第2章} 导数与微分 2.1导数的概念及基本初等函数导数公式 2.2函数的四则运算的求导法则 2.3复合函数的求导法则、高阶导数 2.4隐函数的导数、对数求导法 2.5微分 2.6微分的应用
第2章 导数与微分 2.1 导数的概念及基本初等函数导数公式 2.2 函数的四则运算的求导法则 2.3 复合函数的求导法则、高阶导数 2.4 隐函数的导数、对数求导法 2.5 微 分 2.6 微 分的应用
2.1导数的概念及基本初等函数 导数公式 2.1.1导数的概念 2.1.2六种基本初等函数的导数公式 内容小结
2.1 导数的概念及基本初等函数 导数公式 2.1.1 导数的概念 2.1.2 六种基本初等函数的导数公式 内容小结
2.1.1导数的概念 引例 例1.变速直线运动的瞬时速度 已知s=f(t),求物体在某点t时刻的速度v(,). v()=limy=lim As lim f(+△)-f() △t>0 △0△t △t0 △t 这就是说，物体运动的瞬时速度就是位置函数的增量 △s和时间增量△的比值当时间增量△t趋于零时的极 限
2.1.1 导数的概念 引例 已知s = f (t)，求物体在某点 0 t 时刻的速度 0 v t( ). ( ) ( 0 0 ) ( ) 0 0 0 0 lim lim lim t t t s f t t f t v t v t t → → → + − = = = 这就是说，物体运动的瞬时速度就是位置函数的增量 s和时间增量t的比值当时间增量t 趋于零时的极 限. 例 1. 变速直线运动的瞬时速度
例2.平面曲线的切线斜率 已知曲线y=f(x), 求曲线在点M的切线斜率k: k=limf)-fx,）=lim x-x。 x 这就是说，曲线y=f(x)在 Xo x0+△x 点M处的纵坐标y的增量△y 与横坐标x的增量△x的比值， 当△x>O时的极限为曲线在M。点处切线的斜率
已知曲线 y = f (x)， 求曲线在点M0的切线斜率 k： x y x x f x f x k x x x x = − − = → 0 → 0 lim ( ) ( ) lim 0 0 这就是说，曲线 y = f (x)在 点M0处的纵坐标 y 的增量y 与横坐标 x 的增量x的比值， 当x → 0时的极限为曲线在 M0点处切线的斜率. x O x + x 0 0 x M0 M T N y x 例 y 2. 平面曲线的切线斜率
1导数的概念 定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义，当x 从x,增加到x,+△x时，相应地，函数有改变量 △y=f(x。+△x)-f(x),如果极限 lim Ay=1im&,+Aw)-f在) 0△X △x 存在，则称函数y=f(x)在点x,处可导，并称此极限为 函数y=f(x)在点x处的导数，记作f(x),或y， 即 dx dx f,）=-lim Ay=lim fx+△x)f(x） Ar->0 ΛX Ar->0 △x 如果极限不存在，则称函数y=f(x)在点x。处不可导. 冈☒
１导数的概念 定义 设函数y = f (x)在点 0 x 的某个邻域内有定义，当x 从 0 x 增加到 x + x 0 时，相应地，函数有改变量 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ，如果极限 ( ) ( ) x f x x f x x y x x + − = → → 0 0 0 0 lim lim 存在，则称函数 y = f (x)在 点 0 x 处可导，并称此极限为 函 数 y = f (x)在 点 0 x 处的导数，记作 ( )0 f x ， 或 0 x x y = ， 0 d d x x x y = ， 0 d d x x x f = ，即 ( ) ( ) ( ) x f x x f x x y f x x x + − = = → → 0 0 0 0 0 lim lim . 如果极限不存在，则称函数y = f (x) 在点 0 x 处不可导
函数y=f(x)在点x,处的导数f(x)也可表示为 fx,)=lm)-f6), x-X。 (x)=lim-f(x) h 后一式中的h就是定义式中的自变量的增量△x. 根据导数的定义，两个实际问题可叙述为： (1)变速直线运动的物体在时刻t,的瞬时速度，就是位置函数 s=f(t)在to处对时间t的导数，即 )= ds dt (2)曲线y=f(x)在点M。(x。,y)处的切线斜率，就是函数 y=f(x)在点x处对自变量x的导数，即 k=yl
