实验13数值微分和数值积分 1、实验目的 数值微分和数值积分是工程师和科学家经常使用的基本工具。前者对开发求 解常微分方程和偏微分方程边值问题的算法很重要：后者可用来计算无法解析求 解的定积分的近似解。但是有时候己知的只是一些离散点上的函数值。所以需要 了解数值微分和数值积分的基本原理，并推导稳定高效的计算公式。 2、实验内容 ()考察步长对数值微分计算结果的影响。 (②)通过插值多项式求插值节点上的数值微分。 (仔)通过样条函数插值求非节点上的数值微分。 (4)比较不同阶的数值积分公式求得结果的数值精度。 (⑤)掌握自适应积分。 (6)掌握龙贝格积分计算。 ()掌握高斯型数值积分公式。 3、实验要求 (1)编写变步长求数值微分的程序。 (2)编写利用插值多项式求插值节点上数值微分的程序。 (③)编写利用样条插值函数求非节点上数值微分的程序。 (4)编写复合梯形公式和复合Simpson公式求数值积分程序。 (⑤)编写基于Simpson公式的自适应数值积分程序。 (6)编写龙贝格递推计算程序。 (⑦)编写利用Gaus-Legendre公式求数值积分程序。 4、思考 牛顿科特斯公式和高斯型求积公式分别有什么优缺点？ 5、实验习题 ()己知x片+x,利用两点公式计算∫(0.4)的近似值，依次取=10(0，-1，，8，-9。将 所得结果列表比较 可以得出什么结论？ (2)给出函数表如下，利用基于Lagrange插值的三点公式求各节点的数值导数。 1012345 0.1020.304050.6
实验 13 数值微分和数值积分 1、实验目的 数值微分和数值积分是工程师和科学家经常使用的基本工具。前者对开发求 解常微分方程和偏微分方程边值问题的算法很重要；后者可用来计算无法解析求 解的定积分的近似解。但是有时候已知的只是一些离散点上的函数值。所以需要 了解数值微分和数值积分的基本原理，并推导稳定高效的计算公式。 2、实验内容 (1) 考察步长对数值微分计算结果的影响。 (2) 通过插值多项式求插值节点上的数值微分。 (3) 通过样条函数插值求非节点上的数值微分。 (4) 比较不同阶的数值积分公式求得结果的数值精度。 (5) 掌握自适应积分。 (6) 掌握龙贝格积分计算。 (7) 掌握高斯型数值积分公式。 3、实验要求 (1) 编写变步长求数值微分的程序。 (2) 编写利用插值多项式求插值节点上数值微分的程序。 (3) 编写利用样条插值函数求非节点上数值微分的程序。 (4) 编写复合梯形公式和复合 Simpson 公式求数值积分程序。 (5) 编写基于 Simpson 公式的自适应数值积分程序。 (6) 编写龙贝格递推计算程序。 (7) 编写利用 Gauss-Legendre 公式求数值积分程序。 4、思考 牛顿-科特斯公式和高斯型求积公式分别有什么优缺点？ 5、实验习题 (1) 已知 f(x)=e x +x，利用两点公式计算 f ’(0.4)的近似值，依次取 h=10k (k=0,-1,…,-8,-9)。将 所得结果列表比较，可以得出什么结论？ (2) 给出函数表如下，利用基于 Lagrange 插值的三点公式求各节点的数值导数。 i 0 1 2 3 4 5 xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
1.2051709142140281.64985881.89182472.14872132.4221188 (3)利用上题的函数表以及求得的节点上的一阶导数值，用三次样条微分公式求∫”(0.25)和 ∫”(0.25)的近似值。将所得结果跟精确值比较，可以得出什么结论？ (4)利用复合梯形公式、复合Simpson公式计算如下积分，要求具有9位精确数字。将两种 方法求得的结果列表比较，可以得出什么结论？ 1=2a+ (⑤)利用基于Simpson公式的自适应数值积分方法计算如下积分，要求具有9位精确数字， 并且画出带有区间细分的函数图形。 (6)用下列方法计算如下积分，并列表比较计算结果。 1s1 x+2 1) Simpson公式和Boole公式： Romberg方法： 3 三点Gaus-Legendre公式和五点Gauss-Legendre公式。 4 将[l,3]四等分，在两个小区间上用三点Gaus-Legendre公式计算积分，然后累 加
f(xi) 1.2051709 1.4214028 1.6498588 1.8918247 2.1487213 2.4221188 (3) 利用上题的函数表以及求得的节点上的一阶导数值，用三次样条微分公式求 f ’(0.25)和 f ’’(0.25)的近似值。将所得结果跟精确值比较，可以得出什么结论？ (4) 利用复合梯形公式、复合 Simpson 公式计算如下积分，要求具有 9 位精确数字。将两种 方法求得的结果列表比较，可以得出什么结论？ 𝐼 = ∫ 𝑥𝑒 𝑥 (1 + 𝑥) 2 𝑑𝑥 6 2 (5) 利用基于 Simpson 公式的自适应数值积分方法计算如下积分，要求具有 9 位精确数字， 并且画出带有区间细分的函数图形。 𝐼 = ∫ sin(2𝑥) 1 + 𝑥 5 𝑑𝑥 3 0 (6) 用下列方法计算如下积分，并列表比较计算结果。 𝐼 = ∫ 1 𝑥 + 2 𝑑𝑥 1 −1 1) Simpson 公式和 Boole 公式； 2) Romberg 方法； 3) 三点 Gauss-Legendre 公式和五点 Gauss-Legendre 公式。 4) 将[1, 3]四等分，在两个小区间上用三点 Gauss-Legendre 公式计算积分，然后累 加