第8卷第1期 智能系统学报 Vol.8 No.1 2013年2月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Feh.2013 D0I:10.3969/j.issn.1673-4785.201208025 网络出版地址：htp:/nw.cmki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20130125.1449.006.html 几何概型的联系概率（复概率）与概率的补数定理 赵森烽1，赵克勤23 (1.浙江工业大学之江学院理学系，浙江杭州310024；2.诸暨市联系数学研究所，浙江诸暨311811；3.浙江大学 非传统安全与和平发展中心，浙江杭州310058) 摘要：为研究等可能随机试验结果为无穷多时的联系概率计算和应用，借助简单的“均匀投针”随机试验，导出几 何概型的联系概率（复概率）.该联系概率中的主概率和伴随概率依次对应于主事件的大数概率（主概率）和主事件 的即或概率（伴随事件的大数概率）.在此基础上给出了随机事件的表现定理和概率的补数定理，利用后者可以在已 知一个随机事件概率的基础上方便地得到该事件的联系概率.通过实例说明了几何概型的联系概率与古典概型的 联系概率具有同样的形式和性质。 关键词：随机试验；几何概型；联系概率（复概率）；概率；表现定理；补数定理 中图分类号：TP18文献标志码：A文章编号：16734785(2013)01001105 Contact probability complex probability)of the geometry probability and the complement number theorem of probability ZHAO Senfeng',ZHAO Keqin2.3 (1.Department of Science,Zhijiang College of Zhejiang University of Technology,Hangzhou 310024,China;2.Zhuji Institute of Con- nection Mathematics,Zhuji 311811,China;3.Center for Non-traditional Security and Peaceful Development Studies,Zhejiang Univer- sity,Hangzhou 310058,China) Abstract:In order to research the calculation and application of contact probability when the result of equally likely random trial is infinite,the researcher utilized the simple "uniform needle"random test to derive contact probabili- ty (complex probability)of geometry probability.The main probability and the concomitant probability of the con- tact probability respectively correspond to the great number probability(main probability)of the main event and the even if probability (great number probability of concomitant event)of the main event.And on this basis,the repre- sentation theorem of the random event and complement number theorem of probability were provided in the study. The complement number theorem was used to conveniently find the contact probability of the event based on the premise of knowing the probability of a random event.The results illustrated that the contact probability of geometry probability had the same form and property with the contact probability of typical probability. Keywords:random test;geometry probability;contact probability (complex probability);probability;representa- tion theorem:inverse theorem 文献[1]基于集对分析的不确定性系统理论和 且给出了概率用集对分析联系数a+i表示的原 方法26，借助“白球+黑球”随机试验，发现随机性 理，在此基础上提出“联系概率”的概念.联系概率 是事物相互联系的一个属性，随机事件成对存在，并 是主事件的主概率（主事件发生的大数概率）和伴 随概率（主事件不发生而发生伴随事件的大数概 收稿日期：201208-18.网络出版日期：201301-25. 基金项目：国家社会科学基金重点资助项目(08ASHO06);教育部哲 率)之“联系和”.所谓“主事件”，是指随机试验中被 学社会科学研究重大课题攻关项目(08JZ①0021-D). 首先关注的事件，也称“第一关注事件”；所谓“伴随 通信作者：赵克勤.E-mail:zizhaok@sohu.com
