不定积分的计算 一直接积分法 四系戈好
不定积分的计算 —直接积分法 四系 戈妍
回顾 若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x) 的全体原函数F(x)+C称为f(x)在I上的不定积分， 记f(x)dx,即fx)dx=Fx)+C。 由不定积分与微分互为逆运算可以得到： (1)[f(x)dx]'=f(x) (2)F'(x)d=F(x)+C
回顾 由不定积分与微分互为逆运算可以得到： (1)[ ( ) ]' ( ) f x dx f x = (2) '( ) ( ) F x dx F x C = + 若F(x)是 f (x)在区间I上的一个原函数，则 f (x) 的全体原函数F(x) + C称为 f (x) 在I上的不定积分， 记∫ f (x)dx，即∫ f (x)dx = F(x) + C
小练习一 求下列各不定积分： (①)3x2d 解 解 .(x3)'=3x2, .(arctanx)'= 1+x2, .C.ectanx+C
小练习一 2 (1) 3x dx 2 1 (2) 1 dx + x 求下列各不定积分： 解： 3 2 ( )' 3 , x x = 2 3 = + 3 . x dx x C 2 1 (arctan )' , 1 x x = + 2 1 arctan . 1 dx x C x = + + 解：
小练习二 求下列各式中的f(x): (1)[f(x)dx=x2sinx+C 解：f(x)=F'(x)=(x2sinx)'=2 xsinx+x2cosx (2)f(x)d=(x2-2)3+C 解：f(x)=F'(x)=[(x2-2)5]'=5(x2-2)4.(x2-2)' =10x(x2-2)4
小练习二 求下列各式中的 f (x)： 2 (1) ( ) sin f x dx x x C = + 2 5 (2) ( ) ( 2) f x dx x C = − + 2 f x F x x x ( ) '( ) ( sin )' = = 2 5 f x F x x ( ) '( ) [( 2) ]' = = − 2 = + 2 sin cos x x x x 2 4 2 = − − 5( 2) ( 2)' x x 2 4 = − 10 ( 2) x x 解： 解：
直接积分法 常用基本不定积分公式： (1)[dx=x+C (2f1本=ln+C (3)xd=1 a*1+C a7盛-aan+C (5)fa'dx=a+C Ina (6)[e'dx=e"+C (7)cosxdx=sinx+C (8)|sin xdx=-cosx+C rctan++C
直接积分法 常用基本不定积分公式： 1 2 (1) (3) 1 (5) ln (7) cos sin 1 (9) arctan 1 x x dx x C x x dx C a a dx C a xdx x C dx x C x + = + = + + = + = + = + + 2 2 1 (2) ln 1 (4) arcsin 1 (6) (8) sin cos 1 (10) tan cos x x dx x C x dx x C x e dx e C xdx x C x C x = + = + − = + = − + = +
例1、求下列各不定积分： (1)[x'dx 解： x“三 C+1 a=4 (=-2 x'dx= 十 +C 2 +C 4+1 -2+1 3 +c 1 =-x1+C= -+C X
例1、求下列各不定积分： 4 (1) x dx 2 1 (2) dx x 1 1 x x dx C + = + + 解： 4 1 4 4 1 x x dx C + = + + = 4 解： 2 2 1 dx x dx x − = = −2 2 1 2 1 x C − + = + − + 1 1 x C C x − = − + = − + 5 5 x = +C
练习一 求下列各不定积分： (2)f2*dk In a +C 2 a+1 ∫2'k= 、+C -+C=2/x+C
练习一 求下列各不定积分： 1 (1) dx x (2) 2x dx 解： 解： 1 1 x x dx C + = + + 1 2 1 dx x dx x − = 1 1 2 2 1 1 2 x C x C − + = + = + − + ln x x a a dx C a = + 2 2 ln 2 x x dx C = +
不定积分的两个运算法则 ∫f(x)±g(x)d 法则1 =∫f(xdk±∫g(x)d ∫f(x)ads 法则2 =k∫f(x)dk (k≠0) 法则1可以推广到任意有限个函数的代数和情形 [f(x)±f(x)士…±fn(x)dx= ∫f(x)d±∫f(x)d±…±∫f(x)d
不定积分的两个运算法则 法则1 法则2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx = ( ) ( ) ( 0) kf x dx = k f x dx k 法则1可以推广到任意有限个函数的代数和情形 1 2 1 2 [ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) n n f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx = … …
例2、求下列不定积分： (①)「(4x2-2x+1)d ()J(sinx-1)dr 解： 解 =4xad-2js+∫k=∫sind-2k =x++xC,+x+C;=-cosx-lnx+C 每个不定积分的结果都含有任意常数，任意常数的和 相 任意常数C嵊表岽即前寸C)'=4x3-2x+1
例2、求下列不定积分： 3 (1) (4 2 1) x x dx − + 1 (2) (sin ) x dx x − 3 = − + 4 2 x dx xdx dx 4 2 1 2 3 = + − − + + x C x C x C 1 sin xdx dx x = − 每个不定积分的结果都含有任意常数，任意常数的和 或差仍是任意常数，所以，只要在不定积分结束后用一个 任意常数C来表示即可。 解： 解： 想一想：如何检验不定积分的结果是否正确？ 4 2 3 ( )' 4 2 1 x x x C x x − + + = − + 4 2 = − + + x x x C = − − + cos ln x x C
练习二 (f(e*-3x2)d 解：=∫edk-3xrdk=e*-x3+C (2)f(2cosx+5")d 第，=2eosh+j5h=2smx+品+C 3(1+-达 锦：=j1+k-3可=arctan-3x+C
练习二 2 (1) ( 3 ) x e x dx − (2) (2cos 5 )x x dx + 解： 解： 2 3 3 x x = − = − + e dx x dx e x C 5 2 cos 5 2sin ln 5 x x = + = + + xdx dx x C 2 1 (3) ( 3) 1 dx x − + 2 1 3 arctan 3 1 dx dx x x C x = − = − + + 解：