第二章 电路的等效变换
第二章 电路的等效变换
§2-1等效二端网络的定义电阻串并联电路 等效二端网络的定义 1.二端网络的定义 在电路分析中,可以把互连的一组元件看作为一个整体,如图(a) 所示(R3、R4、R这一部分电路)。当这个整体只有两个端钮与外部 电路相连接,则不管它的内部结构如何,我们统称它为二端网络或 单口网络,可以用图(b)中的N来表示。 Us R2 R U 5 (b) 特点:二端网络中,从一个端钮流进的电流必定等于另一端钮流 出的电流,该电流Ⅰ称为端口电流,U为端口电压。 2.等效 二端网络N1的(VAR)与另一个二端网络M2的(VAR完全相同,则 称N1、N2完全等效。这里的等效是指对任意的外电路等效,对内部 不等效。 目的:引入等效概念,可大大简化二端网络,以利分析。 二、电阻的串联电路(流过同一电流)及分压公式 R1 R 十十U4-+U t Un 在电路中,把几个电阻元件依次一个一个首尾连接起来,中间没 有分支,在电源的作用下流过各电阻的是同一电流。这种连接方式 叫做电阻的串联。 图示电路表示几个电阻串联后由一个直流电源供电的电路。U代 表总电压,Ⅰ为电流
2 1 等效二端网络的定义 电阻串并联电路 一 等效二端网络的定义 1 二端网络的定义 在电路分析中 可以把互连的一组元件看作为一个整体 如图(a) 所示( R3 R4 R5这一部分电路) 当这个整体只有两个端钮与外部 电路相连接 则不管它的内部结构如何 我们统称它为二端网络或 单口网络 可以用图(b)中的 N 来表示 特点 二端网络中 从一个端钮流进的电流必定等于另一端钮流 出的电流 该电流 I 称为端口电流 U 为端口电压 2 等效 二端网络 N1的(VAR)与另一个二端网络 N2 的(VAR)完全相同 则 称 N1 N2 完全等效 这里的等效是指对任意的外电路等效 对内部 不等效 目的 引入等效概念 可大大简化二端网络 以利分析 二 电阻的串联电路(流过同一电流)及分压公式 在电路中 把几个电阻元件依次一个一个首尾连接起来 中间没 有分支 在电源的作用下流过各电阻的是同一电流 这种连接方式 叫做电阻的串联 图示电路表示几个电阻串联后由一个直流电源供电的电路 U 代 表总电压 I 为电流
N1和N2两个二端网络,运用等效概念,N可等效为N2(一个电阻 Rob) 由KLU=U1+U2+…+Un 由ARU=Rl1+R2…+R,ln=(R+R2+…+Rn 对N,:VAR U=RI 这里称R为等效电阻。 ∴串联(n个电阻)等效电阻Rn=∑R,等效电阻如图b 等效电阻必大于任一串联电阻,即:Rn>R 而第k个电阻上的电压为 Rk ∑R (分压公式) 下面再看P=Ul=RP2+RP2+…+Rr2=RP2 此式表示n个串联电阻吸收的总功率等于它们的等效电阻所吸 收的功率 电阻串联时,各电阻上的电压为:U,=R=AU,此式称分压公 式 例:P.23例2-1 三、电阻的并联(加的是同一电压)及分流公式) 图示为n个电阻并联。电阻并联时,各电阻上的电压相同 I I2 n 1 G G (a) (b) 设a、b两端电压为U,总电流l,G,G2…Gn为各电阻的电导, ,l2…Ln为流过各电阻的电流。 由KCLI=l1+12+…+n UU RI R2 饣(G1+G2+…+G=GU G=G1+G+…+G=∑G或=∑ R G称为并联电阻的等效电导,等效电路如图(b) 再由:P=U=(G1+G2+……+G)U2=GU2=P总,得到:n个并联 电阻吸收的总功率等于它们等效电阻所吸收的功率
N1和 N2 两个二端网络 运用等效概念 N1可等效为 N2 (一个电阻 Rab ) 由 KVL U U1 +U2 + +Un 由 VAR U R I R I 1 1 + 2 2+ +R I n n=(R1 + R2 + + R I n ) 对 N2 VAR U R I = ab 这里称Rab为等效电阻 串联(n 个电阻)等效电阻Rab Rk k n = = å 1 等效电阻如图 b 等效电阻必大于任一串联电阻 即 Rab > Rk 而第 k 个电阻上的电压为 下面再看 P UI R I R I 1 2 2 2 + + +R I R I n ab 2 2 = 此式表示 n 个串联电阻吸收的总功率等于它们的等效电阻所吸 