S4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法教学目的本章主要讨论高阶微分方程的降阶以及二阶线性方程的幕级数解法教学要求会把高阶微分方程降阶以及会用幕级数解法解某些二阶线性方程教学重点一些高阶阶微分方程的降阶类型的解法；幕级数解法教学难点二阶线性方程幂级数解法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。一般的高阶微分方程没有普遍的解法，通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程来求解，因为一般来说求解低阶方程比求解高阶方程方便些，本节主要介绍一些可降阶的方程类型和求特解的幂级数解法一，可降阶的一些方程类型n阶微分方程的一般形式F(t,x(k),x(k+),",x(")=0(4.57)1.不包含未知函数x,或更一般地，不包含未知函数及其直到k一1(k≥1)阶导数的方程是：F(t,y,., y(n-k))= 0(4.58)如果能求得(4.58)的通解y=p(t,Ci,C2,*",Cn-k)即x(k) = p(t,C1,*-,Cn-)对上式经过k次积分即方程(4.57)的通解x=p(t,c,..,c,)这里2为任常数.d'x_1d'x=0例1求方程dt4dtt的解
§4.3 高阶微分方程的降阶和幂级数解法 教学目的 本章主要讨论高阶微分方程的降阶以及二阶线性方程的幂级数解法 教学要求 会把高阶微分方程降阶以及会用幂级数解法解某些二阶线性方程 教学重点 一些高阶阶微分方程的降阶类型的解法；幂级数解法 教学难点 二阶线性方程幂级数解法 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 一般的高阶微分方程没有普遍的解法,通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为 较低阶方程来求解,因为一般来说求解低阶方程比求解高阶方程方便些,本节主要介绍一些 可降阶的方程类型和求特解的幂级数解法. 一. 可降阶的一些方程类型 n 阶微分方程的一般形式 ( , , , , ) 0 ( ) ( 1) ( ) = k k+ n F t x x x (4.57) ⒈不包含未知函数 x,或更一般地, 不包含未知函数及其直到 k－1(k≧１)阶导数的方程是： ( , , , ) 0 ( ) = n−k F t y y (4.58) 如果能求得(4.58)的通解 ( , , , , ) 1 2 n k y t c c c = − 即 ( , , , ) 1 ( ) n k k x t c c = − 对上式经过 k 次积分 即方程(4.57)的通解 ( , , , ) 1 n x = t c c 这里 n c ,c , ,c 1 2 为任常数. 例 1 求方程 0 1 4 4 4 5 − = dt d x dt t d x 的解
dtx=y解：令dt4，则方程化为dy_1-y=0dtt这是一个一阶方程,其通解为J=Ct,即有d'x=ctdt4积分四次得原方程的通解x=ct+c,+ct?+ct+cs2.不包含自变量t的方程其一般形式是：F(x,x,",x(n))=0(4.59)此时,用J=x作为新的未知函数而把x作为新的自变量.因为dx=ydid'x_dy_dy.dxydyVdt?dtdxdtdxdydyd(y-d(yd'xdxddxdxdydt3dtdxdtdxdx2...dnlydyy,dr-(k≤n)x(k)可用"dx用数学归纳法易得来表达，将这些表达式代入(4.59)可得2dydy+...)=0F(x,y,yrdr2,.dx即有新方程dydn-ly0=0G(x,y,dx""dxn-l它比原来的方程（4.59)降低了一阶dx-y=0dt?dt例2求方程的解解令t"=>,要取X作为新的自变量,于是原方程化为
解:令 y dt d x = 4 4 ,则方程化为 0 1 − y = dt t dy 这是一个一阶方程,其通解为 y = ct ,即有 ct dt d x = 4 4 积分四次得原方程的通解 4 5 2 3 3 2 5 1 x = c t + c t + c t + c t + c ⒉不包含自变量 t 的方程 其一般形式是: ( , , , ) 0 1 ( ) = n F x x x (4.59) 此时,用 y = x 作为新的未知函数 而把 x 作为新的自变量. 因为 2 2 2 2 3 3 2 2 ( ) ( ) ( ) dx d y y dx dy y dt dx dx dx dy d y dt dx dy d y dt d x dx dy y dt dx dx dy dt dy dt d x y dt dx = = = + = = = = 用数学归纳法易得 (k ) x 可用 , , , ( ) 1 1 k n dx d y dx dy y k n − − 来表达,将这些表达式代入(4.59)可得: ( , , , ( ) , ) 0 2 2 2 2 + = dx d y y dx dy y dx dy F x y y 即有新方程 ( , , , , ) 0 1 1 = − − n n dx d y dx dy G x y 它比原来的方程(4.59)降低了一阶: 例 2 求方程 ( ) 0 2 2 2 − = dt dx dt d x x 的解 解 令 x = y ,要取 X 作为新的自变量,于是原方程化为
