第六章电磁感应 主要内容 电磁感应定律,自感与互感,能量与力。 1.电磁感应定律 由物理学知,穿过闭合线圈中的磁通发生变化时,线圈中产生的 感应电动势e为 d④ dt 式中电动势e的正方向规定为与磁通方向构成右旋关系。 因此,当磁通增加时,感应电动势的实际方向与磁通方向构成左 旋关系;反之,当磁通减少时,电动势的实际方向与磁通方向构成 右旋关系
第六章 电磁感应 主 要 内 容 电磁感应定律，自感与互感，能量与力。 1. 电磁感应定律 由物理学知，穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生的 感应电动势 e 为 t e d d = − 式中电动势 e 的正方向规定为与磁通方向构成右旋关系。 因此，当磁通增加时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成左 旋关系；反之，当磁通减少时，电动势的实际方向与磁通方向构成 右旋关系
感应电流产生的感应磁通方向总是阻 碍原有磁通的变化,所以感应磁通又称为 反磁通。 感应电流产生意味着导线中存在电场,这种电场称为感应电场, 以E表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应 电动势,即 de E dl=e= (书中负号丢失!) dt 又知Φ=「B Edl= B. ds 上式称为电磁感应定律,它表明穿讨线圈中的磁场变化时,导线中产 生感应电场。它表明,时变磁场可以产生时变电场
感应电流产生的感应磁通方向总是阻 碍原有磁通的变化，所以感应磁通又称为 反磁通。 感应电流产生意味着导线中存在电场，这种电场称为感应电场， 以E 表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应 电动势，即 t e l d d d = = − E l 又知 = ，得 S B dS = − S E dl B dS t l 上式称为电磁感应定律，它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产 生感应电场。它表明，时变磁场可以产生时变电场。 e I （书中负号丢失！）
根据斯托克斯定理,由上式得 B (V×E)+-·dS=0 由于该式对于任一回路面积S均成立,因此,其被积函数 定为零,即 V×E⊥OB at 此式为电磁感应定律的微分形式。它表明某点磁感应强度的时间 变化率负值等于该点时变电场强度的旋度。 电磁感应定律是时变电磁场的基本定律之一,也是下一章将要 介绍的描述时变电磁场著名的麦克斯韦方程组中方程之一
根据斯托克斯定理，由上式得 ( ) d 0 = + S B E S t 由于该式对于任一回路面积 S 均成立，因此，其被积函数一 定为零，即 t = − B E 此式为电磁感应定律的微分形式。它表明某点磁感应强度的时间 变化率负值等于该点时变电场强度的旋度。 电磁感应定律是时变电磁场的基本定律之一，也是下一章将要 介绍的描述时变电磁场著名的麦克斯韦方程组中方程之一
2.自感与互感 在线性媒质中,单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电 流Ⅰ成正比,因此穿过回路的磁通也与回路电流Ⅰ成正比 与回路电流Ⅰ交链的磁通称为回路电流Ⅰ的磁通链,以φ表示 令y与Ⅰ的比值为L,即 式中L称为回路的电感,单位为H(亨利)。由该定义可见,电感又 可理解为与单位电流交链的磁通链 单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关,与回路中电流无关。 应注意,磁通链与磁通不同,磁通链是指与某电流交链的磁通
2. 自感与互感 在线性媒质中， 单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电 流 I 成正比，因此穿过回路的磁通也与回路电流I 成正比。 I L = 式中L 称为回路的电感，单位为H（亨利）。由该定义可见，电感又 可理解为与单位电流交链的磁通链。 单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关，与回路中电流无关。 与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的磁通链，以 表示， 令 与 I 的比值为L，即 应注意，磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链的磁通
若交链N次,则磁通链增加N倍;若部分交链,则必须给予适当 的折扣。因此,与N匝回路电流Ⅰ交链的磁通链为望=N④。那么, 由N匝回路组成的线圈的电感为 yN④ L 1/l2l2 与回路电流l交链的磁通链是由 两部分磁通形成的,其一是l1本身产 生的磁通形成的磁通链1,另一是 电流l2在回路l1中产生的磁通形成 的磁通链y12。 那么,与电流l1交链的磁通链为 y,=1,+
若交链 N 次，则磁通链增加N 倍；若部分交链，则必须给予适当 的折扣。因此，与N 匝回路电流 I 交链的磁通链为 = N 。那么， 由 N 匝回路组成的线圈的电感为 I N I L = = 与回路电流 I 1交链的磁通链是由 两部分磁通形成的，其一是I 1本身产 生的磁通形成的磁通链11 ，另一是 电流 I 2 在回路 l 1 中产生的磁通形成 的磁通链 12 。 dl1 0 z y x dl2 l2 l1 I2 I1 r2 - r1 r2 r1 那么，与电流 l 1 交链的磁通链1为 1 =11 +12
