第五章恒定礅场 主要内容 磁感应强度,场方程,边界条件。 1.磁感应强度、磁通及磁场线 已知磁场表现为对于运动电荷有力的作用,因此,可以根据运动 电荷或电流元受到的作用力,或者根据小电流环在磁场中受到的力 矩描述磁场的强弱。 实验发现,运动电荷在磁场中受到的作用力不仅与电荷量及运动 速度的大小成正比,而且还与电荷的运动方向有关。电荷沿某一方向 运动时受力最大,而垂直此方向运动时受力为零。我们定义,受力为 零的方向为零线方向,如图所示
第五章 恒定磁场 主 要 内 容 磁感应强度，场方程，边界条件。 1. 磁感应强度、磁通及磁场线 已知磁场表现为对于运动电荷有力的作用，因此，可以根据运动 电荷或电流元受到的作用力，或者根据小电流环在磁场中受到的力 矩描述磁场的强弱。 实验发现，运动电荷在磁场中受到的作用力不仅与电荷量及运动 速度的大小成正比，而且还与电荷的运动方向有关。电荷沿某一方向 运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。我们定义，受力为 零的方向为零线方向，如图所示
设最大作用力为Fn,沿偏离零线方向a 角度运动时,受力为Fsma。作用力F的大 小与电荷量q及速度大小ν的乘积成正比 零线方向我们定义一个矢量B,令其大小为 其方向为零线方向,那么矢量B与电荷量q 运动速度v以及作用力F的关系为 F=cv×B 矢量B称为磁感应强度,单位为T(特斯拉)。 值得注意的是,运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向 垂直,因此,磁场力无法改变运动电荷速度的大小,只能改变其运 动方向,磁场与运动电荷之间没有能量交换
设最大作用力为 Fm，沿偏离零线方向 角度运动时，受力为 。作用力 F 的大 小与电荷量 q 及速度大小 v 的乘积成正比。 Fm sin 我们定义一个矢量 B ， 令其大小为 ， 其方向为零线方向，那么矢量B 与电荷量q ， 运动速度v 以及作用力F 的关系为 qv Fm F = qv B 矢量 B 称为磁感应强度，单位为T（特斯拉）。 值得注意的是，运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向 垂直，因此，磁场力无法改变运动电荷速度的大小，只能改变其运 动方向，磁场与运动电荷之间没有能量交换。 F B v 零线方向
根据上述磁感应强度B的定义,可以导出电流元在磁场中受到的 力以及小电流环在磁场中受到的力矩。 电流元是一小段载流导线,以矢量元d的大小表示电流元的长 度,其方向表示电流Ⅰ的方向,如左下图示。 若电流元的电流为/,则 Id I- aq 那么,由前式求得电流元在磁感应强度为B的 磁场中受到的力 F=Id×B 此式表明,当电流元的电流方向与磁感应强度B平行时,受力为零; 当电流元的方向与B垂直时,受力最大 电流元在磁场中的受力方向始终垂直于电流的流动方向
根据上述磁感应强度B 的定义，可以导出电流元在磁场中受到的 力以及小电流环在磁场中受到的力矩。 电流元是一小段载流导线，以矢量元dl 的大小表示电流元的长 度，其方向表示电流 I 的方向，如左下图示。 F B Idl 若电流元的电流为I，则 q q t t q I d d d d d d d d v l l = l = = 那么，由前式求得电流元在磁感应强度为B的 磁场中受到的力 F = Idl B 此式表明，当电流元的电流方向与磁感应强度 B 平行时，受力为零； 当电流元的方向与B 垂直时，受力最大。 电流元在磁场中的受力方向始终垂直于电流的流动方向
小电流环受到的力矩。设小电流环为四根长度为l的电流元围成 的平面方框,电流方向如左下图示。 如果观察距离远大于小电流环的尺寸,这 种小电流环又称为磁偶极子 B 由于小环面积很小,在小环的平面内可以 F 认为磁场是均匀的。那么当磁感应强度B与电 流环所在平面平行时,如图(a)际示,则b及 cd两条边不受力,ad及bc两条边受力方向相 反,因此,使电流环受到一个力矩T,其大小 为 T=F=lBl=m-B=ISB 式中S=为电流环的面积
小电流环受到的力矩。设小电流环为四根长度为l 的电流元围成 的平面方框，电流方向如左下图示。 d c a b F F B S (a) 如果观察距离远大于小电流环的尺寸，这 种小电流环又称为磁偶极子。 T = Fl = IlBl = Il B = ISB 2 式中 为电流环的面积。 2 S = l 由于小环面积很小，在小环的平面内可以 认为磁场是均匀的。那么当磁感应强度 B 与电 流环所在平面平行时，如图(a)所示，则 ab 及 cd 两条边不受力，ad 及 bc 两条边受力方向相 反，因此，使电流环受到一个力矩 T ，其大小 为
B,〃F 当电流环的平面与B垂直时,如图(b) S F所示,各边受力方向指向外侧,相互抵消, 电流环受到的力矩为零。 当B与电流环平面的法线方向夹角为6 Bn 时,如图c)际示,则B可分解为Bn及B1 2 两个分量,其中Bn垂直于小环平面,B1平 行于小环平面,因此,小环受到的力矩大 F 小为 T=ISB.= ISBsin e
