西南交通大学：《电磁场与电磁波》第八章 平面电磁波

7.任意方向传播的平面浪 设平面波的传播方向为e则与e垂直的平面为该平面波的波面, 如下图示 令坐标原点至浪面的距离为d,坐 波面 标原点的电场强度为E0,则波面 上P0点的场强应为 e(P=Ee oPex, y, 2) 若令P点为波面上任一点,其坐标 B 为(x,y,z),则该点的位置矢量r为 r=xe t ye, +ze. 令该矢量r与传播方向e的夹角为,则距离d可以表示为 rCOS 6

7. 任意方向传播的平面波 设平面波的传播方向为es，则与 es 垂直的平面为该平面波的波面， 如下图示。 令坐标原点至波面的距离为d，坐 标原点的电场强度为E0，则波面 上 P0 点的场强应为 kd P j 0 0 ( ) e − E = E    z y x d es P0 E0 波面  P(x, y, z) r 若令P 点为波面上任一点，其坐标 为(x, y, z)，则该点的位置矢量r 为 x y z r = xe + ye + ze 令该矢量 r 与传播方向es的夹角为 ，则距离 d 可以表示为 = = e r s d r cos

2+波面 考虑到上述关系,点的电场强度可 表示为 E=Ee ke. X 若令 ke =k B 则上式可写为 E= Ee XX 上式为沿任意方向传播的平面浪表达式。这里k称为传播矢量,其大小 等于传播常数k,其方向为传播方向e3;r为空间任一点的位置矢量。 由上图知,传播方向e与坐标轴x,y,z的夹角分别为a,B,y,则 传播方向e可表示为 es=e cos a+e, cos B+e cos y 传播矢量可表示为k= e k cos a+e, k cos B+ e. k cos y

考虑到上述关系，点的电场强度可 表示为 e r E E −  = s j 0 e k 若令 e = k s k 上式为沿任意方向传播的平面波表达式。这里 k 称为传播矢量，其大小 等于传播常数 k ，其方向为传播方向es ；r 为空间任一点的位置矢量。 k r E E −  = j 0 则上式可写为 e 由上图知，传播方向 es 与坐标轴 x, y, z 的夹角分别为  ,  , ，则 传播方向 es 可表示为 cos cos  cos s x y z e = e + e + e k cos k cos  k cos x y z 传播矢量可表示为 k = e + e + e    z y x d es P0 E0 波面  P(x, y, z) r

若令k2= k cosa k,= k k= k cosy 那么传播矢量k可表示为 k=ke+ e, +k.e. 那么,电场强度又可表示为 E= Ee j(kxxtkyy+k: 2) 或者写为 E=Ee jk(cosa+cos B+=cosy) 考虑到cos2a+cos2B+cos2y=1,因此k,k,k应该满足 k2+k2+k2=k 可见,三个分量k,k有两个是独立的

kx = k cos ky = k cos  k k cos 若令 z = x x y y z z 那么传播矢量 k 可表示为 k = k e + k e + k e 那么，电场强度又可表示为 j( ) 0 e k x k y k z − x + y + z E = E j ( cos cos cos ) 0 e − k x + y  +z  或者写为 E = E 考虑到 cos 2  + cos 2  + cos 2  = 1 ，因此 kx , k y , kz 应该满足 2 2 2 2 k k k k x + y + z = 可见，三个分量 kx , k y 中只有两个是独立的 , kz

根据传播矢量及麦克斯韦方程,可以证明,在无源区中理想介质 内向k方向传播的均匀平面波满足下列方程 kxH=-o8 E E k×E H S k·E=0 ·H=0 由此可见,电场与磁场相互垂直,而且两者又垂直于传播方向,这些 关系反映了均匀平面波为TEM波的性质。 根据上面结果,复能流密度矢量S的实部为 Re(S)=R(ExH)=Re(Exk×E)=ReE.E)k-(E·k)E] 考虑到E.E'=E2,E.k=0,得 Re(s)=ek k

S 根据传播矢量及麦克斯韦方程，可以证明，在无源区中理想介质 内向 k 方向传播的均匀平面波满足下列方程 kH = − E k  E = H k  E = 0 k  H = 0 由此可见，电场与磁场相互垂直，而且两者又垂直于传播方向，这些 关系反映了均匀平面波为TEM 波的性质。 根据上面结果，复能流密度矢量Sc的实部为 Re( ) Re( ) * Sc = E  H Re( ) 1 * = Ek  E  Re[( ) ( ) ] 1 * * = E  E k − E  k E  s 2 0 2 c 0 1 Re(S ) k E e k E   = = s 2 0 E e   = 考虑到 E  E * = E0 2 , E  k = 0 ，得 H E

例已知某真空区域中的平面波为TEM波,其电场强度为 E=e+Ee,+(2+j5)e.ke-j23-06x+08y-j06) 式中E为常数。 试求:①是否是均匀平面浪?②平面波的频率及波长; ③电场强度的y分量E10:④平面波的极化特性。 解给定的电场强度可改写为 E=[e+Ee,+(2+j5)ele2306x08yc6 可见,平面波的传播方向位于xy平面内,因此波面平行于z轴。由 于场强振幅与z有关,因此,它是一种非均匀平面浪

例 已知某真空区域中的平面波为TEM波，其电场强度为 x y z x Ey y z j 2.3( 0.6 0.8 ) 0.6 0 [ (2 j5) ]e e − − + − E = e + e + + e 试求：① 是否是均匀平面波？②平面波的频率及波长； ③ 电场强度的 y 分量 Ey0 ；④ 平面波的极化特性。 式中 Ey0 为常数。 解 给定的电场强度可改写为 j 2.3( 0.6 0.8 j0.6 ) 0 [ (2 j5) ]e x y z x Ey y z − − + − E = e + e + + e 可见，平面波的传播方向位于 xy 平面内，因此波面平行于 z 轴。由 于场强振幅与 z 有关，因此，它是一种非均匀平面波

