南京航空航天大学：《电路分析基础》第七章 正弦稳态分析

第七章正弦稳态分析 简介 1.正弦波的应用:在电力、通讯与控制三大系统中,正弦波应 用极为广泛,如:电力系统中的u、i;无线电中的高频载波均为正 弦波。 2,周期性的非正弦交流信号可分解为一系列的正弦函数级数(傅 立叶级数) 3、线性电路中,在同一频率的正弦信号激励下,各电压、电流 响应也将是该频率的正弦量。 4.如果L、C在AC电路中,则L、C的VAR均具有微(积)分形 式,那么AC稳态分析时是否也要建立微分方程呢?回答是否定的。 5.由于正弦量经加、减、微分、积分运算后仍为同频率正弦量, 故利用“相量”来表征正弦量三个要素中的两个:振幅、相位,从 而使电路方程变为相量(复数)代数方程,并且可以借用的DC分析方 法 §7-1正弦电压和电流 时变的电压和电流 瞬时电压u、i 周期性方波 周期性斜波周期性交流电 周期性正弦交流量简称正弦信号。 随时间变动的电压和电流称为时变的电压和电流 二、正弦量的三个要素 设正弦电压 u(o=Um cos(ot +p,) 正弦电流 i(0=I cos(ot+P) 说明:正弦量可用余弦函数表示,也可用正弦函数表示,本书用 cOs形式表示 则 Ln、Un——(幅值)或振幅 角频率 统称为正弦量的三个要素 初相位

1 第七章 正弦稳态分析 简介 1 正弦波的应用 在电力 通讯与控制三大系统中 正弦波应 用极为广泛 如 电力系统中的u i 无线电中的高频载波均为正 弦波 2 周期性的非正弦交流信号可分解为一系列的正弦函数级数(傅 立叶级数) 3 线性电路中 在同一频率的正弦信号激励下 各电压 电流 响应也将是该频率的正弦量 4 如果 L C 在 AC 电路中 则 L C 的 VAR 均具有微(积)分形 式 那么 AC 稳态分析时是否也要建立微分方程呢 回答是否定的 5 由于正弦量经加 减 微分 积分运算后仍为同频率正弦量 故利用 相量 来表征正弦量三个要素中的两个 振幅 相位 从 而使电路方程变为相量(复数)代数方程 并且可以借用的 DC 分析方 法 7 1 正弦电压和电流 一 时变的电压和电流 周期性正弦交流量简称正弦信号 随时间变动的电压和电流称为时变的电压和电流 二 正弦量的三个要素 设正弦电压 ( ) cos( ) m u u t =U wt +j 正弦电流 ( ) cos( ) m i i t = I wt +j 说明 正弦量可用余弦函数表示 也可用正弦函数表示 本书用 cos 形式表示 则 I m Um ── (幅值)或振幅 w ── 角频率 统称为正弦量的三个要素 ji ju ── 初相位 瞬时电压u i 周期性方波 周期性斜波 周期性交流电

1.角频率、频率f周期T T—正弦量变化一个周期所需的时间 每秒变化的周期数。 故有: 正弦量变化一周,cos函数变化一周,即2x角。 于是 2 O=2丌 或 O=2rf=2:单位时间内增加的相位角。 单位:T ec秒 ms、Sns f—H、KH、MH=、GH= [Hz]= O rads弧度/秒 f:低频(音频):≤20KH 中频: 几百KHz 高频 几MHz 例:工频——大多数国家为50H,美、日等为60Hz。我国工频 ∫=501,则7=1=003s,由o=2x,得o=2m=314mad1 2.幅值(最大值)与有效值 1)有效值的定义:P.145 若一个周期电流(不限于正弦)在一个周期T内流过某电阻R所 产生的热量等于大小为Ⅰ的直流电流在这段时间T内流过上述R所 产生的热量,则I就定义为i的有效值 i Rdt=rDt dt 故有效值也称为方均根(rms)值。 ★写法规定: 瞬时值一一用小写字母u、i、u表示;

