第15讲 程向红 控制系统的校正 系统的设计与校正问题 常用校正装置及其特性 串联校正
1 第15讲 程向红 系统的设计与校正问题 常用校正装置及其特性 串联校正 控制系统的校正
例5-6设一个闭环系统具有下列 G平面 开环传递函数G(s)H)= O三0 S(TS-1) 试确定该闭环系统的稳定性 e 解1M 在右半s平面内有一个极点 O=0 图5-44H()G()极坐标图 图5-44中的奈奎斯特图表明, H(s)G(s)轨迹顺时针方向包围-1+0点一次 R=1 Z=R+P=2 这表明闭环系统有两个极点在右半平面, 因此系统是不稳定的
2 例5-6 设一个闭环系统具有下列 ( 1) ( ) ( ) − = s Ts K G s H s 试确定该闭环系统的稳定性。 GH平面 Re Im = =− −1 + = 0 − = 0 开环传递函数 图5-44 H( j)G( j) 极坐标图 解 H(s)G(s) 在右半s平面内有一个极点 T s 1 = P = 1 图5-44中的奈奎斯特图表明， H(s)G(s) 轨迹顺时针方向包围-1+0点一次 R = 1 Z = R + P = 2 这表明闭环系统有两个极点在右半s平面， 因此系统是不稳定的
例5-7设一个闭环系统具有下列开环传 Im 递函数试确定该闭环系统的稳定性 G平面 1在右半平面内有一个稀衡1“人人下 P=1因此开环系统是不稳定的 2图5-45表明H(sG(s) 轨迹逆时针方向包围1+j0次 O=0 R=-1 Z=R+P=0 KIE5 HI in)坛图 说明1+H(s)G(s) 没有零点位于右半s平面内,闭环系统是 稳定的。这是一个开环系统不稳定,但是 回路闭合后,变成稳定系统的例子
3 例5-7 设一个闭环系统具有下列开环传 递函数试确定该闭环系统的稳定性。 图5-45 H( j)G( j) 极坐标图 G H平面 Re Im −1 −K = 3 = − − = 0 −4K = + = 0 在右半s平面内有一个极点渐近线 s =1 P = 1 因此开环系统是不稳定的 H(s)G(s) 轨迹逆时针方向包围-1+j0一次 R = −1 Z = R + P = 0 说明 1+ H(s)G(s) 没有零点位于右半s平面内，闭环系统是 稳定的。这是一个开环系统不稳定，但是 回路闭合后，变成稳定系统的例子。 图5-45表明
例5-8单位反馈控制系统的开环传递函数为 K G(S) (722+2s+s+1)式中K,7,72和73 均为正值。为使系统稳定,开环增益K与时间常数 71,T2和T3之间满足什么关系? 解 K G(@ [T172(j0)2+72jO+1(T3j+1) 频率特性 K G()= eplo 1-712O2)2+(720)l+(73o) Plo)=-arctg 1-TT2-arctgT3o G(j0+)=K-j0 G(jo)=-0+j0
4 例5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为 ( 1)( 1) ( ) 2 3 2 1 2 + + + = TT s T s T s K G s 式中 1 2 3 K,T ,T 和T 均为正值。为使系统稳定，开环增益 K 与时间常数 1 2 3 T ,T 和T 之间满足什么关系？ 解 ： 频率特性 ( ) 2 3 2 2 2 2 1 2 [(1 ) ( ) ][1 ( ) ] ( ) j e T T T T K G j − + + = 3 2 1 2 2 1 ( ) arctgT T T T arctg − − = − G( j0+) = K − j0 G( j) = −0 + j0 [ ( ) 1]( 1) ( ) 2 3 2 1 2 + + + = T T j T j T j K G j
T=1,72=2,73=3,k=2 15 品 -0.5 0.5 Real Axis
5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Real Axis Imag Axis T1 =1,T2 = 2,T3 = 3,K = 2
K G(o [72(0)2+72j0+(T3jo+1) 展开 ?与负实 轴的交点 K T7273(0)+(7172+2T3Xj)2+(72+73)O+1 K 1-T2(71+73)02+(n2+T3-T172T3o2)jio 令虚部为零即可12+73-712302=0m=±,2+73 71T,T2 K K 与负实轴相交于Go) 1-72(71+73) Oc (Z1+ K 7,+T2 (T1+2)T2+7 >K+1 71T2
