第4章二元关系与函数4. 2关系的运算4.33关系的性质4.4关系的闭包
1 第4章 二元关系与函数 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包
4. 2关系的运算基本运算定义口定义域、值域、域口逆、合成、限制、像基本运算的性质幂运算口定义口求法口性质
2 ◼ 基本运算定义 定义域、值域、域 逆、合成、限制、像 ◼ 基本运算的性质 ◼ 幂运算 定义 求法 性质 4.2 关系的运算
关系的基本运算定义定义域、值域和域domR = (x [Ey (ER) )ranR = (y [Ex (eR) )fldR = domR U ranR例1 R=[,,,}, 则domR=[1, 2, 4]ranR={2, 3, 4}fldR={1, 2, 3, 4}
3 关系的基本运算定义 定义域、值域 和 域 domR = { x | y (R) } ranR = { y | x (R) } fldR = domR ranR 例1 R={,,,}, 则 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
例、分别求出以下关系的定义域和值域(1) R=((x,y)x,yeZax≤y)解: domR =ran R, = Z(2) R, = ((x,y)x, yeZ^x? +y? =1解: R, =((0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0))dom R, = ran R, ={0,1,-1)
4 例、分别求出以下关系的定义域和值域。 (1) R x y x y Z x y 1 = , , 解： 1 1 dom ran R R Z = = 解： R2 = − − 0,1 , 0, 1 , 1,0 , 1,0 (2) 2 2 2 R x y x y Z x y = + = , , 1 2 2 dom ran {0,1, 1} R R = = −
例、分别求出以下关系的定义域和值域(3) R, =((x,y)x,yeZ^y= 2x解: dom R, = ZranR, =(t|t=2k^kEZ)即偶数集(4) R = (x, )x,yeZ^x=[|=3)解: R4 =((3,3),(3,-3),-3,3),(-3,-3)dom R = ran R4 = (3, -3)S
5 例、分别求出以下关系的定义域和值域。 (3) R x y x y Z y x 3 = = , , 2 解： 3 dom R Z = (4) R x y x y Z x y 4 = = = , , 3 解： R4 = − − − − 3,3 , 3, 3 , 3,3 , 3, 3 4 4 dom ran {3, 3} R R = = − 3 ran { | 2 } R t t k k Z = = 即偶数集
关系的基本运算定义(续）逆与合成R-1 = [ /eR)RoS=IE y(eSAeR) )例2R=[, , , ]S=[, , , , }R-1=[,, , ]SoR =[, , }RoS =[, , , ]
6 关系的基本运算定义（续） 逆与合成 R−1 = { | R} R∘S = | | y (SR) } 例2 R={, , , } S={, , , , } R−1={, , , } S∘R ={, , } R∘S ={, , , }
合成运算的图示方法利用图示（不是关系图）方法求合成RoS =[, , , ]SoR =[, , ]213ASoRRoS
7 合成运算的图示方法 利用图示（不是关系图）方法求合成 R∘S ={, , , } S∘R ={, , } S∘R R∘S
例、设 R=((1,2),(2,2),(3,4))S = (1,3),(2,5),(3,1),(4,2),(4,5))求RoS,SoR,RoR,SoS,(RoR)oR,(RoS)oR。解: RoS =(1,4),(3,2),(4,2))S o R= ((1,5),(2,5),(3,2),(3,5))Ro R= ((1,2),(2,2))0
8 例、 设 R = 1,2 , 2,2 , 3,4 S = 1,3 , 2,5 , 3,1 , 4,2 , 4,5 求 R S S R R R S S ( ) R R R ， ， ， ， ， ( ) R S R 。 解： R S = 1,4 , 3,2 , 4,2 S R = 1,5 , 2,5 , 3,2 , 3,5 R R = 1,2 , 2,2
例、设 R=((1,2),(2,2),(3,4))S = (1,3),(2, 5),(3,1),(4,2),(4,5))求RoS,SoR,RoR,SoS,(RoR)oR ,(RoS)oR。解: SoS =((1,1),(3,3),(4,5))(RoR) oR= ((1,2),(2,2)(RoS)R=(3,2)):
9 例、 设 R = 1,2 , 2,2 , 3,4 S = 1,3 , 2,5 , 3,1 , 4,2 , 4,5 求 R S S R R R S S ( ) R R R ， ， ， ， ， ( ) R S R 。 解： S S = 1,1 , 3,3 , 4,5 ( ) 1,2 , 2,2 R R R = ( ) 3,2 R S R =
限制与像定义 F在A上的限制FIA= [|xFy ^xEA)A在F下的像F[A] = ran(FIA)实例R=[,,,]R{1}=[,}R[(1]]={2,4]RQ=OR[(1,2]]=[2,3,4]注意： FIACF, F[A] CranF10
10 限制与像 定义 F 在A上的限制 F↾A = { | xFy xA} A 在F下的像 F[A] = ran(F↾A) 实例 R={, , , } R↾{1}={,} R[{1}]={2,4} R↾= R[{1,2}]={2,3,4} 注意：F↾AF, F[A] ranF