2 1 角频率w 频率 f 周期 T T ── 正弦量变化一个周期所需的时间 f ── 每秒变化的周期数 故有 T f 1 = 正弦量变化一周 cos 函数变化一周 即2p角 于是 wT = 2p Þ w 2p T = p w 2 f = 或 T f p w p 2 = 2 = 单位时间内增加的相位角 单位 T ── sec 秒 ms ms ns f ── Hz KHz MHz GHz [sec] 1 [Hz] = w ── rad/s 弧度/秒 f 低频(音频) £ 20KHz 中频 几百 KHz 高频 几 MHz 例 工频──大多数国家为 50Hz 美 日等为 60Hz 我国工频 f = 50Hz 则 S f T 0.02 1 = = 由wT = 2p 得w= 2p f = 314rad / s 2 幅值(最大值)与有效值 1) 有效值的定义 P.145 若一个周期电流i(不限于正弦)在一个周期 T 内流过某电阻 R 所 产生的热量等于大小为 I 的直流电流在这段时间 T 内流过上述 R 所 产生的热量 则 I 就定义为i的有效值 即 i Rdt I Rdt T T 2 0 2 0 ò = ò I T i dt T = ò 1 2 0 故有效值也称为方均根(rms)值 写法规定 瞬时值──用小写字母u i u2表示 T wt m I ji

有效值——用大写字母U、I、U2表示; 最大值(幅值)—U、Ln、U2表示。 ★交流表:其A、V指示的往往为有效值,如:220V,380 耐压值往往指最大值。 2)正弦量最大值与有效值的关系 如:i()= I cos(a+q), 则 a+ d t 7-0] 0.707 同理: U=√2U 因此正弦函数常写为: )=√2lcos(ar+q),m()=√2Ucos(a+q)等 3.初相位与相位差 1)ot+ 相位角,反映正弦波变化的进程,也叫相角。 如:a+q=0 则i=l a+o=60 则i=05n ar+q=900 则 Ddm+)—相角变化速度(角频率) 2)初相位:q=(x+q) 相角、初相位的S单位:弧度(rad 常用单位:度( DEGREE),计算中注意必要的转换: 2弧度=360° 初相位q取决于初始时刻的选取,计时起点不同,则初相不同 从波形上看:q=最大值与原点间的最近距离。图7-2中,若最大 值在原点右边时,a0。为了使表 达式唯一,通常在qKπ的主值范围内取值。 3)相位差 θ=两同频率正弦量的相角之差。如: u(o=U cos(ax+,) i(o=Incos(a+o) 则u、i之间的相位差:O=(ar+q2)-(o+q)=9-q 注意:不同频率时不可求O,可见:O=同频率初相之差

3 有效值──用大写字母 U I U2表示 最大值(幅值)──Um I m U2m 表示 交流表 其 A V 指示的往往为有效值 如 220V 380V 耐压值往往指最大值 2) 正弦量最大值与有效值的关系 如 ( ) cos( ) m i i t = I wt +j 则 ò ò = + + = + T i m T m i t dt T I I t dt T I 0 2 0 2 2 [ 1 cos( 2 2 ) 2 1 cos ( ) 1 w j w j = m m m I I T T I 0.707 2 0] 2 1 [ 2 - = = 同理 Um = 2U 因此正弦函数常写为 ( ) 2 cos( ) i i t = I wt +j ( ) 2 cos( ) u u t = U wt +j 等 3 初相位与相位差 1) i wt +j ── 相位角 反映正弦波变化的进程 也叫相角 如 0 wt +ji = 0 则 i I = m 0 wt +ji = 60 则 m i = 0.5I 0 wt +ji = 90 则 i = 0 ( ) i t dt d w= w +j ── 相角变化速度(角频率) 2) 初相位 0 ( ) | i = + i t= j wt j 相角 初相位的 SI 单位 弧度(rad) 常用单位 度(DEGREE) 计算中注意必要的转换 2p 弧度 = 360° 初相位ji 取决于初始时刻的选取 计时起点不同 则初相不同 从波形上看 ji 最大值与原点间的最近距离 图 7 2 中 若最大 值在原点右边时 ji 0 为了使表 达式唯一 通常在|ji |£ p的主值范围内取值 3) 相位差q q 两同频率正弦量的相角之差 如 ( ) cos( ) ( ) cos( ) m i m u i t I t u t U t w j w j = + = + 则u i之间的相位差 ui u i u i q = (wt +j ) - (wt +j) =j -j 注意 不同频率时不可求q 可见 q 同频率初相之差

