江苏省吴中中等专业学校 课件 平面曲线运动(金晓明)_大学物理

大学物理精品课程 §1.3平面曲线运动 一、曲线运动的描述 :2切向加速度、法向加速度 1.平面曲线运动 n△0 0 ◆s(自然坐标) A △t 运动方程S=S(t) B V2 速度增量布=2- 方向描述： 作相互垂直的单位矢量元，n 无→切向单位矢量 0文△. 位 一→法向单位矢量 △0 (指向轨道的凹侧) △布 E 团1☒

1 s O • n P   n Q 一、曲线运动的描述 1.平面曲线运动 运动方程 s = s(t) 方向描述: n    切向单位矢量 法向单位矢量 作相互垂直的单位矢量 n    , s (自然坐标) (指向轨道的凹侧) 2.切向加速度、法向加速度 C    n  1 v  A 2 v  B 1 v  A 2 v  B t 速度增量 2 1 v v v     = −    v  n v  O  1 v  2 v  v   F E D • 

大学物理精品课程 取OD=, ：2.切向加速度、法向加速度 DE=2-1 B DE 速度大小不同而 引起的速度变化△布， nΔ0 ℉D一→速度方向改变而 引起的速度变化n 布=5+△m △t A →B △t→0时， 速度增量=2- 48→0，∠0FD→π/2 △，沿A点的元向 O文位八位 △布n沿A点的n向 △0 D E K 2

2 2 1 DE v v   = − 1 OD v  取 = 速度大小不同而 引起的速度变化   v DE  速度方向改变而 引起的速度变化 n v   FD n v v v     =   +  t → 0时,  → 0,OFD→ 2   v  沿A点的  向  沿A点的 n 向  n v   2.切向加速度、法向加速度 C    n  1 v  A 2 v  B 1 v  A 2 v  B t 速度增量 2 1 v v v     = −    v  n v  O  1 v  2 v  v   F E D • 

。大学物理精品课程 取OD=, a lim △可 A0△t DE=2-1 △ DE 速度大小不同而 lim △vx+lim △1→0 △t △-→0△t 引起的速度变化△。 △立 切向 FD一 速度方向改变而 a,lim 引起的速度变化m A-0△t 加速度 布=，+△m △ 法向 d,lim -→0△t 加速度 △t→0时， △t>0, 0→0，∠0FD→π/2 位，=△v元 △D,沿A点的元向 a,lim △ △→0△t A征n沿A点的n向 △y lim 元= dv △r→0△t dt ④3☑

3 t 0 v a lim  → t  =  0 0 n t t v v lim lim t t   →  →   = +   t 0 v a lim t   →  =  0 n n t v a lim t  →  =  切向 加速度 法向 加速度 0 0 t t v a lim t v dv lim t dt      →  →  =   = =   →t , 0       v = v 2 1 DE v v   = − 1 OD v 取 = DEFD n v v v     =   +  t → 0时,  → 0,OFD→ 2   v 沿 A点的  向  沿 A点的 n 向  n v  速度大小不同 而 引起的速度变化   v 速度方向改变 而 引起的速度变化 n v 

。大学物理精品课程 △正 a, 下 a=lim dt △t→0△t △t→0，△n=v△ = lim △王+li △ △r-→0△t f-→0△t d,lim n 切向 △可 △-→0△t 加速度 a,lim Af-→0△t △0 de limv n=v △t-→0 △ d 法向 △ d0 d0 ds do 加速度 a,lim △M-→0△t -=V dtd西d △t→0，征，=△y元 an =-n ds pde △ d Af V--速率 lim △V 元= dv 曲率半径 △r-→0△t dt K 4D

4 0 n n t v a lim t  →  =   →t , 0 vn v n    =  ds d v dt ds ds d dt d   = = ds = d n v a n   2 = t 0 d lim v n v n t dt    →  = =  ------速率  ------曲率半径 v dv a dt  =  t 0 v a lim  → t  =  0 0 n t t v v lim lim t t   →  →   = +   t 0 v a lim t   →  =  0 n n t v a lim t  →  =  切向 加速度 法向 加速度 0 0 t t v a lim t v dv lim t dt      →  →  =   = =   →t , 0       v = v

大学物理精品课程 d L i,= △t→0，△n=v△m a,lim △ △f-0△t a=a,+an= 元+-n dt △ limy -n=Y- n △t-→0 △ dt a=la=V(a.Y+(a,Y d0 d0 ds d0 =V- dt ds dt ds =V(dd+2/p月 n= n ds pde tgB=4 V-速率 P.-曲率半径 加速度总是指向曲线的凹侧 K 5

5 n v dt dv a a a n         2 = + = +  a n a a  ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2   dv dt v a a a a n = + = = +  a n a tg   = 加速度总是指向曲线的凹侧 0 n n t v a lim t  →  =   →t , 0 vn v n    =  ds d v dt ds ds d dt d   = = ds = d n v a n   2 = t 0 d lim v n v n t dt    →  = =  ------速率  ------曲率半径 v dv a dt  = 

