§4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法 教学目的 本章主要讨论高阶微分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法 教学要求 会把高阶微分方程降阶以及会用幂级数解法解某些二阶线性方程 教学重点 一些高阶阶微分方程的降阶类型的解法；幂级数解法 教学难点 二阶线性方程幂级数解法 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 一般的高阶微分方程没有普遍的解法,通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为 较低阶方程来求解,因为一般来说求解低阶方程比求解高阶方程方便些,本节主要介绍一些 可降阶的方程类型和求特解的幂级数解法. 一. 可降阶的一些方程类型 n 阶微分方程的一般形式 ( , , , , ) 0 ( ) ( 1) ( ) = k k+ n F t x x x (4.57) ⒈不包含未知函数 x,或更一般地, 不包含未知函数及其直到 k－1(k≧１)阶导数的方程是： ( , , , ) 0 ( ) = n−k F t y y (4.58) 如果能求得(4.58)的通解 ( , , , , ) 1 2 n k y t c c c = − 即 ( , , , ) 1 ( ) n k k x t c c = − 对上式经过 k 次积分 即方程(4.57)的通解 ( , , , ) 1 n x = t c c 这里 n c ,c , ,c 1 2 为任常数. 例 1 求方程 0 1 4 4 4 5 − = dt d x dt t d x 的解
解:令 y dt d x = 4 4 ,则方程化为 0 1 − y = dt t dy 这是一个一阶方程,其通解为 y = ct ,即有 ct dt d x = 4 4 积分四次得原方程的通解 4 5 2 3 3 2 5 1 x = c t + c t + c t + c t + c ⒉不包含自变量 t 的方程 其一般形式是: ( , , , ) 0 1 ( ) = n F x x x (4.59) 此时,用 y = x 作为新的未知函数 而把 x 作为新的自变量. 因为 2 2 2 2 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) dx d y y dx dy y dt dx dx dx dy d y dt dx dy d y dt d x dx dy y dt dx dx dy dt dy dt d x y dt dx = = = + = = = = 用数学归纳法易得 (k ) x 可用 , , , ( ) 1 1 k n dx d y dx dy y k n − − 来表达,将这些表达式代入(4.59)可得: ( , , , ( ) , ) 0 2 2 2 2 + = dx d y y dx dy y dx dy F x y y 即有新方程 ( , , , , ) 0 1 1 = − − n n dx d y dx dy G x y 它比原来的方程(4.59)降低了一阶: 例 2 求方程 ( ) 0 2 2 2 − = dt dx dt d x x 的解 解 令 x = y ,要取 X 作为新的自变量,于是原方程化为
0 2 − y = dx dy xy 从而可得 y = 0 及 x y dx dy = 这两方程的全部解是 y = Gx 再代入原来变量得到 Gx dy dx = 所以原方程的通解是 Gt x c e = 2 3)已知各线性方程的非要特解,进行降阶 ①设 x = x1 0 正二阶齐线性方程 ( ) ( ) 0 2 2 + + q t x = dt dx p t dt d x (4.69) 的非要解 令 x x y = 1 则 1 1 x = x y + x y x x y x x y 1 2 1 1 = + + 代入(4.69)得 x1 y +[2x1 + p(t)x1 ]y +[x1 + p(t)x1 + q(t)x1 ]y = 0 即 x1 y +(2x1 + p(t)x1 ]y = 0 引入新的未知函数 z = y 方程变为 1 +[zx1 + p(t)x1 ]z = 0 dt dz x 是一阶线性方程 解之得 = − p t dt e x c z ( ) 2 因而
