第三章电路的一般分析法 前面讲的等效变换法可用来: 分析简单电路 使复杂电路的局部得到简化 而对于复杂电路的一般分析,就要采用“系统化”的普遍方法: 系统化——便于编制程序 普遍性——适用于任何线性电路 总的思路(步骤) l)选择一组完备的独立变量,可选的电路变量有电流、电压 独立性——各变量不能相互表 完备性——其它电压、电流可由它们表示 2)由KV、KCL及元件的VAR建立方程; 3)求解方程得到这些独立变量,进而解出其它待求量 电路的一般分析法主要有 支路法(支路电流法):以支路的电流为变量,列写方程 回路法(网孔法):以网孔电流为变量 结点法:以结点电压为变量 §3一1支路电流法 以图示电路为例来说明支路法的应用。图中:支路数b=3,结点 数n=2,回路数}=3,网孔数m=2 原则:以支路的电流为变量,列写方程,求解电路参数。 支路电流法的步骤: + U=2 l)在图中标出支路电流的参考方向 2)列出(n-1)个独立结点的KCL方程,这里即 1 3=0 3)列出m=b-n+1个独立回路的KV方程(每选一回路,均有 新支路,通常可选网孔)
第三章 电路的一般分析法 前面讲的等效变换法可用来 分析简单电路 使复杂电路的局部得到简化 而对于复杂电路的一般分析 就要采用 系统化 的普遍方法 系统化──便于编制程序 普遍性──适用于任何线性电路 总的思路(步骤) 1) 选择一组完备的独立变量 可选的电路变量有电流 电压 独立性──各变量不能相互表示 完备性──其它电压 电流可由它们表示 2) 由 KVL KCL 及元件的 VAR 建立方程 3) 求解方程得到这些独立变量 进而解出其它待求量 电路的一般分析法主要有 支路法(支路电流法) 以支路的电流为变量 列写方程 回路法(网孔法) 以网孔电流为变量 结点法 以结点电压为变量 3 1 支路电流法 以图示电路为例来说明支路法的应用 图中 支路数 b=3 结点 数 n=2 回路数 l=3 网孔数 m=2 原则 以支路的电流为变量 列写方程 求解电路参数 支路电流法的步骤 1) 在图中标出支路电流的参考方向 2) 列出(n 1)个独立结点的 KCL 方程 这里即 - I 1 - I 2 + I 3 = 0 (1) 3) 列出 m b n 1 个独立回路的 KVL 方程(每选一回路 均有 新支路 通常可选网孔)
这里即 R, -R212=U1-U3 (2) R2l2+R1=U12 4)联立求解这b个方程,得出支路电流,进而由支路VAR求出 各元件电压降、功率等变量。 例:上图中,Un1=130,U2=117,R1=102,R2=0.692,R1=242 求 1-12+13=0 1=10A 解 0.6/2+24/3=117 l3=5A Pa吸=-U1=-13 P 585W ※电路中存在电流源,如下图。由于电流源所在支路的电流为已知, 则待求支路电流少一个,为b-1=3个。 i1 R1 Us1 113 3 处理方法 1)列出(n-1)=1个结点的KCL方程:1-l3+l+l2=0 2)选一组独立回路,使电流源仅包含在其中的一个回路中,即 l、l2、l1列方程时,先列出4和1的KV方程 IR+IGR l3 12R2-13R3 联立上面的3个方程,求出未知量1L2,l3 此外,也可以采用P.45例3-1中的方法,增设的端电压Ux为 未知量,再按一般支路法列出b个方程求解。 ☆当电流源有一电阻与之并联(称有伴电流源)通过电源等效变 换成有伴电压源来取代,然后再列KCL、KVL方程,本图可首先求 出l1、l2,回到原图,由KCL求出l3
这里即 î í ì + = - = - (3) (2) 2 2 3 3 2 1 1 2 2 1 2 s s s R I R I U R I R I U U 4) 联立求解这 b 个方程 得出支路电流 进而由支路 VAR 求出 各元件电压降 功率等变量 例 上图中 Us1 = 130V Us2 =117V R1 = 1W R2 = 0.6W R3 24W 求 I 1 I 2 PUs1吸 PUs 2吸 解 - - + = - = - + = ì í ï î ï I I I I I I I 1 2 3 1 2 2 3 0 06 130 117 0 6 24 117 . . I A I A I A 1 2 3 10 5 5 = = - = ì í ï î ï Pus1 吸 = -Us1 I 1 = -1300W Pus2 吸 = -Us 2 I 2 = 585W 电路中存在电流源 如下图 由于电流源所在支路的电流为已知 则待求支路电流少一个 为 b 1 3 个 处理方法 1) 列出(n 1) 1 个结点的 KCL 方程 I 1 - I 3 + I S + I 2 = 0 