·12 智能系统学报 第8卷 事件”，是指随机试验中与“主事件”相伴随存在的 层面.因此，以上3个例子都是满足定义1的几何概 事件.当“主事件”和“伴随事件”是互不相容的对立 型试验， 事件时，被首先关注的“主事件”也被称为“正事 件”，与此同时的“伴随事件”称为“负事件”.这些新 概念为概率理论的创新提供了基础性条件， 但从概率论的角度看，文献[1]中的“白球+黑 球”随机试验，是各种试验结果等可能发生、试验结 果数为有限的古典概型试验.实际问题中还有各种 试验结果等可能发生但试验结果数为无穷多的几何 概型试验，人们会问：对于几何概型试验，是否也存 在着类似于古典概型试验中反映出来的随机性产生 原理以及相应的联系概率？本文对此作出回答，并 证明相应的“随机事件表现定理”与“概率补数定 图2中靶问题 理”，以及联系概率的若干性质。 Fig.2 Hit the yellow heart problems 1.2几何概型的概率计算 1几何概型 根据经典概率论，在几何概型中，如用P(A)表 1.1定义 示事件A发生的概率，则P(A)的计算公式为 定义1在随机试验中，如果各种试验结果等 P(A)=（构成事件A的测度)/ 可能发生、各种试验结果为无穷多，则随机试验称为 (试验的全部结果所构成的测度). (1) 几何概型试验（简称几何概型）· 式中：“测度”对于一维事件空间来说，指长度；对于 以下是几何概型的一些例子 二维事件空间来说，指面积；对于三维事件空间来 例1取一根长度为30cm的绳子，拉直后在 说，指体积；如此等。 任意位置剪断，那么剪得2段的长度都不小于10cm 式(1)说明几何概型中事件A发生的概率只与 的概率有多大？如图1所示 构成事件A的“测度”的大小有关，与A的形状和所 在的位置无关 在例1中，只要剪在长度为30cm的绳子的“中 部”，那么剪得的2段长度都不小于10cm,为此把 30cm长度的绳子平均分成3段，在其“中间一段” 的任意位置上剪，都能得到剪得的2段长度不小于 10cm的结果.显然，这“中间一段”长度占这根绳子 图1剪绳问题 总长度的1/3，令P(A)=“剪得的2段长度都不小 Fig.1 Shear problems of wire rope 于10cm”,则P(A)=(1/3)/1=1/3. 例2射箭比赛的箭靶是涂有5个彩色的圆 在例2中，记“射中黄心”为事件A,由于中靶点 环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是 随机地落在面积为(1/4)×π×1222cm2的大圆内， 金色，也叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为 而当中靶点随机地落在面积为（1/4)×T× 122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射 12.22cm2的小圆内时事件A发生，所以事件A发生 箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等 的概率P(A)=(1/4)×T×12.22/[(1/4)×T× 可能的，那么射中黄心的概率是多少？如图2所示. 1222]=0.01. 例3在10000km2的海域中有40km2的海 类似地可知例3中，在该海域中任意一个位置 底贮藏着石油.假如在该海域中任意一个位置钻探， 钻到油层面的概率是40/10000=0.004. 钻到油层面的概率是多少？ 2几何概型的联系概率 由于在例1中，可以在任意位置把30cm长的 绳子剪为2段，也就是等可能的试验结果可以有无 2.1联系概率 穷多.在例2中，射中靶面内任一点都是等可能的， 联系概率是文献[1]中给出的一个概念.其定 而靶面内的点有无穷多.例3中，可以在海面的无穷 义是：随机试验中首先被关注的事件A(称为主事 多个位置点钻探石油，每个钻探点都有可能钻到油 件)发生的概率P(A)(称为主概率)和A不发生的
第1期 赵森烽，等：几何概型的联系概率（复概率）与概率的补数定理 ·13 概率P(A)(主事件不发生而发生伴随事件A的大 确在“中间一段”的任意位置上剪，都有剪得的2段 数概率，也称为P(A)的伴随概率)之“联系和”.其 长度不小于10cm结果，则i在[0,1]区间取值，从 般形式为 而使P(A,A)=P(A)+P(A)i=1/3+2/3i>1/3,也 P(A,A)=P(A)+P(A)i. (2) 就是使A发生的可能性增大.在有甲、乙2人参加的 式中：P(A,A)称为主事件A与伴随事件A的联系概 实际试验中，如果甲连续剪3次，每次都剪在“中间 率，简称联系概率（复概率或赵森烽-克勤概率），站 一段”的任意位置；而乙连续剪3次，只有1次剪在 在主事件A的角度，联系概率（复概率或赵森烽-克 “中间一段”的任意位置，可以认为甲的“智力”或 勤概率)也记为P.(A);i是主事件和伴随事件相 “经验”要优于乙· 互转换的纽带，[，1小，本文政称i是 对于例2，由于已算得中靶点随机地落在面积 为(1/4)×T×12.22cm2的小圆内时的事件A(“射 主事件和伴随事件的随机转换器（赵森烽-克勤随机 中黄心”)的概率P(A)=0.01,所以P(A)=0.99, 转换器)，简称转换器 于是得到关于A与A的联系概率P(A,A)= 容易看出：联系概率是基于随机试验结果的一 P(A)+P(A)i=0.01+0.99i.