《自动控制原理》 根轨迹法(5-3) 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
1 《自动控制原理》 ——根轨迹法 (5-3) 上海交通大学自动化系 田作华 Zhtian@sjtu.edu.cn
复习 「内容 规则 1起点起始于开环的极点,终止于开环传的零点(包括 终点无限零点) 2分支数等于开环传递函数的极点数(n≥m) 3对称性对称于实轴 渐近线相交于实轴上的同一点 坐标为:∑n-角为 ±180°(2k+1) n-m n-m 实轴上实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹 5|分布则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为 奇数
2 复习 序 内容 规 则 1 起点 终点 起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括 无限零点） 2 分支数 等于开环传递函数的极点数（nm） 3 对称性 对称于实轴 4 渐近线 相交于实轴上的同一点： 坐标为： 倾角为： 5 实轴上 分布 实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹， 则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为 奇数 n m p z n i m j i j − − − = − =1 =1 n m k − + = 180 (2 1)
复习 序内容 规则 6分离(回实轴上的分离(会合)点4G()H1()=0或K=0 合)点 (必要条件) ds 7出射角复极点处的出射角 复零点处的入射角: 入射角0±180(2k+)+2-∑05=±180(2k++∑0-∑9 =1 j=1 =1 J≠a i≠b 8虚轴交点(1)满足特征方程+(o)(=0的值: (2)由劳斯阵列求得(及K1响应的值); 9走向当m2k→时,一些轨迹向右,则另一些将向左。 根轨迹上任一点处的K1 10K1计算 K 开环极点至向量s长度的乘积 G(s)H1(s)开环零点至向量s长度的乘积
3 复 习 序 内容 规 则 6 分离（回 合）点 实轴上的分离（会合）点 ——（必要条件） 7 出射角 入射角 复极点处的出射角： 复零点处的入射角： 8 虚轴交点 （1）满足特征方程 的 值； （2）由劳斯阵列求得（及K1响应的值）； 9 走向 当 时 ， 一些轨迹向右，则另一些将向左。 10 K1计算 根轨迹上任一点处的K1： 0 0 [ ( ) ( )] 1 1 1 = = ds dK ds d G s H s 或 = = + + − m i n j a j a i j k 1 1 180 (2 1) = = = + + − n j m i b i b j i k 1 1 180 (2 1) 1+G( j)H( j) = 0 j n − m 2, K1 → 开环零点至向量 长度的乘积 开环极点至向量 长度的乘积 ＝ s s G s H s K ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 =
5一3控制系统性能的复域分析 K 例:系统的开环传递函数 G(SH(S) S(S+4)(S+6 试画根轨迹,并确定5=05时K1的值。 解:只对根轨迹曲线的特征点进行分析 (1)渐近线:3条 渐近线的夹角: ±180°(2k+1) 60°,180° 渐近线与实轴的交点: (0+4+6)-0 (2)分离点: s+4s+6 3s2+20s+24=0 1.57 S2=-51(舍去)
4 5－3 控制系统性能的复域分析 例: 系统的开环传递函数 试画根轨迹，并确定 时K1的值。 解：只对根轨迹曲线的特征点进行分析。 (1) 渐近线：3条。 渐近线的夹角： 渐近线与实轴的交点： （2）分离点： 即 （舍去） ( 4)( 6) ( ) ( ) 1 + + = s s s K G s H s = 0.5 60 ,180 3 1 180 (2 1) = − + = k 3.33 3 (0 4 6) 0 = − + + − − = − 0 6 1 4 1 1 = + + + + s s s s1 = −1.57 s2 = −5.1 3 20 24 0 2 s + s + =
5-3控制系统性能的复域分析 3)与虚轴的交点 系统的特征方程:S(s+4)(s+6)+K1=0 令S=j代入,求得 实部方程:100-K1=0 虚部方程:c3-24o=0 解得 C=±4.9 K1=240 K1=0(舍去) (4)确定5=0.5时的K1值:过原点作OA射线交根轨迹于A, 使得∠AOC=cos-105=60,测量得: OA=2.4.AB=5.3.AC=3.5 求得 2.4×3.5×5.3 K =44.5 5
5 5－3 控制系统性能的复域分析 （3）与虚轴的交点 系统的特征方程：s(s+4)(s+6)+K1=0 令 代入，求得 实部方程: 虚部方程： 解得： (舍去) （4）确定 时的K1 值： 过原点作OA射线交根轨迹于A， 使得 ， 测量得: 求得 s = j 10 − K1 = 0 24 0 3 − = = = 240 4.9 K1 = = 0 0 K1 = 0.5 cos 0.5 60 1 = = − AOCOA = 2.4, AB = 5.3, AC = 3.5 44.5 1 2.4 3.5 5.3 1 = K =
5-3控制系统性能的复域分析 A点对应的坐标,即闭环的一个极点位置:s1=-1.2+12.1 K1=44.5时另外两个极点s2=-12-121 S3=-7.6 同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-157处对应的K1=17。 I K 240 4.3 K 2.4 K1=44.5 B -1.57-120Re 6
