西安理工大学：《机械原理》第三章 平面机构的运动分析（3.4）瞬心法和矢量方程图解法的综合运用

3-4瞬心法和矢量方程图解法的综合运用 对于某些复杂机构,单独运用瞬心法或矢量方程图解法解题, 都很因难,但将两者结合起来用,将使问题的到简化。 典型俐题一:如图所示为一摇动筛的机构运动简图。设已知各构 件的尺寸,并知原动件2以等角速度a2回转。要求作出机构在图 示位置时的速度多边形。 解题分析:√这是一种结构比较复条的六 杆机构(ⅠI级机构)。 G 作机构速度多边彩的关键应 首先定点C速度的方向。 E D √定点C速度的方向关键是定 2Xa2出构件4的绝对瞬心B4的位置。 √根据三心定理可确定构件4 的绝对瞬心14

典型例题一：如图所示为一摇动筛的机构运动简图。设已知各构 件的尺寸，并知原动件2以等角速度w2回转。要求作出机构在图 示位置时的速度多边形。 3-4瞬心法和矢量方程图解法的综合运用 ✓作机构速度多边形的关键应 首先定点C速度的方向。 ✓定点C速度的方向关键是定 出构件4的绝对瞬心P14的位置。 ✓根据三心定理可确定构件4 的绝对瞬心P14。 对于某些复杂机构，单独运用瞬心法或矢量方程图解法解题时， 都很困难，但将两者结合起来用，将使问题的到简化。 解题分析： ✓这是一种结构比较复杂的六 杆机构(III级机构)。 1 2 3 4 6 5 A B C E D G F w2

解题步骤: 15 1.确定瞬心P的位置 K=N(N-1)/2 D =6(6-1)/2=15 v的方向垂直PC 2.图解法求v、v 14 C B CB D=叱+v 5 3.利用速度影像法作出vE

1 2 3 4 6 5 A B C E D G F w2 解题步骤： 1. 确定瞬心P14的位置 2. 图解法求vC 、vD 1 2 3 5 4 6 K = N（N－1）/ 2 = 6（6－1）/ 2 = 15 P14 v P14C C的方向垂直 P16 P15 P64 P45 C B CB v v v    = + D C DC v v v    = + p e b d c 3. 利用速度影像法作出vE

典塑俐氩二:图示为由齿轮一连杆组合机构。原动齿轮2绕固定 轴线O转动,齿轮3同时与齿轮2和固定不动的内齿轮1相啮合。 在齿轮3上的B点铰接着连杆5。现已知各构件的尺寸,求机构在 图示位置时构件6的角速度a 解:P1为绝对瞬心P2为相对瞬心v=vk2=a2l4K C c=VB+ VCB E2B A UK k 81P c\ (0,d,e) 83 vc p, pc (顺时针) 82 CD CD

典型例题二：图示为由齿轮－连杆组合机构。原动齿轮2绕固定 轴线O转动，齿轮3同时与齿轮2和固定不动的内齿轮1相啮合。 在齿轮3上的B点铰接着连杆5。现已知各构件的尺寸，求机构在 图示位置时构件6的角速度w6。 k k AK v v l 解： P13为绝对瞬心P23为相对瞬心 1 = 2 =w2 k g3 g2 a c C B CB v v v    = + 6 (顺时针） CD v CD C l pc l v  w = = P13 P23 (o,d,e) g1 ,p b

3-5用解析法作机构的运动分析 矢量方程解析法 1.矢量分析的有关知识 幺矢量一单位矢量 矢量L的幺矢量, et-切向幺矢量en-法向幺矢量, i-x轴的幺矢量j-y轴的幺矢量 则任意平面矢量的可表示为: L=128=le =l(i cos 0+j sin 0) 其中:l一矢量的模,θ一幅角,各幺矢量为: e=e∠0=icos日+ i sine et=el=d e/ de i sin 8 + j cos 8=i cos(6+90)+j sin (0+900) =e∠(6+909

一、矢量方程解析法 1.矢量分析的有关知识 其中：l－矢量的模，θ－幅角，各幺矢量为： l( i cos j sin )   L = l = +  le  = 则任意平面矢量的可表示为： 幺矢量—单位矢量 e = e  i cos j sin   = + e e' t   = = i cos( + 90) + j sin( + 90)   de / d  = i sin j cos   = − + = e( + 90) e － 矢量L的幺矢量，  e t － 切向幺矢量  e n－法向幺矢量，  i － x轴的幺矢量  j － y轴的幺矢量  θ L j i y x e t e n i j e 3-5 用解析法作机构的运动分析

i sin 0=i cos(0+1800) =e∠(0+180)=- 将定杆长L对时间分别取一次导数和二次导数, 可得A点相对于O点的相对速度和相对加速度。 微分关系:a1il le=ble 相对速度vAo=0let =le=01e+02le 相对加速度a0=04+m=ale+2le2

( ) ( ) e ( ) e e e e i j i n t        =  +  = − =  = − − = +   = 180 180  cos sin cos  θ L j i y x e t e n i j e t l e l e dt de l dt dl      = = =   t n e e e d t d l l l l 2 2 2     = = + 微分关系： t AO v l e   =w 2 2 a a a l e ω l e n t AO t AO AO      = + = + 相对速度 相对加速度 将定杆长L对时间分别取一次导数和二次导数， 可得A点相对于O点的相对速度和相对加速度

