改进粒子群算法及其在热连轧负荷分配中的应用

D01:10.13374j.isml00103x.2009.08.22 第31卷第8期 北京科技大学学报 Vol.31 No.8 2009年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Ag2009 改进粒子群算法及其在热连轧负荷分配中的应用 姚峰杨卫东张明 北京科技大学信息工程学院。北京100083 摘要对一种已有的自适应算法进行了改进并将该算法思想引入到粒子群算法的改进中，在种群进化到一定代数时按照 改进自适应算法改变搜索范围的大小实现了自动调整搜索范围，提高收敛速度和精度并可有效防止粒子群算法早熟收敛的 目的，同时通过实验仿真进行了验证.将该改进粒子群算法应用到热连轧机精轧机组的负荷分配优化计算中，程序运行时间 小于5、满足实时性的要求.为其提供了一种更为有效的优化手段. 关键词粒子群算法：热连轧机：负荷分配板形：优化 分类号TP182:TG3337 Improved PSO and its application to load distribution optimization of hot strip mills YAO Feng.YANG Wei-dong,ZHANG Ming School of Infommation Engineering University of Science and Technobgy Beijing.Beijing 100083,China ABSTRACT An adaptive algorithm was improved and introduced to the particle sw arm optimization algorithm (PSO).When the population evolution reaches certain generations the search area is changed in accordance with the improved adaptive algorithm.It is achieved that the search area is revised automatically to incease the convergence rate and precision and prevent the premature conver- gence of the particle swarm algorithm.The conclusion was verified through simulation.Finally,the new algonithm was applied to the optimum design of scheduling hot strip mills w hose running time was less than 5s w hich validated the reaFtime application to pro- vide an effective way to optimize. KEY WORDS partide swarm optimization algorithm;hot strip mills:load distribution:shape;optimization 粒子群算法(particle sw amm optimizat ion,PSO） 有较大的搜索能力，而在后期又能得到较精确的结 是在l995年由美国心理学家Kennedy和电气工程 果.文献3]提出了基于繁殖和子种群的杂交PS0 师Eberhart共同提出的I,其基本思想受他们早期 算法模型，该算法在繁殖过程中引入繁殖概率来代 对鸟类群体行为研究结果的启发，并利用了生物学 替适应度，每次迭代时，依据繁殖概率在微粒群中选 家Heppner的生物群体模型. 取一定数量的微粒放入一个池中，池中微粒随机两 自粒子群算法提出以来，它的计算快速性和算 两进行繁殖，产生数目相同的后代微粒，用后代微粒 法本身的易实现性引起了国际上相关领域众多学者 代替父代微粒，使种群微粒数目保持不变，后代微粒 的关注和研究.为提高PS0的性能，一些学者提出 的位置由父母位置的算术“交叉”得到，后代的速度 了改进方法.文献2]改进了粒子速度的更新公式， 向量由父母向量之和归一化后得到.文献[4)针对 引入了惯性权因子；为了进一步提高算法的性 传统粒子群优化算法中全连接型拓扑和环形拓扑的 能，文献2]还提出了自适应调整ω的策略，即随着 特点，引入了一种粒子群信息共享方式一多簇结 迭代的进行，线性减小ω的值，使算法在搜索初期 构，进而基于多簇结构提出了动态可变拓扑策略以 收稿日期：200902-19 基金项目：国家高技术产业化专项课题(No.2001899) 作者简介：姚蜂(1984一)，.男.博士研究生：杨卫东(1952一)，男.教授博士生导师，E-maik ywd1952@126.cmm

改进粒子群算法及其在热连轧负荷分配中的应用 姚 峰 杨卫东 张 明 北京科技大学信息工程学院, 北京 100083 摘 要 对一种已有的自适应算法进行了改进, 并将该算法思想引入到粒子群算法的改进中, 在种群进化到一定代数时按照 改进自适应算法改变搜索范围的大小, 实现了自动调整搜索范围、提高收敛速度和精度并可有效防止粒子群算法早熟收敛的 目的, 同时通过实验仿真进行了验证.将该改进粒子群算法应用到热连轧机精轧机组的负荷分配优化计算中, 程序运行时间 小于 5 s, 满足实时性的要求, 为其提供了一种更为有效的优化手段 . 关键词 粒子群算法;热连轧机;负荷分配;板形;优化 分类号 TP182 ;TG 333.7 Improved PSO and its application to load distribution optimization of hot strip mills YAO Feng , Y ANG Wei-dong , ZHANG Ming S chool of Inf ormation Engineering, University of S cience and Technology Beijing , Beijing 100083 , China ABSTRACT An adaptive alg orithm was improved and introduced to the particle sw arm optimization algo rithm (PSO).When the population evolution reaches certain generations, the search area is chang ed in accordance with the improved adaptive alg orithm .It is achiev ed that the search area is revised automatically to increase the convergence rate and precision and prevent