些常见的相位关系 >0(qn>g)——u(相位)超前于i,i滞后于u O<0(<q) u滞后于i,i超前于u 6=0 u、i同相 6=±x=±90 u、i正交 6=±丌=±180° u、i反相 般θ在≤π主值范围内取值。 例:4(1)=10c0s(a+609)A,1(1)=5c0s(a-150°)A,求哪一个超前? 多少度? 解:q=60°,g2=-150° e=q-q2=60°-(-1509)=210° 主值范围 0=210°-360°=-150° i滞后2150°,i2超前动150° 又:问4、i2的有效值为多少? 10 1=五 7.07A 12=0.707×5=3535A 练习:P.1917-1 作业:P2177-1,补充一题。 补充:试计算下列各正弦波的相位差 u=10c053141+45°)和u=20co3141-20° 2.u=5c020+5°y和i=7cos(30-20°)A 3.i=-5sn(6m+109)A和i=4cos(6m-15)A

4 一些常见的相位关系 q > 0 (ju >ji ) ── u (相位)超前于i , i滞后于u q < 0 (ju <ji ) ── u滞后于i , i超前于u q = 0 ──u i同相 0 90 2 = ± = ± p q ── u i正交 q = ±p = ±180° ── u i反相 一般q在|q|£ p主值范围内取值 例 ( ) 10cos( 60 ) 1 i t = wt + ° A ( ) 5cos( 150 ) 2 i t = wt - ° A 求哪一个超前 多少度 解 = 60° j1 = -150° j2 = - = 60° - (-150°) = 210° q j1 j2 主值范围 q = 210° - 360° = -150° i 1滞后i 2 150° i 2 超前i 1 150° 又 问 1 i i 2 的有效值为多少 7.07 2 10 I 1 = = A I 2 = 0.707´ 5 = 3.535 A 练习 P.191 7 1 作业 P.217 7 1 补充一题 补充 试计算下列各正弦波的相位差 1 u = 10cos(314t + 45°)V 和u = 20cos(314t - 20°)V 2 u = 5cos(20t + 5°)V 和i = 7cos(30t - 20°)A 3 i = -5sin( 6pt +10°)A 和i = 4cos(6pt -15°)A

§7-2相量法相量图有效值相量 目的:由P.141的例子可以看到:正弦函数(三角函数)的加、减 等运算均很麻烦。当ω不变时,我们可以只关心幅值与初相这两个 要素,即引入“相量”。这样,正弦稳态电路的方程变为相量(复数) 代数方程,可引用DC分析的各种方法。因涉及复数,故首先复习 下复数。 复数简介: 、复数的几种形式 1,代数形式(直角坐标形式) 复数A=a+jb,式中:j=√-1称为虚数单位,不用表示,避免 与电流i相混 a:称为A的实部 b:称为A的虚部 均为实数,复矢量在实、虚轴上的投影 可将其在复平面上表示 Re=a,lm4=b,一般幅角主值范围在(-兀,+x)之间。 2.三角形式 “复矢量”的长度p——称为A的模(p>0); 复矢量与实轴的夹角v——称为A幅角的主值。 AU A=a+jb=pcos y+ jpsin y 即 A=Acos y+jsin y) 与代数形式的关系相比 a=pcos yr 或 √a2+ b= v所在象限由a、b的正、负号决定,而非的正负号决定,例:±4±j3 g(4+j3)4>36.9° g(4-j3)4>-36.9° arg(-4+j3)>143.1 arg(-4-j3)>-143.1° 3.指数形式 利用欧拉公式:e"=cosv+jinv 可将复数A=p(osv+ Jsin y)化为A=pe/w 4.极坐标形式