收的功率 电阻串联时 各电阻上的电压为 此式称分压公 式 例 P. 23 例 2 1 三 电阻的并联(加的是同一电压)(及分流公式) 图示为 n 个电阻并联 电阻并联时 各电阻上的电压相同 设 a b 两端电压为 U 总电流 I G1 G2 , Gn为各电阻的电导 I I 1 2 , n I 为流过各电阻的电流 由 KCL G G G U GU R U R U R U I I I I n n = + + + n = + + + = ( 1 + 2 + + ) = 1 2 1 2 L L L G = G1 + G2 + +Gn Gk k n = = å 1 或 1 1 R k 1 Rk n = = å G 称为并联电阻的等效电导 等效电路如图(b) 再由 P UI (G1 +G2 + +Gn )U 2=GU 2=P 总 得到 n 个并联 电阻吸收的总功率等于它们等效电阻所吸收的功率 U R R U n k k k k å= = 1 ── (分压公式) U R R U R I ab k k = k =
电阻并联时,各电阻中的电流为:14=GU=1 称为分 流公式。可见:各个并联电阻中的电流与它们各自的电导值成正比 如图,两个电阻并联时,其等效电阻R可计算如下: 1 2 1 RR2 Rab RR, →Ra R1+R∥ R, 此时分流公式为:1 R2 R R+R R1+R2 我们看R RR 有两个特例: R1+R2 1)R=R2时则R R 2)R<R时,Rb=R 例:求图示电路中的及U。 909 0.59 05921 白16A U202 ⊙164 U IQ 四、电阻的串并联(混联) 如图所示电路中,既有电阻串联,又有电阻并联,这种连接方式 叫电阻的串并联(混联),这种电路称为简单电路,可利用一、二结论 逐步化简。 3 32 4 6 1.6s2
电阻并联时 各电阻中的电流为 I G G I G U k k = k = 称为分 流公式 可见 各个并联电阻中的电流与它们各自的电导值成正比 如图 两个电阻并联时 其等效电阻 R 可计算如下 此时分流公式为 I R R R I 1 2 1 2 = + I R R R I 2 1 1 2 = + 我们看 R R R R R ab = + 1 2 1 2 有两个特例 1) R1 = R2 时 则R R ab = 1 2 2) R1 << R2时 Rab = R1 例 求图示电路中的 o I 及Uo 四 电阻的串并联(混联) 如图所示电路中 既有电阻串联 又有电阻并联 这种连接方式 叫电阻的串并联(混联) 这种电路称为简单电路 可利用一 二结论 逐步化简 1 2 1 2 1 2 1 2 // 1 1 1 R R R R R R R R R R ab ab = + = + Þ = 1W 1W 1W 90W 0.5W 16A o I o I o 2I o 2I o 4I 1W 1W 1W 90W 0.5W 16A o I - + Uo - + Uo
例求图示电路Rn、Rn 解:1)求R ∵2Ω、8Ω被短路 ∴R=4/3+(66)=4/(3+5)=4/6=242 2)求R 原电路可改画为 ∴R2={4∥(3+3)+1.6=24+1.6=49 在串并联电路中,对于给定的端钮,若已知电压U(或电流D,欲 求各电阻上的电压和电流,其求解步骤一般是: l)首先求出串并联电路对于给定端纽的等效电阻R或电导G 2)应用欧姆定律求出电流(或电压); 3)应用电流分流、电压分压公式求出每个电阻上的电流和电压。 例:图示电路,已知U1=220V,R2=502,R=1002 1)当R2=509时,U2=?分压器的输入功率、输出功率及分压器 本身消耗的功率为多少? 2)当R2=7时,输出电压是多少? R1 l211 解:1)当R2=509时,a、b的等效电阻R为R2和R2并联后与R串 联而成,所以 Rob=R R+(50450×50 R )=759 50+50 滑线变阻器R段流过的电流 U,220 2.93A 负载电阻流过的电流可由分流公式得: R, 50 93=147A R2+R2 U2=R22=50×1.47=735 分压器的输入功率为:P=U1=220×2.93=6446 分压器的输出功率为:P2=U212=73.5×147=108 分压器本身消耗的功率为 P=R1l+R2(1-12)2=50×2932+50×(293-147)2=5358W