the premature conver￾gence of the particle swarm alg orithm .The conclusio n was verified through simula tio n.Finally , the new algo rithm was applied to the optimum design o f scheduling hot strip mills, w ho se running time was less than 5 s, w hich validated the real-time application to pro￾vide an effective way to optimize. KEY WORDS particle swarm optimization algorithm ;hot strip mills ;load distribution;shape;optimization 收稿日期:2009-02-19 基金项目:国家高技术产业化专项课题(No .[ 2005] 1899) 作者简介:姚 峰(1984—), 男, 博士研究生;杨卫东(1952—), 男, 教授, 博士生导师, E-mail:yw d1952@126.com 粒子群算法(particle sw arm optimization , PSO) 是在 1995 年由美国心理学家 Kennedy 和电气工程 师 Eberhart 共同提出的[ 1] , 其基本思想受他们早期 对鸟类群体行为研究结果的启发 ,并利用了生物学 家Heppner 的生物群体模型. 自粒子群算法提出以来 , 它的计算快速性和算 法本身的易实现性引起了国际上相关领域众多学者 的关注和研究.为提高 PSO 的性能 ,一些学者提出 了改进方法.文献[ 2] 改进了粒子速度的更新公式 , 引入了惯性权因子 ω;为了进一步提高算法的性 能,文献[ 2] 还提出了自适应调整 ω的策略 ,即随着 迭代的进行 , 线性减小 ω的值 ,使算法在搜索初期 有较大的搜索能力, 而在后期又能得到较精确的结 果 .文献[ 3] 提出了基于繁殖和子种群的杂交 PSO 算法模型 ,该算法在繁殖过程中引入繁殖概率来代 替适应度,每次迭代时 ,依据繁殖概率在微粒群中选 取一定数量的微粒放入一个池中, 池中微粒随机两 两进行繁殖 ,产生数目相同的后代微粒,用后代微粒 代替父代微粒,使种群微粒数目保持不变 ,后代微粒 的位置由父母位置的算术“交叉” 得到, 后代的速度 向量由父母向量之和归一化后得到 .文献[ 4] 针对 传统粒子群优化算法中全连接型拓扑和环形拓扑的 特点 ,引入了一种粒子群信息共享方式———多簇结 构 ,进而基于多簇结构提出了动态可变拓扑策略以 第 31 卷 第 8 期 2009 年 8 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .31 No.8 Aug.2009 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2009.08.022

。1062 北京科技大学学报 第31卷 协调动态概率粒子群优化算法的探索和开采能力. 粒子的位置和速度根据下式进行变化？ 文献[勺提出了一种改进的离散粒子群算法为了克 v结=wn品十c1(p品-xa)十c2n(pd-x嘉) 服算法的早熟收敛问题，引入了一个排斥过程，用于 x结=始+结 增加群体多样性，提出了一种控制群体多样性的准 (1) 则，实现了算法运行过程中吸引和排斥过程的动态 式中，ω为惯性权重：c1和c2为加速系数：= 自适应切换 (v,v2,vD)为第i个粒子的速度；x=(xl, 本文通过对一种自适应思想进行改进，提出一 i2,,xD)为第i个粒子的位置；pi=（p1, 种改进的自适应空间伸缩算法(improved adaptive search area algo rithm,IAS),并将其与标准粒子群算 p2,,pD)为第i个粒子经历过的历史最好点： 法结合，提出了一种改进的自适应空间伸缩粒子群 Pg=(Pg1,P2,pD)为邻域内所有粒子所经历过 (improved adaptive search area particle swarm 的历史最好点；d∈Z1,D],是在红1，D]区间内的 optimization,IASPSO). 整数：5,1∈U[0,,是在[0,1]区间内均匀分布的 热连轧精轧机组的负荷分配优化就是如何确定 伪随机数.粒子的速度被限制在一个最大速度vm 各机架的出口厚度，使整个机组的工作状态达到最 的范围内， 优.负荷分配的合理与否不仅直接决定轧制过程应 1.2算法流程 力状态特性，而且对板形和整个生产流程有着很大 标准粒子群算法的算法流程如下： 的影响.因此，在进行各机架设定计算时，寻找一个 步骤1初始化一群微粒（群体规模为m,包 最优的压下负荷分配方案，对有效利用设备能力、保 括随机位置和速度： 证产品质量起着很重要的作用可.传统的多目标函 步骤2评价每个微粒的适应度： 数的优化设定不适合在线计算.这里采用兼顾负 步骤3对每个微粒，将其适应值与其经历过 荷均衡及板形最优的目标，前三机架在充分考虑设 的最好位置p作比较，如果较好，则将其作为当前 备能力的前提下给予尽可能大的压下量，后四机架 的最好位置pbesti; 则考虑板形的因素，采用轧制力逐架递减的方式 步骤4对每个微粒，将其适应值与全局所经 文献[日提出一种基于适应度方差的权重梯度方向 历的最好位置get作比较如果较好，则重新设置 变异的改进粒子群优化算法并将其应用到热连轧机 ghest的索引号； 精轧机组负荷分配的优化中. 步骤5根据式(1)更新微粒的速度和位置： 本文将IASPSO应用到热连轧精轧机组的负荷 步骤6如未达到结束条件，则返回步骤2. 分配优化计算中，解决了设定模型的在线计算问题， 2改进自适应粒子群算法 仿真结果显示了该方法的有效性. 由于基本PSO算法的搜索区域是固定的，不可 1标准PSO算法 避免地存在群体搜索的盲目性：如果搜索范围过 PS0算法最初是为了图形化地模拟鸟群优美 大，则算法的收敛速度变慢且容易陷入局部最优解： 而不可预测的运动.人们通过对动物社会行为的观 如果搜索范围过小，则可能搜索不到全局最优解. 察，发现在群体中对信息的社会共享有利于在演化 因此当基本PS0算法用于高维多峰值函数优化时 中获得优势，并以此作为开发PS0算法的基础.通 易出现早熟，且收敛精度和速度不是很理想.这里 过加入邻近的速度匹配消除不必要的变量，并考虑 采用文献8]提出的一种自适应策略，根据当前解的 多维搜索，形成了PS0的最初版本).之后，Si 分布情况按照一定的规则自动地调整解的搜索范 等引入惯性权重ω来更好地控制开发和探索，形 围，使算法能够通过调整逐渐运行在合适的搜索范 成了当前的标准版本. 围上，同时为了加快自适应算法的收敛速度，对其 11算法原理 上、下界的变更规则进行了合理的修改和补充 PS0是一种基于群体进化的算法，由m个粒 2.1改进自适应空间伸缩思想 子组成的群体在n维搜索空间中以一定的速度飞 改进的自适应变空间伸缩思想分为两个阶段： 行，每个粒子在搜索时，考虑到了自己搜索到的历史 扩展和收缩.令搜索空间为[-im',u-im]= 最好点和群体内其他粒子的历史最好点，在此基础 imk,u-lim],=1,2,n). 上进行位置的变化. 扩展：检查当前种群中最优个体x*的每个变