5 j + 1 a b r 7 2 相量法 相量图 有效值相量 目的 由 P.141 的例子可以看到 正弦函数(三角函数)的加 减 等运算均很麻烦 当w不变时 我们可以只关心幅值与初相这两个 要素 即引入 相量 这样 正弦稳态电路的方程变为相量(复数) 代数方程 可引用 DC 分析的各种方法 因涉及复数 故首先复习 一下复数 复数简介 一 复数的几种形式 1 代数形式(直角坐标形式) 复数 A= a + jb 式中 j = - 1称为虚数单位 不用i 表示 避免 与电流i相混 a 称为 A 的实部 b 称为 A 的虚部 可将其在复平面上表示 Re[ A] = a Im[ A] = b 一般幅角主值范围在(-p,+p)之间 2 三角形式 复矢量 的长度r──称为 A 的模(r> 0) 复矢量与实轴的夹角y──称为 A 幅角的主值 则 A = a + jb = rcosy+ jrsiny 即 A = r(cosy+ jsiny) 与代数形式的关系相比 a = rcosy 或 2 2 r = a + b b = rsiny a b y= arctg y所在象限由 a b 的正 负号决定 而非 a b 的正负号决定 例 ± 4 ± j3 arg( 4 + j3) « 36.9° arg( 4 - j3) « -36.9° arg( -4+ j3) «143.1° arg( -4- j3) « -143.1° 3 指数形式 利用欧拉公式 e cosy jsiny j = + 可将复数 A = r(cosy+ jsiny)化为 y r j A= e 4 极坐标形式 均为实数 复矢量在实 虚轴上的投影

即指数形式简化记为:A=p∠v ★利用计算器可将复数的代数形式与极坐标形式进行互换。(参 考相关说明书) 二、复数运算 1.加、减法宜用代数形式 例 A=a,+ jb B=a2+jb, A±B=(a1±a2)+f(b1±b2) 2.乘、除法宜用极坐标形式 例 A=a1+j=P∠qB=a2+jb2=P2∠ AB=BP2∠q+ a=B∠-9(若用代数形式相当麻烦) 例:求(32+门750.3-15) 解:原式=8.15∠669°×1.53∠-787°=125∠-18°=12.2-j2.56 例:求(-125+194.3)(-25-10.5) 解:原式=1566∠143° 5.78∠300° 27.1∠-157° 578∠-60°=289j5 三、旋转因子和旋转矢量 eo=1∠ot 即ε的模为1,幅角ωr随t增长而,此复数矢量在复平面上以 角速度ω逆时针旋转,故称之为旋转因子。 2.Ae称为旋转矢量。设A=pot 则:Ae表示将A逆时针旋转一角度ot,模放大p倍。 A A p 3.常用的旋转因子有 coS一+ISn J3e 即:1∠±90° et/x=-1,即1∠±180°=-1 可见:jj-1均可记为旋转因子

6 即指数形式简化记为 A = rÐy 利用计算器可将复数的代数形式与极坐标形式进行互换 (参 考相关说明书) 二 复数运算 1 加 减法宜用代数形式 例 1 1 A = a + jb 2 2 B = a + jb ( ) ( ) 1 2 b1 b2 A± B = a ± a + j ± 2 乘 除法宜用极坐标形式 例 = 1 + 1 = r1Ðj1 A a jb = 2 + 2 = r2Ðj2 B a jb AB = r1r2Ðj1 +j2 A B = Ð - r r j j 1 2 1 2 (若用代数形式相当麻烦) 例 求(3.2 + j7.5)(0.3- j1.5) 解 原式 = 8.15Ð66.9°´1.53Ð - 78.7° =12.5Ð -11.8° =12.2 - j2.56 例 求(-125+ j94.3)/(-25- j10.5) 5.78 60 2.89 5 5.78 300 27.1 157 156.6 143 = Ð - ° = - j = Ð ° Ð - ° Ð ° 解 原式= 三 旋转因子和旋转矢量 1 e t j t 1 w w = Ð 即 j t e w 的模为 1 幅角wt 随 t 增长而↗ 此复数矢量在复平面上以 角速度w逆时针旋转 故称之为旋转因子 2 j t Ae w 称为旋转矢量 设 A= rÐwt 则 j t Ae w 表示将 A 逆时针旋转一角度wt 模放大r倍 3.常用的旋转因子有 e j j j = + = 2 sin 2 cos 2 p p p 2 1 2 p p = - = Ð - - e j j 即 1Ð ± 90° = ± j = -1 ± jp e 即 1Ð ±180° = -1 可见 j -j -1 均可记为旋转因子 A +1 +j 0 e j t +1 +j 0 t A +1 +j 0 t Ae j t