2) 选一组独立回路 使电流源仅包含在其中的一个回路中 即 l l l 1 2 3列方程时 先列出l 1和 3 l 的 KVL 方程 3 2 2 3 3 2 1 1 1 3 3 1 : : s s l I R I R U l I R I R U - - = - + = 联立上面的 3 个方程 求出未知量 1 2 3 I , I , I 此外 也可以采用 P. 45 例 3 1 中的方法 增设 S I 的端电压U X 为 未知量 再按一般支路法列出 b 个方程求解 当电流源有一电阻与之并联(称有伴电流源)通过电源等效变 换成有伴电压源来取代 然后再列 KCL KVL 方程 本图可首先求 出 1 I 2 I 回到原图 由 KCL 求出 3 I
例:电路如图所示,试求流经15Ω电阻的电流I。 5012 a 15息 解:先指定各支路电流的参考方向,2即为电流源的电流值,所 以 12=1A 对结点a列KCL方程,有: 1-12+I=-1-1+I=0 对左面的网孔列KV方程,有:101+151=20 解上述两个方程,有:=1.2A 例:P.45例3-2 作业:P.623-1(1)
例 电路如图所示 试求流经 15 电阻的电流I 解 先指定各支路电流的参考方向 2 I 即为电流源的电流值 所 以 I 2 =1 A 对结点 a 列 KCL 方程 有 - I 1 - I 2 + I = -I 1 - 1+ I = 0 对左面的网孔列 KVL 方程 有 10I 1 +15I = 20 解上述两个方程 有 I = 1.2A 例 P. 45 例 3 2 作业 P. 62 3 1(1) 15 1A 10 25 a I + 20V - I 1 I 2
§3-2电路方程的独立电流变量和独立电压变量 电路约束:元件VAR 支路连接约束:网络拓扑——网络图论 这里介绍一些概念,从而了解一下电路方程的独立性 、电路的图(线图) 电路的图是支路与结点构成的集合,其支路用线段表示。如 P.49图3-10可用如下的图分析其拓扑结构。 连通图(主要研究):概念P.46 非连通图:图3-4(c) 二、树、树支、连支 树:不包含回路,关联所有结点的支路集合,如上图的树有: 同一网络的线图,树的结构很多,如上例,共有16个树。 2.树支:构成树的支路,树支数=n-1; 3.树余:对应一个树的其余支路的集合; 4.连支:树余的支路。可见连支数:}=b-(n-1)=b-n+1 三、割集的概念(用Q,表示) 割集是指连通图中符合下列条件的支路的集合: 1.当将该集合除去时,使连通图成为两个分离的部分 2.如只是少移去其中任何一条支路,图形仍然连通 如下图 Q1(a,b,c),Q2(a,d,f)构成割集,但Q(c;e)不是割集
3 2 电路方程的独立电流变量和独立电压变量 电路约束 元件 VAR 支路连接约束 网络拓扑──网络图论 这里介绍一些概念 从而了解一下电路方程的独立性 一 电路的图(线图) 电路的图是支路与结点构成的集合 其支路用线段表示 如 P. 49 图 3 10 可用如下的图分析其拓扑结构 连通图(主要研究) 概念 P. 46 非连通图 图 3 4 (c) 二 树 树支 连支 1 树 不包含回路 关联所有结点的支路集合 如上图的树有 同一网络的线图 树的结构很多 如上例 共有 16 个树 2 树支 构成树的支路 树支数 n 1 3 树余 对应一个树的其余支路的集合 4 连支 树余的支路 可见连支数 l=b (n 1) b n 1 三 割集的概念(用Qf 表示) 割集是指连通图中符合下列条件的支路的集合 1 当将该集合除去时 使连通图成为两个分离的部分 2 如只是少移去其中任何一条支路 图形仍然连通 如下图 ( , , ), ( , , ) `1 2 Q a b c Q a d f 构成割集 但 ( , ) 3 Q c e 不是割集 1 2 4 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
23 四、独立电压变量 只要选定一树,就可确定一组基本回路(单连支回路),从而得到 组独立的回路,即可选树支电压为变量,n-1个。 五、独立电流变量 全部的连支电流为一组电路变量b-n+1个。 练习:P.643-14
四 独立电压变量 只要选定一树 就可确定一组基本回路(单连支回路) 从而得到 一组独立的回路 即可选树支电压为变量 n 1 个 五 独立电流变量 全部的连支电流为一组电路变量 b n 1 个 练习 P. 64 3 14 1 2 4 3 Q1 Q3 Q2 a c d e f b