F d c a b F F B F S (b) d c a b F F B B n Bt F F S (c) 当电流环的平面与B垂直时，如图 (b) 所示，各边受力方向指向外侧，相互抵消， 电流环受到的力矩为零。 当B 与电流环平面的法线方向夹角为 时，如图(c)所示，则 B 可分解为 Bn 及 Bt 两个分量，其中Bn 垂直于小环平面, Bt 平 行于小环平面，因此，小环受到的力矩大 小为 T = ISBt = ISBsin
若定义有向面S的方向与电流方向构成右旋关系,则上式可写 成矢量形式 T=(S×B) 可以证明,此式适用于任何形状的小电流环。通常,乘积ⅠS称 为小电流环的磁矩,以m表示,即 S 则前式又可写为 T=mxB 此式表明,当电流环的磁矩方向与磁感应强度B的方向平行时,受 到的力矩为零;当两者垂直时,受到的力矩最大
若定义有向面 S 的方向与电流方向构成右旋关系，则上式可写 成矢量形式 T = I(S B) 可以证明，此式适用于任何形状的小电流环。通常，乘积IS 称 为小电流环的磁矩，以m表示，即 m = IS 则前式又可写为 T = mB 此式表明，当电流环的磁矩方向与磁感应强度B 的方向平行时，受 到的力矩为零；当两者垂直时，受到的力矩最大
磁感应强度B通过某一表面S的通量称为磁通,以④表示, 即 Φ=|BdS 磁通的单位为Wb(韦伯)。 磁感应强度也可用一系列有向曲线来表示。曲线上某点的切线 方向为磁感应强度矢量的方向,这些曲线称为磁场线(磁力线)。 磁场线的矢量方程为 B×dl=0 磁场线也不可相交。与电场线一样,若以磁场线构成磁场管,且 规定相邻磁兹场管中的磁通相等,则磁场线的疏密程度也可表示磁场 的强弱,磁场线密表示磁感应强度强
磁感应强度也可用一系列有向曲线来表示。曲线上某点的切线 方向为磁感应强度矢量的方向，这些曲线称为磁场线（磁力线）。 磁场线的矢量方程为 Bdl = 0 磁场线也不可相交。与电场线一样，若以磁场线构成磁场管，且 规定相邻磁场管中的磁通相等，则磁场线的疏密程度也可表示磁场 的强弱，磁场线密表示磁感应强度强。 磁感应强度 B 通过某一表面S 的通量称为磁通，以 表示， 即 B dS = S 磁通的单位为Wb（韦伯）
2.真空中的恒定磁场方程式 真空中恒定磁场的磁感应强度B满足下列两个方程 f, B d=HoI f B·dS=0 左式称为安培环路定律,式中为真空磁导率,4o=4兀×107(Hm), I为闭合曲线包围的电流。 安培环路定律表明,真空中恒定磁场的磁感应强度沿任一闭合曲 线的环量等于曲线包围的电流与真空磁导率的乘积 右式表明,真空中恒定磁场通过任一闭合面的磁通为零。 由此可见,与电流线一样,磁场线也是处处闭合的,没有起点与 终点,这种特性称为磁通连续性原理
2. 真空中的恒定磁场方程式 真空中恒定磁场的磁感应强度 B 满足下列两个方程 I = l B l d 0 = S B dS 0 左式称为安培环路定律，式中 0 为真空磁导率， (H/m)， I 为闭合曲线包围的电流。 7 0 4π 10− = 安培环路定律表明，真空中恒定磁场的磁感应强度沿任一闭合曲 线的环量等于曲线包围的电流与真空磁导率的乘积。 由此可见，与电流线一样，磁场线也是处处闭合的，没有起点与 终点，这种特性称为磁通连续性原理。 右式表明，真空中恒定磁场通过任一闭合面的磁通为零
由斯托克斯定理获知fBd=(xB)dS 再考虑到电流强度Ⅰ与电流密度J的关系 I=|J·dS 那么,根据安培环路定律求得 (V×B-4J)·dS=0 由于上式对于任何表面都成立,因此,被积函数应为零,从而求得 x B=uJ 此式表明,真空中某点恒定硶场的磁感应强度的旋度等于该点的电流密 度与真空磁导率的乘积
由斯托克斯定理获知 = l S B dl ( B) dS 再考虑到电流强度I 与电流密度 J 的关系 = S I J dS ( − 0 )d = 0 S B J S 那么，根据安培环路定律求得 由于上式对于任何表面都成立，因此，被积函数应为零，从而求得 B = 0 J 此式表明，真空中某点恒定磁场的磁感应强度的旋度等于该点的电流密 度与真空磁导率的乘积
另外,由高斯定理获知 B·dS V·BdI 那么,根据磁通连续性原理求得 V·Bd=0 由于此式处处成立,因此被积函数应为零,即 V·B=0 些式表明,真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零。 综上所述,求得真空中恒定磁场方程的微分形式为 V×B=Ho V·B=0 可见,真空中恒定磁场是有旋无散的
另外，由高斯定理获知 = S V B dS BdV = V BdV 0 B = 0 那么，根据磁通连续性原理求得 由于此式处处成立，因此被积函数应为零，即 此式表明，真空中恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零。 综上所述，求得真空中恒定磁场方程的微分形式为 B = 0 J B = 0 可见，真空中恒定磁场是有旋无散的