dyy?=0.xy-dx从而可得y=0及d-x这两方程的全部解是y=Gx再代入原来变量得到dx=Gxdy所以原方程的通解是X=C,eGi3)已知各线性方程的非要特解,进行降阶①设X=X0正二阶齐线性方程d'x)dx+q(t)x=0dtp()dt(4.69)的非要解令X=X则x'=xy'+xyx"=xy"+2x'+xy代入(4.69)得xy"+[2x' +p(t)x,ly"+[x"+p(t)x +q(t)x,ly=0即xjy"+(2x' + p(t)x,ly'=0引入新的未知函数"=J"方程变为dz+[zx' + p(t)x,]z = 0xdt是一阶线性方程解之得e-J p(o)dicZ =e因而
0 2 − y = dx dy xy 从而可得 y = 0 及 x y dx dy = 这两方程的全部解是 y = Gx 再代入原来变量得到 Gx dy dx = 所以原方程的通解是 Gt x c e = 2 3)已知各线性方程的非要特解,进行降阶 ①设 x = x1 0 正二阶齐线性方程 ( ) ( ) 0 2 2 + + q t x = dt dx p t dt d x (4.69) 的非要解 令 x x y = 1 则 1 1 x = x y + x y x x y x x y 1 2 1 1 = + + 代入(4.69)得 x1 y +[2x1 + p(t)x1 ]y +[x1 + p(t)x1 + q(t)x1 ]y = 0 即 x1 y +(2x1 + p(t)x1 ]y = 0 引入新的未知函数 z = y 方程变为 1 +[zx1 + p(t)x1 ]z = 0 dt dz x 是一阶线性方程 解之得 = − p t dt e x c z ( ) 2 因而
- p(odr dt)x=x,[G+(4.70)这里CC2是任意常数。取a=0,c=1得(4.69)的一个特解e-Jp(rodtdiX2=X]-exi因它与之比不等于常数故X2线性无关因此(4.70)为(4.69)的通解3sintX=x"+=-x+x=01是方程t例3已知的解可求方程的通解p(l)=2解这是t由(4.70)得到121sintG-dtyx:sin?t t?1sin t-ctgi)=-(c, sin t -ccost)(C1TC,C为任常数②一般已知齐次线性方程d(n-)xd"x+a,(t)+..+a.(t)x=0dtn-Idt"(4.2)k其中0,i=1,2.k的K个线性无关解,xx令X=Xy，则x"=x'+xyx"=XJ"+ixy'+xy..+() =X() + mxy() + n(n-1),x*(r-2) +..+ x()y2代入(4.2),得X(n)+[x +a,(x /y()+.+[x" +a,x(l) +.+a,ly= 0由于*为(4.2)的解故Y的系数恒等于零而代为不包含Y的方程：令==,则在*0
= + − ] 1 [ ( ) 2 2 1 e dt x x x G c p t dt (4.70) 这里 1 c 2 c 是任意常数。 取 a = 0, c 1 得(4.69)的一个特解 − e dt x x x p(t0dt 2 1 2 1 1 因它与之 1 x 比不等于常数 故 1 2 x ; x 线性无关 因此(4.70)为(4.69)的通解 例 3 已知 t t x sin = 是方程 0 3 + x + x = t x 的解 可求方程的通解 解 这是 t p t 2 ( ) = 由(4.70)得到 ( sin cos ) 1 ( ) sin ) 1 . sin ( sin 1 1 2 2 2 c t c t t c ctgt t t dt t t t G c t t x = − = − = + c ,c 1 为任常数 ②一般已知齐次线性方程 ( ) ( ) 0 1 ( 1) + 1 + + = − − a t x dt d x a t dt d x n n n n n (4.2) 的 K 个线性无关解 k x x x 1 2 , 其中 x i k i 0, =1,2 令 x x y = k , 则 x y x y n n x x y nx y x x y ix y x y x x y x y n k n k n k n k n k k k k k ( ) ( ) ( 1) ( 2) ( ) 1 2 ( 1) + + − = + + = + + = + − − 代入(4.2),得 [ ( ) ] [ ] 0 ( 1) 1 ( 1) ( ) 1 ( ) + + + + + + + = − − x y nx a t x y x a x a x y n k n k n k n k k n k 由于 k x 为(4.2)的解 故 Y 的系数恒等于零 而代为不包含 Y 的方程:令 2 z = y ,则在 xk 0
