第四章常用网络定理 本章介绍几个基本电路定理,除替代定理和特勒根定理外,都以 线性网络为前提条件。掌握这些定理,有助于简化电路的分析工作。 §4-1叠加定理 一、叠加定理的陈述 线性电路中,任一支路的电流或电压都是电路中各个独立源单独 作用时在该支路中产生的电流或电压分量的代数和。 例:看一下图示电路(a)中Ua、l1与激励的关系 I1a R1 R3 R: R3 +1s2 + DUs1 us3① Us1 + (a) (h) R1 R3 R1 R3 Is2 Us3 + (c) (d) 由弥尔曼定理: Ua-I. U R s2 -s3 3=v R3 R, a=1+1+rR+R32 R.+R3 R R3 由电阻R支路VAR: URRUSI+ +1 +R3 R1+R3 R1+R3 U 我们现在从另一方面分析此电路: U31单独作用:此时12开路,U33短路,电路图如图(b)所示 I= U s1 U= R R1+R3 R1+R31 n2单独作用:此时Us短路,Us短路,电路图如图(c)所示 =-(分流公式,注意方向)U=1 R,+R, R1+R3
1 第四章 常用网络定理 本章介绍几个基本电路定理 除替代定理和特勒根定理外 都以 线性网络为前提条件 掌握这些定理 有助于简化电路的分析工作 4 1 叠加定理 一 叠加定理的陈述 线性电路中 任一支路的电流或电压都是电路中各个独立源单独 作用时在该支路中产生的电流或电压分量的代数和 例 看一下图示电路(a)中U a I 1与激励的关系 由弥尔曼定理 = + - - = 1 3 3 3 2 1 1 1 1 R R R U I R U U s s s a 3 1 3 1 2 1 3 1 3 1 1 3 3 s s U s R R R I R R R R U R R R + - + - + 由电阻R1支路 VAR 3 1 3 2 1 3 3 1 1 1 3 1 1 1 1 s s s s a U R R I R R R U R R R U U I + + + + + = - 我们现在从另一方面分析此电路 Us1单独作用 此时 S 2 I 开路 U S3 短路 电路图如图(b)所示 I U R R s 1 1 1 3 ' = + U R R R a U s ' = + 3 1 3 1 I s 2 单独作用 此时U S1短路 U S3 短路 电路图如图(c)所示 I R R R I 1 s 3 1 3 2 " = - + (分流公式 注意方向) U R R R R I a s " = - + 1 3 1 3 2
U,单独作用:此时Us短路,32开路,电路图如图(d所示 R1 U Rtr R+r, 显然有:U=U+U+U”; l1=1-1+l1,1前的负号是由于n的参考方向与1相反 这样即可利用叠加定理求l1、U 所谓一个电压源单独作用而其它电压源不作用,就是那些不作用 电压源的电压强制为零,即移走电压源,并把原来接到电压源的两 端短接起来。当电路中存在电流源不作用时,电流源开路(P.67画线 的一段文字) 二、注意点 l)只适用于线性电路中的U、,(针对于激励分别作用时原电路 成为简单电路的情况) 2)U不作用→>短路之;1不作用→>开路之 3)U、1,既可分别作用,亦可变为分组作用(分组叠加) 4)求“代数和”时,应注意各U、/分量的正负号 5)不能对功率直接叠加 如:P2=R2=R(1+1+")2≠Rn12+R12+R"2(!) 6)叠加定理可理解为:线性电路中的响应与各激励成正比(线性 组合) 上句话有两层含义: 单个激励时,响应与激励成正比,符合齐次性; 多个激励时,总响应等于各激励单独作用时产生的响应的代 数和 如:U。=kU+k212+k3U2(P.70例4-5) 例:已知:如图4-7所示线性无源网络N,在外加激励共同作 用下:当U,=I,,=14时,U=0;当U,=10,,=0时,U。=, 问:当U,=0时,1,=10A时, Us H Is线性无源网络 N 解:此例说明线性电路中的响应与各激励线性组合关系(齐次性和可 加性)