协调动态概率粒子群优化算法的探索和开采能力 . 文献[ 5] 提出了一种改进的离散粒子群算法, 为了克 服算法的早熟收敛问题, 引入了一个排斥过程 ,用于 增加群体多样性 ,提出了一种控制群体多样性的准 则,实现了算法运行过程中吸引和排斥过程的动态 自适应切换. 本文通过对一种自适应思想进行改进, 提出一 种改进的自适应空间伸缩算法(improved adaptive search area algo rithm , IAS),并将其与标准粒子群算 法结合 ,提出了一种改进的自适应空间伸缩粒子群 算法(improved adaptive search area particle sw arm optimization ,IASPSO). 热连轧精轧机组的负荷分配优化就是如何确定 各机架的出口厚度 ,使整个机组的工作状态达到最 优.负荷分配的合理与否不仅直接决定轧制过程应 力状态特性 ,而且对板形和整个生产流程有着很大 的影响 .因此 ,在进行各机架设定计算时, 寻找一个 最优的压下负荷分配方案 ,对有效利用设备能力、保 证产品质量起着很重要的作用 [ 6] .传统的多目标函 数的优化设定不适合在线计算[ 7] .这里采用兼顾负 荷均衡及板形最优的目标, 前三机架在充分考虑设 备能力的前提下给予尽可能大的压下量, 后四机架 则考虑板形的因素 , 采用轧制力逐架递减的方式 . 文献[ 6] 提出一种基于适应度方差的权重梯度方向 变异的改进粒子群优化算法并将其应用到热连轧机 精轧机组负荷分配的优化中. 本文将 IASPSO 应用到热连轧精轧机组的负荷 分配优化计算中 ,解决了设定模型的在线计算问题 , 仿真结果显示了该方法的有效性. 1 标准 PSO 算法 PSO 算法最初是为了图形化地模拟鸟群优美 而不可预测的运动.人们通过对动物社会行为的观 察,发现在群体中对信息的社会共享有利于在演化 中获得优势, 并以此作为开发 PSO 算法的基础 .通 过加入邻近的速度匹配, 消除不必要的变量, 并考虑 多维搜索 , 形成了 PSO 的最初版本 [ 1] .之后 , Shi 等[ 2] 引入惯性权重 ω来更好地控制开发和探索, 形 成了当前的标准版本 . 1.1 算法原理 PSO 是一种基于群体进化的算法 , 由 m 个粒 子组成的群体在 n 维搜索空间中以一定的速度飞 行,每个粒子在搜索时,考虑到了自己搜索到的历史 最好点和群体内其他粒子的历史最好点, 在此基础 上进行位置的变化. 粒子的位置和速度根据下式进行变化 [ 7] : v k +1 id =ωv k id +c1ξ(p k id -x k id)+c2η(p k g d -x k id) x k+1 id =x k id +v k+1 id (1) 式中 , ω为惯性权重;c1 和 c2 为加速系数;vi = (v i1 , vi 2 , … , viD)为第 i 个粒子的速度 ;xi =(x i1 , xi 2 , … , xiD)为第 i 个粒 子的位置 ;pi =(pi1 , pi 2 , …, piD)为第 i 个粒子经历过的历史最好点; pg =(pg1 , pg2 , … , pgD)为邻域内所有粒子所经历过 的历史最好点;d ∈ Z[ 1 , D] , 是在[ 1 , D] 区间内的 整数;ξ, η∈ U[ 0 , 1] ,是在[ 0 , 1] 区间内均匀分布的 伪随机数 .粒子的速度被限制在一个最大速度 v max 的范围内. 1.2 算法流程 标准粒子群算法的算法流程如下 : 步骤 1 初始化一群微粒(群体规模为 m), 包 括随机位置和速度 ; 步骤 2 评价每个微粒的适应度; 步骤 3 对每个微粒 , 将其适应值与其经历过 的最好位置 pbest作比较 ,如果较好,则将其作为当前 的最好位置 pbest ; 步骤 4 对每个微粒 , 将其适应值与全局所经 历的最好位置 gbest 作比较, 如果较好, 则重新设置 gbest的索引号 ; 步骤 5 根据式(1)更新微粒的速度和位置; 步骤 6 如未达到结束条件,则返回步骤 2 . 2 改进自适应粒子群算法 由于基本 PSO 算法的搜索区域是固定的 ,不可 避免地存在群体搜索的盲目性 :如果搜索范围过 大 ,则算法的收敛速度变慢且容易陷入局部最优解; 如果搜索范围过小, 则可能搜索不到全局最优解. 因此当基本 PSO 算法用于高维多峰值函数优化时 易出现早熟, 且收敛精度和速度不是很理想 .这里 采用文献[ 8] 提出的一种自适应策略 ,根据当前解的 分布情况按照一定的规则自动地调整解的搜索范 围 ,使算法能够通过调整逐渐运行在合适的搜索范 围上 .同时为了加快自适应算法的收敛速度, 对其 上 、下界的变更规则进行了合理的修改和补充. 2.1 改进自适应空间伸缩思想 改进的自适应变空间伸缩思想分为两个阶段: 扩展和收缩.令搜索空间为[ l-lim t , u -lim t ] = {[ l-lim t k , u-lim t k ] , k =1 , 2 , …, n}. 扩展:检查当前种群中最优个体 x ＊的每个变 · 1062 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷

第8期 姚峰等：改进粒子群算法及其在热连轧负荷分配中的应用 。1063。 量，若xk在正半轴且满足xk∈(-im/2,u- 和x; imk),则上界u-lim厂l=-limk,u-im=2xA.对 步骤6令s=s十1，转步骤3. 于x在负半轴的情况，以同样方式扩展下界.在 2.3性能测试 该阶段中，搜索空间的扩展速度很快它所给出的上 将IASPSO、ASPSO、PS0以及文献[9]提出的 下界也比较粗糙.一旦某个参数的搜索空间进行了 MPSO算法进行对比，所采用的测试函数：f为 扩展，则从搜索空间的扩展部分产生Np个个体，并 Dejong函数，f乃为Griewank函数，f3为Rastrigin 计算其适应度，这里Np为种群大小.然后在这Np 函数，f4为Schaffer函数.函数fi~f2和f3的全局 个个体和当前种群中选出适应度较好的N。个个体 最优值均为0，函数f4的全局最优值为一1. 形成新的种群.