的方向上方程变为-(n-l) +b;(t)-(r-l) +...+bn-I(t)z = 0(4.07)=, =(),i=1,...-1X是(4.67)的k-1个线性无关解，事实上，x..-1为(4.2)解及且 z= y"=(-xzdt或因此1,22z-是4.67)的解,若0,2+ +02-2 +..+0k-12k-1 =0则0(一)+02(2)+.+0-(k-)=-0XkXX即O,x,+0,x2+...+0X=0由，2线性无关知020全为零故Z,Z2,Zk-1线性无关.因此,对(4.61)以做法,令Z=Zk-1fucl。则又可把方程化为关于u的 n-1 阶齐线性方程.u(n-2) +C(t)u(n-2) +.+Cn-2(t)u= 0(4.68)一直下去，可降低n-k阶二，二阶线性方程的幂级数解法对二截变函数齐线性方程+9()y=0((xo)= yo,y(x)= y(4.72)其求解问题归结为寻求它的一个非零解.由于是变函数.因此不能像$4.2那样利用代数方法先求解.但从微分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数.因此，自然想到能否用幂级数来表示微分方程的解呢？下面讨论这一问题.为此先列出下面两个定理（一般性,可设%=0定理10.若方程(4.72)中系数P(x)和9(x)都能展成x的幂级数,且收敛区间为冈<R则方程(4.72)有形为
的方向上方程变为 ( ) 1 ( ) 0 ( 1) 1 ( 1) + + + − = − − z b t z b t z n n n (4.07) 且 = ( ) ,i =1,2, k −1 x x z k i i 是(4.67)的 k −1 个线性无关解，事实上，x 1. k−1 x 为(4.2)解及 = = ( ) k x x z y 或 x = x zdt k 因此 1 2 1 , k− z z z 是 4.67)的解,若 1 z1 + 2 z2 ++ k−1 zk−1 0 则 k k k k k k x x x x x x + + + − − − ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 即 1 x1 + 2 x2 ++ k xk 0 由 k x ,x , ,x 1 2 线性无关知 k , , , 1 2 全为零. 故 1 2 1 , , , Z Z ZK− 线性无关. 因此,对(4.61)■以■做法,令 Z Z fuclt = K−1 . 则又可把方程化为关于 u 的 n-1 阶齐线性 方程. ( ) 2 ( ) 0 ( 2) 1 ( 2) + + + − = − − u C t u Cn t u n n (4.68) 一直下去,可降低 n-k 阶 二. 二阶线性方程的幂级数解法 对二截变函数齐线性方程 = = + + = y x y y x y q x y dx dy p x dx d y ( ) , ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 2 (4.72) 其求解问题归结为寻求它的一个非零解,由于是变函数,因此不能像§4.2 那样利用代数方法 先求解.但从微分学中知道,在满足某些条件下,可以用幂级数来表示一个函数.因此,自然想到, 能否用幂级数来表示微分方程的解呢?下面讨论这一问题.为此先列出下面两个定理.( ■■ 一般性,可设 x0 = 0 ) 定理 10. 若方程(4.72)中系数 p(x) 和 q(x) 都能展成 x 的幂级数,且收敛区间为 x <R,则 方程(4.72)有形为
(4.73)的特解.也以1.n>0>0(4.75)的特解,这里±0,是一个待定的常数,级数(4.75)也以冈<R为收敛区间例4. 求方程J"-2x'-4y=0的满足初始条件(0)=0,y(0)=1的解解：设级数.y=a+ax+.+a,x"+..为方程的解,这里α.(i=1,2,）是待定常数。由初始条件，a=0,a =1y=x+a,x?+.+a,x"+...y'-1+2ax+...+na,x"- +..y"=2a,+3.2a,x+...+n(n-1)a,x"-l+..因而将它代入方程，合并同类项，则令各项系数等于零，得到2az =03.2a,-2-4=04.3ag-4a,-4a,=0n(n-1)a, -2(n-2)an-2 -4an-2 =0即2a,=0,a,=1a=0....a3因而11112% = 0,a, as =,ag=0,ag-514!'6故方程的解为+2+1ty=x+x2!k!