§3-3网孔分析法和回路分析法 网孔分析法 1.网孔电流 l)可以证明,在平面网络中的网孔数m=b-n+1 2)网孔电流——是一种沿着网孔边界流动的假想电流,如下图 所示的n、I。这里网孔电流数=网孔数,电路中所有的支路电流 都可以用网孔电流来表示,即1=1n12=-1212=ln-l2此外,所 有支路的电压都可以由网孔电流表示,所以网孔电流可做为独立的 “电路变量”,个数为m=b-n+1个,比支路电流法(n-1)个,网孔 方程少(只剩下KVL),便于求解 为了求出网孔电流,关键要列出网孔方程。 I11 I2()U3 U 2.网孔方程的规律 如上图,沿回路(网孔)绕行方向列写KVL,得: JRIn+R,In-R2112=U1-U32 IR2 In+R,In-R,In=U32-U3 经整理得 J(R,+R,)In-RI1=UM1-U, (**) R2n+(R2+R3)l12=U2-U 上式也可写成下面的形式 ∫R1ln+R2ln=Un (***) 式中:R1、R2分别成为网孔1、网孔2的自电阻(恒正),它们分 别是各自网孔内所有电阻的总和。例如:R1=R+R2,R2=R2+R 而R2称为网孔1和网孔2的互电阻(可正、可负),它是该两个网孔 的公有电阻,即R2=-R2,这里出现“-”是由于网孔电流ln和l方 向相反。如果ln和12同方向流过互电阻取“+
3 3 网孔分析法和回路分析法 一 网孔分析法 1 网孔电流 1) 可以证明 在平面网络中的网孔数m = b - n +1 2) 网孔电流──是一种沿着网孔边界流动的假想电流 如下图 所示的I l1 I l2 这里网孔电流数 网孔数 电路中所有的支路电流 都可以用网孔电流来表示 即I I 1 = l1 I I 3 = - l 2 I I I 2 = l1 - l2 此外 所 有支路的电压都可以由网孔电流表示 所以网孔电流可做为独立的 电路变量 个数为m = b - n +1个 比支路电流法(n 1)个 网孔 方程少(只剩下 KVL) 便于求解 为了求出网孔电流 关键要列出网孔方程 2 网孔方程的规律 如上图 沿回路(网孔)绕行方向列写 KVL 得 R I R I R I U U R I R I R I U U l l l s s l l l s s 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 3 + - = - + - = - ì í î (*) 经整理得 î í ì + + = - + - = - 2 1 2 3 2 2 3 1 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) l l s s l l s s R I R R I U U R R I R I U U (**) 上式也可写成下面的形式 R I R I U R I R I U l l s l l s 11 1 12 2 11 21 1 22 2 22 = + = ì í î (***) 式中 R11 R22分别成为网孔 1 网孔 2 的自电阻(恒正) 它们分 别是各自网孔内所有电阻的总和 例如 R11 R1 R2 R22 R2 R3 而R12称为网孔 1 和网孔 2 的互电阻(可正 可负) 它是该两个网孔 的公有电阻 即R12 R2 这里出现 是由于网孔电流I l1和I l2 方 向相反 如果I l1和I l2 同方向流过互电阻取
对于m个网孔的电路,可得网孔方程的一般形式。 RuIntrlt.tRI=UJ R2In +R2,.tRmI,m=U,2 RmIn+rInt.tRmM=U 如何确定各系数呢?各系数有何规律呢? 1)R1、R2、…、Rn——网孔1、2、…、m的自电阻(“+”); 2)R2、R2—网孔1、2的公有电阻,为互电阻。仅当l和l2在 此电阻同方向时取“+”,反之取“-”,无受控源时,R2=R1,R2n=Rn2 等等; 3)Un1、U 网孔1、2、…、m沿n、l2、…ln方 向的电压源的电位升的代数和。 下面通过例子来具体说明网孔分析法的具体步骤,讲解如何直接 利用“自电阻”、“互电阻”“电压源的电位升代数和”来列方程 例:图示电路,已知U1=2W,U2=14,U2=6,U=2,U,=2, R=302,R2=29,R3=32,R1=602,R3=29,R6=10。求各支路电 流。 Us3+ R5 -Us5 R 尺 R 解:由概念直接列网孔方程: Ln: (R+R+RoIn-RIn-rl=Us-us 2:-Rln+(R2+R3+R6)l12-R3l13=U,5-U2 lB: -RIn-R5In+(r,+R4+rs13=033-Us+Us 代入数据 hn+5l2-2l3=-12 6ln-2l+l1l/n3=6 解得1=3A 由已知网孔电流求取各支路电流 1=11=3A12=1n2=-1Al3=l3=2A 14=1n=l1=1A15 16=11In=4A
