《自动控制原理》 根轨迹法(5-2) 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
1 《自动控制原理》 ——根轨迹法 (5-2) 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
第五章《根轨迹法》 6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点 K1=∞ = K1=0 会合点 分离点 K1=0 分离点或会合点的必要条件: dG s)H(s)] 0 式中 (S+2;) (S+21) G(SH(S=KI =K1G1(s)H1(s) G1(s)H1(s) (s+P,) (s+P,) j=-1
2 第五章《根轨迹法》 6、根轨迹在实轴上的分离点与会合点 分离点或会合点的必要条件： 式中 0 [ ( ) ( )] 1 1 = ds d G s H s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 K G s H s s p s z G s H s K n j j m i i = + + = =− =− =− =− + + = n j j m i i s p s z G s H s 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) K1 = 分离点 K1 = 0 K1 = K1 = K1 = 0 K1 = 会合点 0 K1 = 0 K1 =
第五章《根轨迹法》 设系统的开环传递函数 K∏(s+=,) G(SH(S) K,G(s)(s)=k P(s) S+P,) Ps)=∏(s+)=(s+=1s+=2)…(S+=m) Q(s)=∏1(s+P)=(s+P1s+P2)…(s+Pn) j=1 1+G(s)H(s)=1+K1G1(S)H1(s)=1+Ky0O K1P(s)+Q(s)=0
3 第五章《根轨迹法》 设 系统的开环传递函数 P(s) (s z ) (s z )( s z ) (s z ) m m i = + i = + + + = 1 1 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 n n j Q s = s + p j = s + p s + p s + p = 0 ( ) ( ) 1+ ( ) ( ) =1+ 1 1 ( ) 1 ( ) =1+ 1 = Q s P s G s H s K G s H s K K1 P(s) +Q(s) = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 Q s P s K G s H s K s p K s z G s H s n j j m i i = = + + = = =
第五章《根轨迹法》 根轨迹在s平面上相遇,表明系统有相同的根。即根轨迹上 的分离点(或会合点)与特征方程式的重根相对应。若为二重 根,必同时满足f(1)=0和fs)=0。因此求得: K1P(s)+Q(s)=0 KP(S)+0(S=0 消K去,可得到:P(s)Q(s)-P(s)Q(s)=0 便于忘记,上式又可写成: [G1(s)H1(s) 或dG(s)H() 0 d 以上分析没有考虑K1≥0(且为实数)的约束条件,所以只有满 足K1≥0的这些解,才是真正的分离点(或会合点)
4 第五章《根轨迹法》 根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即根轨迹上 的分离点(或会合点) 与特征方程式的重根相对应。若为二重 根，必同时满足 和 。因此求得： 消 去，可得到： 便于忘记，上式又可写成： 或 以上分析没有考虑 (且为实数)的约束条件，所以只有满 足 的这些解，才是真正的分离点（或会合点）。 f (s1 ) = 0 f (s1 ) = 0 + = + = 0 0 1 1 K P (s) Q (s) K P(s) Q(s) K1 P(s)Q(s) − P(s)Q(s) = 0 0 [ ( ) ( )] 1 1 = ds d G s H s 0 [ ( ) ( )] = ds d G s H s 0 K1 K1 0
第五章《根轨迹法》 例:设系统B+② K1(s+2) C(s) +2s+2 试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。 解:系统的开环传递函数: K1(S+2) G(s)H(s)=2+2s+2 2 s2+4s+2 [G1(s)H1()= s+ 0 d 2s+2」(s2+2s+2) 求得:S1=-0.586(舍去)S2=-3414 代入特征方程1+G(Ss)H(s)=0检验:S代入,求得:K0。所以S2会合点。 5
