D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1984.01.032 北京钢铁学院学报 1984年第1期 带有随机系数的脱碳动力学 方程的某些探讨 数学教研室杜才难 摘 要 本文在[1]的基础上作了较一般的推广。将脱碳动力学模型中的容量传质系 数作为随机系数来处理。在某些假定条件下，求出了解过程的理论表达式，并进 行了矩函数计算。 关于LD法炼钢过程中脱碳动力学随机模型的建立和求解问题，在文〔1〕中作了初步 探讨。在那里，容易传质系数K:(i=1,2,3)是作为实验数据的统计平均值来处理的， 即当作确定性常数来对待的。然而，在生产实际中，容量传质系数同样受到众多随机因素 的影响（例如温度、炉次以及表面情况的影响等等），通常情况下应当作为随机参量来处 理。只要具备一定的统计信息，就不难得到它的近似概率分布（例如在正常情况下，可以 作为高斯随机变量来处理)。 本文在〔1〕的基础上，首先将系数K,(i=1,2,3)作为一般平方可积随机过程处 理，求得了解过程的表达式：进而在K:(i=1,2,3)为随机变量的特殊情况下，以及在 某些独立性条件的假定下，计算了解过程的矩函数。 一、带有随机系数模型的求解 1。善本假定和随机模型 沿用〔1〕中所建立的随机模型，根据实际情况，可假定容量传质系数K:(=1,2,3) 为平方可积随机过程，即K(eL:{():B∫0(u)d
北 京 钢 铁 学 院 学 报 日 年 策 翔 带有随机系数的脱碳动力学 方程的某些探讨 数 学教研室 杜 才难 摘 要 本文在 〕 的基础上作了较一般的推广 。 将脱碳动力学模型 中的容量传质系 数作为随机系数来处理 。 在某些 假 定条件下 ， 求出了解过程 的理论表达 式 ， 并进 行了矩 函数计算 。 关于 法炼钢过程 中脱碳动力学随机模型 的建立 和求解 问题 ， 在文 〔 〕 中作 了初步 探讨 。 在那里 ， 容易传质 系数 ， ， 是作为实验数据的统计平均值来处理 的 ， 即当作确定性常数来对 待的 。 然而 ， 在生产实际 中 ， 容量传质 系 数 同样受到众多随机因素 的影响 例如温度 、 炉次以及表面情况 的影 响等等 ， 通常情况下 应 当作为随 机 参 量 来处 理 。 只要具备一定的统计信息 ， 就不 难得到它的近似概率分布 例如在正常情况下 ， 可 以 作为高斯随机变量来处理 。 本文在 〔 〕 的基础上 ， 首先将系数 ， ， 作为一般平方可积随 机 过 程 处 理 ， 求得了解过程 的表达式 ， 进而在 。 ， ， 为随机变量 的特殊情况下 ， 以及在 某些独立性条件的假定下 ， 计算 了解过程 的矩 函数 。 一 、 带有随机系数模型的求解 ， 签本假定和随机棋型 沿用 〔 〕 中所建立 的随机模型 ，根据实际情况 ， 为平方可积随 机 过 程 ， 即 “ ，。 垒 ，“ ， 可假定容量传质系数 式二 工 ， ， 中 ， 并 暇 定 是 均方连续及样本连续的随机过程 ， 则 可得脱碳动力学随机模型 如下 一 ， 。 ， 几户、 、矛 一 ， 一 。 ， 镇 ， 一 《 。 。 ‘矛 产‘ 一 ‘ 矛、 ‘ 产、 砚 其 中 ‘ ， ， 是均值为零 ， 协方差 函数 林 ， ， ， ， ， 的 运动即 ， 。 是模型 的初始 条件 ， 并假定 。 、 、 ， 与 。 两两 独立 。 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1984．01．032
2。随机模型的求解 在上述假定下，对方程(1)求解。解法参看〔2〕、〔3)。 1)第一阶段(0≤t