同理,与回路电流l2交链的磁通链为 =,+p 在线性媒质中,比值 及均为常数 式中L1称为回路l1的自感,M12称为回路l2对l1的互感。 同理定义L2=2 式中L2称为回路l2的自感,M2称为回路l对2的互感
同理，与回路电流I 2交链的磁通链为 2 =21 +22 在线性媒质中，比值 ， ， 及 均为常数。 1 11 I 2 12 I 2 22 I 1 21 I 式中L11称为回路 l 1的自感，M12称为回路l 2对 l 1的互感。 同理定义 2 22 22 I L = 1 21 21 I M = 式中L22 称为回路 l 2的自感，M21称为回路l 1对 l 2的互感。 1 11 11 I L = 2 12 12 I M 令 =
将上述参数L1,L2,M12及M21代入前式,得 41=L1+M12l2 42=M211+L22 可以证明,在线性均匀媒质中 M=M 因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为 d l, dl d,·dl, 4兀 考虑到dd2=d2dn,h所以由上两式可见
将上述参数 L11，L22，M12 及 M21 代入前式，得 1 11 1 12 2 = L I + M I 2 21 1 22 2 = M I + L I 可以证明，在线性均匀媒质中 M12 = M21 因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为 − = 2 1 2 1 1 2 21 d d 4π l l M r r l l − = 1 2 1 2 2 1 12 d d 4π l l M r r l l 考虑到 1 2 2 1 2 ，所以由上两式可见， 1 1 2 dl dl = dl dl , r −r = r −r M12 = M21
dl1·dL d. dl 4兀J2Jh 厂2=i 2-4rJ1- 若d1与d2处处保持垂直,则互感M2=M21=0。 若处处保持平行,则互感M值达到最大。 因此,在电子电路中,如果需要增强两个线圈之间的耦合,应 彼此平行放置;若要避免两个线圈相互耦合,则应相互垂直。 互感可正可负,其值正负取决于两个线圈的电流方向,但电感 始终应为正值 若互磁通与原磁通方向相同时,则使磁通链增加,互感应为正 值;反之,若互磁通与原磁通方向相反时,则使磁通链减少,互感 为负值
− = 2 1 2 1 1 2 21 d d 4π l l M r r l l − = 1 2 1 2 2 1 12 d d 4π l l M r r l l 若 dl1与 dl2处处保持垂直，则互感 M12 = M21 = 0 。 因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应 彼此平行放置；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。 互感可正可负，其值正负取决于两个线圈的电流方向，但电感 始终应为正值。 若处处保持平行，则互感M 值达到最大。 若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链增加，互感应为正 值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链减少，互感 为负值
例一计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行, 周围媒质为真空,如图示。 解建立圆柱坐标系,令z轴方向与电流l 致,则1产生的磁感应强度为 b I14 S2 B 2πr 与线圈电流交链的磁通链21为 「B ds 若线框电流如图所示的顺时针方向,则d与B1方向相同。那么 y, =lola[D+ 1 1l4a1-(D+b 2π 2兀
例一 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行， 周围媒质为真空，如图示。 a b dr r D I 0 1 I2 z S2 解 建立圆柱坐标系，令z 轴方向与电流 I 1一 致，则 I 1 产生的磁感应强度为 B e r I 2π 0 1 1 = 与线圈电流 I2 交链的磁通链 21 为 = 2 21 1 d S B S 若线框电流如图所示的顺时针方向，则dS与B1方向相同。那么 + + = = D b D D I a D b r r 0 I 1 a 0 1 2 1 ln 2π d 1 2π
求得 21_a1(D+b 0 12兀 若线圈电流为逆时针方向时,则B与 ds反向,M21为负 但在任何线性媒质中,M21=M12 例2计算载有直流电流的同轴线单位长 度内的电感。 解设同轴线内导体的半径为b,外半径 为c,如图示
求得 ln 0 2π 0 1 21 21 + = = D a D b I M 若线圈电流为逆时针方向时，则B1与 dS 反向， M21 为负。 例2 计算载有直流电流的同轴线单位长 度内的电感。 解 设同轴线内导体的半径为b，外半径 为c，如图示。 b c a O a b dr r D I 0 1 I2 z S2 但在任何线性媒质中，M21 = M12