第八章含耦合电感和理想变压器的电路分析 本章学习耦合电感元件和理想变压器元件,它们属于多端元件。 实际电路中,如收音机、电视机中使用的中周、振荡线圈,整流电 路中使用的变压器等都是耦合电感元件与变压器元件。 §8-1耦合电感的伏安关系 一、磁链和电感量 当通过i产生磁通p,对N匝线圈产生的磁链为:y=Np,定 义自电感:L==N。 i 关联条件下,电感两端的电压:u=n-dy=l dtdtdt 二、互感:见P.195图8-1 1.若线圈1中通以变化电流i 1:自感磁通;21:互感磁通(耦合磁通) 一般地,121当1=91,全耦合 自感磁链:=N1=~自感量 互感磁链:21=N221→M21=~互感量 2.若圈2中通以变化的电流i2 2:自感磁通;2:互感磁通(耦合磁通) 般地,222。当2=92,全耦合。 自感磁链:2=N22→2=22~自感量 12 互感磁链:2=N12→M12=~互感量 通过电磁场理论可以证明:M12=M21=M≥0 3.互感电压的产生 当线圈1通变化的电流i,在线圈2产生互感磁链21,从而产生 感应电压,称为互感电压,记作:l1 dt 1与y之间符合右手螺旋法则。 同理,当线圈2通电流,在线圈1产生互感磁链y2,从而产生感 1
1 第八章 含耦合电感和理想变压器的电路分析 本章学习耦合电感元件和理想变压器元件 它们属于多端元件 实际电路中 如收音机 电视机中使用的中周 振荡线圈 整流电 路中使用的变压器等都是耦合电感元件与变压器元件 8 1 耦合电感的伏安关系 一 磁链和电感量 当 L通过i 产生磁通j 对N 匝线圈产生的磁链为 y= Nj 定 义自电感 i N i L y j = = 关联条件下 电感两端的电压 dt di L dt d dt d u = N = = j y 二 互感 见 P.195 图 8 1 1 若线圈 1 中通以变化电流i 1 j11 自感磁通 j21 互感磁通(耦合磁通) 一般地 j11 ³j21 当j11 =j21 全耦合 自感磁链 y11 = N1j11 1 11 1 i L y Þ = 自感量 互感磁链 y21 = N2j21 1 21 21 i M y Þ = 互感量 2 若圈 2 中通以变化的电流i 2 j22 自感磁通 j12 互感磁通(耦合磁通) 一般地 j22 ³j12 当j22 =j12 全耦合 自感磁链 y22 = N2j22 2 22 2 i L y Þ = 自感量 互感磁链 y12 = N1j12 2 12 12 i M y Þ = 互感量 通过电磁场理论可以证明 M12 = M 21 = M ³ 0 3 互感电压的产生 当线圈 1 通变化的电流 1 i 在线圈 2 产生互感磁链y21 从而产生 感应电压 称为互感电压 记作 u21 dt di M dt d u 1 21 21 21 = = y u21与y21之间符合右手螺旋法则 同理 当线圈 2 通电流 在线圈 1 产生互感磁链y12 从而产生感
应电压,称为互感电压,记作:2 dy =M, dt dt 2与v2之间符合右手螺旋法则。 注意:1)2、l1的实际方向与两线圈的绕向有关 2)若感应线圈两端接上负载,将有电流流过。 三、耦合系数 由于互感磁通只是总磁通的一部分,互感磁通与自感磁通的比值 l。两线圈靠得越近,k就越接近于1。一般用马和身的几何平均 值表征这一耦合程度,称为耦合系数k。 k=92.92 q12√L2 (推导见P196) v1=l1,v21=M1;v2=L2l2,W2=M2 k 当k=1时,称为全耦合;当k=0时,称为无耦合 k=0无耦合 般地:传输功率或信号(或变压器),K值越大越好;仪表间的 磁场干扰,K值越小越好,必要时要加以屏蔽。 四、互感电压 对于两个相耦合的线圈,一个线圈的电流发生变化,将在另一线 圈上产生感应电压,互感电压的大小为: di, d e 由于互感磁通与自感磁通有彼此加强或削弱两种情况,因此在 同一线圈上的互感电压与自感电压可能彼此相加,也可能彼此相减 这与两个线圈的相对绕向、位置和电流参考方向有关。 当两个施感电流同时作用:{4=4主 l2=l2±l21 l1与q1“关联方向”时:P.196图8-24 有 u=L,-+ M dt d t +M1
2 应电压 称为互感电压 记作 u12 dt di M dt d u 2 12 12 12 = = y u12与y12 之间符合右手螺旋法则 注意 1) u12 u21的实际方向与两线圈的绕向有关 2) 若感应线圈两端接上负载 将有电流流过 三 耦合系数 由于互感磁通只是总磁通的一部分 互感磁通与自感磁通的比值 <1 两线圈靠得越近 k 就越接近于 1 一般用 11 21 j j 和 22 12 j j 的几何平均 值表征这一耦合程度 称为耦合系数 k 22 1 2 12 11 21 L L M k = × = j j j j (推导见 P.196) 11 1 1 y = L i y21 = Mi1 22 2 2 y = L i y12 = Mi2 1 1 2 = £ L L M k 当k = 1时 称为全耦合 当k = 0时 称为无耦合 一般地 传输功率或信号(或变压器) K 