6 [ ( ) 1]( 1) ( ) 2 3 2 1 2 + + + = T T j T j T j K G j ( ) ( )( ) ( 2 3 ) 1 2 1 2 2 3 3 1 2 3 + + + + + = T T T j T T T T j T T j K T T T T T T T T j K 1 ( ) ( ) 2 2 3 1 2 3 2 − 2 1 + 3 + + − = 令虚部为零即可 0 2 T2 +T3 −T1 T2 T3 = 1 2 3 2 3 T T T T T c + = 与负实轴相交于 2 1 3 2 3 2 1 3 2 2 1 3 1 ( ) 1 ( ) ( ) T T T T T T T T K T T T K G j c c + − + = − + = = 1 1 ( ) 1 3 2 3 1 3 − + − + T T T T T T K ( ) 1 1 3 2 3 1 3 + + + K T T T T T T 展开 ？与负实 轴的交点
57相对稳定性 G平面 57.1相位裕度和增益裕度 Re K大时 K小时 图5-46G()的极坐标图 判断糸统稳定 y>0 的又一方法 h(dB)>0 y=180+/G(o)H(o h=-20g((0x)H(ox
7 5.7.1相位裕度和增益裕度 Re Im 0 −1 G平面 K大时 K小时 图5-46 G( j) 的极坐标图 5.7相对稳定性 h(dB) 0 判断系统稳定 0 的又一方法 180 ( ) ( ) c c = + G j H j 20log ( ) ( ) x x h = − G j H j
①相位裕度、相角裕度( Phase Margin)y 设系统的截止频率( Gain cross-over frequency)为 A(o2)=G(o。)H(o2)=1 定义相角裕度为 180°+/G(o2)H(/o 当y>0时,相位裕量为正值; 当y<0时,相位裕度为负值。 ②增益裕度、幅值裕度( Gain Margin)h 设系统的相位穿越频率( Phase cross-over frequency)@ 0()=/G(0)H(ox)=(2k+1)zk=0.土 定义幅值裕度为 h G(jOx)H(o 若以分贝表示,则有h=-20gG(0n)H(1o2)
8 相位裕度、相角裕度(Phase Margin) 设系统的截止频率(Gain cross-over frequency)为 c A( jc ) = G( jc )H( jc ) =1 定义相角裕度为 180 ( ) ( ) c c = + G j H j 当 0 时，相位裕量为正值； 当 0 时，相位裕度为负值。 增益裕度、幅值裕度(Gain Margin) h 设系统的相位穿越频率(Phase cross-over frequency) (x ) = G( jx )H( jx ) = (2k +1) k = 0,1, 定义幅值裕度为 ( ) ( ) 1 x x G j H j h = 20log ( ) ( ) x x 若以分贝表示，则有 h = − G j H j x
Positive Negative dB Gain Margin dB Gain Margin 0 g Logo g L 180° 1809 270 go 270 Positive hase Margin Negative Phase Margin Stable System Unstable System 9
9 Log Log Log Log −90 −270 −180 Positive Gain Margin Positive Phase Margin Negative Gain Margin Negative Phase Margin Stable System Unstable System 0 dB −90 −270 −180 0 dB c x c x
Positive Im G Plane Negative Gain Margin Phase Margin G Plane h Re R G(joy G(o) Positive Negative Phase Margin Gain Margin Stable System Unstable System 10
10 Re Im h 1 GPlane Positive Gain Margin Positive Phase Margin -1 1 Re Im h 1 GPlane Negative Gain Margin Negative Phase Margin -1 1 Stable System Unstable System G( j) G( j)