《自动控制原理》 频域稳定性分析(6-4) ( Nyquist稳定性判据) 上海交通大学自动化系 田作华 Zhian@sjtu.edu.cn
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6-4控制系统稳定性分析 -Nyquist稳定性判据 基本思想:利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 预备知识幅角定理 由复变函数可知,对S复平面上除奇点外的任 点,经过复变函数F(s)的映射,在F(s)平面上可以找 到对应的象。设辅助函数 II(S+zi)l S+2 F()=1=∑/s+∑∠s+p) ∏I+p)Is+n
2 基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 一、预备知识——幅角定理 由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一 点，经过复变函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找 到对应的象。设辅助函数 ( ) ( ) ( ) s p s z F s 1 1 1 1 j n j 1 i n i 1 Π Π F s F s s z s p s p s z n j j n i i n j j n i i
令:5从开始沿任一闭合路径。(不经过F(的零点和极 点)顺时针旋转一圈,F(S)的相角变化情况如下: 零点(-2)极点(P) Im 1)-Z在I外。2)P在外 二; △+D=0 结论:相角无变化 Z在I内,/+2=z顺时针) 2)P在I内,+-2xF(逆时针 结论:若F(s)在厂中有Z个零点和P个极点,则当s沿I顺时 针方向旋转一圈时,F(s)相角有变化(顺时针) ∠F(S)=-2(Z-P)
3 令：s从 开始沿任一闭合路径Γs （不经过F(s)的零点和极 点）顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下： 零点(-Zi) 极点(-Pj) 1) –Zi在Γs外。 2) –Pj在Γs外。 结论：相角无变化 1) –Zi在Γs内， 。(顺时针 ) 2) –Pj在Γs内， 。(逆时针) 结论：若F(s)在Γs中有Z个零点和P个极点，则当s沿Γs顺时 针方向旋转一圈时， F(s) 相角有变化（顺时针）： • 1 s s zi 0 s zi 2 s p j 2 s p j 0 1 z 2 0 z s Im Re 1s F(s) 2 (Z P)
幅角定理: F(s)是s的单值有理函数,在s平面上任一闭 合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点,并且 不经过F(s)的任一零点和极点,则当s沿闭合 路径顺时针方向旋转一圈时,映射到F(s)平面 内的F(s)曲线顺时针绕原点(乙-P)。即 N=Z-P (或逆时针绕原点N=P-Z圈) 其中:N为圈数,正、负表示的旋转方向:逆时 针为正,顺时针为负
4 幅角定理： F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭 合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且 不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合 路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面 内的F(s)曲线顺时针绕原点（Z – P）圈。即 N=Z-P （或逆时针绕原点N= P - Z圈） 其中：N为圈数，正、负表示的旋转方向：逆时 针为正，顺时针为负
三、奈魁斯特稳定性判据 1.奈氏路径 s=-10→>-10→+10→+1→-顺时针方向包围整个s 右半面。由于不能通过 JOA F(S)的任何零、极点, 平面 所以当F(s)有若干个极 点处于s平面虚轴(包 R 括原点)上时,则以 +j0 F(s)的极点 这些点为圆心,作半 径为无穷小的半圆, O 按逆时针方向从右侧 绕过这些点
5 三、奈魁斯特稳定性判据 1．奈氏路径 顺时针方向包围整个s 右半面。由于不能通过 F(s)的任何零、极点， 所以当F(s)有若干个极 点处于s平面虚轴（包 括原点）上时，则以 这些点为圆心，作半 径为无穷小的半圆， 按逆时针方向从右侧 绕过这些点。 j j 1 j 1 j F (s)的极点 R j j0 j0 s平面 s j j0 j0 j j
2.奈氏判据 设:F(S)=1+GH(——闭环系统特征多项式 显然:F(s)的零点就是闭环系统的极点 1)1+G(S)H(S平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈,根据幅角定理,F(s)平 面上绘制的F(s)曲线I逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差: N=P-Z 当Z=0时,说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面,系统是稳定的;反之,系统则是不稳定的
