s2.4一阶隐方程与参数表示教学目的掌握四类隐方程F(x,y,y)=0的类型及其求解方法教学要求掌握四类隐式方程的解法教学重点四类隐方程通解的求法教学难点求解四类隐式方程的变量替换法。教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。前面几节都用的是y已经解出的显式方程=f(x,)的求解方法，本节我们讨论未能解出（或解出的表达式相当特殊）的一阶隐式方程(1)F(x,y,y)=0的解法.本节讨论的主要思想是：采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方程类型，然后用=2.1-2.5介绍的方法求解，这里主要介绍以下四种类型：(2) x= f(y,y)(1) y=f(x,y),(3)F(x,y)=0,(4) F(y,y)= 0可解出y（或x）的方程1.型如y=T(x,)(2)"dx的方程的解法，这里假设f(xy）有连续的偏导数，若能从方程（1)中解出y,得到dyy=f(x,"dx引进参数p=y,则方程(2)变为(3)y=f(x,p)
§2.4 一阶隐方程与参数表示 教学目的 掌握四类隐方程 F(x, y, y ) = 0 的类型及其求解方法 教学要求 掌握四类隐式方程的解法 教学重点 四类隐方程通解的求法 教学难点 求解四类隐式方程的变量替换法。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 前面几节都用的是 ' y 已经解出的显式方程 ( , ) ' y = f x y 的求解方法,本节我 们讨论 ' y 未能解出(或解出的表达式相当特殊)的一阶隐式方程 ( , , ) 0 ' F x y y = (1) 的解法.本节讨论的主要思想是:采用引进参数的办法使其变为导数已解出的方 程类型,然后用 2.1− 2.5 介绍的方法求解,这里主要介绍以下四种类型: (1) ( , ) ' y = f x y , (2) ( , ) ' x = f y y (3) ( , ) 0 ' F x y = , (4) ( , ) 0 ' F y y = 一 可解出 y(或 x)的方程 1.型如 ( , ) dx dy y = f x (2) 的方程的解法,这里假设 ( , ) ' f x y 有连续的偏导数,若能从方程(1 )中解 出 y,得到 ( , ) dx dy y = f x 引进参数 ' p = y ,则方程(2)变为 y = f (x, p) (3)
将(3)两边对x求导,并与业=p代入，得到dxaf+af dp(4)p=-axopdx这是关于变量x,p时一阶显式方程.若求得(4)的通解为p=p(x,c)将它代入(3)，得到原方程(2)的通解y=f(x,p(x,c)，(c为任常数)若求得(4)的通解形式为x=p(p,c)则得到（2)的参数形式的通解x=p(p,c)y= f(y(p,c),p其中p是参数，c是任意常数若求得(4)的通解形式为Φ(x,p,c)= 0则得到(2)的参数形式的通解Φ(x,p,c) = 0y= f(x,p)这里p是参数，c为任常数例1：求解方程rdy, x?dy2y=(dxdx2解：今=p，则原方程可写为dxx2(6)-xp+y=B2两边对x求导，得到P=2p-fdp+xdxdx整理化简后，得方程
将(3)两边对 x 求导,并与 p dx dy = 代入,得到 dx dp p f x f p + = (4) 这是关于变量 x,p 时一阶显式方程. 若求得(4)的通解为 p = (x, c) 将它代入(3),得到原方程(2)的通解. y = f (x,(x,c)) , (c 为任常数) 若求得(4)的通解形式为 x = ( p, c) 则得到(2)的参数形式的通解 x = ( p, c) y = f ( ( p,c), p) 其中 p 是参数,c 是任意常数 若求得(4)的通解形式为 (x, p,c) = 0 则得到(2)的参数形式的通解 (x, p,c) = 0 y = f (x, p) 这里 p 是参数,c 为任常数 例 1:求解方程 2 ( ) 2 2 x dx dy x dx dy y = − + 解:令 p dx dy = ,则原方程可写为 2 2 2 x y = p − xp+ (6) 两边对 x 求导,得到 p x dx dp x dx dp p = 2 p − − + 整理化简后,得方程