2 Us 3单独作用 此时U S1短路 S 2 I 开路 电路图如图(d)所示 3 1 3 ' ' ' 1 1 U s R R I 3 1 3 ' ' ' 1 a U s R R R U + = - 显然有 Ua = Ua +Ua +Ua ' " "' I I I I 1 = 1 - 1 + 1 ' " "' I 1 "前的负号是由于I 1 "的参考方向与I 1相反 这样即可利用叠加定理求I 1 U a 所谓一个电压源单独作用而其它电压源不作用 就是那些不作用 电压源的电压强制为零 即移走电压源 并把原来接到电压源的两 端短接起来 当电路中存在电流源不作用时 电流源开路(P. 67 画线 的一段文字) 二 注意点 1) 只适用于线性电路中的 U I (针对于激励分别作用时原电路 成为简单电路的情况) 2) Us 不作用®短路之 I s 不作用®开路之 3) Us I s 既可分别作用 亦可变为分组作用(分组叠加) 4) 求 代数和 时 应注意各 U I 分量的正负号 5) 不能对功率直接叠加 如 ' ' ' 2 1 " 1 1 ' 1 2 1 1 1 P R I R (I I I ) R = = + + 2 ' ' ' 1 1 2" 1 1 2 1 1 ¹ R I + R I + R I (!!!) 6) 叠加定理可理解为 线性电路中的响应与各激励成正比(线性 组合) 上句话有两层含义 l 单个激励时 响应与激励成正比 符合齐次性 l 多个激励时 总响应等于各激励单独作用时产生的响应的代 数和 如 Ua = k1U s1 + k2 I s2 + k3Us3 (P. 70 例 4 5) 例 已知 如图 4 7 所示线性无源网络 N 在外加激励共同作 用下 当Us =1V I s = 1A 时 Uo = 0 当Us =10V I s = 0时 Uo = 1V 问 当Us = 0时 I s = 10A时 = ? Uo 解 此例说明线性电路中的响应与各激励线性组合关系(齐次性和可 加性)
U=U。=kUx+k2U2+…+knU 则:U=k1l,+k2U,其中k、k2为常数,依照命题条件有 k1+k2=0 10k,=1 10 k2 10 ∴当U,=0时,l1=10A时U=-×10+×0=-1V 特别地,当只有一个激励e时:响应r=ke 齐次定理 例:梯形电路(练习:P.41题2-2 例如:用齐次定理分析图示梯形电路中各支路电流(各电阻单位 为9) R 2 128uR Rall20 R6128 解:设: (R5+R6)l5=22 1.1A l3=l+l=2.1AU=R/3+Ub=262V R a 12=-2=1.31A R 1=12+13=341AU=R1+Ub=3302 上述计算表示的是电源电压为33.02V时各支路电流,实际电源 电压为120V,相当于增加至120=363倍(k=363) 由齐次性定理,各支路电流为上述电流的k倍,即 1=H=3.63×341=12.38A I,=k=4.76A 3=k}=7.62A 4=M4=3.99A l=k=363A ☆含受控源时,受控源照旧留在电路内,参与每一独立源作用时 的运算 例:电路如图所示,试用叠加定理求电压U(含受控源)。 18I 1v
3 o s s nUsn U =U = k U + k U + k 1 1 2 2 则 Uo = k1 I s + k2Us 其中k k 1 2 为常数 依照命题条件有 k k 1 2 0 1 + = = ì í î 10k2 k1 1 10 = - k2 1 10 = 当Us = 0时 I s = 10A时 0 1V 10 1 10 10 1 Uo = - ´ + ´ = - 特别地 当只有一个激励 e 时 响应 r = ke ── 齐次定理 例 梯形电路 (练习 P. 41 题 2 2) 例如 用齐次定理分析图示梯形电路中各支路电流(各电阻单位 为 ) 解 设 I 5 ¢ =1A ( ) Ubd = R5 + R6 ¢ I 5 ¢ = 22V A R U I bd 1.1 4 4 = ¢ ¢ = I 3 ¢ = I¢ 4 + I 5 ¢ = 2.1A Uad¢ = R3 I 3 ¢ +Ubd¢ = 26.2V A R U I ad 1.31 2 2 = ¢ ¢ = I 1 ¢ = I¢ 2 + I 3 ¢ = 3.41A Us ¢ = R1 I 1 ¢ +Ubd¢ = 33.02V 上述计算表示的是电源电压为 33.02 V时各支路电流 实际电源 电压为 120V 相当于增加至 120 3302 363 . = . 倍(k 3.63) 由齐次性定理 各支路电流为上述电流的 k 倍 即 I 1 = kI 1 ¢ = 3.63´3.41= 12.38A I 2 = kI 2 ¢ = 4.76A I 3 = kI 3 ¢ = 7.62A I 4 = kI 4 ¢ = 3.99A I 5 = kI 5 ¢ = 3.63A 含受控源时 受控源照旧留在电路内 参与每一独立源作用时 的运算 例 电路如图所示 试用叠加定理求电压U3 (含受控源)