E=[e+Ee,+(2+j5)e]e2306xy 根据上式可以求得传播常数、波长、频率分别为 k=23y0.62+0.82=23 2=2n =2.73m =1lOMHZ k 因为k.E≠求得 E=0.75 波面 E+E)国电场强度的x分量与y分量构成线 极化浪,它与相位不同且振幅不等的 (E +EtE) z分量合成后形成椭圆极化浪。由于 k 分量(Ex+E比E2分量的相位滞后,因 此合成矢量形成的椭圆极化波是右旋 的,如左图示

x y z k 波面 2.3 0.6 0.8 2.3 2 2 k = + = 2.73m 2 = = k   = = = 110MHz   v c f 根据上式可以求得传播常数、波长、频率分别为 x y z x Ey y z j 2.3( 0.6 0.8 ) 0.6 0 [ (2 j5) ]e e − − + − E = e + e + + e 因为 k  E ， = 求得 0 Ey0 = 0.75 因电场强度的 x 分量与 y 分量构成线 极化波，它与相位不同且振幅不等的 z 分量合成后形成椭圆极化波。由于 分量 比 Ez分量的相位滞后，因 此合成矢量形成的椭圆极化波是右旋 的，如左图示。 ( ) Ex + Ey (Ex + Ey ) (Ex+Ey+Ez ) Ez

8.理想介质边界上平面波的斜投射 当平面波向平面边界上斜投射时,通常透射波的方向发生偏折,因此, 这种透射波称为折射波。入射线,反射线及折射线与边界面法线之间的 夹角分别称为入射角,反射角及折射角。入射线,反射线及折射线和边 界面法线构成的平面分别称为入射面,反射面和折射面,如下图示。 G⊥a 入射波 反射波 法、折射波 线 E2 46 y

8. 理想介质边界上平面波的斜投射 当平面波向平面边界上斜投射时，通常透射波的方向发生偏折，因此， 这种透射波称为折射波。入射线，反射线及折射线与边界面法线之间的 夹角分别称为入射角，反射角及折射角。入射线，反射线及折射线和边 界面法线构成的平面分别称为入射面，反射面和折射面，如下图示。 i t  1 1  2 2 x z 折射波 反射波 法 线 y r 入射波

可以证明,①入射线,反射线及折射线位于同一平面;②入射角 等于反射角0;⑥折射角O1与入射角O的关系为 k 式中k1=0√k2“=述条结论总称为斯耐尔定律。 设入射面位于x平面内,则入射浪的电场强度可以表示为 e=Ede jk,(xcosai +=coSy) 若反射浪及折射波分别为 E=E jk,(xcosar +cos Br Et=Ete jk(xcosattycos B:+:cosY)

可以证明，①入射线，反射线及折射线位于同一平面；② 入射角  i 等于反射角  r ；③ 折射角  t 与入射角  i 的关系为 1 2 t i sin sin k k =   式中 k1 = ，  1 1 k2 。 = 上述三条结论总称为   2 2 斯耐尔定律。 设入射面位于 xz 平面内，则入射波的电场强度可以表示为 i j ( cos cos ) 0 i 1 i i e − k x  +z  E = E r j ( cos cos cos ) 0 r 1 r r r e − k x  + y  +z  E = E t j ( cos cos cos ) 0 t 2 t t t e − k x  + y  +z  E = E 若反射波及折射波分别为

由于边界上(=0)电场切向分量必须连续,得 [E]e K: cos@,+ EDe I (cosa, tycosp.I=Ete jka(rcoa *ycosP.] 上述等式对于任意x及y变量均应成立,因此各项指数中对应的系数 应该相等,即 0=k cos B=k, cos B k, cosa=k, cosa,=k2 cosa 由第一式得知,C0s月=c0s月即0 B=,=1 这就表明,反射线和折射线均位于x平面

由于边界上 (z = 0) 电场切向分量必须连续，得 t r j ( cos cos ) 0 i j cos 0 [ e e ] 1 i 1  r  r − k x − k x + y E + E t t j ( cos cos 0 [ e ] 2  t  t − k x + y = E 上述等式对于任意 x 及 y 变量均应成立，因此各项指数中对应的系数 应该相等，即 1 r 2 t 0 = k cos  = k cos  1 i 1 r 2 t k cos = k cos = k cos 由第一式得知， cosr = cos ， t 即 = 0 2 π  r =  t = 这就表明，反射线和折射线均位于xz 平面

考虑到a=ra,=-由述第可式获得 2 sin e. k sin e k 关系式 k cos a;=kco舰詨&折射波的相位沿边界的变化 始终与入射浪保持一致,因此,该式又称为相位匹配条件。 斯耐尔定律描述的电磁波反射和折射规律获得广泛应用。正如前言 中介绍,美军B2及F117等隐形飞机的底部均为平板形状,致使目标 的反射波被反射到前方,单站雷达无法收到回浪,从而达到隐形目的

i =r 1 2 t i sin sin k k =   斯耐尔定律描述的电磁波反射和折射规律获得广泛应用。正如前言 中介绍，美军 B2 及 F117 等隐形飞机的底部均为平板形状，致使目标 的反射波被反射到前方，单站雷达无法收到回波，从而达到隐形目的 。 关系式 表明反射波及折射波的相位沿边界的变化 始终与入射波保持一致，因此，该式又称为相位匹配条件。 1 i 1 r 2 t k cos = k cos = k cos 考虑到 i ， i , ,由上述第二式获得 2 π  = − t t 2 π r r  = − 2 π  = −