dp(7)-1)(2p-x)=0dx故dp-1=0dx解得(7)的通解p=x+c将它代入（6)中得到原方程的通解x2+c,+c2,以为任常数（8)2又从2p-x=0得（7）的一个解xp=2把它代（6)得到方程的一个解y=4X24X例2.求出第一像限中的一条曲线，使某点上每一点的切线与两坐标轴所围成的三面积均等于2.解：设所求曲线为y=y(x)如图，过所求曲线任一点(x,y)的切线方程为r-y=y(X-x)其中(X,r)为切线上的切点,因此切线在坐标轴的为截距a,b分别_兰及b=y-xya=x-y
( −1)(2 p − x) = 0 dx dp (7) 故 −1 = 0 dx dp 解得(7)的通解 p = x + c 将它代入(6)中得到原方程的通解 2 2 2 c c x y = + x + ,以为任常数(8) 又从 2 p − x = 0 得(7)的一个解 2 x p = 把它代(6)得到方程的一个解 4 2 x y = 例 2.求出第一像限中的一条曲线,使某点上每一点的切线与两坐标轴所围 成的三 面积均等于 2. 解: 设所求曲线为 y = y(x) 如图,过所求曲线任一点(x,y)的切线方程 为 r − y = y'(X − x) 其中(X,r)为切线上的切点,因此切线在坐标轴的 截距 a,b 分别 为 . ' ' b y xy y y a = x − 及 = −
因所求曲线在第一像限，由题意得(--)-2y即(y-xy)=-4y(y<0)解出y得y=xy±2/-g令y=p得y=xp±3/-p两边同时对×求导得=0p=p+xdx + 2/gp dx1 dp=0即(x±）V-p'dx当=0时，有p=c，故得其通解为.y=cx±2/-c它是直线族.dx1当x土=0时，我得另一特解J-p1Cp=)(-/=p2)±2/-p=±/-p-p=(±y=xp±2yV-p消去参数p得双曲线：xy=1虽然，这才是我们所要求的一条曲线.2)形为)的方程的解法，这里假定x=(y,dy)有连续偏导数，，其x= f(y,dxdx求解分法与(2)完全类似，若能从中解出x，得到).引进参数p=%d则(g)复为x=f(y,dxdxx=f(y,p)两边对y求导，然后以会=代入,得dyp1ff dp,(10)pafopdy当方程(10)关于y,p的一阶微分方方程。但它的导数能解出，于是按dy
因所求曲线在第一像限,由题意得 )( ') 2 ' ( 2 1 − y − xy = y y x 即 ( ') 4 ' 2 y − xy = − y ( y' 0) 解出 y 得 y = xy'2 − g' 令 y' = p 得 y = xp 3 − p 两边同时对 x 求导得 0 2 1 = + = dx dp dx gp dp p p x 即 ) 0 1 ( = − dx dp p x 当 = 0 dx dp 时,有 p=c,故得其通解为. y = cx 2 − c 它是直线族. 当 0 1 = − p x 时,我得另一特解 p p p p y x p p p x − − − = − − = − = = − )( ) 2 1 2 ( 0 1 2 消去参数 p 得双曲线:xy=1 虽然,这才是我们所要求的一条曲线. 2)形为 ( , ) dx dy x = f y 的方程的解法,这里假定 ( , ) dx dy x = f y 有连续偏导数,其 求解分法与(2)完全类似,若能从中解出 x,得到 ( , ) dx dy x = f y .引进参数 dx dy p = 则(g)复为 x = f ( y, p) 两边对 y 求导,然后以 dy p dx 1 = 代入,得 ,(10) 1 dy dp p f f f p + = 当方程(10)关于 y,p 的一阶微分方方程.但它的导数 dy dp 能解出,于是按
以前的办法求解,能求得(10)的通解为(y,p,c)=0则0的通解为[x= f(y,p)(Φ(y, p,c) = 0这里的p为参数，C为任意常数例3.求解方程()+2xV=0dxdx代入得解，解出x.并以p=dxx=y-p3(p#0)2p对y求导数，得到p(1-2p3 d)-(y-p3)d-1dydy2p2p即pdy + ydp + 2 p'dp = 0积分之，即有2yp+p*=c因而J=C-p*2p所以，方程通解为3C4p3-4p2x=C_p(p±0)V2p2此外，还得解y=0.二，不显含y（或x）的方程从几何观点看，方程F(x,Jy,y）=0的解是x·Y平面的曲线，一条曲线可以用直角坐标表示，也可以用参数坐标表示，微分方程的解也可以用参数坐标表示出来