值越大越好 仪表间的 磁场干扰 K 值越小越好 必要时要加以屏蔽 四 互感电压 对于两个相耦合的线圈 一个线圈的电流发生变化 将在另一线 圈上产生感应电压 互感电压的大小为 u M di dt 21 1 = dt di u M 2 12 = 由于互感磁通与自感磁通有彼此加强或削弱两种情况 因此在 同一线圈上的互感电压与自感电压可能彼此相加 也可能彼此相减 这与两个线圈的相对绕向 位置和电流参考方向有关 当两个施感电流同时作用 î í ì = ± = ± 2 22 21 1 11 12 u u u u u u 1 u21与j21 关联方向 时 P.196 图 8 2A 有 u L di dt M di dt 1 1 1 2 = + u L di dt M di dt 2 2 2 1 = +
2.2与a2“非关联方向”时: 有 上式为 可见,列写MAR时,需要考虑M前的正负号。为简化分析(用原 模型分析不方便,往往不知道线圈的绕向),需要引入“同名端”的 概念。 五、互感线圈的同名端 若两线圈分别加上变化的电流i1及z2:P.197图8-2B 1)当电流;和2分别从1、2端流入:图(a) 线圈1的磁通 =u t 线圈2的磁通 q=q21+q2 2)当电流和2分别从1、2端流入:图(c) 线圈1的磁通 q=1-9 线圈2的磁通 q2=q2-92 显然:当电流从1与2端(或1与2)流入时,产生的磁通相互增强 而当电流从1与2端(或1与2)同时流入,产生的磁通相互削弱。为 此,我们将1与2或1与2称为同名端,用“※”、“ ★ 或“△”表示,而将1与2′、1与2称为异名端 同名端的判定 方法一:“直流法” 当S合上瞬间,电压表V 1)上正下负(正偏转)→1与2为同名端 2)上负下正(反偏转)→1与2′为同名端
3 2 u12与j12 非关联方向 时 有 dt di u M dt di u M 2 12 1 21 = - = - 上式为 u L di dt M di dt u M di dt L di dt 1 1 1 2 2 1 2 2 = - = - + ì í ïï î ï ï 可见 列写 VAR 时 需要考虑 M 前的正负号 为简化分析(用原 模型分析不方便 往往不知道线圈的绕向) 需要引入 同名端 的 概念 五 互感线圈的同名端 若两线圈分别加上变化的电流i 1 及i 2 P. 197 图 8 2B 1) 当电流i 1 和i 2分别从 1 2 端流入 图(a) 线圈 1 的磁通 j1 =j11 +j12 线圈 2 的磁通 j2 = j21 +j22 2) 当电流i 1 和i 2分别从 1 2¢ 端流入 图(c) 线圈 1 的磁通 j1 =j11 -j12 线圈 2 的磁通 j2 = j22 -j21 显然 当电流从 1 与 2 端(或1¢与2¢ )流入时 产生的磁通相互增强 而当电流从 1 与2¢ 端(或1¢与 2)同时流入 产生的磁通相互削弱 为 此 我们将 1 与 2 或1¢与2¢ 称为同名端 用 或 表示 而将 1 与2¢ 1¢与 2 称为异名端 同名端的判定 方法一 直流法 当 S 合上瞬间 电压表 V 1) 上正下负(正偏转) Þ 1 与 2 为同名端 2) 上负下正(反偏转) Þ 1 与2¢ 为同名端
方法二:“交流法” 当有效值U3≈U1-U2→1与2为同名端 当有效值U3≈U1+U2→1与2′为同名端 ▲耦合电感(互感)的电路符号 ▲互感电压前的“+”、“一”号的问题 当a与;,碼2与2取关联方向,且两施感电流对同名端方向一致时, M前取“+”号,反之取“一”号。 如: d t d i L2 di, 又如:
4 方法二 交流法 3 1 2 · · · U =U -U 当有效值U3 » U1 -U2 Þ1 与 2 为同名端 当有效值U3 »U1 +U2 Þ1 与2¢ 为同名端 耦合电感(互感)的电路符号 互感电压前的 号的问题 当u1与i 1 u2与i 2取关联方向 且两施感电流对同名端方向一致时 M 前取 号 反之取 号 如 u L di dt M di dt u L di dt M di dt 1 1 1 2 2 2 2 1 = + = + ì í ïï î ï ï 又如
M dt L 若;,i2均为正弦量,i1→1,i2→2 则 l1→U=jol1±joM2 2→U2=j2l2±joMl 这里在U和参考方向关联下,i,i2同流入(出)同名端时,M前取 “+”,反之取“-”。(oM=XM,称为互感抗) 六、互感线圈的串并联 1.串联 )顺接 L di, 山山山 +m d i u=u, +u dt dt ∴等效电感L=L1+L2+2M 在正弦电路中