= n 0 n n y a x (4.73) 的特解.也以 x <R 为级数的收敛区间. 定理 11. 若方程(4.72)中的系数 p(x) , q(x) 只有这样的性质.即 xp(x) 和 ( ) 2 x q x 均能展 成 x 的幂级数.且收敛区间为 x <R,则方程(4.72)有形为 + = = 0 n 0 n n n n n y x a x a x (4.75) 的特解,这里 a0 0 , 是一个待定的常数,级数(4.75)也以 x <R 为收敛区间. 例 4. 求方程 y − 2xy − 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 0 , y (0) =1 的解. 解: 设级数, y = a0 + a1 x ++ an x n + 为方程的解,这里 a (i =1,2, ) i 是待定常数. 由初始条件, a0 = 0,a1 =1 因而 = + + + − + = + + + + = + + + + − − 1 2 3 1 2 2 2 2 3 2 ( 1) 1 2 n n n n n n y a a x n n a x y a x na x y x a x a x 将它代入方程,合并同类项,则令各项系数等于零,得到 − − − − = − − = − − = = − − ( 1) 2( 2) 4 0 4 3 4 4 0 3 2 2 4 0 2 0 2 2 4 2 2 3 2 n n an n an an a a a a a 即 , 1 2 0, 1, 0, , 2 3 4 −2 − = = = n = an n a a a a 因而 , 4! 1 , 0, 5! 1 6 1 , 0, 2! 1 a5 = a6 = a7 = = a8 = a9 = 故方程的解为 = + + ++ + + 2! ! 5 2 1 3 k x x y x x k
2k++= x(1+ x2+...)=xe+..2!k!例5.求解n阶贝塞耳(Bessel)方程d+++(x-n)y=0dxr?dx这里n为非负常数解：将方程改写成d'y1 dy,x?-n?y=0dx?x dx(4.74)易见,它满足定理 11的条件,且P(t)=1,x"(t)=x-n,按x展成的幂级数收敛区间为-800(4.75)的特解.这里%0,而"是的待定常数,将(4.75)代入(4.74)中,得Z(@+k)(α+k-1)a,Xa+k-2 +Ca,a+k=0E(o+k)a,Xa+k-1 +(x2 -n2):k=0k=0-n比较x的同次幂系数,得ao(a2-n2)=0a,[(o+1)? -n?1= 0a,[(o+k)-n]+ak-2=0k=2,3,..因为%0.则为0°-n2=0.从而=±n。为确定起见,暂令=n≥0.由(4.76)得a, =0ak-2ak(2n+k)k=2,3,..a2k-1a2k+1(2k +1)(2n+2k+1)a2k-2a2k2k(n+2k)即k=1,2,..从而可得a2k-I = 0aoa2 =(-1)22k kl(n+1)(n+2)..-(n+k)k=1,2
2 ) 2! ! (1 4 2 2 x k x e k x x = x + x + ++ + = 例 5. 求解 n 阶贝塞耳(Bessel)方程 ( ) 0 2 2 2 2 2 + + x − n y = dx dy x dx d y x 这里 n 为非负常数. 解: 将方程改写成 0 1 2 2 2 2 2 = − + + y x x n dx dy dx x d y (4.74) 易见,它满足定理 11 的条件,且 ( ) 1, ( ) , 2 2 2 xp x = x f x = x − n 按 x 展成的幂级数收敛区间 为 − x +,则方程有形为 + = k 0 k k y a x (4.75) 的特解.这里 a0 0 ,而 k a 是 的待定常数,将(4.75)代入(4.74)中,得 ( )( 1) ( ) ( ) 0 0 2 2 0 1 0 2 2 + + − + + + − = = + = + − = + − k k k k k k k k x k k ak X x k a X x n a X 比较 x 的同次幂系数,得 + − + = + − = − = [( ) ] − 0 [( 1) ] 0 ( ) 0 2 2 2 2 2 1 2 2 0 k n ak a k a n a n k=2,3,. 因为 0, a0 则为 0, 2 2 − n = 从而 = n, 为确定起见,暂令 = n 0, 由(4.76)得 , (2 ) 0 2 1 + = − = − k n k a a a k k k=2,3,. 即 + = − + + + = − − − + 2 ( 2 ) (2 1)(2 2 1) 2 2 2 2 1 2 1 k n k a a k n k a a k k k k k=1,2,. 从而可得 , 2 !( 1)( 2) ( ) ( 1) 0 2 0 2 2 1 + + + = − − = k n n n k a a a k k k k k=1,2