5 第五章《根轨迹法》 例: 设系统 试求该系统根轨迹在实轴上的会合点。 解：系统的开环传递函数： 求得： 代入特征方程1+G(s)H(s)=0检验：s1代入，求得：K＜0，故 舍去； s2代入，求得K＞0 。所以s2会合点。 R s( ) + C s( ) − 1 2 ( 2) 2 2 K s s s + + + 2 2 ( 2) ( ) ( ) 2 1 + + + = s s K s G s H s 0 ( 2 2) 4 2 2 2 2 [ ( ) ( )] 2 2 2 2 1 1 = + + + + = + + + = s s s s s s s ds d G s H s ds d s1 = −0.586 (舍去) s2 = −3.414
第五章《根轨迹法》 橙验K1只要得到的符号即可不必出具体的数值 Im K1=0 K1→0 0 Re K1=0 -3.414 一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点) 之间;则个分离点(会合点)。如果根轨迹位于实轴上一个开 环极点与一个开环零点之间,则或者既不存在分离点,也不 存在会合点,或者既存在分离点,又存在会合点 6
6 第五章《根轨迹法》 检验K1只要得到的符号即可,不必出具体的数值。 一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点) 之间；则个分离点(会合点) 。如果根轨迹位于实轴上一个开 环极点与一个开环零点之间，则或者既不存在分离点，也不 存在会合点，或者既存在分离点，又存在会合点。 Re Im0 [ ]s j − j −2 −1 1 K = 0 1 K = 0 − 3.414 K1 K1
第五章《根轨迹法》 四重分离点 复数分离点 K1=0 Im K1=0 K1→ K 分离点 R e K1=0 K1=0 分离点 K1=0
7 第五章《根轨迹法》 Re Im 0 1 K = 0 1 K = 0 1 K = 0 1 K = 0 K1 K1 K1 K1 分离点 分离点 Re 1 K = 0 1 K = 0 1 K = 0 1 K = 0 K1 K1 K1 K1 Im 0 四重分离点 复数分离点
第五章《根轨迹法》 P(s)Q(s)-P(s)Q(s)=0另外两种表达形式: d K1=0 as 因为K1P(s)+Q(s)=0 k1=9(s) P(s) QY-Qs∥P(S dK 令=0,即得到P(sQ(s)-P(sQ(s)=0
8 第五章《根轨迹法》 另外两种表达形式： (1) 因为 令 , 即得到 ( ) ( ) 1 P s Q s K = − P (s) Q (s)P(s) Q(s)P (s) ds dK 2 1 − = − 0 1 = ds dKK1 P(s) +Q(s) = 0 P(s)Q(s) − P(s)Q(s) = 0 0 1 = ds dK P(s)Q(s) − P(s)Q(s) = 0
第五章《根轨迹法》 R(S) K1(S+2) C(s 仍以上例说明 因为 1+G(s)H(s)=K1(s+2)+(s2+2s+2)=0 s2+2s+2 K +2 令 dK 0 +4s+2=0 求得 586(舍去) 3.414
9 第五章《根轨迹法》 仍以上例说明: 因为 令 求得 1 ( ) ( ) ( 2) ( 2 2) 0 2 +G s H s = K1 s + + s + s + = 2 2 2 2 1 + + + = − s s s K 4 2 0 2 s + s + = s1 = −0.586 s 2 = −3.414 R s( ) + C s( ) − 1 2 ( 2) 2 2 K s s s + + + 0 1 = ds dK (舍去)
第五章《根轨迹法》 =1S+2;=S+P 因为 (s)Q(s)-P(S)Q(S)=0 P(s)S as 其中P(s)=(s+1Xs+z2)…(s+m) Q(s)=(s+p1)(S+p2)…(s+p S s+Z 1+2 S+2 IIn O(s) S+ pI S+ p2 st p 所以 S+z st p
10 (2) 因为 即 其中 即 所以 - 第五章《根轨迹法》 = = + = + n j i m i 1 s zi 1 s p 1 1 Q(s) Q (s) P(s) P (s) = [ln ( )] [ln Q(s)] ds d P s ds d = ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 2 n m Q s s p s p s p P s s z s z s z = + + + = + + + n m s p s p s p Q s ds d s z s z s z P s ds d + + + + + + = + + + + + + = 1 1 1 [ln ( )] 1 1 1 [ln ( )] 1 2 1 2 = = + = + n j i m i 1 s zi 1 s p 1 1 P(s)Q(s) − P(s)Q(s) = 0
