第四章控制系统的时域分析 三性分析:稳定性稳态特性动态特性 4-1控制系统的稳定性分析 E(s) C(s) G(s) H(S) 稳定的系统概念和定义 稳定是系统正常运行的前提,是控制理论研究的重要课题 1.稳定性的基本概念 如果一个线性定常系统在扰动作用消失后,能够恢复到原始的 平衡状态,则称系统是稳定的。反之,称系统是不稳定的 即取决于系统的零输入响应
1 第四章 控制系统的时域分析 三性分析：稳定性 稳态特性 动态特性 4－1 控制系统的稳定性分析 一、稳定的系统概念和定义 稳定是系统正常运行的前提，是控制理论研究的重要课题。 1．稳定性的基本概念 如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能够恢复到原始的 平衡状态，则称系统是稳定的。反之， 称系统是不稳定的。 即取决于系统的零输入响应 R s( ) C s( ) G s( ) B s( ) + E s( ) − H s( )
4-1控制系统的稳定性分析 2.稳定的充要条件 稳定性定乂表明,线性系统的稳定性仅取决于系 统自身的固有特性,而与外界条件无关。 设初始条件为零时,输入为一个理想的单位脉冲函 数,即R(S)=1。当作用时间t>0时,s)=0,这 相当于系统在扰动信号作用下,输出信号偏离原平衡 工作点的问题。若时,这时系统的输出为脉冲响应 limc(t=o t→)∞ 即输出增量收敛于原平衡工作点,则系统是稳定的
2 2．稳定的充要条件 稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系 统自身的固有特性，而与外界条件无关。 设初始条件为零时，输入为一个理想的单位脉冲函 数 ，即R（S）=1。当作用时间t>0时， =0，这 相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡 工作点的问题。若时，这时系统的输出为脉冲响应 即输出增量收敛于原平衡工作点，则系统是稳定的。 (t) ( ) 0 lim = → c t t 4－1 控制系统的稳定性分析 (t)
设闭环系统的传递函数: d(S)= C(s) bmS"+bm-S+.+6,S+b B(s) (m≤n) R(S) as"tan-I s+…+a1s+aoD(s) 设(=12)为系统特征方程D)=0的根,而且彼此不等 系统输出: C(s)=B() S) R(S) D(s) D(S) k+2 s+B =S-P1 (o1+J0 -(1-jo 对上式进行拉氏反变换,得到理想脉冲函数作用下的输出: c()=2c,ep+2e"(A, cos@, t+B, sin t 上式表明,线性系统稳定的充要条件是:闭环系统特征方程的 所有根均具有负实部;或者说,闭环传递函数的极点均分在 平面的左半部
3 设闭环系统的传递函数： 设 为系统特征方程 的根，而且彼此不等。 系统输出： 对上式进行拉氏反变换，得到理想脉冲函数作用下的输出： 上式表明，线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的 所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均分布在 平面的左半部。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 D s B s a s a s a s a b s b s b s b R s C s s n n n n m m m m = + + + + + + + + = = − − − − = = − + − − + + − = = = r j j j j j j j k i i i s j s j s s p c D s B s R s D s B s C s 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( cos sin ) 1 1 c t c e e A t B t j j j j r j t k i p t i j i = + + = = i p (i =1,2, ,n) D(s) = 0 k + 2r = n (m n) (t 0)