解:按叠加定理,作出图(b)c),注意图中受控源仍保留控制关 系、控制系数均不变。但要注意控制量 图b:r,10=1A 6+4 U3=-101+4/2=-10+4×1=-6 图c1b×4=-164(分流公式,注意方向) r=0×4=24A(或P"=l+1") U3=-101+4/2=16+96=256V ∴U3=U+U=-6+256=196V 例:P.68例4-2 作业:P.884-1;4-3;4-4
4 解 按叠加定理 作出图(b)(c) 注意图中受控源仍保留控制关 系 控制系数均不变 但要注意控制量 图 b I I 1A 6 4 10 1 2 = + ¢ = ¢ = U3 ¢ = -10I 1 ¢ + 4I 2 ¢ = -10+ 4´1= -6V 图 c I 4 1.6A 6 4 4 1 ´ = - + ¢¢ = - (分流公式 注意方向) I 4 2.4A 6 4 6 2 ´ = + ¢¢¢¢= ( " ") 1 I I I 或 = S + U3 ¢¢ = -10I 1 ¢¢+ 4I 2 ¢¢ = 16+ 9.6 = 25.6V U3 U3 ¢ U3 ¢¢ = -6+ 25.6 = 19.6V 例 P. 68 例 4 2 作业 P. 88 4 1 4 3 4 4
§4-2替代(置换)定理 定理陈述 在给定的一个线性或非线性电路中,若已知第k条支路的U、I 分别为U、,则该支路可以用下列任何一种元件来替代 1)U,=U4的电压源; 2)l,=1的电流源; 3)阻值为R= 的电阻元件 替换后,对整个网络不发生影响 ARN N 电路解的存在和唯一性是替代定理的必要前提。 例:P.71例4-6 练习:P.884-5
5 4 2 替代(置换)定理 一 定理陈述 在给定的一个线性或非线性电路中 若已知第 k 条支路的 U I 分别为U k I k 则该支路可以用下列任何一种元件来替代 1) U s = U k 的电压源 2) I s = I k 的电流源 3) 阻值为R U I k k k = 的电阻元件 替换后 对整个网络不发生影响 电路解的存在和唯一性是替代定理的必要前提 例 P. 71 例 4 6 练习 P. 88 4 5 a + UK - US= b N a b Rk + UK - N I K a b I S =I k N
§4-3戴维南定理和诺顿定理 (等效电源定理) 、二端网络及其等效电路 在电路分析中,可以把互连的一组元件作为一个整体来看待,当 这个整体只有两个端钮与外部电路相连接时,则不管它的内部结构 如何,称它为二端网络,又因从一端钮流进的电流必然等于另一端 钮流出的电流,因而也可称为一端口(单口)网络 内部含电源时称为有源二端网络;内部不含电源时称为无源二端 网络。我们常用一个方框图来代替二端网络,如下图(a)、(b)所示, 方框中A代表有源(Ace),P代表无源( Passive) (a) (b) 从二端网络一个端钮流出的电流等于从另一端钮流入的电流 ,称为端口电流,二个端钮之间的电压U称为端口电压。 结论:二端网络对外电路的作用可用一个简单的等效电路来代 替。 串、并联电阻 P (等效电阻) 线性 电源支路的串并联 电源 例如 15v U 虚框等效 6 对上图,无论R为何值,总有:U=15-81 线性无源二端网络可用一个线性电阻电路等效,这个电阻称为端 口的输入电阻,用R代表;线性有源二端网络的等效电路是一个等
6 4 3 戴维南定理和诺顿定理 (等效电源定理) 一 二端网络及其等效电路 在电路分析中 可以把互连的一组元件作为一个整体来看待 当 这个整体只有两个端钮与外部电路相连接时 则不管它的内部结构 如何 称它为二端网络 又因从一端钮流进的电流必然等于另一端 钮流出的电流 因而也可称为一端口(单口)网络 内部含电源时称为有源二端网络 内部不含电源时称为无源二端 网络 我们常用一个方框图来代替二端网络 如下图(a) (b)所示 方框中 A 代表有源(Active) P 代表无源(Passive) 从二端网络一个端钮流出的电流 I 等于从另一端钮流入的电流 I 称为端口电流 二个端钮之间的电压U 称为端口电压 结论 二端网络对外电路的作用可用一个简单的等效电路来代 替 例如 对上图 无论 R 为何值 总有 U =15-8I 线性无源二端网络可用一个线性电阻电路等效 这个电阻称为端 口的输入电阻 用Ro代表 线性有源二端网络的等效电路是一个等 A + U - I I P (a) (b)