以前的办法求解,能求得(10)的通解为 ( y, p,c) = 0 则()的通解为 ( , ) ( , , ) 0 x f y p y p c = = - 这里的 p 为参数,C 为任意常数. 例 3.求解方程 ( ) 2 0 3 + − y = dx dy x dx dy 解,解出 x.并以 dx dy p = 代入得 p y p x 2 3 − = ( p o) 对 y 求导数,得到 2 2 2 2 (1 2 ) ( ) 1 p dy dp y p dy dp p p p − − − = 即 2 0 3 pdy + ydp + p dp = 积分之,即有 yp + p = c 4 2 因而 p c p y 2 4 − = 所以,方程通解为 2 2 4 3 4 p p c x = − 2 2 3 p p c y = − ( p 0) 此外,还得解 y=0. 二, 不显含 y(或 x)的方程 从几何观点看,方程 ( , , ) 0 ' F x y y = 的解是 x·Y 平面的曲线,一条曲线可以用 直角坐标表示,也可以用参数坐标表示,微分方程的解也可以用参数坐标表示出 来
(1),形为(11)F(x,y)=0的方程解法：如果方程（1)左端函数中不显含y，即F(x,y)=0dy记p=y-，则方程F(x,y）=0在x·Y平面表示一条曲线，dxdyx/1+()?例4、求解微分方程dxdxdy解：这是一个不显含的隐式方程，注意到方程的特点，我们令p=tant,dx<1<22代入后易解出x=sint。由于dy=pdx=tantcostdt积分得y=了sintdt=一cost十c故原方程的参数形式的通解为x=sintY=-cost+c可以消去参数t，得通解为x+（y一c)=l。2）形如F(y,y')=0的方程，其解法类形于（11）如果方程（1）左端函数不包含x，即F(y,y')=0设p=y'=dy引入参数t，将方程F(y,p)=0表示适当的参数形式dxy=p(t)P=p(t)由关系式dy=pdx得p(t)=β(t)dx由此得(dt,{@d+cdx=Xp(t)p(t)
(1),形为 ( , ) 0 ' F x y = (11) 的方程解法: 如果方程(1)左端函数中不显含 y,即 ( , ) 0 ' F x y = 记 dx dy p = y = ' ,则方程 ( , ) 0 ' F x y = 在 x·Y 平面表示一条曲线, 例 4、求解微分方程 2 1 ( ) dx dy x dx dy = + 解：这是一个不显含的隐式方程，注意到方程的特点，我们令 p t dx dy = = tan ， 2 2 − t 代入后易解出 x=sint。 由于 dy=pdx=tantcostdt 积分得 y=∫sintdt=－cost＋c 故原方程的参数形式的通解为 x=sint Y=-cost+c 可以消去参数 t，得通解为 x 2＋(y－c)2 =1。 2）形如 F(y,y’)=0 的方程，其解法类形于（11） 如果方程（1）左端函数不包含 x，即 F(y,y’)=0 设 p=y’= dx dy ,引入参数 t，将方程 F(y,p)=0 表示适当的参数形式 y= (t) P=(t) 由关系式 dy=pdx 得 ’(t)= (t)dx 由此得 dt t t dx ( ) '( ) = ， = dt + c t t x ( ) '( )
p'(t)dt+c于是得通解p(o)[y=p(t)2(1-()3)=1例4、求微分方程dx解：方程属于F（y,y'）=0类型。令少，=p=costdx1y=±代入原方程得sintdydx =(设y0)于是由J11cost得dx=(干)dt=干-dtsin,sin? tcost积分之，得x=土cost+c1Y=±sint当y”=0时。代入原方程得y=l，故知y=土1也是方程的解。注：方程有多种解法+Vy?-1dy（1）解出dxy（2）解出用一(1)y=Vl、1（3）引入参数y=t得y=土V1-t?
于是得通解 '( ) ( ) ( ) t x dt c t y t = + = 例 4、求微分方程 (1 ( ) ) 1 2 2 − = dx dy y 解：方程属于 F（y,y’）=0 类型。令 p t dx dy = = cos 代入原方程得 y=± sin t 1 ， 于是由 y' dy dx = (设 y’≠0) 得 dx= cost 1 ( t t 2 sin cos )dt= dt t 2 sin 1 积分之，得 x=±cost+c Y=± sin t 1 当 y’=0 时。代入原方程得 y 2 =1，故知 y=±1 也是方程的解。 注：方程有多种解法 （1）解出 y y dx dy 1 2 − = （2）解出 2 1 ' 1 y y − = 用－（1） （3）引入参数 y’=t 得 2 1 1 t y − =