如果所有参数均未扩展，则转入收 缩阶段 盛品 收缩：检查当前种群中最优个体x*,若x在 会子直m(wi+h 30 1 正半轴，则按照以下方式更新边界： (1)如果xk<u-lim1,则 =合[x子10sx+10, u-limg=u-lim u-lim=0.5u-lim, sin2(x+x)-0.5 l-limk=kim厂1，-limk厂'=0.6kim厂： 4=1+0.001(x+x初205. (2)如果u-lim≤xA<0.75u-im厂1十 取初始搜索空间为x∈一10,10的，设置粒子 0.25u-limk,则 群算法参数：种群大小m=200,维数n=30,惯性 u-limf=0.5(u-limk+u-im厂1)， 权重w=0.8,速度系数c1=c2=2,变空间周期 -limt=Hlim1,--limg=0.6-imk厂； NC=10,最大进化代数为10000，每种算法对每个函 (3)如果xk≥0.25u-lim厂1+0.75u-limk,则 数独立运行20次求平均值，仿真结果如表1所示. L-limg=Lim厂1，l-liml=0.6Lim厂l, 表1IASS0、ASS0.MPS0与PS0各运行20次求平均值 u-lim=0.5(u-lim+u-limk),u-lim=1.2x. Table 1 Average value after IAS PSO.ASPSO.MPSO and PSO run 经过上述的收缩调整之后，种群的最优解将位 20 times 于0.75u-imk'+0.25r-limk与0.25r-lim厂1+ 算法 最优值 迭代次数方差 时间/s 0.75u-limf之间，真正的最优个体在0.5(u-imk+ IASS0418X10-928561.30X10-7249.7 ASPSO 1.19 10000 109919.4 u-lim厂1)附近，可以认为这个界是合适的.用类似 MPSO 5.07X10-510000434X10-9317.2 方法处理xk在负半轴的情况即可 PSO 606×10-2100004.43X10-4317.6 若某个变量的搜索空间发生变化，则从发生变 IASPSO 5.5410-92162141X10-72507 化的搜索空间中产生0.1N。个个体并计算其适应 ASPS09.25X10-2.100001.09X10-211720 度，从新的0.1N。个个体与原来种群选出适应度较 M01.13X×10-5100001.73×10-43063 高的Np个个体形成新的种群. PS01.61×10-2100001.97×10-53303 22改进自适应粒子群算法 1ASS09.17×10-1030853.26X10-182939 算法步骤： ASPS0206X102100001.59X1039833 步骤1设定种群大小m,维数n,惯性权重 3 MPSO 501×10210000257X1043038 ,加速系数c1和c2,变空间周期NC以及初始搜 PS01.21×10210000682X1023424 索空间l-lim°，u-im],s=1; IASPSO 一1 11313.77X10-D137 步骤2在-im°，u-lim中随机产生大小为 ASPSO -099 100001.23X10-0129 m的种群x,并计算其适应度： MPSO -099 90521.13X104918 步骤3如果满足终止条件，则停止并输出结 PSO -0.99 10000226x105949 果 步骤4按照式(1)进行位置和速度的变化： 由表1的仿真结果可以看出，若将原自适应算 步骤5如果s是NC的整数倍，则根据上述改 法直接引入PSO算法中构成ASPSO算法，结果是 进思想更新[Llim←l,u-lim-,[lL-im,u-lim] 没有提高算法的性能，反而起到相反的作用.文献

量, 若 x ＊ k 在正半轴且满足 x ＊ k ∈ (u- lim t k/2 , u - lim t k),则上界 u -lim t -1 k =u-lim t k , u-lim t k =2 x ＊ k .对 于 x ＊ k 在负半轴的情况 ,以同样方式扩展下界.在 该阶段中 ,搜索空间的扩展速度很快,它所给出的上 下界也比较粗糙 .一旦某个参数的搜索空间进行了 扩展, 则从搜索空间的扩展部分产生 Np 个个体, 并 计算其适应度 ,这里 Np 为种群大小.然后在这 Np 个个体和当前种群中选出适应度较好的 Np 个个体 形成新的种群.如果所有参数均未扩展 , 则转入收 缩阶段[ 8] . 收缩:检查当前种群中最优个体 x ＊, 若 x ＊ k 在 正半轴,则按照以下方式更新边界 : (1)如果 x ＊ k <u-lim t-1 k ,则 u-lim t k =u-lim t -1 k , u-lim t-1 k =0.5u -lim t -1 k , l-lim t k =l-lim t -1 k , l-lim t -1 k =0.6 l-lim t -1 k ; (2)如果 u-lim t-1 k ≤x ＊ k <0.75u -lim t -1 k + 0.25u -lim t k ,则 u -lim t k =0.5(u-lim t k +u-lim t -1 k ), l-lim t k =l-lim t -1 k , l-lim t -1 k =0.6 l-lim t -1 k ; (3)如果 x ＊ k ≥0.25u-lim t-1 k +0.75u-lim t k ,则 l-lim t k =l-lim t -1 k , l-lim t -1 k =0.6 l-lim t -1 k , u-lim t -1 k =0.5(u-lim t k +u-lim t-1 k ), u-lim t k =1.2x ＊ k . 经过上述的收缩调整之后 ,种群的最优解将位 于 0.75u -lim t -1 k +0.25u-lim t k 与 0.25u-lim t -1 k + 0.75u -lim t k 之间,真正的最优个体在 0.5(u-lim t k + u -lim t -1 k )附近,可以认为这个界是合适的.用类似 方法处理 x ＊ k 在负半轴的情况即可. 若某个变量的搜索空间发生变化 , 则从发生变 化的搜索空间中产生 0.1Np 个个体并计算其适应 度,从新的 0.1N p 个个体与原来种群选出适应度较 高的 N p 个个体形成新的种群 . 2.2 改进自适应粒子群算法 算法步骤: 步骤 1 设定种群大小 m , 维数 n , 惯性权重 ω,加速系数 c1 和 c2 , 变空间周期 NC 以及初始搜 索空间[ l-lim 0 , u-lim 0 ] , s =1 ; 步骤 2 在[ l-lim 0 , u-lim 0 ] 中随机产生大小为 m 的种群x , 并计算其适应度 ; 步骤 3 如果满足终止条件, 则停止并输出结 果; 步骤 4 按照式(1)进行位置和速度的变化 ; 步骤 5 如果 s 是 NC 的整数倍,则根据上述改 进思想更新[ l-lim t-1 , u-lim t -1 ] ,[ l-lim t , u-lim t ] 和 x ; 步骤 6 令 s =s +1 ,转步骤 3 . 2.3 性能测试 将 IASPSO 、ASPSO 、PSO 以及文献[ 9] 提出的 M PSO 算法进行对比, 所采用的测试函数:f 1 为 Dejong 函数 , f 2 为 Griewank 函数 , f 3 为 Rastrigin 函数, f 4 为 Schaffer 函数 .