四、利用相量表示正弦交流量 设正弦电流i(t)=lcos(a+) 根据欧拉公式:e°=cos+jsnO令:0=ar+O 我们可以把复指数函数 l eJ(ex+e) n[cos(a+日)+jsn(ar+e In cos(a +0)+jIm(sina+e) 很明显,上式的实部恰好是正弦电流(),即: i(o)=RelL e/(ex+)]=I cos(ar+0) 这样,我们就把正弦交流电与复指数函数联系起来,为用复数表 示正弦交流电找到了途径。一个正弦波是由振幅、频率和初相位三 个要素所决定。如前所述,在频率相同的正弦电源激励下,电路各 处的响应电流和电压的频率是相同的。所以,在正弦稳态响应的三 要素中,我们只需要确定它们的幅值和初相位两个要素。把式(*进 一步写成:()=Re[1e(m+]=Re[ne"e]= Relr ejo 式中 1.Rt[]为取“实部”的运算符。 2.及为能反映正弦量幅值与初相位的“复常数”,称为正弦量i() 的“振幅相量”,也称为最大值相量。 即: k=lne=1n∠日 (*冰*) i(t)=Re[a jeri 复变量(旋转矢量)的实部 下面我们来看一下几何意义 复变量Ue-+可用复平面上的向量来表示,如P.144图7-6所 示,向量的模为Un,幅角为(αx+q)。这个向量在复平面上以原点为 中心按角速率ω逆时针方向旋转,所以也称旋转向量,此旋转向量 任何时刻在实轴上的投影正好等于该时刻电流硎()的瞬时值。 讨论:为什么引用相量来表示正弦量呢? 因为在单一频率正弦电源激励的电路中,各部分都是与电源频率 相同的正弦量,因而在分析时,常常只需确定最大值(振幅)或有效值 和初相位两个要素,而复数&的模是正弦电流的幅值,幅角是正弦 电流的初相角。这正好是我们感兴趣的正弦交流电的两个要素。为 了把这样一个能表示正弦交流电的复数与一般的复数相区别,把它 叫做相量,并在符号上加上一点以示与相区别。k称为电流相量

7 四 利用相量表示正弦交流量 设正弦电流 ( ) cos( ) m i i t = I wt +q 根据欧拉公式 q q q e cos jsin j = + 令 i q =wt +q 我们可以把复指数函数 [cos( ) sin( )] ( ) m i i j t m I e I t j t i w q w q w q = + + + + = Im t + i + jI m t + i cos(w q ) (sinw q) 很明显 上式的实部恰好是正弦电流i(t) ,即 ( ) Re[ ] cos( ) ( ) m i j t m i t I e I t i w q w q = = + + (*) 这样 我们就把正弦交流电与复指数函数联系起来 为用复数表 示正弦交流电找到了途径 一个正弦波是由振幅 频率和初相位三 个要素所决定 如前所述 在频率相同的正弦电源激励下 电路各 处的响应电流和电压的频率是相同的 所以 在正弦稳态响应的三 要素中 我们只需要确定它们的幅值和初相位两个要素 把式(*)进 一步写成 ( ) Re[ ] Re[ ] Re[ ] ( ) j t m j j t m j t m i t I e I e e I e w qi qi w & w = = = + (**) 式中 1 Re[ ]为取 实部 的运算符 2 m I & 为能反映正弦量幅值与初相位的 复常数 称为正弦量i(t) 的 振幅相量 也称为最大值相量 即 i j m m I I e q & = = I mÐqi (***) ( ) Re[ ] j t m i t I e & w = ── 复变量(旋转矢量)的实部 下面我们来看一下几何意义 复变量 j(wt +j ) m U e 可用复平面上的向量来表示 如 P.144 图 7 6 所 示 向量的模为Um 幅角为(wt +j) 这个向量在复平面上以原点为 中心按角速率w逆时针方向旋转 所以也称旋转向量 此旋转向量 任何时刻在实轴上的投影正好等于该时刻电流u(t)的瞬时值 讨论 为什么引用相量来表示正弦量呢 因为在单一频率正弦电源激励的电路中 各部分都是与电源频率 相同的正弦量 因而在分析时 常常只需确定最大值(振幅)或有效值 和初相位两个要素 而复数 m I & 的模是正弦电流的幅值 幅角是正弦 电流的初相角 这正好是我们感兴趣的正弦交流电的两个要素 为 了把这样一个能表示正弦交流电的复数与一般的复数相区别 把它 叫做相量 并在符号上加上一点以示与I m相区别 m I & 称为电流相量