随机模型 的求解 在上述 假定下 ， 对方程 求解 。 解法参看 〔 〕 、 第一 阶段 ， 的解过程为 〔 〕 。 一 ’ 。 ， 。 、 ’ 。 、 “ 甘 上式右边第一 个积 分为均方 积分 ， 在假定 是 平方可积过程的条件下 ， 由均 方 一 积分的性质 知这积分存在 、 唯一且 均方连续 〕 〔 〕 ， 第二个积分是 盆积分 ， 被积 函 数 二 ， 是均方连续的平方可积过程 ， 且 与 独立 ， 由 占积分存在定 理知 ， 这积 分也存在且 唯一 〕 〕 。 于是积分后得均方解为 。 一 ’ 。 △ 、 其中△ 一 ， 且 。 第二 阶段 《 的解过程可类似地得到 ， 即 。 ， ， 一 丁 其 「， 。 ， 二 ， 。 一 ’ △ ， ， △ ， ， 而△ 一 一 ， 由解过程 及 过程 的均方连续性 第三 阶段 成 镇 的解过程为 ’ “ 〔 一 ， ” 〕 · “ ， 二 〔 厂 ‘ ‘ · ，‘ · 〕 ‘ “ ‘ ， ， 式 右边的第一 个积 分为均方 一积分 ， 它存在且唯一 ， 第二个积分 仓积分 ， 在 与△ · 独 立 的条件下 ， 不 难证明二 〔 丁 ‘ · ， · ，与 · ，独立 ， 故由‘，· 积 分的 存在定理 “ 」 〔 〕 ， 知它 存在且 唯一 。 这里 “ “ 一 总之 ， 得到方程 ’ △日 ， 盆 解过程 的 表 达式为 △母 ， ， 一 内 △ ， ， 一 “ ， 。 。 卜 ‘ · ，‘一 魂 一 ‘， 二 〔 丁 ‘ “ ， · 〕 ‘ “ ‘ ， 蕊
4、K(t)(i=1,2,3)为随机变量的情形 当K(t)=K:(i=1,2,3)为常随机过程，即已知的R.V.时，（亦即可由统计资料 求得其概率分布时)则由(7)得 C0-K1t2+△B1(t), 0≤t
、 ， ， 为随机变量的情形 当 ， ， 为常随机过程 ， 求得其概率分布时 则由 得 · 。 一 告 △ ， ， 一 · 一 △ ， 〔 一 · 一 〕 即 已知的 时 ， 亦即可 由统 计资料 ， 镇 、 、 ， ‘ 。 〔 一 · 卜 〕 。 ， 、 、 · ‘ 其 中初值 、 类似地可 由 。 表 出 。 注意 ， 这 里 二 ， ， 是 。 当 二 ，， ， ， 为确定性常数 时 ， 就 同 〔 〕 中的脱碳过程表 达 式 完全一致 。 二 、 解过程 的矩函 数计算 为简单和实用起见 ， 下 面只 考虑 ， ， ， 是 的情形 。 设 ， ， 的分布为 已知 ， 其期望与方程差分别为 ‘ ，， ， 二 资 ， ， ， ， 且 设 与△ ， ， ， ， 二 ， ， 两两独立 。 下 面来计算 的矩函数 。 均值函数 ” 第一 阶段 当 成 时 ， 有 。 ‘，， ‘ 。 一 ‘ ， △ “ ，， ‘ 。 一 一 “ ‘ ， “ 第二 阶段 当 《 时 ， 有 。 一 · 一 △ 万 一 · 一 ， “ 第三 阶段 当 簇 《 。 时 ， 有 。 〔 一 · 一 〕 【 ’ 。 卜 一 〕 。 。 由 与△ 的独立性 ， 不 难推知 〔 一 · 一 〕 与△ 独立 。 于是 ， 有 。 亡 〔 一 · 一 〕 ‘ ‘ 二 〔 一 ‘ · ‘，一，〕 ，“ “ “ ‘ ，， 万 〔 一 ，· 一 〕 ， △ 引进 杯 数 。 〔 一 · 〕 ， 已 知 的概率分布时 ， 不 难求得其解 析 表 达 刁
式。上式中C、C1、C2仆为C、C1、C:的均值，且C:、C:可由C表出。总之，得脱碳 过程C(t)的均值函数为 Cok 0≤t