5 u L di dt M di dt u L di dt M di dt 1 1 1 2 2 2 2 1 = - = - ì í ïï î ï ï 若i 1 i 2均为正弦量 1 1 · i ® I 2 2 · i ® I 则 ï þ ï ý ü ® = ± ® = ± · · · · · · 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 u U j L I j M I u U j L I j M I w w w w 这里在 · U 和 · I 参考方向关联下 I 1 · I 2 · 同流入(出)同名端时 M 前取 反之取 (wM = X M 称为互感抗) 六 互感线圈的串并联 1 串联 1) 顺接 u L di dt M di dt u L di dt M di dt 1 1 1 2 2 2 2 1 = + = + ì í ïï î ï ï dt di L dt di u = u1 + u2 = (L1 + L2 + 2M ) = 顺 等效电感L顺 = L1 + L2 + 2M 在正弦电路中
U1=J(XL+XM)I=j(a +oM/ U2=j(X2+Xm)l=j(a+al)/ U=U1+U2=jo(L1+L2+2M)I=(X1+X2+2XM) 2)反接 L d i dt a=1+l2=(L1+L2-2M)x=L dt dt ∴等效电感L=L1+L2-2M 2.并联 l)同侧(同名端相联) 2 1 jal212+ jaMI, =1+2 Z=-=jo LL-M L,+L、-2M 等效电感L 2)异侧(异名端相联) I1 2 jwL
6 U j X X I j L M I U j X X I j L M I L M L M · · · · · · = + = + = + = + 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) w w w w · · · · · U =U +U = j L + L + M I = j X + X + X I L L M ( 2 ) ( 2 ) 1 2 1 2 1 2 w 2) 反接 u L di dt M di dt u L di dt M di dt 1 1 1 2 2 2 2 1 = - = - ì í ïï î ï ï dt di L dt di u = u1 + u2 = (L1 + L2 - 2M ) = 反 等效电感L反 = L1 + L2 - 2M 2 并联 1) 同侧(同名端相联) U j L I j M I U j L I j M I I I I · · · · · · · · · = + = + = + ì í ï ï î ï ï w w w w 1 1 2 2 2 1 1 2 L L M L L M j I U Z 1 2 2 2 1 2 + - - = = · · w 等效电感 L L M L L M L 1 2 2 2 1 2 + - - = 2) 异侧(异名端相联)
LL.-M2 L1+L2+2M ∵.等效电感L M 总之,当两互感线圈并联时,等效电感:L= .L-M 1+L2+2M (同侧取 异侧取“+”) 作业:P.2178-1
7 U j L I j M I U j L I j M I I I I · · · · · · · · · = - = - = + ì í ï ï î ï ï w w w w 1 1 2 2 2 1 1 2 L L M L L M j I U Z 1 2 2 2 1 2 + + - = = · · w 等效电感 L L M L L M L 1 2 2 2 1 2 + + - = 总之 当两互感线圈并联时 等效电感 L L M L L M L 1 2 2 2 1 2 + m - = (同侧取 异侧取 ) 作业 P. 217 8 1
§8-2含耦合电感元件电路的计算方法 对于耦合电感上的电压计算,不但要考虑自感电压,还应考虑互 感电压,所以含耦合电感电路的分析有它一定的特殊性。 、含耦合电感电路的基本计算方法 图示电路中,L与L2间有互感M,求:i1、l2。 R L1上的互感电压大小为:UM=joMl2 同理 jOMI 对回路1和2列KL方程: R11+jo1l1+joMl2+R2(l1-12) R2(l2-1)+jo212+joMl1+R312=0 整理得: (R1+R2+jo1)1-(R2-joM)l2=U (R2-joM)l1+(R2+R3+jo2)l2=0 可以解出1和l2 缺点:按上法容易漏joM一项,或搞错前面的“十”、“一”号, 二、把互感电压作为受控源的计算方法 在正弦稳态分析时,可以把各互感电压作为受控源看待,并在正 确标定其极性后,用正弦稳态分析方法进行分析。 总结:P.201中的划线
8 8 2 含耦合电感元件电路的计算方法 对于耦合电感上的电压计算 不但要考虑自感电压 还应考虑互 感电压 所以含耦合电感电路的分析有它一定的特殊性 一 含耦合电感电路的基本计算方法 图示电路中 L1与L2间有互感M 求 I 1 · I 2 · L1上的互感电压大小为 · · = 2 U M 1 jwM I 同理 · · = 1 U M 2 jwM I 对回路 1 和 2 列 KVL 方程 R I j L I j M I R I I U R I I j L I j M I R I s 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 3 2 0 · · · · · · · · · · · + + + - = - + + + = ì