可见: 1.振幅相量≠正弦量,但有对应关系。 2.振幅相量反映了振幅与初相位两个要素。 3.旋转因子e反映另一个要素o 类似地:Q1=五,将屋k=1∠9定义为“有效值相量”,简 称相量。 有: 是一R或=2R 相量颅用图表示,这种图称为相量图,如图7-5所示。 例:已知(t)=1414cos(a+30°)A,u()=311los(ar-60°)V 求:R、,并作相量图。 解:k1414∠30°A, 311.1 ∠-60°=220∠-60°V 例:已知:f=1000=,B=0.5∠-30°A。求(t)=? 解:=2n=6280rad/s→(t)=0.5√2co62801-309)A 五、正弦相量的基本运算 用相量形式替代正弦量,运算会有很多便利之处。 1.相同频率正弦量的加减运算。 设 cos(ar+Q)A i2=√2l2cos(or+q2) 求 解:i=Rel√2i1e 从而=1+12=Re[√21em]+Re2l2e] Re[w2(,+l, )ejo] 可见:两个同频率正弦量相加仍为同频率的正弦量。 令:i=Re√2 则有:Rt√2em]=Rel2(1+12)e 上式对任何时刻t均成立,故有:I=1+12

8 可见 1 振幅相量¹ 正弦量 但有对应关系 2 振幅相量反映了振幅与初相位两个要素 3 旋转因子 j t e w 反映另一个要素w 类似地 Q I = m I 2 1 将 i j I Ie I i j j = = Ð & 定义为 有效值相量 简 称相量 有 m I I & & 2 1 = 或 I 2 I m & = & 相量 I &可用图表示 这种图称为相量图 如图 7 5 所示 例 已知i(t) =141.4cos(wt + 30°) A u(t) = 311.1cos(wt - 60°) V 求 I & U& 并作相量图 解 30 A 2 141.4 I = Ð ° & 60 220 60 V 2 311.1 U = Ð - ° = Ð - ° & 例 已知 f = 1000Hz I & = 0.5Ð- 30°A 求i(t) = ? 解 w= 2pf = 6280rad /s Þ i(t) = 0.5 2cos(6280t - 30°)A 五 正弦相量的基本运算 用相量形式替代正弦量 运算会有很多便利之处 1 相同频率正弦量的加减运算 设 i 1 = 2I 1 cos(wt +j1 )A i 2 = 2I 2 cos(wt +j2 )A 求 1 2 i = i + i 解 Re[ 2 ] 1 1 j t i I e w · = Re[ 2 ] 2 2 j t i I e w · = 从而 i = i 1 + i 2 = Re[ 2 ] 1 j t I e w · +Re[ 2 ] 2 j t I e w · =Re[ 2( ) ] 1 2 j t I I e w · · + 可见 两个同频率正弦量相加仍为同频率的正弦量 令 Re[ 2 ] j t i I e w · = 则有 Re[ 2 ] Re[ 2( ) ] 1 2 j t j t I e I I e w w · · · = + 上式对任何时刻 t 均成立 故有 · · · = 1+ 2 I I I 0 +1 +j · I o 30 o -60 · U

同理若:1=1-2,则有1=1-12 结论:正弦量的加(减)对应为其相量间的加减,从而复杂的三角 运算转化为复数的代数运算 例:;=707√2cos(a+45°)A,i2=4242cos(x-30°)A,求i=i1+2 解:I=1+12=70.7∠45°+424∠-30° =(50+j50)+(367-21.1) =867+j28.8=914∠184°A ()=9142cos(ar+184)A 亦可用相量图定性分析 推论:KCL:∑=0→∑l=0 KVL ∑ lk=0→∑Uk=0 形式一致,但≠,u≠Uk,只是对应关系。(基尔霍夫定律的 相量形式) 2.正弦量的微分、积分运算 设m()=2/coam+9)A,则出=2(/ cos(ar+q)-=4Re√iem =Re[(2e)=Re√2(oi)e 上式表明:正弦量的一阶导数仍为一个同频率的正弦量,其相量 等于原正弦量的相量乘以jω,即:相量的模为原来相量的o倍,初 相超前于原相量90°,即的相量为jo/=ol∠(q+90°) 类似地:∫M的相量为=1∠(-2)。 作业:P.1917-2,7-3,7-4