幺矢量点积运算: e·i=e;=cOs6 .j=ei= sin 6 e=已 0 e, e2=COs 12=coS(02-81) e1·e"=-c0s(B2-6)

cos cos( ) 1 2 = 1 2 = 2 −1 e  e   幺矢量点积运算： e  i = ei = cos   e  j = ej = sin   e  e = e 2 =1     = 0 t e e    = −1 n e e   ( ) 1 2 = − 2 −1  sin t e e   ( ) 1 2 = − 2 −1  cos n e e  

2.用矢量方程解析法作平面机构的运动分析 图示四杆机构,已知机构各构件尺寸及原动件1的角位移 01和角速度ω1,现对机构进行位置、速度、加速度分析。 分析步骤 1.建豆坐标系 Bc162 2.标出杆矢量 3.位置分析 列机构矢量封闭方程 4 Dx 求解6 h1+l2=l3+l4 消去品 l2=l3+l4-h1 = COS a12=CoS(62-6H 一将等式两边各自点积 L2=3+2+A+2134 COS B3-2143 COS(83-01)-2L1L4 cos 81

3. 位置分析 列机构矢量封闭方程 2.用矢量方程解析法作平面机构的运动分析 图示四杆机构，已知机构各构件尺寸及原动件1的角位移 θ1和角速度ω1 ，现对机构进行位置、速度、加速度分析。 分析步骤： 2. 标出杆矢量 x y 1 2 3 4 l l l l     + = + 求解3 消去2 2 3 4 1 l l l l     = + − 3 4 3 1 3 3 1 1 4 1 2 1 2 4 2 3 2 2 l = l + l + l + 2l l cos − 2l l cos( − ) − 2l l cos 1. 建立坐标系 e1  e2 = cos1 2 = cos(2 −1 ) 将等式两边各自点积  

21 sine sing3+2l(Gcos2-4)c3+2-l3-l-l+240s62=0 2|nasm+24cos-4)0s2+b2-h-12-2+211cos9=0 A B Asine+ bcos 6,+C=0 A士√A2+B2-C to 同理求B2 B-C 说明:B及θ均有两个解,可根据机构的初始安装情况和机 构传动的连续性来确定其确切值

2 sin sin 2 ( cos )cos 2 cos 0 1 4 1 2 1 2 4 2 3 2 l 1 l 3 1 3 + l 3 l 1 1 −l 4 3 +l 2 −l −l −l + l l  = A B C Asin 3 + Bcos 3 +C = 0 B C A A B C tg −  + − = 2 2 2 3 2  同理求2 说明： 2及3均有两个解，可根据机构的初始安装情况和机 构传动的连续性来确定其确切值。 2 sin sin 2 ( cos )cos 2 cos 0 1 4 1 2 1 2 4 2 3 2 l 1 l 3 1 3 + l 3 l 1 1 − l 4 3 + l 2 − l − l − l + l l  =

4.速度分祈 (同v=v+vB) 求导 h1+2=l3+l→61e3=1e+62 用e2点积 用e3点积 Le1·e2=L3e3e2ale1·e3+O2le2e3=0 O33sm(a3-62)=01l1sn(61-2)o1L1sn(61-63)=-02l2Sm(2-3) 1L1Sn(1-62 O1L1sn(1-63) L3S(3-62) 2si(2-63)

4. 速度分析 t t t l l l 3 3 3 1 1 1 2 2 2  e  e  e    = + （ 同 vC=vB+vCB ） 1 1 1 2 3 3 3 2 e e = e e t t   L   L sin( ) sin( ) w3 3 3 − 2 =w1 1 1 − 2 l l sin( ) sin( ) 3 3 2 1 1 1 2 3   w   w − − = L L 1 2 3 4 l + l = l + l 求导 用e2点积 用e3点积 1 1 e1 e3 + 2 2 e2 e3 = 0 t t  L  L   sin( ) sin( ) w1 L1 1 −3 = −w2 L2 2 −3 sin( ) sin( ) 2 2 3 1 1 1 3 2   w   w − − = − L L

5.加速度分析 Oler+ele 求导 325e3+le G1,e1+62l2e2+62l2 用e2点积 用23点积 a,Lel"e,+OLe,e,=OLel.e,+a,Lef.e 同理得 O343CoS(3-62)-ax13sm(03-62 024cos(6-03)-022cos(2-3)+3l3 02l4eos(1-)=22 l2sn(2-63) s2l1coO1-0,)÷0y Rfl cOS(03-02) l3sin(63-2)

5. 加速度分析 n t n n t l l l l l 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 3 3 3 1 2 3  e  e  e  e  e      + = + + 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 2 2 1 e  e + e  e = e  e + e  e n n n t w L w L w L  L 2 2 1 1 2 2 2 1 3 3 2 3 3 3 2 2 3 cos( ) cos( ) sin( ) l l l l w   w w      = − − − − − − − sin( ) cos( ) cos( ) 3 3 2 3 3 2 2 2 3 2 1 1 2 2 2 1 3   w   w w    − − + − − = l l l l t t t l l l 3 3 3 1 1 1 2 2 2  e  e  e    = + 求导 用e2点积 用e3点积 同理得 sin( ) cos( ) cos( ) 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 1 1 3 2 2 1 2   w   w   w  − − − − − + = l l l l