《自动控制原理》 根轨迹法 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
1 《自动控制原理》 ——根轨迹法 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
第五章《根轨迹法》 5.1根轨迹的定义与幅相条件 系统动态响应的基本特征是由闭环极点(即闭环特征方程的 根)在s平面上的位置决定的。根轨迹法的基本思想是:在已 知开环传递函数零、极点分布基础上,通过图解法研究系统某 个或多个参数变化时,对控制系统闭环极点分布的影响。 5.1.1根轨迹的定义 例设一系统R+ KI C(s) s(S+ 1) 闭环传递函数 K 特征方程 S+S+KI s2+s+K,=0 特征方程的根 1,2 0.5±0.51-4K1
2 第五章《根轨迹法》 5.1 根轨迹的定义与幅相条件 系统动态响应的基本特征是由闭环极点（即闭环特征方程的 根）在s平面上的位置决定的。根轨迹法的基本思想是：在已 知开环传递函数零、极点分布基础上，通过图解法研究系统某 一个或多个参数变化时，对控制系统闭环极点分布的影响。 5.1.1 根轨迹的定义 例 设一系统 闭环传递函数 特征方程 特征方程的根： 1 2 1 s s K K (s) + + = s s K1 0 2 + + = 1, 2 5 1 4K1 s = −0.5 0. − 1 ( 1) K s s + R s( ) + C s( ) −
第五章《根轨迹法》 若K1从零到无穷大变化时,特征方程根的变化情况如表 K110 0.125 0.25 0.5 -0.146 -0.5 0.5+j0.5 0.5+j00 -0854 -0.5 50.5 -0.5-0 I 所谓根轨迹图,即以系统增益 K1为参变量,当K1由0→∞时, 系统闭环极点在s平面上变化 K1=0.25K1=0 的轨迹 0.5 0 根据此图可以分析参数变化 对系统特性的影响
3 第五章《根轨迹法》 若K1从零到无穷大变化时，特征方程根的变化情况如表 所谓根轨迹图，即以系统增益 K1为参变量，当K1由0→∞时， 系统闭环极点在s平面上变化 的轨迹。 根据此图可以分析参数变化 对系统特性的影响。 K1 0 0.125 0.25 0.5 …… ∞ s1 0 -0.146 -0.5 -0.5+j0.5 …… -0.5+j∞ s2 -1 -0.854 -0.5 -0.5-j0.5 …… -0.5-j∞ Im Re 1 K = 0.25 1 K = 0 −1 −0.5 0 K1 − K1
第五章《根轨迹法》 ■稳定性当增益K1由0→∞,根轨迹不会越过虚轴进入s平 面右半边,因此系统对所有的值都是稳定的, 稳态特性开环传递函数在坐标原点有一个极点,所以属I 型系统,根轨迹上的值就是K。如果已知es,则在根轨迹 图上可以确定闭环极点取值的容许范围 动态特性 当00.5时,闭环系统是复极点,为欠阻尼状态,单位 阶跃响应为衰减振荡过程
4 第五章《根轨迹法》 ◼ 稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平 面右半边，因此系统对所有的值都是稳定的， ◼ 稳态特性 开环传递函数在坐标原点有一个极点，所以属I 型系统，根轨迹上的值就是Kv。如果已知ess，则在根轨迹 图上可以确定闭环极点取值的容许范围。 ◼ 动态特性 当00.5时，闭环系统是复极点，为欠阻尼状态，单位 阶跃响应为衰减振荡过程
第五章《根轨迹法》 分析表明,根轨迹与系统性能之间有着较密 切的联系。然而,对于高阶系统,用解析的方 法绘制系统根轨迹图,显然是不适用的。我们 希望能有简便的图解方法,根据已知的开环传 递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此,需 要 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的 关系
5 第五章《根轨迹法》 分析表明，根轨迹与系统性能之间有着较密 切的联系。然而，对于高阶系统，用解析的方 法绘制系统根轨迹图，显然是不适用的。我们 希望能有简便的图解方法，根据已知的开环传 递函数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需 要： 研究开环零、极点与闭环系统的根轨迹之间的 关系
第五章《根轨迹法》 5.1.2根轨迹的幅相条件 R(s) C(s) G(s) 闭环传递函数: op(s) H(S) 1+G(S)H(S) 闭环特征方程:1+G(s)H(s)=0 或 G(s)H(S)=-1 由于G(s)H(s)是复数,可以用向量表示,将其分成两个方程。 幅角条件: ∠G(s)H(s)=±180°(2k+1)(k=01.2 幅值条件 (S)H(S) 6