因此在α=n>0时,得到Bessel 方程的一个解aoμ=aox" +(-1)2k+22 kl(n+ 1).-(n+k)k=l(4.77)若将任常数^o取为1ao =2"(n+1)"x8-1dx((p):到 p>0 时, ((p+1)=pl(p)这里因此(4.77)变为2(-1))2k+n = J,(x)J=)k!(n+k+1)(2(4.77)当α=-n时,完全类似可得a2k-1 = 0(-1)*aoa2 =22* i(- +1)(- +2)(- + k)k=1,2,..若取1ao =2-" ((-n+1)则可得(4.74)另一个特解(-1)*()2k=n = J,(x)kkl(-n+k+1)2(4.78)达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛,因此当n非负整数时,",(x),J-(x)为(4.74)的解,且线性无关.因而(4.74)的通解为y=CJ,(αx)=C,J_,(x)这里C,C2为任常数当 n=正整数时，而α=-n时,不能从(4.76)中确定~2k(k≥n)因此不能像上面一样求得通解,这时可以利用一,B 介绍的除阶法,求出与",(x)线性无关的解,因而(4.74)的通解为edy= J,(x)c, +c(x)
因此 在 = n 0 时,得到 Bessel 方程的一个解 k n k k n k x k n n k a y a x + = + + = + − 2 1 2 0 1 0 2 !( 1) ( ) ( 1) (4.77) 若将任常数 0 a 取为 2 ( 1) 1 0 + = n a n 这里 − − = 0 8 1 ( p) e x dx x 到 p>0 时, ( p +1) = p( p) 因此(4.77)变为 + + + − = 0 2 1 ) ( ) 2 ( ! ( 1) ( 1) k n k n k J x x k n k y (4.77) 当 = −n 时,完全类似可得 2 !( 1)( 2) ( ) ( 1) 0 2 0 2 2 1 k n n n k a a a k k k k − + − + − + − = − = , k=1,2,. 若取 2 ( 1) 1 0 − + = − n a n 则可得(4.74)另一个特解 ) ( ) 2 ( ! ( 1) ( 1) 2 0 2 J x x k n k y n k n k k = − + + − = − = (4.78) 达朗贝尔判别法,对任 x 值(4.77),(4.78)收敛,因此 当 n≠非负整数时, J (x), J (x) n −n 为(4.74)的解,且线性无关. 因而(4.74)的通解为 ( ) ( ) 1 2 y C J x C J x = n = −n 这里 1 2 C ,C 为任常数. 当 n=正整数时, 而 = −n 时,不能从(4.76)中确定 ( ), a2k k n 因此不能像上面一样求 得通解.这时可以利用一,B 介绍的除阶法,求出与 J (x) n 线性无关的解,因而(4.74)的通解为 = + − e dx J x y J x c c dx x n n 1 1 2 2 ( ) 1 ( )
= J,(x)c +c2]dxxJ(x)C,C2是任常数9xy"+ xy +(4x2 -)y=025例6.求方程的通解解：引入新变量t=2x我们有dy_dydt2=2岁dxdt dxdt禁-24=4dydtdr?didxdt?dt代入方程得9rdydy+(r2)y=0+1-dt?dt253这是n=5的Bessel方程。由e解知,方程通解可表为y=cJ,(t)+c,J (t)In3代回原来变量得原方程的通解y=CJ,(2x)+C2J 3(2x)n-3其中Ci,C2是任常数
= + dx xJ x J x c c n n ( ) 1 ( ) 1 2 2 1 2 c ,c 是任常数 例 6. 求方程 ) 0 25 9 (4 2 2 x y + xy + x − y = 的通解 解: 引入新变量 t=2x 我们有 2 2 2 2 (2 ) 4 2 dt d y dx dt dt dy dt d dx d y dt dy dx dt dt dy dx dy = = = = 代入方程得 ) 0 25 9 ( 2 2 2 2 + + t − y = dt dy t dt d y t 这是 n= 5 3 的 Bessel 方程. 由 e 解知,方程通解可表为 ( ) ( ) 5 2 3 5 1 3 y c J t c J t − = + 代回原来变量得原方程的通解 (2 ) (2 ) 5 2 3 5 1 3 y c J x c J x − = + 其中 1 2 c ,c 是任常数