4-1控制系统的稳定性分析 3.劳斯( Routh稳定判据 系统稳定关键看特征根的分布,而根是由方程的系数决定的。 劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据。 设线性系统的特征方程为: ans"+anS"+……+a1s+ao=0 由代数知识可知,所有根均分布在左半平面的必要条是:方程 所有系数均为正数。若特征方程中任一系数为负或缺项(系数为 零),则系统为不稳定系统。 劳斯判据分析系统稳定性步骤 将特在方程式的系数按下列规则排成两行,即 n:n-2:n-4 n-1
4 3. 劳斯 (Routh) 稳定判据 系统稳定关键看特征根的分布，而根是由方程的系数决定的。 劳斯判据是由特征方程的系数来分析系统的稳定性的一种判据。 设 线性系统的特征方程为： 由代数知识可知，所有根均分布在左半平面的必要条件是：方程 所有系数均为正数。若特征方程中任一系数为负或缺项（系数为 零），则系统为不稳定系统。 劳斯判据分析系统稳定性步骤： 第一步：将特征方程式的系数按下列规则排成两行，即 4－1 控制系统的稳定性分析 1 0 0 1 + 1 + + + = − a s a − S a s a n n n n an ,an−2 ,an−4 an−1 ,an−3 ,an−5
4-1控制系统的稳定性分析 第二步:进行下列运算,建立劳斯表(又叫劳斯阵列)。 例如,现有一个五阶系统,其特征方程: aSS+a4S+a3 S+a2S+a, S+ao=0 则劳斯表为 aa -dsd. A2 Aa-aa B a,a 0 BA2-A,B C1B,-0 0
5 第二步：进行下列运算，建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例如，现有一个五阶系统，其特征方程： 则劳斯表为 4－1 控制系统的稳定性分析 1 0 0 2 2 3 3 4 4 5 a5 s + a s + a s + a s + a s + a = 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 2 1 0 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 0 2 1 1 2 4 2 1 2 4 4 1 5 0 2 4 4 3 5 2 1 3 4 2 0 4 5 3 1 5 B C C B s D B B A A B s C a A A a B A A a a A s B a a a a a A a a a a a s A s a a a s a a a = − = − = = − = − = − = − =
4-1控制系统的稳定性分析 第三步:根据劳斯判据判别系统的稳定性 劳斯判据:系统稳定的充要条件是 劳斯表中第一列各值为正,则系统稳定;若劳斯表中第一列 出现负值,则系统不稳定,且实部为正(即分不平面右半 部)的根的数目,等于劳斯表中第一列系数符号改 例:系统的特征方程:4+7x3+17s2+17s+6=0 解:列出劳斯表: 因为劳斯表中第一列元素 176 无符号变化,说明该系统特征 7170 方程没有正实部根,所以 s2145760 系统稳定 s14.1200
6 第三步：根据劳斯判据判别系统的稳定性。 劳斯判据：系统稳定的充要条件是： 劳斯表中第一列各值为正，则系统稳定；若劳斯表中第一列 出现负值，则系统不稳定，且实部为正（即分布在平面右半 部）的根的数目，等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。 例：系统的特征方程： 解：列出劳斯表： 因为劳斯表中第一列元素 无符号变化，说明该系统特征 方程没有正实部根，所以： 系统稳定。 4－1 控制系统的稳定性分析 7 17 17 6 0 4 3 2 s + s + s + s + = 6 0 0 14.12 0 0 14.57 6 0 7 17 0 1 17 6 0 1 2 3 4 s s s s s
4-1控制系统的稳定性分析 例:已知系统的特征方程为, s3+4s2+10s+50=0 试用劳斯判据判别其稳定性。 解:列出劳斯表 110 450 2.50 500 劳斯表中第一列元素的符号变化两次,说明该系统 有两个特征根在右半s平面,所以系统不稳定
7 例：已知系统的特征方程为， 试用劳斯判据判别其稳定性。 解:列出劳斯表 劳斯表中第一列元素的符号变化两次，说明该系统 有两个特征根在右半s平面，所以系统不稳定。 4 10 50 0 3 2 s + s + s + = 50 0 2.5 0 4 50 1 10 0 1 2 3 s s s s − 4－1 控制系统的稳定性分析