= + − ] 1 [ ( ) 2 2 1 e dt x x x G c p t dt (4.70) 这里 1 c 2 c 是任意常数。 取 a = 0, c 1 得(4.69)的一个特解 − e dt x x x p(t0dt 2 1 2 1 1 因它与之 1 x 比不等于常数 故 1 2 x ; x 线性无关 因此(4.70)为(4.69)的通解 例 3 已知 t t x sin = 是方程 0 3 + x + x = t x 的解 可求方程的通解 解 这是 t p t 2 ( ) = 由(4.70)得到 ( sin cos ) 1 ( ) sin ) 1 . sin ( sin 1 1 2 2 2 c t c t t c ctgt t t dt t t t G c t t x = − = − = + c ,c 1 为任常数 ②一般已知齐次线性方程 ( ) ( ) 0 1 ( 1) + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n (4.2) 的 K 个线性无关解 k x x x 1 2 , 其中 x i k i 0, =1,2 令 x x y = k , 则 x y x y n n x x y nx y x x y ix y x y x x y x y n k n k n k n k n k k k k k ( ) ( ) ( 1) ( 2) ( ) 1 2 ( 1) + + − = + + = + + = + − − 代入(4.2),得 [ ( ) ] [ ] 0 ( 1) 1 ( 1) ( ) 1 ( ) + + + + + + + = − − x y nx a t x y x a x a x y n k n k n k n k k n k 由于 k x 为(4.2)的解 故 Y 的系数恒等于零 而代为不包含 Y 的方程:令 2 z = y ,则在 xk 0
的方向上方程变为 ( ) 1 ( ) 0 ( 1) 1 ( 1) + + + − = − − z b t z b t z n n n (4.07) 且 = ( ) ,i =1,2, k −1 x x z k i i 是(4.67)的 k −1 个线性无关解，事实上，x 1. k−1 x 为(4.2)解及 = = ( ) k x x z y 或 x = x zdt k 因此 1 2 1 , k− z z z 是 4.67)的解,若 1 z1 + 2 z2 ++ k−1 zk−1 0 则 k k k k k k x x x x x x + + + − − − ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 即 1 x1 + 2 x2 ++ k xk 0 由 k x ,x , ,x 1 2 线性无关知 k , , , 1 2 全为零. 故 1 2 1 , , , Z Z ZK− 线性无关. 因此,对(4.61)■以■做法,令 Z Z fuclt = K−1 . 则又可把方程化为关于 u 的 n-1 阶齐线性 方程. ( ) 2 ( ) 0 ( 2) 1 ( 2) + + + − = − − u C t u Cn t u n n (4.68) 一直下去,可降低 n-k 阶 二. 二阶线性方程的幂级数解法 对二截变函数齐线性方程 = = + + = y x y y x y q x y dx dy p x dx d y ( ) , ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 (4.72) 其求解问题归结为寻求它的一个非零解,由于是变函数,因此不能像§4.2 那样利用代数方法 先求解.但从微分学中知道,在满足某些条件下,可以用幂级数来表示一个函数.因此,自然想到, 能否用幂级数来表示微分方程的解呢?下面讨论这一问题.为此先列出下面两个定理.( ■■ 一般性,可设 x0 = 0 ) 定理 10. 若方程(4.72)中系数 p(x) 和 q(x) 都能展成 x 的幂级数,且收敛区间为 x <R,则 方程(4.72)有形为
= n 0 n n y a x (4.73) 的特解.也以 x <R 为级数的收敛区间. 定理 11. 若方程(4.72)中的系数 p(x) , q(x) 只有这样的性质.即 xp(x) 和 ( ) 2 x q x 均能展 成 x 的幂级数.且收敛区间为 x <R,则方程(4.72)有形为 + = = 0 n 0 n n n n n y x a x a x (4.75) 的特解,这里 a0 0 , 是一个待定的常数,级数(4.75)也以 x <R 为收敛区间. 例 4. 求方程 y − 2xy − 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 0 , y (0) =1 的解. 解: 设级数, y = a0 + a1 x ++ an x n + 为方程的解,这里 a (i =1,2, ) i 是待定常数. 由初始条件, a0 = 0,a1 =1 因而 = + + + − + = + + + + = + + + + − − 1 2 3 1 2 2 2 2 3 2 ( 1) 1 2 n n n n n n y a a x n n a x y a x na x y x a x a x 将它代入方程,合并同类项,则令各项系数等于零,得到 − − − − = − − = − − = = − − ( 1) 2( 2) 4 0 4 3 4 4 0 3 2 2 4 0 2 0 2 2 4 2 2 3 2 n n an n an an a a a a a 即 , 1 2 0, 1, 0, , 2 3 4 −2 − = = = n = an n a a a a 因而 , 4! 1 , 0, 5! 1 6 1 , 0, 2! 1 a5 = a6 = a7 = = a8 = a9 = 故方程的解为 = + + ++ + + 2! ! 5 2 1 3 k x x y x x k