函数 y = f (x)在点 0 x 处的导数 ( ) 0 f x 也可表示为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim x x f x f x f x x x − − = → ， h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → ， 后一式中的h就是定义式中的自变量的增量x. 根据导数的定义，两个实际问题可叙述为： (1)变速直线运动的物体在时刻 0 t 的瞬时速度，就是位置函数 s = f (t)在t 0处对时间 t的导数，即 ( ) 0 d d 0 t t t s v t = = . (2) 曲 线 y = f (x) 在 点 ( ) 0 0 0 M x , y 处 的 切 线 斜 率 ， 就 是 函 数 y = f (x)在点 0 x 处对自变量 x 的导数，即 0 | x x k y = =
例3 设f(x)=x,求f',f(x) 解设在点x,=1处有改变量x,则函数的改变量为 △y=f1+△x)-f0)=(1+Ax)-1=2△x+(△x)}', 于是 y_2Ax+(△-2+△x, △x △x 从而 f0=:lim Ay=lm2+△9)=2， Ax-0△X 所以 f'0=2 类似地， f"(x,)=lim A lim- f(x+△x)-f(x,) X0 △x 4x→0 △x lim +x-X=1im(2x,+x)=2x, △x
解 设在点x0 =1处有改变量x ，则函数的改变量为 ( ) ( ) ( ) 2 2 y = f 1+ x − f 1 = 1+ x −1 = 2x + (x) ， 于是 ( ) x x x x x y = + + = 2 2 2 ， 从而 (1) lim lim(2 ) 2 0 0 = + = = → → x x y f x x ， 所以 f (1) = 2 . 类似地， ( ) ( ) ( ) x f x x f x x y f x x x + − = = → → 0 0 0 0 0 lim lim ( ) ( ) 0 0 0 2 0 2 0 0 lim lim 2x x 2x x x x x x x = + = + − = → → . 例 3 设 2 f (x) = x ，求 f (1)， ( )0 f x
导函数如果函数y=f(x)在区间(4，b)内的每一点处 都可导，则称函数y=f(x)在区间(a,b)内可导.这时，对 于（α，b)内的每一个确定的值x,都对应着惟一确定的函数 值f"(x),于是就确定了一个新的函数，这个函数叫做函 数的导函数，记作f(),或y, dy d等.导函数 dx dx 通常简称为导数. 显然，函数y=f(x)在点x处的导数f(x)就是导函 数f'(x)在点x=x,处的函数值，即 f'(x)=f'(x).· K I
导函数 如果函数 y = f (x)在区间(a,b)内的每一点处 都可导，则称函数 y = f (x)在区间(a,b)内可导.这时，对 于(a,b)内的每一个确定的值x，都对应着惟一确定的函数 值 f (x)，于是就确定了一个新的函数，这个函数叫做函 数的导函数，记作 f (x)，或 y， x y d d ， ( ) x f x d d 等.导函数 通常简称为导数. 显然，函数 y = f (x)在 点 0 x 处的导数 ( )0 f x 就是导函 数 f (x)在点 0 x = x 处的函数值，即 0 ( ) ( ) 0 x x f x f x = =
2.左、右导数 左可导如果极限lim △y存在，则这个极限称为函数y=f(x)在 x-→0j △x 点x,处的左导数，并且说f(x)在点x处左可导，记作f(x). 右可导如果极限1im y存在，则这个极限称为函数y=fx)在 1x0 △x 点x处的右导数，并且说f(x)在点x,处右可导，记作(x): 根据极限存在的充要条件，我们有下面的定理： 定理函数f(x)在点x处的左、右导数存在且相等是f(x)在 点x处可导的充要条件
2. 左、右导数 左可导 如果极限 x y x → − 0 lim 存在，则这个极限称为函数 y = f (x)在 点 0 x 处的左导数，并且说 f (x)在点 0 x 处左可导，记作 ( ) 0 f x − . 右可导 如果极限 x y x → + 0 lim 存在，则这个极限称为函数 y = f (x)在 点 0 x 处的右导数，并且说 f (x)在点 0 x 处右可导，记作 ( ) 0 f x + . 根据极限存在的充要条件，我们有下面的定理： 定理 函数 f (x)在点 0 x 处的左、右导数存在且相等是 f (x)在 点 0 x 处可导的充要条件
3.导数的几何意义 由切线问题的讨论和导数的定义知，函数y=f(x)在点 x处的导数f'(x)在几何上表示曲线y=f(x)在点M,(x,) 处的切线的斜率， 过切点M,(x,y,)且垂直于切线的直线叫做曲线 y=f(x)在点M,(x,y,)处的法线
3. 导数的几何意义 由切线问题的讨论和导数的定义知，函数y = f (x) 在点 0 x 处的导数 ( )0 f x 在几何上表示曲线y = f (x) 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 处的切线的斜率. 过 切 点 ( , ) 0 0 0 M x y 且 垂 直 于 切 线 的 直 线 叫 做 曲 线 y = f (x)在点 ( , ) 0 0 0 M x y 处的法线