式 。 式 卜 。 、 ，、 亡 齐为 。 、 、 的均值 ， 且石 、 亡 可 由亡。 表出 。 总之 ， 得 脱碳 过 程 的均值函数为 。 。 一 遗 一 ， ， 艺 ， 一 · 一 ， ， 行 〔 一 · 一 〕 三 一 一， 飞。 ， 《 成 。 与文 〔 〕 中的均值函数 比较 第一 、 二 阶段一 致 ， 第三 阶段略有不 同 ， 因 为这里 的 是 。 协方差函数 △ 一。 。 ， 〔 一 。 〕 〔 一 。 〕 一 · “ 第一 阶段 当 簇 ， 时 ， 有 ‘ 。 。 “ ， ，一 ‘ 〔 ‘ “ ，，一 ‘ 。 ，一 ‘ 一 ，，‘ ’ △ 、 “ ，〕 〔 一 。 一 士 一 △ 〕 ， ， 。 第二 阶段 当 《 ， 时 ， 有 一。 ， 〔 一 亡 一 一 一 △ 〕 · · 〔 一 亡 一 一 一 △ 〕 乍 圣 是 · ‘ 一 ‘ 一 ，， 〔 ，， 一 ’ ， 〕 。 第三 阶段 当 成 ， 攫 时 ， 有 卜 。 ， 〔 一 · 一 · “ ， 二 ‘ 一 ‘ · “ 一，， “ ‘ · ，〕 · 〔 二 ‘ 一 ‘ · ‘ 一 ， ，，“ ‘ ’ 丁 卜口 二 一 一 “ · 〕 卜 、 二 ‘ 一 ‘ · “ 一 ， ，，· ‘，， 一 · 一 下 · 一 。 · 一 一 · 一 户 ‘护、 甲，几 、声 注意到函 数 及独立 性假设 ， 可得 。 一 ， 卜 · 一 一 ， ，· 丁丁 ‘ 。 · ‘ 一 ‘ · · 一 一 。 一 〔 ， 一 〕 二 墓。 ， 一 ， 。 一
合并(14)(15)(16)三式，即得s.p.C(t),teT=〔0，t。)的协方差函数为 2+2+2Daia,, 0≤t,s
合并 三式 ， 即得 ， 〔 ， 。 〕 的协方差 函数 为 。 ， 、 一 ‘ 。 。 丫、 · ， 、 。 ‘ 一了 正 ‘ ‘” ， ， 一 … ’ ，一 ’ 一 ’ ‘ 〔 ， ，， 一 ‘ 〕 ， 一 《 一 ， 件 。 。 ， 《 ， ， ， 一 ， ‘ ， 《 护 曰， 、一、 此外 ， 当 、 分属不 同时间区间时 ， 队 。 ， 可类 似求得 。 比较文 〔 〕 中的 式 式 比它多了含 ， ， 的项 。 这正是 由于 考虑了 ， 幻 作为 的结果 ， 而 式的第三段与文 〔 〕 的 式第三段 在 形式上更不 相同 ， 但当 为确定性常数时后 者可 由前者得到 ， 即后者恰为前者之特例 。 忿 方位函橄 在 式中令 厂 。 。 即得 ， 的方差 函数 － ” 毛 一， 口 。 ’ ‘” ’ … 一 一 ， 一 ， 〔 一 〕 镇 、 · ， 一 〔 “ 一，〕 ‘ 一 蕊 ， 与文 〔 〕 式 比较 ， 三个阶段 中的表达式都略有不 同 ， 但在 ， ， ， 为 确 定性常数时 ， 由 式可得文 〔 〕 的 式 。 在完成本文的过程 中 ， 曾得到曲 英副教授和秦明达 同志 的热情支持和帮助 ， 特此致 谢 。 参 考 文 献 〔 〕 秦明达 用随机微分方程构造脱碳动力学随机模型 。 北京钢铁学 院 学报 ， 年第 期 ， ， 〔 〕 。 。 雌 ， ， ， 。 。 。 ， 。 。 。 。 ， 〔 〕 张炳根 、 赵玉芝 科学与工程中的随机微分方程 。 海洋出版社 ， 。 年 ， 第 五 章 及第六章 ， 〔 〕 王梓坤 随机过程论 。 科学出版 社 ， 年 ， 第十章
An investigation on decarburizing kinetic equations with stochastic coefficients Mathematical Depatment Du Cai-nan The volumetric masstransfer coefficientnts in the decarburizing kinetic model arc considered as stochastic coefficients in this paper,based on earlier work (1) The theoretical expression of solution-process is obtained under some assumptions,and the moment functions are calculated. 195
卜 一 一 通几且 ， 〔 〕 一 ， 乓卜卜‘卜