0 x , y ）解为 y = (x, 0 0 x , y ) 边在 D 内，记 y = (x, 0 0 x , y ）= ，不应证| − | ( ) 1 2 1 L b a e − − = 由 y= ( , , ) 0 0 x x y 不能越过曲线 y= ( , , ) 0 0 x x y + , y= ( , , ) 0 0 x x y － ,但由解延 拓定理，y= ( , , ) 0 0 x x y 可延拓到无限接近 G 的边界，于是向右只能 x=b 穿出 D， 可在[x 0 ,b]有定义
Proof: 对积分曲线取 S：y= ( , , ) 0 0 x x y (x), a x b,满足 xy 平面上一 个有界闭集，由有限复盖定理实现条件 0, 有充分小的正数 ，使闭域 D: ,| −( , , ) | 0 0 a x b y x x y 整个在 G 内，且 f(x,y)在 D 内满足 Lipschite 条件，Lipschite 常数为 L， 因 = − + − + = − − − + − = − + − = − − − − − − − − − ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 2 2 0 2 1 2 0 2 0 2 0 1 ( ) 1 (| | | ( ) ( ) |) ( ) 2 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | (| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |) (3.1) ( , ) ( , , ) ( ), 0 min{ , }, : ( ) ( ) , 0, | | | ( ) ( ) | , 2 1 ( ) [ , ] 0 L b a L b a L b a L x x L b a L b a y y x x e e e x x x x e x x x x e D ， R x y y x x y x R x x y y x a b ， e x x ， x x 整个 内 过 内任一点 解 由引理 取 满足 使闭域 在 连续 故对 仅当 时 （3.21）上式在 （x, 0 0 x , y ）有定义区间上成立。 由解的延拓定理，(3.1)过（ 0 0 x , y ）解 y= ( , , ) 0 0 x x y 可延拓到到区域 D 的边界上，设它在边界上点为（c, (c) ）,( (d,(d)), c d, 下面证明 c a,d b,若不然c a,d b,则由(3.21) | (c) −(c) |, | (d) −(d) | 即(c, (c),(d,(d))在D内， 与它为D的边界上有矛盾。 故 仅当 时 （ ）在 上有定义 从 在 上成立 这就证明了 = − + − = 2 0 0 2 0 0 0 0 ( , , ), ( ) ( ) , , [ , ] (3.21) [ , ] 0, a b x x y y y x x y a b ， a b 。 (3.1)过 (x0 , y0 )解y =(x, x0 , y0 )在[a,b]有定义， 且 y0 = (x0 , x1 , y1 )， 由
(x1 , y1 )的任意性， 即可证明。 Proof.在(3.1)满足 y(x 0 )=y 0 的解存在区间内任取一值 x , ( , , ), 1 1 1 0 0 记y = x x y 则 由解的唯一性知，(3.1)过点( 1 1 x , y )与过点 ( , ) 0 0 x y 的解是同一条积分曲线，即此 解也可写成 ( , , ) 1 1 y = x x y 且显然有 ( , , ) 0 0 1 1 y = x x y ，由点 ( 1 1 x , y ) 积分曲线上任一点因此关系式 ( , , ) 0 0 y = x x y 对该积分曲线上任意点( x , y )均成立。 二．解对初值的连续依赖性 先看方程 y dx dy = 满足 y(x0 ) = y0的解y = y0 e x−x0 ,显然它是自变量x, x0 , y0的连续可微函数 ，下面 说明这一事实，为此先证明如下引理 1． 引理 如果函数 f(x,y)于某域 D 内连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，则方程(3.1)的任意两个解 (x)及(x) ，在它的公共存在区间 内成立着不等式 | | 0 0 0 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | L x x x x x x e − − − (3.20) 其中 x 0 为所考虑区间内的某一值。 分析 令 V(x) = ((x) −(x)) 2 ,则(3.20)转化为 2 | | 0 0 ( ) ( ) L x x V x V x e − 即应证 2 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) L x x x x ，V x V x e − 时