6 5－3 控制系统性能的复域分析 A点对应的坐标，即闭环的一个极点位置: K1=44.5时另外两个极点 同理可求得根轨迹在实轴上的分离点-1.57处对应的K1=17。 s1 = −1.2+ j2.1 s2 = −1.2 − j2.1 s3 = −7.6 R e Im − 7 . 6 − 6 − 4 − 1 . 5 7 − 1 . 2 0 5 .3 3.5 2.4 4 . 3 2 . 1 6 0 1 K = 4 4 . 5 1 K = 240 A 1 K = 4 4 . 5 B C
5-3控制系统性能的复域分析 、复域分析 稳定性分析: 当K1=240时,有一对虚根,处于临界稳定,输出等幅振荡。 当K1>240时,根轨迹曲线进入S右半平面,系统有一对正实 部的共轭复根,因此系统处于不稳定状态。 当K1<240时,系统根的实数部分均为负值,即根都分布在S 左半平面,系统是稳定的。 2.稳态性能分析: 系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比,因此对稳 定的系统来说,K1越大,稳态误差越小,稳态性能也越好,但 K1最终不能大于240,否则,系统将出现不稳定状态
7 5－3 控制系统性能的复域分析 一、复域分析 1．稳定性分析： 当K1=240时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。 当K1>240时，根轨迹曲线进入S右半平面，系统有一对正实 部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。 当K1<240时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在S 左半平面，系统是稳定的。 2．稳态性能分析： 系统的开环根迹增益K1与开环放大系数成正比，因此对稳 定的系统来说，K1越大，稳态误差越小，稳态性能也越好，但 K1 最终不能大于240，否则，系统将出现不稳定状态
5-3控制系统性能的复域分析 3.动态性能分析: 当0<K1≤17时,该系统的根为负实数,此时可看成三个惯 性环节的串联,系统输岀具有非周期特性。 当17<K1<240时,系统有两个根轨迹分支进入复平面,产 生一对共轭复根,使系统的阶跃响应带有振荡的特性。随着 K增大,复根越靠近虚轴,输出振荡越厉害。 若取=0.5,极点:s1=-1.2+g2.1 1.2-j2.1 3=-7.6。由于s相对s1、S2来说,远离虚轴,S1、S2可看成 主导极点,S3可忽略,即可用二阶系统的动态特性指标来近 似这个实际上的三阶系统。不难求得该系统的复域动态性能 指标:5=0.5,ωn=2.4对应的动态性能时域指标 3.5 =2.9s 0n=16.3%
8 5－3 控制系统性能的复域分析 3．动态性能分析： 当0<K1≤17时，该系统的根为负实数，此时可看成三个惯 性环节的串联，系统输出具有非周期特性。 当17<K1<240时，系统有两个根轨迹分支进入复平面，产 生一对共轭复根，使系统的阶跃响应带有振荡的特性。随着 K1增大，复根越靠近虚轴，输出振荡越厉害。 若取ζ=0.5，极点： s1 =-1.2+j2.1，s2 =-1.2-j2.1， s3 =-7.6。由于s3相对s1、s2来说，远离虚轴，s1、s2可看成 主导极点，s3可忽略，即可用二阶系统的动态特性指标来近 似这个实际上的三阶系统。不难求得该系统的复域动态性能 指标：ζ=0.5，ω n =2.4对应的动态性能时域指标： t s = =2.9s σp=16.3% n . 3 5
5-3控制系统性能的复域分析 、增加开环零、极点对系统性能的影响 系统根轨迹的整体格局是由开环传递函数的零点、极点所共 同决定的。开环零、极点位置不同,根轨迹的走向差异很大 1.增加极点(以具体系统加以说明) 一般可以认为,当函数G(s)H(s)在s左半平面增加极点,会 促使原根轨迹向右半部移动,稳定性下降。 设系统的开环传递函数: G(sHS=I(a>0 SlS+a 增加零点 G(sHs) K >a s(s+a)s+b)
9 5－3 控制系统性能的复域分析 ( ) ( ) ( ) (a 0) s s a K G s H s 1 + = ( ) ( ) ( )( ) (b a) s s a s b K G s H s 1 + + = 二、增加开环零、极点对系统性能的影响 系统根轨迹的整体格局是由开环传递函数的零点、极点所共 同决定的。开环零、极点位置不同，根轨迹的走向差异很大。 1．增加极点（以具体系统加以说明） 一般可以认为，当函数G(s)H(s)在s左半平面增加极点，会 促使原根轨迹向右半部移动，稳定性下降。 设 系统的开环传递函数： 增加零点
5-3控制系统性能的复域分析 K1→-∞ K K1=0 K1=0 00+K1K1=0K1=0 K1=0 0 Re K 1∞ K1→ K K >0 (b)G(sH(s) >a +a +axs+b 增加极点轨迹向右弯曲,渐近线角度由±90变为±60。分离 点向右移。(a)稳定,(b)在K1小时稳定,K1大可能不稳定
10 5－3 控制系统性能的复域分析 Re Im0 1 K = 0 1 K = 0 −a 2 a − K1 K1 Re Im0 1 K = 0 − a 1 K = 0 − b b = K1 1 K = 0 K1 K1 K1 K1 ( ) ( ) ( ) (a 0) s s a K G s H s 1 + = ( ) ( ) ( )( ) (b a) s s a s b K G s H s 1 + + = 增加极点轨迹向右弯曲，渐近线角度由±900变为±600。分离 点向右移。 (a) 稳定， (b) 在K1小时稳定， K1大可能不稳定。 (a) (b)