函数 f 1 、f 2 和 f 3 的全局 最优值均为 0 , 函数 f 4 的全局最优值为-1 . f 1 = ∑ 30 i =1 x 2 i , f 2 = 1 4 000 ∑ 30 i =1 x 2 i - ∏ n i =1 cos(xi/ i)+1 , f 3 = ∑ 30 i =1 [ x 2 i -10cos(2πxi)+10] , f 4 = sin 2( x 2 1 +x 2 2)-0.5 [ 1 +0.001(x 2 1 +x 2 2)] 2 -0.5 . 取初始搜索空间为 x i ∈[ -10 3 , 10 3 ] ,设置粒子 群算法参数:种群大小 m =200 , 维数 n =30 ,惯性 权重 ω=0.8 , 速度系数 c1 =c2 =2 , 变空间周期 NC =10 ,最大进化代数为 10 000 ,每种算法对每个函 数独立运行 20 次求平均值,仿真结果如表 1 所示. 表 1 IAS PSO 、AS PSO 、MPSO 与 PSO 各运行20 次求平均值 Table 1 Average value aft er IAS PSO , ASPSO , MPSO and PSO run 20 times f 算法 最优值 迭代次数 方差 时间/ s IAS PSO 4.18×10 -9 2 856 1.30×10 -17 249.7 f 1 ASPSO 1.19 10 000 1.09 919.4 MPSO 5.07×10 -5 10 000 4.34×10 -9 317.2 PSO 6.06×10 -2 10 000 4.43×10 -4 317.6 IAS PSO 5.54×10 -9 2 162 1.41×10 -17 250.7 f 2 ASPSO 9.25×10 -2 10 000 1.09×10 -2 1 172.0 MPSO 1.13×10 -5 10 000 1.73×10 -4 306.3 PSO 1.61×10 -2 10 000 1.97×10 -5 330.3 IAS PSO 9.17×10 -10 3 085 3.26×10 -18 293.9 f 3 ASPSO 2.06×10 2 10 000 1.59×10 3 983.3 MPSO 5.01×10 2 10 000 2.57×10 4 303.8 PSO 1.21×10 2 10 000 6.82×10 2 342.4 IAS PSO -1 1 131 3.77×10 -20 1.37 f 4 ASPSO -0.99 10 000 1.23×10 -10 12.9 MPSO -0.99 9 052 1.13×10 -4 9.18 PSO -0.99 10 000 2.26×10 -5 9.49 由表 1 的仿真结果可以看出, 若将原自适应算 法直接引入 PSO 算法中构成 ASPSO 算法 ,结果是 没有提高算法的性能 , 反而起到相反的作用 .文献 第 8 期 姚 峰等:改进粒子群算法及其在热连轧负荷分配中的应用 · 1063 ·

。1064 北京科技大学学报 第31卷 [9习提出的MPSO算法只是在f1和f2函数上表现 出较好的性能，而在f3和f4函数上表现不及原 0.2 PSO算法.经过本文改进的自适应空间伸缩算法同 0 02 PSO算法结合构成的新算法IASPSO的性能明显好 -IASPSO ASPSO 0.4 于ASPSO、MPSO以及原PSO算法，IASPSO算法 -MPSO PSO 可以有效地跳出局部极小点而达到全局最优值，仿 -0.6 200 400 600 800 真结果给予了验证 选代次数 图1~图4显示的是四种算法在上述四种测试 函数上运行一次的最优值收敛曲线.为方便对比， 图4「4函数上的收敛曲线 采用对数坐标进行作图，对于函数∫4，取其收敛值 Fig.4 Convergence curves of f4 相反数的对数进行作图. 3基于IASPSO的热连轧机负荷分配算法 20 IASPSO 151 =+-+-…ASPSO 3.1数学模型 10 -MPSO ++…PSO 个 由于带钢板坯的厚度较薄并且穿带的速度又 0 不是很高，在优化模型中不必考虑咬入条件的限制. 确定的约束条件如下0： 50010001500200025003000 0≤P≤Pmax 选代次数 0li≤Imax (2) 图1「1函数上的收敛曲线 hiKhi Fig I Convergence curves off 式中，P为轧制功率，1为轧制转矩，h为板带出口 厚度. IASPSO 负荷分配的优化策略为：前几个机架以负荷均 10 ==-…ASPSO MPSO 衡为目标，后几个机架则综合考虑板形板厚精度和 ..PSO 0 性能要求.采用目标函数的形式如下~？0 M J=(P1-KP2)2+(P2-P32+K1(CR-CP+ -10 (3) 20 k,合CR/a-C/a,士△P 0 500 1000150020002500 迭代次数 式中，K可根据工艺条件选取，K、K2为加权系数， P:为各机架的实测轧制力，h:为各机架带钢厚度， 图2∫2函数上的收敛曲线 Fig 2 Convergence curves of f2 CR:为各机架实测凸度，CR,为出口目标凸度，△为 调节量 30 IASPSO 经典的轧制力计算模型： 20 =+-=-ASPS0 -MPSO P=1.15 BeOpG R△h (4) 10 etnP写) 变形抗力σ计算公式，采用北京科技大学研究的计 0 算模型： -10 a,T+a. o=coexp (a T+a2 e 50010001500200025003000 a60.4 送代次数 (a6-104 (5) 图3∫3函数上的收敛曲线 式(4)和(5)中，B。为轧件平均宽度，Q,为应力状态 Fig 3 Convergence curves of f3 系数，R为轧辊半径△h为该机架板带厚度变化 由仿真曲线可看出，IASPSO算法在性能上明 量，T为带钢轧制温度，a1~a6是由钢种决定的系 显优于作为对比的其余三种算法，该算法可有效跳 数，e为变形程度，u为变形速度o 出局部极值点防止算法早熟收敛. 热连轧生产线上最可靠的测温点是粗轧出口

[ 9] 提出的 M PSO 算法只是在 f 1 和 f 2 函数上表现 出较好的性能, 而在 f 3 和 f 4 函数上表现不及原 PSO 算法.经过本文改进的自适应空间伸缩算法同 PSO 算法结合构成的新算法 IASPSO 的性能明显好 于ASPSO 、M PSO 以及原 PSO 算法 , IASPSO 算法 可以有效地跳出局部极小点而达到全局最优值 , 仿 真结果给予了验证. 图 1 ～ 图 4 显示的是四种算法在上述四种测试 函数上运行一次的最优值收敛曲线.为方便对比 , 采用对数坐标进行作图 ,对于函数 f 4 ,取其收敛值 相反数的对数进行作图. 图 1 f 1 函数上的收敛曲线 Fig.1 Convergence curves of f 1 图 2 f 2 函数上的收敛曲线 Fig.2 Convergence curves of f 2 图 3 f 3 函数上的收敛曲线 Fig.3 Convergence curves of f 3 由仿真曲线可看出 , IASPSO 算法在性能上明 显优于作为对比的其余三种算法 ,该算法可有效跳 出局部极值点, 防止算法早熟收敛 . 