效电源支路,既可以用电压源串联电阻支路来表示,也可用电流源 并联电阻支路表示。这便是戴维南定理和诺顿定理,统称为等效电 源定理,也叫等效发电机定理。 二、戴维南定理 1.定理陈述 任何一个线性有源二端网络,对外电路来说,可以用一个电压源 串联电阻支路来等效。电压源的电压等于原有源二端网络的开路电 压U,而电阻等于原来有源二端网络中所有独立源为零时输入电阻 R 等效为q)uoc A U Ro 2.定理证明(见P.72) 设一线性有源二端网络A与外部电路相连,如下图所示: 部电路 A (b) Uoc 外部电路 b 二端网络端口电压U可看成由网络内部电源及网络外部的电流 源共同作用的结果,即: U=0+U (1) 其中,U是网络内部电源作用、外部电流源为零(即电流源用开 路代替)时的端口电压,即有源二端网络A的开路电压Uoc(图c),即 U”是外部的电流源作用,网络内部电源为零时的端口电压(图d 这时有源网络变为无源网络,端口ab间体现的电阻为输入电阻R 电流源,=1流过该电阻R产生的电压降正好是U"的负值,即 U"=-R21,=-R2
7 效电源支路 既可以用电压源串联电阻支路来表示 也可用电流源 并联电阻支路表示 这便是戴维南定理和诺顿定理 统称为等效电 源定理 也叫等效发电机定理 二 戴维南定理 1 . 定理陈述 任何一个线性有源二端网络 对外电路来说 可以用一个电压源 串联电阻支路来等效 电压源的电压等于原有源二端网络的开路电 压U oc 而电阻等于原来有源二端网络中所有独立源为零时输入电阻 Ro 2 . 定理证明(见 P.7 2 ) 设一线性有源二端网络 A 与外部电路相连 如下图所示 二端网络端口电压 U 可看成由网络内部电源及网络外部的电流 源共同作用的结果 即 U =U¢+U¢¢ (1) 其中 U¢是网络内部电源作用 外部电流源为零(即电流源用开 路代替)时的端口电压 即有源二端网络 A 的开路电压 Uoc(图 c) 即 U =Uoc ¢ (2) U¢¢是外部的电流源作用 网络内部电源为零时的端口电压(图d) 这时有源网络变为无源网络 端口 ab 间体现的电阻为输入电阻Ro 电流源I I s = 流过该电阻Ro产生的电压降正好是U¢¢的负值 即 U R I R I = - o s = - o ¢¢ (3) (c) (d) (e)
由(1),(2),(3)得:U=Ue-R 这就证明了戴维南定理。 这一电压源串联电阻支路称为戴维南等效电路,可以从上述证明 看出,它和它所等效的二端网络具有完全相同的外特性。 三、诺顿定理(与戴维南定理对偶) 1.定理陈述 任何一个线性有源二端网络,对外电路来说,可用一个电流源并 联电导支路来等效,电流源的电流等于原来有源二端网络的短路电 流Ⅰ,电导等于原来有源二端网络中所有电源为零时其端口处所得 到的等效电导。 对外 ↓Isc 2.证明 原电路→>戴维南电路(经电源变换)>诺顿电路 易见:当U=0时,1=1=m 四、R的计算方法 1,除源(即网络内所有电源为零)的无源网络为简单纯电阻电路, 可用电阻串并联或Δ与Y变换加以化简,进而计算端口ab的输入电 阻R。 2.先求出Un、L,则:R=些 U、1二者可用以前所学方法。 U——令端口=0(开路),求U=U l——令端口U=0(短路),求=l(方向) 3、对除源的无源网络也可采用“端口激励——响应法” 即令网络内所有电源为零,在端口ab处施加一电压U,=U',计 算或测量输入端的电流r, 则 U4或R=1
8 由(1) (2) (3)得 U U R I = oc - o 这就证明了戴维南定理 这一电压源串联电阻支路称为戴维南等效电路 可以从上述证明 看出 它和它所等效的二端网络具有完全相同的外特性 三 诺顿定理(与戴维南定理对偶) 1 . 定理陈述 任何一个线性有源二端网络 对外电路来说 可用一个电流源并 联电导支路来等效 电流源的电流等于原来有源二端网络的短路电 流 I sc 电导等于原来有源二端网络中所有电源为零时其端口处所得 到的等效电导 2 . 