第五章线性系统的根轨迹法 5.1根轨迹的基本概念 5.2根轨迹的绘制规则 5.3广义根轨迹 5.4零度根轨迹 5.5象统性能分析 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 1
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 1 第五章 线性系统的根轨迹法 5.1 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的绘制规则 5.3 广义根轨迹 5.4 零度根轨迹 5.5 系统性能分析
本章重京 >根轨迹的概念、幅值条件、相角条件 >根轨迹的基本绘制规则 >等效传递函数的概念 >根轨迹的简单应用 2023/7/24 北京料技大学自动化学院自功化系 2
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 2 本章重点 ➢ 根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件 ➢ 根轨迹的基本绘制规则 ➢ 等效传递函数的概念 ➢ 根轨迹的简单应用
5,1根轨迹的基本概念 一、一个例子 例5-1 一单位负反馈条统的开环传递函数为： G(S)= S(S+2) 试分析该系统的特征方程的根随系统参数飞的变化在S平面 上的分布情况。 解 象统的闭环特征方程：S2+2S+k。=0 特征方程的根是：S2=-1土V1-kg 设的变化范围是〔0，∞) 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 3
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 3 一、一个例子 5.1 根轨迹的基本概念 一单位负反馈系统的开环传递函数为： ( ) ( 2) g k k G s s s = + 试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在S平面 上的分布情况。 g k 例5-1 系统的闭环特征方程： 2 2 0 g s s k + + = 特征方程的根是： 1,2 s k = − − 1 1 g 设 k 的变化范围是 g 〔0, ∞﹚ 解
■当k。=0时，S1=0,S2=-2 ■当01财，2=-1±jk。-1共轭复根。 该条统特征方程 [s] K。→0 jo 的根，随开环系 统参数k从0变到 k.=0 kg=1 =0 ∞时，在S平面 米 上变化的轨迹如 P, 图所示。 →00 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 4
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 4 当 0 时, g k = 1 2 s s = = − 0, 2 当 0 1 kg 时, s1 与 s2 为不相等的两个负实根； 当 kg = 1 时， s s 1 2 = = −1 为等实根； 该系统特征方程 的根，随开环系 统参数k从0变到 ∞时，在S平面 上变化的轨迹如 图所示。 P1 P2 = 0 g k = 0 g k = 1 g k K g → Kg → j S 当 kg 1 时， s j k 1,2 = − − 1 1 g 共轭复根。 性能
二、根轨迹与条统性能 稳定性当增益K1由0+∞，根轨迹不会越过虚轴进入S平面右半 边，因此条统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根 都位于S平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根 轨迹穿越虚轴进入右半S平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是 临界稳定的开环增益。 稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所以属I型系统， 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定条统的 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范图。 劲态性能当01时，特征方程为一对共轭复根条统为欠阻尼条统， 单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随K8值的 增如而如火，但调节时间不会有显著变化。 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 5
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 5 二、根轨迹与系统性能 稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半 边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根 都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根 轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K值，就是 临界稳定的开环增益。 稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统, 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。 动态性能当 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过 阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。 当 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼 系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。 当 时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统， 单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的 增加而加大，但调节时间不会有显著变化。 0 1 g k = 1 g k 1 g k Kg
三、根轨迹的概念 设条统的开环传递函数为：G(S)= k:N(s) D(s) Kg为根轨迹增益（或根轨迹的放大集数） 共中：Ns)=s+z,D(s)=1(s+p) i=1 i=1 可得到系统的闭环特征方程式为： N⑨-0 1+G,()=0→1+k, 即： N(s)_ 1. Π(s+) i= 一2：—开环的零点 D(s) (s+p) 一卫—开环的极点 i=1 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 6
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 6 设系统的开环传递函数为: g k 为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数) 三、根轨迹的概念 ( ) ( ) ( ) g k k N s G s D s = 其中: 1 ( ) ( ), n j j N s s z = = + 1 ( ) ( ) n j j D s s p = = + 可得到系统的闭环特征方程式为: ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 k g N s G s k D s + = + = 即： 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) n i i n g j j s z N s D s k s p = = + = − = + −zi 开环的零点 − pi 开环的极点
根轨迹图是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系 统某一参数由0变化到∞时在S平面上留下的轨迹。 由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为： 幅值条件： 1 1s+z) s+z) i=1 i- (s+p)s+p 相角条件： 2∠+2)-2∠5+n）=1+2kz,k=0,12,3.… 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 7
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 7 根轨迹图是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系 统某一参数由0变化到∞时在S平面上留下的轨迹。 由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为： 幅值条件: 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) n n i i i i n n g j j j j s z s z k s p s p = = = = + + = = + + 相角条件: 1 1 ( ) ( ) (1 2 ) , 0,1,2,3.... m n i i i j s z s p k k = = + − + = + =
我们可以把条统的闭环特征方程的根描述成： 凡是满足幅值条件和相角条件的5值称为特征方程 的根一一即闭环极点。 注：因为K从0→0变化，因此不论什么S值，总有一个 Kg存在，使幅值条件得到满足，所以，实际上只要满足 相角条件的S值就是闭环极点，而由此5值，再由幅值条 件可确定此时系统对应的Kg值。 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 8
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 8 我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: 凡是满足幅值条件和相角条件的s值称为特征方程 的根——即闭环极点。 注：因为 变化，因此不论什么s值,总有一个 存在,使幅值条件得到满足,所以,实际上只要满足 相角条件的s值就是闭环极点,而由此s值,再由幅值条 件可确定此时系统对应的 Kg 值。 Kg从0 → Kg
5.2根轨迹的绘制规则 通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为 善通根轨迹（或180°根轨迹），简称根轨迹。 规则一根轨迹的起点 由根轨迹的幅值条件可知： s+1 Is+pl kg 当k。=0,必有S=-p(i=1,2,…,n) 此时系统的闭环极点与开环极点相同（重合），把开环极点 称为根轨迹的起点。 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 9
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 9 规则一 根轨迹的起点 此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，把开环极点 称为根轨迹的起点。 5.2 根轨迹的绘制规则 当 ,必有 由根轨迹的幅值条件可知： 1 1 1 m j j n g i i s z k s p = = + = + i 0 s (i 1,2, ,n) = − = p g k = 通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为 普通根轨迹（或180°根轨迹），简称根轨迹
规则二根轨迹的终点 由根轨迹的幅值条件可知： +1 IIs+pal ks 当k。=o0时，必有S=-2,（j=1,2,…,m) 此时，条统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把 开环零点称为根轨迹的终点。 结论：根轨迹起始于开环极点（化。=0），终止于开环 零点(k→0)。 如果开环极点数n大于开环零点数m,则有n-m条根轨迹终止 于S平面的无穷远处（无限零点），如果开环零点数火于开环 极点数n,则有m-n条根轨迹起始于S平面的无穷远处。 2023/724 北京料技大学自动化学院自功化系 10
2023/7/24 北京科技大学自动化学院自动化系 10 规则二 根轨迹的终点 由根轨迹的幅值条件可知： 结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环 零点 。 ( 0) g k = ( ) g k → 1 1 1 m j j n g i i s z k s p = = + = + 当 时，必有 此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把 开环零点称为根轨迹的终点。 ( 1,2, , ) j s z j m = − = g k = 如果开环极点数n大于开环零点数m,则有n-m条根轨迹终止 于S平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环 极点数n，则有m-n 条根轨迹起始于S平面的无穷远处