í ï î ï w w w w ( ) ( ) 整理得 ( ) ( ) ( ) ( ) R R j L I R j M I U R j M I R R j L I s 1 2 1 1 2 2 2 1 2 3 2 2 0 + + - - = - - + + + = ì í ï î ï · · · · · w w w w 可以解出 I 1 · 和I 2 · 缺点 按上法容易漏 jwM 一项 或搞错前面的 号 二 把互感电压作为受控源的计算方法 在正弦稳态分析时 可以把各互感电压作为受控源看待 并在正 确标定其极性后 用正弦稳态分析方法进行分析 总结 P.201 中的划线 · I R2 R3 M · 2 I · 2 I L2 jw · 1 I · 1 I · - + U s · · 1 - 2 I I L1 jw
+jaMI ]R2恿 U (R,+R2+jall-R2l2=Us-jaul R,1+(r2+r,+ jal)12=-joM1 (R,+R2+ jal1l-(r2-joM)1,=U (R2-joM)l1+(R2+R+jo2)l2=0 这与前面方法的结果完全一样 三、耦合电感的去耦等效电路(互感消去法) L 1+ (B) 当两耦合电感有一对公共端时(图A,可以用三个无耦合的电感 组成的T形网络来做等效替换,如图B。 对A图: dt dt n2=M+L22 而在图B中: u,=L d t (L+L)-,+L d+(L+L 根据等效电路的概念可知,应使(1)式与(2)式两式前面的系数分别
9 ( ) ( ) R R j L I R I U j M I R I R R j L I j M I s 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 3 2 2 1 + + - = - - + + + = - ì í ï î ï · · · · · · · w w w w 即 ï î ï í ì - - + + + = + + - - = · · · · · ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 2 1 2 3 2 2 1 2 1 1 2 2 R j M I R R j L I R R j L I R j M I U s w w w w 这与前面方法的结果完全一样 三 耦合电感的去耦等效电路(互感消去法) 当两耦合电感有一对公共端时(图 A) 可以用三个无耦合的电感 组成的 T 形网络来做等效替换 如图 B 对 A 图 u L di dt M di dt u M di dt L di dt 1 1 1 2 2 1 2 2 = + = + ì í ïï î ï ï (1) 而在图 B 中 u L di dt L di dt L L di dt L di dt u L di dt L L di dt a b a b b b b c 1 1 2 1 2 2 1 2 = + = + + = + + ì í ïï î ï ï ( ) ( ) (2) 根据等效电路的概念可知,应使(1)式与(2)式两式前面的系数分别 + u1 - M 1 i 2 i L2 L1 + u2 - (A) 1 i 2 i 1 2 i + i Lc Lb La + u1 - + u2 - (B) L2 jw R3 + · 2 jwM I - R1 R2 · 2 I · 2 I · 1 I · 1 I · - + U s · · 1 - 2 I I L1 jw + · 1 jwM I -
相等,即 L,=La +Lb L M=L L2=Lb+L。(L=L2 上图A为公共点为同名端的耦合电感。如果公共端为异名端,如 下图C所示,其去耦等效电路如图D。 L L M、 l1+l2 L Lh =-M 举例: 例:u=50002cos10tV,求各支路电流。 L,=20mH R=500 M=25m1 L,=25mHC=luF 解:去耦等效电路如下图 O(L,-M) jaM jaliM
10 相等 即 L L L M L L L L L L M L M L L M a b b b c a b c 1 2 1 2 = + = = + ì í ï î ï Þ = - = = - ì í ï î ï 上图 A 为公共点为同名端的耦合电感 如果公共端为异名端 如 下图 C 所示 其去耦等效电路如图 D ï î ï í ì = + = - = + L L M L M L L M c b a 2 1 举例 例 u 5000 2 cos10 t V 4 = 求各支路电流 解 去耦等效电路如下图 + u1 - M 1 i 2 i L2 L1 + u2 - (C) 1 i 2 i 1 2 i + i Lc Lb La + u1 - + u2 - (D) i C i L 25mH C = 1mF 2 = L1 = 20mH M = 25mH R = 50W + u - ( ) jw L1 - M R1 jwM ( ) jw L2 - M jwC 1 · C I · 2 I · 1 I · 1 I · C I - + · U