图 4 f 4 函数上的收敛曲线 Fig.4 Convergence cu rves of f 4 3 基于 IASPSO 的热连轧机负荷分配算法 3.1 数学模型 由于带钢板坯的厚度较薄, 并且穿带的速度又 不是很高,在优化模型中不必考虑咬入条件的限制. 确定的约束条件如下[ 10] : 0 ≤Pi ≤Pmax 0 ≤Ii ≤Imax hi+1 <hi (2) 式中 , P 为轧制功率 , I 为轧制转矩 , h 为板带出口 厚度. 负荷分配的优化策略为 :前几个机架以负荷均 衡为目标 ,后几个机架则综合考虑板形板厚精度和 性能要求.采用目标函数的形式如下[ 6-7, 10] : J =(P 1 -KP 2)2 +(P 2 -P3)2 +K 1(CR7 -CR ～ 7)2 + K 2 ∑ 7 i =4 (CRi/hi -CR7/h 7 ±Δ)2 (3) 式中 , K 可根据工艺条件选取 , K 1 、K 2 为加权系数, Pi 为各机架的实测轧制力, hi 为各机架带钢厚度, CRi 为各机架实测凸度,CR ～ 7 为出口目标凸度, Δ为 调节量 . 经典的轧制力计算模型 : P =1.15B cQp σ R Δh (4) 变形抗力 σ计算公式 ,采用北京科技大学研究的计 算模型 : σ=σ0exp(a1 T +a2) u 10 a 3 T+a 4 a6 e 0.4 a 5 - (a6 -1) e 0.4 (5) 式(4)和(5)中, Bc 为轧件平均宽度 , Qp 为应力状态 系数, R 为轧辊半径, Δh 为该机架板带厚度变化 量 , T 为带钢轧制温度 , a1 ～ a6 是由钢种决定的系 数 , e 为变形程度, u 为变形速度[ 10] . 热连轧生产线上最可靠的测温点是粗轧出口 · 1064 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷

第8期 姚峰等：改进粒子群算法及其在热连轧负荷分配中的应用 。1065。 处，因此各机架轧制温度均由粗轧出口温度计算得 中的J最小的厚度分配方案h: 到： 步骤5检验是否满足终止条件，如不满足，转 (T:-T.)=[6wr/(YCHC)+100(TC/100)3- 步骤3.否则继续； Tw]exp[--K.∑L/(hv】 步骤6检验是否满足约束条件(2)，如不满 (6) =1 足，转步骤3，否则继续； 式中，ω为玻尔兹曼常量，9为黑度，y为密度，t为 步骤7输出最优负荷分配值. 轧件从粗轧出口测温点到精轧入口测温点的时间， C为比热容，HC为粗轧出口板厚，Tc为粗轧出口 4仿真研究 实测温度，T。为机架喷水水温，Ka为综合冷却系 仿真采用的钢种为Q235,板宽Be=1535mm, 数，L,为机架间距，T;为各机架轧制温度，h,为轧 来料厚度H0=36.7mm,成品厚度h7=5.7mm,粗 件出口厚度，v7为轧件出口速度0 轧出口实测温度Tc=1340K,目标凸度CR,= 速度的计算，采用按成品厚度进行查表，首先设 0.01mm. 定末机架穿带速度，然后按照秒流量相等原则计算 设定种群大小m=200,维数n=30,惯性权重 其余各架穿带速度的方法.速度计算公式为10： 系数w=08,加速系数c1=c2=2.三种不同方法 Bihivi=Bih7v 计算值如表2~表4所示. (7) vi=vio(1+b1e+b2-b3) 根据经验可知：常取第1机架的轧制力P1为 式中，b1、b2、b3由实验确定，B板宽，h板厚，v板 第2机架的轧制力P2的0.9倍，表2显示基于 带速度，e相对压下量. IASPSO算法的负荷分配收敛精度最高；第2、第3 3.2优化步骤 机架的轧制力尽可能相等；从板形角度考虑，从第3 基于IASPSO算法的热连轧精轧机组负荷分配 机架开始轧制力逐架次递减，并且应该保持后四机 优化步骤： 架的相对凸度相等，表3仿真结果表明，基于PS0 步骤1读取设备、轧件、工艺初始参数及带钢 和基于IASPS0算法的负荷分配均能达到等相对凸 成品参数； 度的要求 步骤2利用负荷分配经验公式确定各机架出 对比仿真结果发现：基于IASPSO算法的负荷 口厚度的基础值hi: 分配优化的收敛精度要高于基本PS0算法并且收 步骤3利用式(4)至式(7)计算各机架设定参 敛速度很快，其仿真时间小于5s,迭代步数小于 数： 200,明显要优于基于免疫遗传算法的负荷分配 步骤4 调用IASPSO算法程序，搜索使式(3) <10s1山，满足在线计算的要求. 表2轧制力分配对比 Table 2 Com parison of mlling force dist ribution 方法 P /kN P/kN P:/kN P/kN P/kN P/kN PkN 经验法 19.420 17.648 21.913 16808 11.968 11.638 8582 PSO法 18580 19.582 19.032 17.050 13.667 11.417 9.820 IASPSO法 18191 20219 20.209 16391 13.224 11.095 9.577 表3各机架相对凸度 Table 3 Relative crow n of each stand 方法 CR/h CR/h2 CRy/h3 CR/ha CRy/hs CRd hs CRy/h 经验法 00008 00010 00017 00018 0.0015 00018 00015 PSO法 00007 00011 00016 00017 0.0017 00017 00017 IASPSO法 00007 00011 0.0016 0.0017 0.0017 0.0017 0.0017

处,因此各机架轧制温度均由粗轧出口温度计算得 到: (Ti -T w)=[ 6 ωτ/(γCHRC)+100(T RC/100)-3 - T w] exp[ -K a ∑ i j =1 Lj/(h7 v 7)] (6) 式中, ω为玻尔兹曼常量 , 为黑度, γ为密度 , τ为 轧件从粗轧出口测温点到精轧入口测温点的时间 , C 为比热容 , HRC为粗轧出口板厚 , T RC为粗轧出口 实测温度, T w 为机架喷水水温 , K a 为综合冷却系 数, Lj 为机架间距 , Ti 为各机架轧制温度 , h7 为轧 件出口厚度, v 7 为轧件出口速度[ 10] . 速度的计算 ,采用按成品厚度进行查表, 首先设 定末机架穿带速度 ,然后按照秒流量相等原则计算 其余各架穿带速度的方法 .速度计算公式为[ 10] : Bihiv i =B7 h 7 v 7 v i =v i 0(1 + b1ε+b2 -b3) (7) 式中, b1 、b2 、b3 由实验确定 , B 板宽 , h 板厚, v 板 带速度, ε相对压下量. 3.2 优化步骤 基于 IASPSO 算法的热连轧精轧机组负荷分配 优化步骤 : 步骤 1 读取设备 、轧件 、工艺初始参数及带钢 成品参数 ; 步骤 2 利用负荷分配经验公式确定各机架出 口厚度的基础值 hi : 步骤 3 利用式(4)至式(7)计算各机架设定参 数; 步骤 4 调用 IASPSO 算法程序, 搜索使式(3) 中的 J 最小的厚度分配方案hi ; 步骤 5 检验是否满足终止条件, 如不满足 ,转 步骤 3 ,否则继续; 步骤 6 检验是否满足约束条件(2), 如不满 足 ,转步骤 3 ,否则继续; 步骤 7 输出最优负荷分配值 . 