这个联系概率表明： 种概率，因为在随机试验的结果中，首先被关注的事 件A要么出现，要么不出现；而当A不出现时，必出 每射击1次，“射中黄心”这个事件A比A(中靶点随 机地落在面积为(1/4)×T×1222cm2的大圆内的非 现A的伴随事件A,联系概率P(A,A)客观地描述了 随机试验中事件A与事件A各自出现的概率以及 黄心区域)更不容易发生，在实际试验中，如果甲连 这2个概率的联系与转换， 续射n(n>1)次，每次都“射中黄心”；而乙连续射n 2.2几何概型联系概率的计算 (n>1)次，只有1次“射中黄心”，可以认为甲是优 2.2.1原理 于乙的一个射手 给定一个可测区域，向内随机地“均匀投 同理，对于例3，在该海域中任意一个位置钻到 针”，显然，这时的事件A=“针投在区域v中”是必 油层面（主事件A)与钻不到油层面（伴随事件A)的 然事件；再把区域v作为可测大区域V的一个子区 联系概率P(A,A)=P(A)+P(A)i=0.004+ 域(CV),这时事件A=“针投在区域v中”是随机 0.996.而在实际工作中，钻探工作者总会利用有关 事件.这一结果表明事件A的随机性是可测大区域 资料去消解，有选择性地钻探海底油层，提高钻探 V与其子区域v的相互关系，是V与v相互关系的 效率 一种属性，由此说明随机事件A(针投在区域v中) 3表现定理与补数定理 与A(针不投在区域v中)成对存在.如果取A为主 事件，则A为A的伴随事件，因此，当要从“A出现” 笔者在文献[1]中，通过观察试验结果等可能 与“A不出现”2个方面表示A的概率时，需要同时 发生而各种试验结果为有限的古典概型随机试验， 表示出A的概率若用P(A)表示A的概率，P(A)表 发现随机性是事物相互联系的一个属性，随机事件 示A的概率，则得A为主事件、A为A的伴随事件的 成对存在，据此给出随机事件的成对存在定理.本文 联系概率P(A,A)=P(A)+P(A)i,i是主事件和伴 表明了随机事件成对存在定理在各种试验结果等可 随事件的随机转换器。 能发生而各种试验结果为无穷多的几何概型随机试 2.2.2计算举例 验中也同样成立.为此，称其为“赵森烽-克勤成对存 试计算例1、例2、例3的联系概率 在定理”，简称“存在定理”.基于随机事件的成对存 对于例1，由于已算得P(A),所以P(A)=2/3, 在定理，联系概率的提出就成为理所当然，但为了深 于是得到关于A与A的联系概率P(A,A)= 入理解联系概率和便于联系概率的计算，还需要补 P(A)+P(A)i=1/3+2/3i.这个联系概率表明：把 充以下的“随机事件表现定理”（简称“表现定理”） 长度为30cm的绳子拉直后在任意位置剪断，剪得2 和“概率补数定理”（简称“补数定理”） 段的长度都不是大于10cm的概率(2/3)要比剪得 定理1（赵森烽-克勤随机事件表现定理，简称 2段的长度都大于10cm的概率(1/3)要大，前者是 随机事件表现定理)设随机事件A与A是互不相 后者的2倍，但这2个概率的关系具有不确定性，其 容的对立事件，则在一次随机试验中必出现其中之 不确定性及其程度由i承载.当试验者事先已经明 一，且只能出现其中之一
·14 智能系统学报 第8卷 证明根据文献[1]中给出的随机事件存在定 证明根据联系概率的定义可知，当A出现 理可知，如果A是随机事件，则A与随机事件A成 时，P(A,A)=1;当A不出现而出现A时，P(A,A)= 对存在；又由于随机事件A与随机事件A是互不相 -1,所以有P(A,A)∈[-1,1]. 容的对立事件，因此在关于随机事件A与A的随机 性质2ie[-o,1]. 试验中，随机事件A与随机事件A不可能同时出 证明当A出现时，P(A,A)=P(A)+P(A)i= 现，但也不可能同时不出现，所以定理成立， P(A)+P(A)=1,当A出现时，P(A,A)=P(A)+ 定理2（赵森烽-克勤概率补数定理，简称概率 补数定理)设随机事件A与A是互不相容的对立 P团i=-1第得=份当1-P4)-0 事件，P(A)为随机事件A的大数概率，则P(A)的补 时，，所以[-，山 数P(A)=1-P(A)是随机事件A的即或概率， 联系概率的这2个性质表明联系概率与经典概 证明 率有着密切联系78]，但更有区别，需要作进一步研 1)证法一：根据随机事件成对存在定理和随机 究.联系概率在人工智能中的具体应用也需要作深 事件A的即或概率定义，随机事件A与随机事件A 入研究90 成对存在；正是由于A的存在，才使得P(A)<1,而 1-P(A)=P(A);又由于A是随机试验中A不出现 5结束语 时必然出现的事件，所以P(A)=1-P(A)是随机事 本文根据集对分析的不确定性系统理论，借助 件A的即或概率， 简单的“均匀投针”随机试验，阐述了几何概型联系 由于事件A与A的联系概率是随机事件A的 概率的原理与计算；说明了几何概型的联系概率与 大数概率P(A)与A的即或概率P(A)的“联系和”， 古典概型的联系概率具有同样的性质；同时给出了 所以定理2（赵森烽-克勤概率补数定理）的实际意 随机事件的表现定理（赵森烽-克勤随机事件表现定 义是：当已知一个随机事件的大数概率时，只要计算 理)和联系概率意义下经典概率的补数定理（赵森 出这个概率的“补数”，就能得出这个随机事件（与 烽-克勤概率补数定理)，使人们能方便地从事件A 它的非事件)的联系概率。 的大数概率直接求得事件A的联系概率，为创建一 2)证法二：由于随机事件A与A是互不相容的 种新的概率理论做了进一步的工作.后续工作中将 对立事件，但同时又是基本事件空间2中的互补事 进一步研究有关联系概率与经典概率的关系，以及 件，AUA=2,所以P(A)+P(A)=1,根据文献[1] 联系概率在人工智能中的具体应用. 中关于事件A的即或概率定义，P(A)=1-P(A)是 随机事件A的即或概率 参考文献： 3)证法三（反证法）：设P(A)的补数P(A)= [1]赵森烽，赵克勤.概率联系数化的原理与联系概率在概 1-P(A)不是随机事件A的即或概率，则可设P(B) 率推理中的应用[J].智能系统学报，2012,7(3)：200 是随机事件A的即或概率，据此推得随机事件A不 205. 出现时将出现事件B,B与A因此是互不相容的对 ZHAO Senfeng,ZHAO Keqin.The principle of the proba- 立事件，因已知A与A是互不相容的对立事件，所 bility of connection number and application in probabilistic 以B=A,P(B)=P(A),即P(A)是随机事件A的即 reasoning[J].CAAI Transactions on Intelligent Systems, 或概率，而P(A)是P(A)的补数，定理得证， 2012,7(3):200-205 [2]赵克勤.