§9.3应力圆( Stresses circle) 为什么叫莫尔圆( Mohr's circle)? 首先由 Otto mohr(1835-1918)提出 (又是一位工程师) 《来由》 能否在一张图上表示?的应力 点无穷多个微元上的 或者说, 把看成参数,能否找到σ。与τ的函数关系?
§9.3 应力圆 （ Stresses Circle ） 为什么叫莫尔圆( Mohr’s Circle ) ？ 首先由Otto Mohr（1835-1918）提出 ( 又是一位工程师) 《来由》 一点无穷多个微元上的应力 能否在一张图上表示？ 或者说， s a a 把a看成参数，能否找到 与 的函数关系？
、斜截面应力 6xyvxcoS2a-try sin 2a 2 sin zati cosla 往下是关键的一步-平方和相加,得 o.+ yt a/n在σa坐标系中,与 落在一个圆上 0 (疝力圆或莫尔圆)
+ − = − − + + = a a s s a a s s s s s a a sin2 cos2 2 cos2 sin2 2 2 xy x y xy x y x y 2 2 2 2 2 2 xy x y x y s s s s s a a + − + = + − 往下是关键的一步---平方和相加，得 一、斜截面应力 y 0 sy xy sx sa a a x n sx xy sy x y O 在 - 坐标系中， 与 落在一个圆上 （应力圆 或 莫尔圆） s a a s a a
圆心?(0x+o 0)半径 R 应力圆的画法 第一种画法 (1)在σn轴上作出 A0(o3,0),B0(oy) A B (2)A0,B0的中点为圆心C (3)过A0垂直向上取v得 B A,CA为半径 (4)以C为圆心、CA为半径 画圆
圆心？— ,0) 半径？— 2 ( s x +s y 2 2 2 xy x y R s s + − = 二、应力圆的画法 •第一种画法 （1）在sa轴上作出 A0 (sx ,0), B0 (sy ,0) （2） A0 , B0的中点为圆心C （3）过A0垂直向上取xy得 A， CA为半径 0 sa a C A0 B0 A B s y s x （4）以C 为圆心、CA为半径 画圆
第二种画法 (1)坐标系内画出点 BO (2)AB与an轴的 交点C是圆心 D( Oa, ta (3)以C为圆心 a 以AC为半径 画圆 y2 yr 应力圆或奠尔圆
第二种画法 （1）坐标系内画出点 A(s x，xy) B (sy，yx) （2） AB与sa轴的 交点C是圆心 （3） 以 C 为圆心 以AC为半径 画 圆 —— 应力圆 或 莫尔圆 sx xy sy x y O n sa a a A(sx , xy) O sa a C B(sy , yx) x 2a n D( sa , a )
以上由单元体公式 应力圆(原变换) 下面寻求: 由应力圆 单元体公式(逆变换) 只有这样,应力圆才能与公式等价 换句话,单元体与应力圆是否有一一对应关系?
以上由单元体公式 应力圆（原变换） 下面寻求： 由应力圆 单元体公式（逆变换） 只有这样，应力圆才能与公式等价 换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系? DE=Rsin/180-(2a+2oo/=Rsin(2a+20o (RcoS 2ao)sin 2a+(Rcos 2do)cos 2a o.+ sin 2a+t cos 2a 2 an、D(oa,a) OE=OC-EC 2a 0x+0-Rcos/180°-(2a+2a0 2c→oa 0 a.÷6+Rcos(2a+2a0 Q(y,) Oxt y+ r(cos 2a cos 2ao-sin 2a sin 2ao) o+0.O.-0 cos 20-t sin 2a=o
为什么说有这种对应关系？ a a a s s a a a a a a a a + = + = = + = − + = + 2 2 2 2 2 2 2 180 2 2 2 2 0 0 0 0 sin cos ( Rcos )sin ( Rcos )cos D E Rsin[ ( )] Rsin( ) x y x y o a s a a s s s s a a a a s s a a s s a a s s − = − + + = + − + = + + + = − − + + = = − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 180 2 2 2 0 0 0 0 cos sin R(cos cos sin sin ) Rcos( ) Rcos[ ( )] O E O C E C x y x y x y x y x y x y o 0 sa a C A(sx , xy) B(sy , yx) x 2a n D( sa , a ) E 2a0
单元体与应力圆的对应关系 (1)单元体的右侧立面 应力圆的A点(2a0) (2)斜截面和应力(aa,τa) ry 应力圆上一点D点 和坐标(aa,za (3)单元体上夹角a D(Oa, ta 应力圆上CA与CD夹角 2a/(ox x,xy, 2a且转向一致 a(4)主单元体上σ所在面法向 2 是由x轴逆时针转a0 Q(σ,) ,轴上应力圆最右端
单元体与应力圆的对应关系 （1）单元体的右侧立面 —— 应力圆的 A 点（2a 0 ） （2）斜截面和应力(s a ， a ) —— 应力圆上一点 D 点 和坐标(s a ， a ) （3）单元体上夹角a —— 应力圆上 CA 与 CD 夹角 2a 且转向一致 sx xy sy x y O n sa a a O sa a C A(sx , xy) B(sy , yx) x 2a n D( sa , a ) 2a0 （4）主单元体上s 1所在面法向 是由x 轴逆时针转a 0 —— s a轴上应力圆最右端
四、应力极值 OC±R 半径 maX R+O a y)2 2 B(可,xx maX =±R 半径 mIn min )2+
2 2 3 1 2 2 x y x y x y O C R s s s s s s + − + = = （ ） 半 径 四、应力极值 2 2 min max 2 xy x y R s s + − = = （ ） 半径 A(sx , xy) max O C sa a B(sy , yx) x 2a1 min 2a0 s3 s2 s1
五、平面应力状态的分析方法 1、解析法 精确、公式不好记—7个 一般公式2个(正、切应力),极值应力5个 (极大与极小正应力,极大与极小切应力, 主单元体方位角) 2、图解法 不必记公式、数值不崭确 有没有集二者优点、避二者缺点的方法? 我提出了这种方法 3、图算法 前半部—画莫尔圆 后半部—看图精确计算
五、平面应力状态的分析方法 1、解析法 精确、公式不好记 —— 7个 一般公式2个（正、切应力），极值应力5个 （极大与极小正应力，极大与极小切应力， 主单元体方位角） 2、图解法 不必记公式、数值不精确 有没有 集二者优点、避二者缺点 的方法 ？ 我提出了这种方法 —— 3、图算法 • 前半部 —— 画莫尔圆 • 后半部 —— 看图精确计算
例单元体上应力如图,求出主应力,画出主单元体 30 ,=-80,on=0,z=30 80 80 1、取O,的中点C为圆心 以AC为半径画莫尔圆 30 单位:MPa 算出心标0C=-40,半径 R=AC=AD +DC=50 A(-80,30) 3、算出主应力、切应力极值 1=0C±R lOMPa 90MPa D R=50MPa nn B 4、算出方位角
s x = −80, s y = 0, = 30 例 单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体 30 80 单位：MPa 80 30 s s 1 s 3 O A (−80, 30) B C s x s y D 1、取 s x ,s y 的中点C为圆心 以 AC 为半径画莫尔圆 2、算出心标 0C = -40，半径 3、算出主应力、切应力极值 50 2 2 R = AC = AD + DC = 4、算出方位角 − = = MPa MPa C R 90 10 0 3 1 s s max = - min = R = 50MPa