4 仿真研究 仿真采用的钢种为 Q235 , 板宽 Bc =1 535 mm , 来料厚度 H0 =36.7 mm ,成品厚度 h 7 =5.7 mm ,粗 轧出口实测温度 T RC =1 340 K , 目标凸度 CR7 = 0.01 mm . 设定种群大小 m =200 , 维数 n =30 , 惯性权重 系数 ω=0.8 , 加速系数 c1 =c2 =2 .三种不同方法 计算值如表 2 ～ 表 4 所示 . 根据经验可知:常取第 1 机架的轧制力 P1 为 第2 机架的轧制力 P 2 的 0.9 倍 , 表 2 显示基于 IASPSO算法的负荷分配收敛精度最高;第 2 、第 3 机架的轧制力尽可能相等;从板形角度考虑,从第3 机架开始轧制力逐架次递减 ,并且应该保持后四机 架的相对凸度相等 , 表 3 仿真结果表明, 基于 PSO 和基于 IASPSO 算法的负荷分配均能达到等相对凸 度的要求. 对比仿真结果发现:基于 IASPSO 算法的负荷 分配优化的收敛精度要高于基本 PSO 算法, 并且收 敛速度很快 , 其仿真时间小于 5 s, 迭代步数小于 200 , 明显要优于基于免疫遗传算法的负荷分配 (<10 s)[ 11] ,满足在线计算的要求. 表 2 轧制力分配对比 Table 2 Com parison of rolling f orce distribution 方法 P 1 / kN P 2 / kN P3 / kN P 4 / kN P 5 / kN P6 / kN P 7 / kN 经验法 19.420 17.648 21.913 16.808 11.968 11.638 8.582 PSO 法 18.580 19.582 19.032 17.050 13.667 11.417 9.820 IAS PSO 法 18.191 20.219 20.209 16.391 13.224 11.095 9.577 表 3 各机架相对凸度 Table 3 Relative crow n of each stand 方法 C R1 / h 1 CR2 / h 2 CR3 / h3 C R4 / h 4 C R5 / h 5 CR6 / h6 C R7 / h 7 经验法 0.000 8 0.001 0 0.001 7 0.001 8 0.001 5 0.001 8 0.001 5 PSO 法 0.000 7 0.001 1 0.001 6 0.001 7 0.001 7 0.001 7 0.001 7 IAS PSO 法 0.000 7 0.001 1 0.001 6 0.001 7 0.001 7 0.001 7 0.001 7 第 8 期 姚 峰等:改进粒子群算法及其在热连轧负荷分配中的应用 · 1065 ·

。1066· 北京科技大学学报 第31卷 表4各机架出口厚度分配 Table 4 Thickness distrilu tion of each stand 方法 h/mm h√/mm h√mm h(mm h/mm h/mm hmm 经验法 25.49 1853 1265 9.54 7.84 652 5.70 PS0法 25.98 1802 1268 9.60 7.83 5.59 5.70 IASPSO法 26.19 1820 1282 9.75 7.87 6.60 5.70 (张长胜。张吉贵。一种自适应离散粒子群算法及其应用研究。 5结语 电子学报，2009,37(2：299) [6 Wang J H.Xu L.Yan Y L.et al.Improved PSO and its applica 本文首先对一种自适应算法进行了改进，并与 tion to load distribution optimization of hot strip mills.Control 粒子群算法结合，提出了一种改进的自适应粒子群 Deis2005,20(12):1379 算法，提高了收敛速度和收敛精度，并可有效防止算 (王建辉，徐林闫勇亮等.改进粒子群算法及其对热连轧机 法早熟.仿真结果表明，改进的自适应算法具有更 负荷分配优化的研究.控制与决策。2005.20(12)：1379) 快的收敛速度和更高的收敛精度.最后将其应用到 [7]Zhang D X Guan Z H Liu X Z.Adaptive partick swam opti- mization algorithm with dynamically changing inertia weight. 热连轧精轧机组的优化计算中，为其提供了一条更 Control Decis,2008.23(11):1253 为有效的优化手段 (张顶学关治洪，刘新芝.一种动态改变惯性权重的自适应粒 子群算法.控制与决策，200823(11：1253) 参考文献 [8 Jiao LC.Liu J.Zhong W C.Coewlutionary Computation and [1]KennedyJ.Eberhart R C.Particle sw arm opimization //Pro- Multi-agent System.Beijing Science Press 2006 ceeding of IEEE In ternational Conference on Neural Net works. (焦李成刘静，钟伟才.协同进化计算与多智能体系统。北 Peth.1995:1942 京：科学出版社，2006) [2]Shi Y.Eherhart RC.A modified part icle sw arm optimizer//Pro- I9 Jiang H M.Xie K.Wang Y F.Modified partick swarm opti- ceedings of IEEE Congresson Evolut ionary Computat ion.Piseat- mizstion via pmbabilistic leap.J Jilin Univ Eng Technol Ed. away,1998:69 2007,37(1):141 [3]Lovhjerg M,Rasmussen TK.Krink T.Hybrid particle swarm (姜海明，谢康，王亚非.按概率突跳的改进微粒群优化算法. optimization with breeding and subpopulations /Proceedings of 吉林大学学报：工学版2007,37(1)：14) Genetic and Evolutionary Computat ion conference.San Francis- [10 Sun Y K.Model and Control of Hot Strip Mill.Beijng:Met c0.2001 allurgical Indust ry Press 2002 [4]Ni Q J.ZhangZ Z Wang ZZ et al.Dynamic probali istic parti- (孙一康.