2 ) 2! ! (1 4 2 2 x k x e k x x = x + x + ++ + = 例 5. 求解 n 阶贝塞耳(Bessel)方程 ( ) 0 2 2 2 2 2 + + x − n y = dx dy x dx d y x 这里 n 为非负常数. 解: 将方程改写成 0 1 2 2 2 2 2 = − + + y x x n dx dy dx x d y (4.74) 易见,它满足定理 11 的条件,且 ( ) 1, ( ) , 2 2 2 xp x = x f x = x − n 按 x 展成的幂级数收敛区间 为 − x +,则方程有形为 + = k 0 k k y a x (4.75) 的特解.这里 a0 0 ,而 k a 是 的待定常数,将(4.75)代入(4.74)中,得 ( )( 1) ( ) ( ) 0 0 2 2 0 1 0 2 2 + + − + + + − = = + = + − = + − k k k k k k k k x k k ak X x k a X x n a X 比较 x 的同次幂系数,得 + − + = + − = − = [( ) ] − 0 [( 1) ] 0 ( ) 0 2 2 2 2 2 1 2 2 0 k n ak a k a n a n k=2,3,. 因为 0, a0 则为 0, 2 2 − n = 从而 = n, 为确定起见,暂令 = n 0, 由(4.76)得 , (2 ) 0 2 1 + = − = − k n k a a a k k k=2,3,. 即 + = − + + + = − − − + 2 ( 2 ) (2 1)(2 2 1) 2 2 2 2 1 2 1 k n k a a k n k a a k k k k k=1,2,. 从而可得 , 2 !( 1)( 2) ( ) ( 1) 0 2 0 2 2 1 + + + = − − = k n n n k a a a k k k k k=1,2
因此 在 = n 0 时,得到 Bessel 方程的一个解 k n k k n k x k n n k a y a x + = + + = + − 2 1 2 0 1 0 2 !( 1) ( ) ( 1) (4.77) 若将任常数 0 a 取为 2 ( 1) 1 0 + = n a n 这里 − − = 0 8 1 ( p) e x dx x 到 p>0 时, ( p +1) = p( p) 因此(4.77)变为 + + + − = 0 2 1 ) ( ) 2 ( ! ( 1) ( 1) k n k n k J x x k n k y (4.77) 当 = −n 时,完全类似可得 2 !( 1)( 2) ( ) ( 1) 0 2 0 2 2 1 k n n n k a a a k k k k − + − + − + − = − = , k=1,2,. 若取 2 ( 1) 1 0 − + = − n a n 则可得(4.74)另一个特解 ) ( ) 2 ( ! ( 1) ( 1) 2 0 2 J x x k n k y n k n k k = − + + − = − = (4.78) 达朗贝尔判别法,对任 x 值(4.77),(4.78)收敛,因此 当 n≠非负整数时, J (x), J (x) n −n 为(4.74)的解,且线性无关. 因而(4.74)的通解为 ( ) ( ) 1 2 y C J x C J x = n = −n 这里 1 2 C ,C 为任常数. 当 n=正整数时, 而 = −n 时,不能从(4.76)中确定 ( ), a2k k n 因此不能像上面一样求 得通解.这时可以利用一,B 介绍的除阶法,求出与 J (x) n 线性无关的解,因而(4.74)的通解为 = + − e dx J x y J x c c dx x n n 1 1 2 2 ( ) 1 ( )
= + dx xJ x J x c c n n ( ) 1 ( ) 1 2 2 1 2 c ,c 是任常数 例 6. 求方程 ) 0 25 9 (4 2 2 x y + xy + x − y = 的通解 解: 引入新变量 t=2x 我们有 2 2 2 2 (2 ) 4 2 dt d y dx dt dt dy dt d dx d y dt dy dx dt dt dy dx dy = = = = 代入方程得 ) 0 25 9 ( 2 2 2 2 + + t − y = dt dy t dt d y t 这是 n= 5 3 的 Bessel 方程. 由 e 解知,方程通解可表为 ( ) ( ) 5 2 3 5 1 3 y c J t c J t − = + 代回原来变量得原方程的通解 (2 ) (2 ) 5 2 3 5 1 3 y c J x c J x − = + 其中 1 2 c ,c 是任常数