6 第五章《根轨迹法》 5.1.2 根轨迹的幅相条件 闭环传递函数： 闭环特征方程： 或 由于 是复数，可以用向量表示，将其分成两个方程。 幅角条件： 幅值条件： R s( ) + C s( ) − G s( ) H s( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s s + = 1+G(s)H(s) = 0 G(s)H(s) = −1 G(s)H(s) G(s)H (s) = 180 (2k +1) (k = 0,1,2, ) G(s)H(s) =1
第五章《根轨迹法》 设 K∏(+=,) G(SH(S (n≥m stp J= 幅角条件: G(s)H()=∑A(s+2)-∑(s+n) 幅值条件 =±180°(2k+1) (k=0,1,2,……) K S+ st p G(S)H(S) 或K1 j=l s+p S+Z
7 设 幅角条件： 幅值条件 或 第五章《根轨迹法》 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 n m s p K s z G s H s n j j m i i + + = = = = = = + − + n j j m i G s H s s zi s p 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 180 (2 1) ( 0,1,2,) = k + k = ( ) ( ) 1 1 1 1 = + + = = = n j j m i i s p K s z G s H s = = + + = m i i n j j s z s p K 1 1 1
第五章《根轨迹法》 凡满足幅值和幅角条件的s值,都是闭环的极点,即特征方 程的根。这些s值构成系统的根轨迹。关键在于找出这些S点。 实际中,通常在复平面中寻找满足幅角条件的s值来绘制根 轨迹曲线,用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的K1值。 工程上定义: (1)当0≤K1<+∞时的根轨迹称之为主要根轨迹,简称根轨迹 (2)当—0<K1≤0时的根轨迹称之为辅助根轨迹或补根轨迹 (3)当-0<K1<+∞时的根轨迹称为完全根轨迹,简称全根轨迹 5.1.3绘制根轨迹的步骤: 1)寻找满足幅角条件所有的S点,由这些点构成根轨迹 2)根据幅值条件确定对应点(即特征方程根)处的K1值
8 第五章《根轨迹法》 凡满足幅值和幅角条件的s值，都是闭环的极点，即特征方 程的根。这些s值构成系统的根轨迹。关键在于找出这些s点。 实际中，通常在复平面中寻找满足幅角条件的s值来绘制根 轨迹曲线，用幅值条件确定根轨迹曲线上各点所对应的K1值。 工程上定义： （1）当 0≤ K1 <+∞时的根轨迹称之为主要根轨迹，简称根轨迹。 （2）当 —∞< K1 ≤0时的根轨迹称之为辅助根轨迹或补根轨迹。 （3）当 —∞< K1 <+∞时的根轨迹称为完全根轨迹，简称全根轨迹。 5.1.3 绘制根轨迹的步骤： （1）寻找满足幅角条件所有的s点，由这些点构成根轨迹； （2）根据幅值条件确定对应点(即特征方程根)处的K1值
第五章《根轨迹法》 5.2绘制根轨迹图的基本规则 以开环根迹增益K1为参变量绘制根轨迹的一些基本规则。 根轨迹的起点和终点 起点(K1=0):起始于开环传递函数的极点; 终点(K1→∞):终止于开环传递函数的零点。包括m个 有限远的零点(简称有限零点)和(n-m) 个无限远的零点(简称无限零点)。 当K1=0→∞变化时,整个根轨迹的趋向由起点移向终 点,即由开环的极点移向开环的零点
9 第五章《根轨迹法》 5.2 绘制根轨迹图的基本规则 以开环根迹增益K1为参变量绘制根轨迹的一些基本规则。 1. 根轨迹的起点和终点 起点（ ）： 起始于开环传递函数的极点； 终点（ ）：终止于开环传递函数的零点。包括m个 有限远的零点（简称有限零点）和(n-m) 个无限远的零点(简称无限零点)。 ◼ 当 变化时，整个根轨迹的趋向由起点移向终 点，即由开环的极点移向开环的零点。 K1 = 0 K1 → K1 = 0 →
第五章《根轨迹法》 起点 s+ p 因为 k1= s+P-K11+2|= IIs+=il i=1 K1→)0 时 1.2. 说明根轨迹起始于开环传递函数的极点,η阶系 统共有n个开环极点,每个开环极点都对应根轨迹 的一个起点,所以共有n个起点
10 起点： 因为 当 时， 说明根轨迹起始于开环传递函数的极点，n阶系 统共有n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹 的一个起点，所以共有n个起点。 = = + + = m i i n j j s z s p K 1 1 1 - = + n j j s p 1 = + m i i s z 1 − K1 ＝0 K1 → 0 s p ( j 1,2, n) = − j = 第五章《根轨迹法》