对于 m 个网孔的电路 可得网孔方程的一般形式 ï ï î ï ï í ì + = + = = m l m l mm m smm l l m m s l l m m s R I R I R I U R I R I R I U R I R I R I U 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 2 22 11 1 12 2 1 11 如何确定各系数呢 各系数有何规律呢 1) R11 R22 Rmm──网孔 1 2 m 的自电阻( ) 2) R12 R21──网孔 1 2 的公有电阻 为互电阻 仅当I l1和I l2 在 此电阻同方向时取 反之取 无受控源时 R12 R21 R2m = Rm2 等等 3) U s11 U s22 U smm ──网孔 1 2 m 沿I l1 I l2 I lm方 向的电压源的电位升的代数和 下面通过例子来具体说明网孔分析法的具体步骤 讲解如何直接 利用 自电阻 互电阻 电压源的电位升代数和 来列方程 例 图示电路 已知Us1 = 21V Us 2 =14V Us 3 = 6V Us 4 = 2V Us 5 = 2V R1 = 3W R2 = 2W R3 = 3W R4 = 6W R5 = 2W R6 = 1W 求各支路电 流 解 由概念直接列网孔方程 l1 I (R1 + R4 + R6 )I l1 - R6 I l 2 - R4 I l 3 = Us1 -U s4 I l2 - R6 I l1 + R2 + R5 + R6 I l 2 - R5 I l 3 Us5 -Us 2 ( ) I l3 - R4 I l1 - R5 I l2 + R3 + R4 + R5 I l 3 = Us3 -U s5 +U s4 ( ) 代入数据 10 6 19 5 2 12 6 2 11 6 1 2 3 1 2 3 1 2 3 I I I I I I I I I l l l l l l l l l - - = - + - = - - - + = ì í ï î ï 解得 I l1 = 3A I l2 = -1A I l3 = 2A 由已知网孔电流求取各支路电流 I 1 I l1 = 3A I 2 I l 2 = 1A I 3 I l 3 = 2A I 4 I l1 I l 3 = 1A I 5 I l 2 I l3 = -3A I 6 I l1 I l2 = 4A l1 I l 3 I l 2 I
3.电路中含受控源的处理 处理方法实际上相同,把受控源当作独立源来处理,并追加确定 受控源的方程。 例:P.51例3 4.含电流源L的处理 l)如果电路中含有电流源和电阻的并联组合,则把它们等效变 换为电压源和电阻串联组合,然后再列方程。即,“有伴”→U,“有 伴”→基本步骤 2)l,“无伴”增设电流源的电压U1为方程变量,列写KV方程 时,路过1就以U代入,最后增补与l,有关网孔电流的关系式。 例:列出图示电路(a)的网孔方程。 1 Rb μUo ⊥ radIo (b) 解:增设U1,设网孔电流1、12、13,沿顺时针方向。 3/1-12-2l3=7-U1 1+612-3/3=0 2l1-3l,+6l2=U 例:上图(b)为晶体管低频小信号放大的电路模型。已知电路参数 为:R2=1KΩ,R=50K92,R,=200K92,R1=10K02,=2×10 a=50。设输入信号电压U=10mV,求输出电压U 解:本题说明用网孔电流法分析计算含受控源电路的一般步骤 电路中有两个受控源,ⅡU是ICS,可将其等效转换为CCIS,即 cd是CCCS,可将它连同并联电阻R转换为oRl串联电阻R 成为CCVS,如图(c)所示,设网孔电流l1、l2、l3,沿顺时针方向 列网孔电流方程,并注意到l=1-12,l=13。该电路的网孔方程 为 回路1:R2l-Rl2=U1-Rnl1 回路2:-Rl+(R+R+R)2-Rl=1R1+OR(1-12)