若能证 (V(x)e 2 ) 0, x x0即可 dx d x − Lx Lx V x e V x LV x e 2 ' 2 ( ) ( ( ) 2 ( )) − − = − ( ) 2( ( ) ( ))( ( ) ( )) 2( ( ) ( ))( ( , ) ( , )) 2 ( ) ' ' ' V x = x − x x − x = x − x f x − f x LV x proof: 设 (x),(x)在区间[a,b]上均有定义， 令 ( ) ( ( ) ( )) , [ , ], ( ) 2( ( ) ( ))( ( , ) ( , )) 2 ( ) 2 ' V x = x − x x a b 则V x = x − x f x − f x LV x 于是 ( ( ) ) 0 2 − Lx V x e dx d 因此对 x0 [a,b]有V(x) V(x)e 2L( x−x0 ) , x0 x b,对区间a x x0 ,类似可证， 由此 | | 0 0 2 | | 0 0 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ( ) ( ) , [ , ] L x x L x x x x x x e V x V x e x a b − − − − 两边取平方根即得 2．解对初值的连续依赖定理 定理 2 假设 f(x,y)于域 G 内连续且关于 y 满足局部 Lipchitz 条件， a x b ， x x y x x y a x b x x y y ， y x y y x x y a x b a x b ， a b x y G y x x y y x y ， − − + − = = = = = | ( , , ) ( , , ) | , ( ) ( ) (3.1) ( ) ( , , ) ( ), 0, ( , , ), ( , ) , ( , , ) (3.1) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 在区间 上也有定义 并且 时 方程 的满足条件 的解 上有定义 那末 对 正数 使得当 是方程 满足初始条件 的解 它于区间 |( , , ) −( , , )| 0 0 0 0 x x y x x y 3．解对初值的连续定理 定理 2、若函数 f(x,y)在区域 G 内连续，且关于 y 满足局部 Lipschitz 条
件，则(3.1)的解 ( , , ) 0 0 y = x x y 作为 x ,x 0 , y0的函数在它的存在范围内是连续的 分析：对 ( , , ) 0 0 y = x x x 存在范围 V 内任一点 ( , , ) 0 0 x x y ,要证 ( , , ) 0 0 y = x x y 在 ( , , ) 0 0 x x y 连续，即应证， 0, 0, − − + − + − | ( , , ) ( , , ) | ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 2 x x y x x y x x x x y y 时有 Proof: 对 (x0 , y0 )G,(3.1)过(x0 , y0 )的饱和解y = (x, x0 , y0 )定义于 而 在 连续 故 使当 时 由解对初值连续依赖定理 仅当 时 存在闭区间 使 在 上有定义 其中 对 解 作为 的函数在它的最大存在区间必包含 所以 下证 在 连续 上 令 0 0 2 2 0 0 0 0 2 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) [ , ] 0, | | , [ , ] 2 | ( , , ) ( , , ) | 0, 0, ( ) ( ) [ , ], ( , , ) [ , ] , ( , , ) , ( , , ) , , ( , , ) ( , ) ( , ) {( , , ) | ( , ) ( , ),( , ) } = − − − + − = = = = y x x y x b ， x x x x y x x y x a b ， x x y y a b y x x y a b ， a x x b。 x x y V y x x y x x x y x x y V ， x y x x y ， V x x y x y x x y x y G | ( , , ) 0 0 x x y － ( , , ) 0 0 x x y |< 2 ，x, x [a,b] ，取 min{ , } = 1 2 ，则只要（x－ x ） 2 +(y0 − y0 ) 2 2 ,就有 | ( , , ) 0 0 x x y － ( , , ) 0 x x0 y | | ( , , ) 0 0 x x y － ( , , ) 0 0 x x y |+| ( , , ) 0 0 x x y － ( , , ) | 0 0 x x y < 2 + 2 = 这说明 ( , , ) 0 0 x x y 在 ( , , ) 0 0 x x y 连续。 三、解对初值的可微性 为了研究解对初值的可微性，先研异解对初值参数的连续依赖性，为此考察 含参数 的微分方程 f (x, y,),(3.1) dx dy = ， 设函数 f (x, y,) 在区域 G ： （ x,y ） ( , , , ) 1 2 : ( , ) (3.1) ( , ) ( , , , ), ( , , ) ( , , ) ) , ; ( ( , , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 于是有 类似于定理 定理 有下面结果 方程 通过点 的解存在惟一 记为 以 为中心球 使 在 内对 满足 条件 与 无关 对 内连续 且在 内一致地关于 满足局部 条件 y x x y 。 ， ， x y G ， y x x y x y C G ， f x y C y Lipschits ， L ， G ， G y Lipschits x y G = = 1.解对初值各参数的连续依赖定理 定理 1，设