6 2. 奈氏判据 设： ——闭环系统特征多项式 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1＋G(S)H(S)平面上的系统稳定性分析 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线ΓF逆时针方向绕原点的圈数N则为 F(s)在s右半开平面内极点个数P与的零点个数Z之差： N= P - Z 当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开 平面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。 FS 1 GsHs
(2)G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析-奈氏判据 因1+G()H(s)与G(s)Hs)相差1,所以系统稳定性可表述为 奈氏判据:闭环系统稳定的充要条件是:s沿着奈氏路径绕 圈,G(jω)H(ω)曲线逆时针绕(-1,j0)点的P圈。 P为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。 a.若P=0,且N=0,即础H曲线不包围(-1,j0)点,则闭环系 统稳定; b.若P≠0,且N=P,即QH曲线逆时针绕(-1,j0)点P圈,则 闭环系统稳定,否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取 Z=P-N C.若础H曲线通过(-1,j0)点次,则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上
7 （2）G(s)H(s)平面上的系统稳定性分析--奈氏判据 因1+ G(s)H(s) 与G(s)H(s) 相差1，所以系统稳定性可表述为： 奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕 一圈，G(jω)H(jω)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。 P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。 a.若P=0，且 N=0，即GH曲线不包围（-1，j0）点，则闭环系 统稳定； b.若P≠0，且N=P，即GH曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PN c.若GH曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上
例:一系统开环传递函数为 C G(SH(S) (a>0) S 试判别系统的稳定性 解:本系统的开环频率特性 0=-00 0 G(OH(o) Jo- 当=-/→-10→+)→+变化时 系统的幅相曲线如图所示。 因为系统有一个开环极点位于s的右 半平面,即:P=1 图中奈氏曲线是逆时针方向绕(-1,j0)点的圈,即N 根据奈氏判据,闭环系统在s右半平面极点数Z=PN=1-1=0 所以系统稳定
8 例: 一系统开环传递函数为： 试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性 当 变化时， 系统的幅相曲线如图所示。 因为系统有一个开环极点位于s的右 半平面，即：P=1。 图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=1。 根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-N=1-1=0 所以系统稳定。 ( a 0) 1 ( ) ( ) s a G s H s 1 ( ) ( ) j a G j H j j j0 j0 j 2 1 0 Re Im
a.当s=0是开环极点时,奈氏路径: s=-j0→+j0时,以原点为圆心,作 半径为E无穷小的半圆,按逆时针 R 方向从右侧绕过原点 令=5e0,80当从s=j0转到+j0 jO 时,0从-90°变到+90°(I型系统) K∏ T i e K G(SH(S) moe Joe S=Ee D Ee ∏ (T;e+1) J=b+1 所以,E0DmO从x(90变到b×
9 a. 当s=0是开环极点时，奈氏路径： s= - j0→+j0时，以原点为圆心，作 半径为 无穷小的半圆，按逆时针 方向从右侧绕过原点。 令 , ε→0 当从s=-j0转到+j0 时，θ从-90°变到+90°（Ⅰ型系统 ） 所以， 从 变到 。 0 j0 j0 Im Re j s e j θ n jθ j 1 jθ j jθ m i 1 jθ i s e e ( e ) K ( ) (T e 1) K (τ e 1) G(s)H(s) jθ e G( j)H ( j) ( 90 ) 90
结论:当s从-j0转到+0时,G(sH(s)的奈氏曲线以 半径为无穷大,顺时针转过[Dz b.s-∞的奈氏曲线 令:=Re因为R→∞,则有 KIlI(ReJo+=i) G(SH(S i(n-m)e =Re ∏(Re+p) 所以,对n-m>0的系统,ε就趋向于零。∠o)(o) 从-(n-m)90°变到+(n-m)90°
10 结论: 当s从-j0转到+j0时，G(s)H(s)的奈氏曲线以 半径为无穷大，顺时针转过 。 b．s→∞的奈氏曲线 令: 因为R→∞ ， 则有 所以，对n - m>0的系统，ε就趋向于零。 从 -（ n - m） 90°变到 +（n - m）90° 。 j s Re j(n-m)θ n j 1 j jθ m i 1 i jθ 1 s e e (Re p ) K (Re ) G(s)H(s) jθ z R G(j)H(j)