。大学物理精品课程 例4 一质点在0xy平面内作曲线 运动，其加速度是时间的函 ∫0，-∫636ta 数。已知a,=2,a,=36f。设 yx=2t,y,=12t3 质点t=0r0=0,y=0。求： ()此质点的运动方程； ..v=2ti+12t3 j (2)此质点的轨道方程， dx dy Vr= (3)此质点的切向加速度。 y= dt dx =2tdt,dy =12t3dt _dt J心ax=J2d dy,2dt,dy,=36t-dt ∫心w=J012rd x=t2,y=3t4 ④6

6 ( 1 ) = , dt dv a x x dv = 2dt, x 解： = dt dv a y y dv t dt y = 36 2 0 0 2 x v t dv dt x =   一质点在oxy平面内作曲线 运动 ,其加速度是时间的函 数。已知 a x=2, ay=36t2 。 设 质点 t ＝0 r 0=0, v 0=0 。求： (1)此质点的运动方程； (2)此质点的轨道方程， (3)此质点的切向加速度。 2 0 0 36 y v t dv t dt y =   v = 2t, x = 12 3 v t y v t i t j 3  = 2 +12dt dy v dt dx v x = , y = dx tdt dy t dt = 12 3 = 2 , 0 0 2 x t dx tdt =   3 0 0 12 y t dy t dt =   2 = 3 4 x = t , y t

。大学物理精品课程 所以质点的运动方程为： x=t2 0,=J636rd y=3t4 vx=2t,y,=12t3 即：r=t2i+3t4j (2)上式中消去t i..v=2ti+12t3 得轨道方程：y=3x2 dx y Vx 是抛物线。 _dt (3)·yx=2t y,=12t3 dx =2tdt,dy =12t3dt .v=V坚+ 心c=j62 =4t2+144t6 w=j心12r dv a, x=t2,y=3t4 dt ④7

7 所以质点的运动方程为： r t i t j = 2 + 3 4 即: 2 4 3 x t y t = = (2)上式中消去t, 得轨道方程: y=3x2 是抛物线。 3 (3) v 2t v 12t  x = y = dt dv a = = 2 + 2 ∴ v vx vy = 4 2 +144 6 t t 2 0 0 36 y v t dv t dt y =   v = 2t, x = 12 3 v t y v ti t j 3  = 2 +12dt dy v dt dx vx = , y = dx tdt dy t dt = 12 3 = 2 , 0 0 2 x t dx tdt =   3 0 0 12 y t dy t dt =   2 = 3 4 x = t , y t

大学物理精品课程 所以质点的运动方程为： x=t2 18t+864t5 y=3r4 2V4t2+144t 即：r=t2i+3t4i 2+216t4 二 (2)上式中消去t V1+36t4 得轨道方程：y=3x2 是抛物线。 (3)y.=2ty,=12t3 .v=√坚+ =V4t2+144t6 dv a,= dt 1 8

8 4 4 1 36 2 216 t t + + = 2 6 5 4 144 8 864 2 1 t t t t + + = 所以质点的运动方程为： r t i t j = 2 + 3 4 即: 2 4 3 x t y t = = (2)上式中消去t, 得轨道方程: y=3x2 是抛物线。 3 (3) v 2t v 12t  x = y = dt dv a = = 2 + 2 ∴ v vx vy = 4 2 +144 6 t t

。大学物理精品课程 例5 一抛射体的初速度为， 抛射角为0，则抛射点、 0 最高点、及落地点的切向 0,n 加速度、法向加速度及曲 率半径各是多少？ 分析： ◆抛射点： ◆最高点： a=-gsin0 a,=0, an-gcos0 an=g =(vo cos0 )2/p2 =62p1 ◆落地点：a=gsin0 an=gcos0 =vo2/P3 ④9☒

9 v0 θ Y x 分析: ◆抛射点: at= - gsinθ an=gcosθ = v0 2 /ρ1 ◆最高点: at=0, an=g =(v0 cosθ ) 2 /ρ2 ◆落地点: at=gsinθ an=gcosθ = v0 2 /ρ3 at an g θ 一抛射体的初速度为v0 , 抛射角为θ, 则抛射点、 最高点、及落地点的切向 加速度、法向加速度及曲 率半径各是多少?

。大学物理精品课程 二圆周运动角量 2 ()圆周运动的加速度 曲率半径是恒量 48A a- 0 X 匀速圆周运动v=C a=v -向心加速度 ◆角速度 R △8 do (2)圆周运动的角量描述 @lim △M-→0△t dt t A 0一角位置 单位：rad/s t+1B0+40一角位移 角速度矢量的方向 (用右手判定) I10☒

10 (1)圆周运动的加速度 曲率半径是恒量 n R v dt dv a    2 =  + 匀速圆周运动 v = c n R v a   2 = ---向心加速度 (2)圆周运动的角量描述 t + t B  +  角位移 t A  角位置 二 圆周运动角量 O X R  1 v  2 v  s  A B ◆角速度 t 0 d lim t dt     →  = =  单位：rad/s 角速度矢量的方向 (用右手判定)