带钢热连轧的模型与控制.北京：治金工业出版 cle sw am optimization based on varying multi-cluster st ructure.J 社，2002) Sof1ware2009.20(2),339 11]Warg Y,Liu J L Sun YK.Immune genetic akorithms (GA) (倪庆剑张志政，王蓁蓁，等。一种基于可变多簇结构的动态 based sheduling optimization for finisher.J Univ Sci Technol 概率粒子群优化算法.软件学报.2009,20(2)：339) Beijing,200224(3):339 [5 Zhang C S Zhang J G.A self-adaptive disemte partick swarm (王焱，刘景录，孙一康。免疫遗传算法对精轧机组负荷分配 optimization algorithm.Acta E lectron Sin,2009,37(2).299 的优化.北京科技大学学报.2002.24(3)：339)

表 4 各机架出口厚度分配 Table 4 Thickness distribu tion of each st and 方法 h1 / mm h 2 / mm h 3 / mm h 4 / mm h 5 / mm h 6 / mm h 7 /mm 经验法 25.49 18.53 12.65 9.54 7.84 6.52 5.70 PSO 法 25.98 18.02 12.68 9.60 7.83 5.59 5.70 IAS PSO 法 26.19 18.20 12.82 9.75 7.87 6.60 5.70 5 结语 本文首先对一种自适应算法进行了改进, 并与 粒子群算法结合 ,提出了一种改进的自适应粒子群 算法 ,提高了收敛速度和收敛精度 ,并可有效防止算 法早熟 .仿真结果表明, 改进的自适应算法具有更 快的收敛速度和更高的收敛精度 .最后将其应用到 热连轧精轧机组的优化计算中 , 为其提供了一条更 为有效的优化手段. 参 考 文 献 [ 1] Kennedy J, Eberhart R C .Particle sw arm optimization ∥Pro￾ceeding of IEEE In terna tional Conf erence on Neural Networks. Perth , 1995:1942 [ 2] S hi Y, Eberhart R C .A modified particle sw arm optimizer∥Pro￾ceedings of IEEE Congress on Evolutionary Comp utation .Piscat￾aw ay , 1998:69 [ 3] Lovbjerg M , Rasmussen T K , Krink T .Hybrid parti cle sw arm optimization w ith b reeding and subpopulations ∥Proceedings of Genetic an d E volutionary Comp utation conf erence .S an Francis￾co , 2001 [ 4] Ni Q J, Zhang Z Z, Wang Z Z , et al.Dynamic probabilistic parti￾cle sw arm optimization based on varying multi-clust er structure.J Software, 2009 , 20(2), 339 (倪庆剑, 张志政, 王蓁蓁, 等.一种基于可变多簇结构的动态 概率粒子群优化算法.软件学报, 2009 , 20(2):339) [ 5] Zhang C S , Zhang J G .A self-adaptive discrete particle sw arm optimization algorithm .Acta E lectron S in , 2009 , 37(2), 299 (张长胜, 张吉贵.一种自适应离散粒子群算法及其应用研究. 电子学报, 2009 , 37(2):299) [ 6] Wang J H , Xu L , Yan Y L , et al.Improved PSO and its applica￾tion to load distribution optimization of hot strip mills.Control Decis, 2005 , 20(12):1379 (王建辉, 徐林, 闫勇亮, 等.改进粒子群算法及其对热连轧机 负荷分配优化的研究.控制与决策, 2005 , 20(12):1379) [ 7] Zhang D X, Guan Z H , Liu X Z .Adaptive particle sw arm opti￾mization algorithm w ith dynamically changing inertia w eight . Control Decis, 2008 , 23(11):1253 (张顶学, 关治洪, 刘新芝.一种动态改变惯性权重的自适应粒 子群算法.控制与决策, 2008 , 23(11):1253) [ 8] Jiao L C , Liu J , Zhong W C .Co-evolutionary Computation a nd Multi-agent S ystem .Beijing:Science Press, 2006 (焦李成, 刘静, 钟伟才.协同进化计算与多智能体系统.北 京:科学出版社, 2006) [ 9] Jiang H M , Xie K , Wang Y F .Modified particle sw arm opti￾mization via probabilistic leap.J Jilin Uni v Eng Technol Ed , 2007 , 37(1):141 (姜海明, 谢康, 王亚非.按概率突跳的改进微粒群优化算法. 吉林大学学报:工学版, 2007 , 37(1):14) [ 10] Sun Y K .Model and Control o f Hot Strip Mill .Beijing :Met￾allurgical Industry Press, 2002 (孙一康.带钢热连轧的模型与控制.北京:冶金工业出版 社, 2002) [ 11] Wang Y , Liu J L, Sun Y K .Immune genetic algorithms (IGA) based scheduling optimization f or finisher.J Uni v Sci Technol Beijing , 2002, 24(3):339 (王焱, 刘景录, 孙一康.免疫遗传算法对精轧机组负荷分配 的优化.北京科技大学学报, 2002 , 24(3):339) · 1066 · 北 京 科 技 大 学 学 报 第 31 卷