3 电路中含受控源的处理 处理方法实际上相同 把受控源当作独立源来处理 并追加确定 受控源的方程 例 P. 51 例 3 5 4 含电流源 s I 的处理 1) 如果电路中含有电流源和电阻的并联组合 则把它们等效变 换为电压源和电阻串联组合 然后再列方程 即I s 有伴 ®Us 有 伴 ®基本步骤 2) I s 无伴 增设电流源的电压U I 为方程变量 列写 KVL 方程 时 路过I s 就以U I 代入 最后增补与I s 有关网孔电流的关系式 例 列出图示电路(a)的网孔方程 解 增设UI 设网孔电流I 1 I 2 I 3 沿顺时针方向 ï ï î ï ï í ì - = - - + = - + - = - - = - 7 2 3 6 6 3 0 3 2 7 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 I I I I I U I I I I I I U I I 例 上图(b)为晶体管低频小信号放大的电路模型 已知电路参数 为 Rb = 1KW Re = 50KW Rf = 200KW RLd = 10KW m= ´ - 2 10 4 á=50 设输入信号电压Ui 10mv 求输出电压U o 解 本题说明用网孔电流法分析计算含受控源电路的一般步骤 电路中有两个受控源 U o 是 VCVS 可将其等效转换为 CCVS 即 mU m R I mR I o = Ld c = Ld c ( ) aI b是 CCCS 可将它连同并联电阻Rc转换为aRe I b 串联电阻Re 成为 CCVS 如图(c)所示 设网孔电流I 1 I 2 I 3 沿顺时针方向 列网孔电流方程 并注意到I b I 1 I 2 I c I 3 该电路的网孔方程 为 回路 1 R I R I U R I b 1- b 2 = i - m Ld 3 回路 2 ( ) ( ) 1 2 3 3 1 2 R I R R R I R I R I R I I - b + b + f + c - e = m Ld +a e -
回路3:-Rl2+(R+R1)l3=-OR(1-l2) 将元件量值代入并整理,得 1-12+2×103,=10×10 25011+2751/2-50002/3=0 250011-25501,+60l3=0 解得: 3=-0.4347mA U。=Ral3=-4347V 二、回路分析法(自学) 作业:P.623-2;3-3;3-4
回路 3 ( ) ( ) 2 3 1 2 R I R R I R I I - e + e + Ld = -a e - 将元件量值代入并整理 得 I I I I I I I I I 1 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 2 10 10 10 2501 2751 50 002 0 2500 2550 60 0 - + ´ = ´ - + - = - + = ì í ï î ï - - . 解得 I 3 = -0.4347 mA Uo = RLd I 3 = -4.347 V 二 回路分析法(自学) 作业 P. 62 3 2 3 3 3 4
结点分析法 结点电压 先说明结点电压是一组独立电压变量。 结点电压——电路结点与参考结点(零电位)之间的电压,数目(m 1)个。 支路电压=两结点电压之差 如图(a) n=3,需要假设的结点电压数n-1=2。Ua1=U1,Ua2=U1-U2 l1=G1U112=G(U1-U2)l3=GU2 二、结点方程的规律与列写步骤 如图(a),由KCL得:独立结点数n-1 n1:GU1+G2(U1-U2)=l n2:-G2(U1=U2)+G:U ((G,+G2)=I, G1U1+G12U2=I,ul G2U1+(G2+Gy2=-l3 IG2U,+ G22U2=I22 这里:1)G1—m1关联的所有电导之和,自电导≥0 2)G2、G21—n1、n2共有电导之和的负值,互电导≤0 注入结点n1的电流源代数和(流入为“+”,流出 为“-”)。如果电路中存在有伴电压源,先转为有伴电流源
3 4 结点分析法 一 结点电压 先说明结点电压是一组独立电压变量 结点电压──电路结点与参考结点(零电位)之间的电压 数目(n 1)个 支路电压 两结点电压之差 如图(a) n 3 需要假设的结点电压数 n 1 2 UG1 U1 UG 2 U1 U 2 UG 3 U 2 I 1 G1U1 2 G2 U1 U2 I I 3 G3U2 二 结点方程的规律与列写步骤 如图(a) 由 KCL 得 独立结点数 n 1 n1 G1U1 ( ) G2 U1 U2 I s1 n2 2 1 2 3 2 -G (U U ) +G U I s 3 î í ì 2 1 2 3 2 3 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) s s G U G G U I G G U G U I G U G U I G U G U I s s 11 1 12 2 11 21 1 22 2 22 + = + = ì í î 这里 1) G11──n1关联的所有电导之和 自电导³0 2) G12 G21──n1 n2共有电导之和的负值 互电导£0 3) I s11──注入结点 n1 的电流源代数和(流入为 流出 为 ) 如果电路中存在有伴电压源 先转为有伴电流源