集对分析的不确定性理论在AI中的应用[J] 4. 联系概率的性质 智能系统学报，2006,1(2)：16-25. 综合文献[1]和前述工作可知：无论是古典概 ZHAO Keqin.The application of uncertainty systems theory of set pair analysis (SPA)in the artificial intelligence[J]. 型随机试验还是几何概型随机试验，当选定其中之 CAAI Transactions on Intelligent Systems,2006,1 (2): 一的随机事件是主事件A之后，该主事件A与伴随 16-25 事件A的联系概率总可以表示成P(A,A)= [3]赵克勤.二元联系数A+B的理论基础与基本算法及在 P(A)+P(A)的形式，此联系概率有如下性质 人工智能中的应用[J].智能系统学报，2008,3(6)： 性质1P(A,A)∈[-1,1] 476-486
第1期 赵森烽，等：几何概型的联系概率（复概率）与概率的补数定理 ·15. ZHAO Keqin.The theoretical basis and basic algorithm of [9]李德毅.不确定性人工智能[M].北京：科学出版社， binary connection A Bi and its application in AI[J]. 1979:1400 CAAI Transactions on Intelligent Systems,2008,3(6): [10]蔡自兴，徐光佑.人工智能及其应用[M].北京：清华大 476-486. 学出版社，2010：114-116. [4]赵克勤.集对分析及其初步应用[M].杭州：浙江科技出 作者简介： 版社，2000：4464. 赵森烽，男，1993年生，主要研究方 [5]赵克勤，宜爱理.集对论一一种新的不确定性理论方 向为信息与计算、集对分析、联系概率 法与应用[J].系统工程，1996,14(1)：1823. 等，发表学术论文1篇。 ZHAO Keqin,XUAN Aili.Set pair theory-a new theory method of non-define and its applications[J].Systems En- gineering,1996,14(1):18-23. [6]赵克勤.试论集对分析与概率论的关系[C]/中南模糊 系统与数学论文集.长沙：湖南科技出版社，1995：253. 赵克勤，男，1950年生，研究员，中国 [7]王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京：科学出版社， 人工智能学会理事、人工智能基础专业委 1979:1-219. 员会副主任、集对分析联系数学专业筹备 [8]赵秀恒，米立民.概率论与数理统计[M].北京：高等数 委员会主任.主要研究方向为联系数学， 育出版社，2008：1-28 1989年提出集对分析（联系数学），发表学 术论文90余篇，出版专著1部 高级数据挖掘与应用国际学术会议 The 9th International Conference on Advanced Data Mining and Applications The 9th International Conference on Advanced Data Mining and Applications (ADMA 2013)will be held in Zhejiang Uni- versity,Hangzhou,December 14-16,2013.It is our pleasure to invite you to contribute papers,register and participate in this premier annual event on research and applications of data mining. The conference aims at bringing together the experts on data mining from around the world,and providing a leading inter- national forum for the dissemination of original research findings in data mining,spanning applications,algorithms,soft- ware and systems,as well as different applied disciplines with potential in data mining.ADMA 2013 will promote the same close interaction among practitioners and researchers.Published papers will go through a full peer review process. Key Dates Full paper submission due:July 31,2013 Acceptance notification:September 30,2013 Final camera-ready:September 30,2013 Conference dates:December 14-16,2013 Contact Us Zengbin,contact@adma2013.org Website:http://www.adma2013.org/