9 同理 若 3 1 2 i = i - i 则有 · · · 3 = 1 2 I I I 结论 正弦量的加(减)对应为其相量间的加减 从而复杂的三角 运算转化为复数的代数运算 例 i 1 = 70.7 2 cos(wt + 45°)A i 2 = 42.4 2 cos(wt - 30°)A 求 1 2 i = i + i j A j j I I I 86.7 28.8 91.4 18.4 (50 50) (36.7 21.1) 1 2 70.7 45 42.4 30 = + = Ð ° = + + - = + = Ð ° + Ð - ° · · · 解 i(t) = 91.4 2cos(wt +18.4°)A 亦可用相量图定性分析 推论 KCL å = 0 ® å = 0 · k k i I KVL å = 0 ® å = 0 · uk U k 形式一致 但 · k ¹ k i I k uk U · ¹ 只是对应关系 (基尔霍夫定律的 相量形式) 2 正弦量的微分 积分运算 设i(t) = 2I cos(wt +ji )A 则 [ 2 cos( )] [Re( 2 )] j t i I e dt d I t dt d dt di w w j · = + = Re[ ( 2 )] Re[ 2( ) ] j t j t I e j I e dt d w w w · · = = 上式表明 正弦量的一阶导数仍为一个同频率的正弦量 其相量 等于原正弦量的相量乘以 jw 即 相量的模为原来相量的w倍 初 相超前于原相量 o 90 即 dt di 的相量为 = Ð( + 90°) · i jwI wI j 类似地 ò i(t)dt 的相量为 ) 2 ( 1 p j w w = Ð - · i I I j 作业 P.191 7 2 7 3 7 4

§7-3三种基本元件伏安关系的相量形式 为了利用相量进行正弦稳态分析的需要,本节将导出R、L、C 三种基本元件伏安关系的相量形式 电阻元件 〔b) 电阻元件 在正弦电路中,流经电阻元件的电流及其端电压,在关联参考 方向下,服从欧姆定律 Ri 设电流 i=√2leos(a+9) 则其电压 Ri R 上式表明,线性电阻的电压与电流是同频率的正弦量,且相位相 同:g=q 电压和电流的有效值有如下关系: UB=R(满足欧姆定律) 同理振幅有: Un=RI 若用相量表示 q 可得 U=RI U=RI=R∠q 或2=R 9 =u 可以看出:上式既反映了u、i有效值之间的关系,同时又表明了u i之间的相位关系。 图b)、(c)画出了电阻元件的电压、电流波形图及相量图 在相量图上,电压相量和电流相量是共线的,指向同一“方向” (同相关系)

10 7 3 三种基本元件伏安关系的相量形式 为了利用相量进行正弦稳态分析的需要 本节将导出 R L C 三种基本元件伏安关系的相量形式 一 电阻元件 在正弦电路中 流经电阻元件的电流及其端电压 在关联参考 方向下 服从欧姆定律 uR = Ri R 设电流 2 cos( ) R i i = I wt +j 则其电压 2 cos( ) 2 cos( ) R R i R u u = Ri = RI wt +j = U wt +j 上式表明 线性电阻的电压与电流是同频率的正弦量 且相位相 同 ju =ji 电压和电流的有效值有如下关系 U RI R = (满足欧姆定律) 同理振幅有 U Rm = RI m 若用相量表示 i I = IÐj · U =UÐju · 可得 RI i U = R I = Ðj · · 或 R I U = · · î í ì = = i u U RI j j 可以看出 上式既反映了u i有效值之间的关系,同时又表明了u i之间的相位关系 图(b) (c)画出了电阻元件的电压 电流波形图及相量图 (c) 在相量图上 电压相量和电流相量是共线的 指向同一 方向 (同相关系)