时 方程 通过点 的解 在区间 上边有定义 并且 那末 对任意给定的 可以找到正数 使得 是方程 通过点 的解 在区间 上有定义 其中 在 内连续 且在 内关于 一致地满足局部 条件 ， x y y x x y a x b ， x x y y a x b ， ， a b y x x y x y ， a x b ， f x y G ， G y Lipschits ，x x G = − + − + − = = (3.1) ( , ) ( , , , ) ( ) ( ) ( ) , 0 ( , , ), ( , , , ) (3.1) ( , ) ( , , ) ( , , ) , 0 0 0 0 2 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 | ( , , , ) ( , , , )| , . x x0 y0 − x x0 y0 x0 a x b 2.解对初值和参数的连续性定理 定理 2、设 f (x, y,)在G内关于y一致满足局部的Lipschitz条件， 则方程(3.1) 的解y =(x, x0 , y0 )作为x, x0 , y0 ,的函数在它的存在范围内是连续的。 3．解对初值的可微性定理 定理 3 若函数 f(x,y)以及 都在区域G内连续， 则方程(3.1)的解y (x, x0 , y0 )作为 y f = 分析 即应证 在 存在范围内存在且连续 的函数在它的存在范围内是连续可微的 : , , ( , , ) , , 0 0 0 0 0 0 y x x y x x y x x y 。 = Proof: 由 在G内连续知，f x y 在G内关于y满足局部Lipschitz条件 y f ( , ) ,因此， 解对初值连续性定理成立，即 ( , , ) 0 0 y = x x y 在它的存在范围内关于 x, 0 0 x , y 是连续的，下面证明在它的存在范围内 存在且连续 0 0 , , x x y 首先证明 存在且连续 0 y （分析：即应证 0 lim y0 → 存在且连续 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) 0 y x x y y x x y + − ） 设由初值( 0 0 x , y )和 (x0 , y0 + y0 )(| y0 |,充分小)所确定的解分别为
= + = + + = = + x x x x y f x dx y y f x dx y x x y y x x y y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) 即 和 和 于是： − + − − = + − = + x x x x dx y f x y f x f x dx y 0 0 ( ) ( , ( )) ( ( , ) ( , )) 0 0 其中 1 ( , ( )) ( , ) 0 1, + = + − y f x y f x ， ， y f 由于 及 连续 故有 这是当 y0 → 0时， 1 → 0； 且y0 = 0时， 1 = 0， 因此对y0 0有 − + = + − x x dx y y f x y 0 0 1 0 ] ( , ) 1 [ 即 正初值问题 0 y z − = ( ) 1 ] ( , ) [ 0 1 = + = z x z y f x dx dz 的解，这里 y0 0可看作参数， 显然当y0 = 0时上述初值问题仍然有解。 根据 解对初值和参数的连续性定理，知 是x x z y 的连续函数， 从而存在 y 0 0 0 0 , , , − 而 是初值问题 0 0 0 0 0 lim x y y y = − → ( ) 1 ( , ) 0 = = z x z y f x dx dz 的解，不难求得 dx y f x y y x x = 0 ( , ) exp 0 它是 x, x0 , y0的连续函数 同样可证 0 x 存在且连续，且 dx y f x f x y x x x = − 0 ( , ) ( 0 , 0 ) exp 0 对于 存在性及连续性， 注意到y x x y 是方程的解， 因而 x ( , , ) 0 0 =
f x x x y f ， 。 x 由 及的连续性 即推得结论 ( , ( , , )) 0 0 例 1．已知方程 xy dx dy = sin 试求 0 0 0 0 0 0 0 ] ( , , ) [ = = x y x y x x y ， 0 0 0 0 0 0 0 ] ( , , ) [ = = x y y y x x y 解： f (x, y) = sin x y, f x = y cos x y, f y = x cos x y在x y平面上连续 方程 x y的解y x x y 作为x x y 的函数在x y平面上连续 dx dy 0 0 0 0 = sin = ( , , ) , , 可微，由公式得 0 0 0 0 0 0 0 ] ( , , ) [ = = x y y y x x y = 0 0 0 0 0 0 0 ) | ( , ( , , )) exp( = = x y x x dx y f x x x y = exp( cos( ( ,0,0)) ) 0 x x x x dx (易见 y0 = 0是原方程的解， 且满足y(0) = 0,(x,0,0) = 0 ) =exp( x xdx 0 )= 2 2 1 x e 0 0 0 0 0 0 0 ] ( , , ) [ = = x y x y x x y = ( , ) 0 0 − f x y 0 0 0 0 0 ) | ( , ) exp( = = x y x x dx y f x = − f (0,0) exp( ) 0 xdx x =0