证明 原电路®戴维南电路(经电源变换)®诺顿电路 易见 当U = 0时 I I U R sc oc o = = 四 Ro的计算方法 1 除源(即网络内所有电源为零)的无源网络为简单纯电阻电路 可用电阻串并联或D与 Y 变换加以化简 进而计算端口 ab 的输入电 阻Ro 2 先求出U oc I sc 则 R U I o oc sc = U oc I sc 二者可用以前所学方法 U oc ──令端口I = 0(开路) 求U =Uoc I sc ──令端口U = 0 (短路) 求 sc I = I (方向) 3 对除源的无源网络也可采用 端口激励──响应法 即令网络内所有电源为零 在端口 ab 处施加一电压Us =U ¢ 计 算或测量输入端的电流I¢ 则 I U R s o ¢ = 或 R U I o s =
或P 4.实验测量法(限于DC电路) l)测U、I(若允许短路时)>R 2)测U,再测接某一适当负载时的 l1,则由 U。-Rl1→>R OI O5Ov 5.等效变换一步化简的一条有源支路 6.一步法:化为U=U-Rl,直接写出R 例:用戴维南定理求图b所示电路中的l。考虑R4=21492和 R4=4149两种情况。 54.3V或 法一:用戴维南定理求解: 50+1.5/1=50+(15 2×1.5 R 0.8692(除源) Ⅰ= 543 18.1A和r R+R20.6+2.14 R+R086+4/g≈10864 可见,求解集中在一条支路且存在多种变化情况时,用戴维南定 理求解较为方便。 法二:用诺顿定理求解 63.3AR2的求解同法一,R=0.8692 63.3=18.1A R_×I 0.86+2.14 R。+R 0.86 ×63.3=10.94 0.86+4.1 法三:电源变换化简成法一、法二情形
9 4 实验测量法(限于 DC 电路) 1) 测U oc I sc (若允许短路时)® R U I o oc sc = 2) 测 U oc 再测接某一适当负载时的 U L I L 则 由 U U R I L = oc - o L® R U U I o oc L L = - 5 等效变换一步化简的一条有源支路 6 一步法 化为U U R I = oc - o 直接写出Ro 例 用戴维南定理求图 b 所示电路中的 I 考虑 RL = 2.14W 和 RL = 4.14W两种情况 法一 用戴维南定理求解 ) 54.3V 2 1.5 60 50 50 1.5 50 (1.5 54.3 V 1.5 1 2 1 1.5 50 2 60 1 = + - = + ´ = + + = U I U aboc aboc 或 = W + ´ = 0.86 2 1.5 2 1.5 Ro (除源) A R R U I o L oc 18.1 0.86 2.14 54.3 = + = + = 和 I U R R A oc o L = + = + = 54 3 086 414 1086 . . . . 可见 求解集中在一条支路且存在多种变化情况时 用戴维南定 理求解较为方便 法二 用诺顿定理求解 I sc 63.3A 1.5 50 2 60 = + = Ro的求解同法一 Ro = 0.86W ï ï î ï ï í ì ´ = + ´ = + ´ = + = A A I R R R I sc o L o 63.3 10.9 0.86 4.14 0.86 63.3 18.1 0.86 2.14 0.86 法三 电源变换化简成法一 法二情形
例:求图示电路的戴维南等效电路。 解 2.5v①、I:/U0.4 先求开 02+0=42m4 I2=5mA U=-1.8l2+0.41=(-18×5+0.4×42)=-732 再求R,设冈络电源为零,如图(b) 0.2KS 8KS 0.4Kg2 则用电阻串并联公式计算端口ab的输入电阻 R。=1.8 1.93Kg 0.2+04 从而有戴维南等效电路为: 1.93K 作业:P.884-6;4-7;4-9;4-10
10 例 求图示电路的戴维南等效电路 解 先求开路电压 图(a)两个网孔电流分别为 I 1 mA mA 25 0 2 0 4 = 4 2 5 + = = . . . . I 2 Uoc = -1.8I 2 + 0.4I 1 = (-1.8´5 + 0.4´ 4.2) = -7.32V 再求Ro 设网络电源为零 如图(b) 则用电阻串并联公式计算端口 ab 的输入电阻 = W + ´ Ro = + 1.93K 0.2 0.4 0.2 0.4 1.8 从而有戴维南等效电路为 作业 P. 88 4 6 4 7 4 9 4 10