4一1控制系统的稳定性分析 2.劳斯判据的两种特殊情况 (1)劳斯表中某行第一项元素为零,其余项不为零或不全为零 此时,可以用一个任意小的正数代替这个零,然后按通常的 规则继续完成劳斯表中其余各项元素的计算。如果零()上 面这项系数符号与零(因)下面这项系数符号相反,表明这里 有一个符号变化 例:特征方程+s+53+52+25+1=0,试判别稳定性。 解: 列出劳斯表 劳斯表中第一列元素 符号的变化的次数也为 0(E 10 两次,说明特征方程有 5E-1 两个正实部的根,所以 E 系统不稳定 5E-1-800 5E-1 00
8 2．劳斯判据的两种特殊情况 (1) 劳斯表中某行第一项元素为零，其余项不为零或不全为零。 此时，可以用一个任意小的正数代替这个零，然后按通常的 规则继续完成劳斯表中其余各项元素的计算。如果零（ ）上 面这项系数符号与零（ ）下面这项系数符号相反，表明这里 有一个符号变化。 例： 特征方程 ，试判别稳定性。 解： 列出劳斯表 劳斯表中第一列元素 符号的变化的次数也为 两次，说明特征方程有 两个正实部的根，所以 系统不稳定。 4－1 控制系统的稳定性分析 5 5 2 1 0 5 4 3 2 s + s + s + s + s + = 1 0 0 0 0 5 1 5 1 1 0 5 1 0( ) 1 0 1 5 1 1 5 2 0 2 1 2 3 4 5 s s s s s s − − − −
4一1控制系统的稳定性分析 (2)某一行元素全为零 如果出现某一行元素全为零,说明特征方程存在大小相等符 号相反的实根和(或)共轭虚根,或者共轭复根。此时,可用全 零行上面一行的元素构造一个辅助方程,利用辅助方程对s的求导 后得到的方程系数代替全零行的元素,然后再按通常的规则完成 劳斯表中其余各项元素的计算。辅助方程的次数总是偶数,所有 那些数值相同符号相异的根都可由辅助方程求得。 例系统特征方程为+2+16+16=0,试用判别其稳定性。 解: 列出劳斯表 全零行上面一行(行)的元素 构造一个辅助方程A(s),可求 0(2)0 解A(s)=0得到数值相等符号相 160 异的根,系统处于临界稳定 状态 A(s)=s2+16=0
9 （2）某一行元素全为零 如果出现某一行元素全为零，说明特征方程存在大小相等符 号相反的实根和（或）共轭虚根，或者共轭复根。此时，可用全 零行上面一行的元素构造一个辅助方程，利用辅助方程对s的求导 后得到的方程系数代替全零行的元素，然后再按通常的规则完成 劳斯表中其余各项元素的计算。辅助方程的次数总是偶数，所有 那些数值相同符号相异的根都可由辅助方程求得。 例 系统特征方程为 ，试用判别其稳定性。 解： 列出劳斯表。 全零行上面一行（行）的元素 构造一个辅助方程A(s) ， 可求 解A(s)=0得到数值相等符号相 异的根，系统处于 临界稳定 状态。 4－1 控制系统的稳定性分析 16 16 0 3 2 s + s + s + = 16 0 0(2) 0 1 16 1 16 0 1 2 3 s s s s ( ) 16 0 2 A s = s + = s 4 j 1,2 =
4-1控制系统的稳定性分析 例确定系统稳定的K、T值 R(S) K(S+1) C(s) s(Ts+1)(2s+1) 解:系统的特征方程为23+(2+7)2+(K+1)s+K=0 列出劳斯表 要使系统稳定,第一列元素 2T K+1 的符号均应大于零。由此得下 2+T K K>0.2T>0 11(2+TK+1)-27K +T)(k+1)-27K>0 2+T K 则稳定条件为: T+2 T>0,0<K
10 例 确定系统稳定的K、T值。 解: 系统的特征方程为 列出劳斯表 要使系统稳定，第一列元素 的符号均应大于零。由此得 则稳定条件为： 4－1 控制系统的稳定性分析 ( 1) ( 1)(2 1) K s s Ts s + + + R s( ) + C s( ) − 2 (2 ) ( 1) 0 3 2 Ts + +T s + K + s + K = 0 0 2 (2 )( 1) 2 2 2 1 0 1 2 3 s K T T K TK s s T K s T K + + + − + + K 0,2T 0, (2 + T)(K +1) − 2TK 0 T 0 2 2 − + T T , 0< K <