例 求图示电路Rab Rac 解 1) 求Rab 2 8 被短路 Rab 4//[3+(6//6)]=4// ) 2 6 (3+ =4//6=2.4 2) 求Rac 原电路可改画为 Rac=[4//(3+3)]+1.6=2.4+1.6=4 在串并联电路中 对于给定的端钮 若已知电压 U(或电流 I) 欲 求各电阻上的电压和电流 其求解步骤一般是 1) 首先求出串并联电路对于给定端纽的等效电阻 R 或电导 G 2) 应用欧姆定律求出电流(或电压) 3) 应用电流分流 电压分压公式求出每个电阻上的电流和电压 例 图示电路 已知U1 = 220V,RL = 50W R = 100W 1) 当R2 = 50W 时 ? U2 = 分压器的输入功率 输出功率及分压器 本身消耗的功率为多少 2) 当R2 = 75W 时 输出电压是多少 解 1) 当R2 = 50W 时 a b 的等效电阻Rab为R2和RL并联后与R1串 联而成 所以 = W + ´ = + + = + ) 75 50 50 50 50 (50 2 2 1 L L ab R R R R R R 滑线变阻器R1段流过的电流 A R U I ab 2.93 75 1 220 1 = = = 负载电阻流过的电流可由分流公式得 I A R R R I L 2.93 1.47 50 50 50 1 2 2 2 ´ = + ´ = + = U2 = RL I 2 = 50´1.47 = 73.5V 分压器的输入功率为 P1 =U1 I 1 = 220´ 2.93= 644.6W 分压器的输出功率为 P2 =U2 I 2 = 73.5´1.47 = 108W 分压器本身消耗的功率为 P R I R (I I ) 50 2.93 50 (2.93 1.47) 535.8W 2 2 2 2 1 2 2 = 1 1 + - = ´ + ´ - =
2)当R2=752时, Rab=(25+ )=55g2 220 12=-5×4=244(分流公式) U2=50×24=120 五、梯形电路(P.28,自学 具有下图所示结构形式的电路称为梯形电路,本质为混联。(注 意分析该类电路的方法,线性处理) R 11 I 3 R 5 R I R I 4 8 练习:老版P.442-4 作业:P.412-1(ac);2-2
2) 当R2 = 75W 时 I 4 2.4A 75 50 75 2 ´ = + = (分流公式) U2 = 50´ 2.4 = 120V 五 梯形电路(P . 2 8 自学) 具有下图所示结构形式的电路称为梯形电路 本质为混联 (注 意分析该类电路的方法 线性处理) 练习 老版 P. 44 2 4 作业 P. 41 2 1(a)(c) 2 2 I A Rab 4 55 220 ) 55 75 50 75 50 (25 1 = = = W + ´ = +
§2-2实际电源的两种模型及其等效变换 由电压源构成的实际电源模型 般情况下,实际电压源的端电压常随输出电流而变,实际电压 源在一定范围内可用电压源U串联电阻R作为模型:(如干电池) i 1 ∴外特性为: 对此图,由欧姆定律及KVL可写出如右方程:U=U,-RI 当实际电源不接负载时,它处于开路状态,这时因Ⅰ=0,所以它 的端口电压等于定值电压Us,这时的端电压称为开路电压,用Uoc 表示,U=U。式中:Us为电源的开路电压;R3为电源内阻,又叫 电源的输出电阻。 如果负载短路,实际电源处于短路状态,这时短路电流Iκˉ 而端电压U=0。由于实际电源内阻一般都很小,所以短路电流很大 以致会损坏电源,这是不允许的。 ★实际电源的开路电压和短路电流的测量: 实际电源的开路电压很容易测出,如果允许将电压源短路,只要 测出短路电流,就可以测定实际电源的内阻R L Ucul0-s→可测量"c SCu=O R 但对一般实际电压源是不允许短路的,那么有没有办法测出呢? 如右下图: 方法是:接上适当R,测出U、 则 U-U U-U R
2 - 2 实际电源的两种模型及其等效变换 一 由电压源构成的实际电源模型 一般情况下 实际电压源的端电压常随输出电流而变 实际电压 源在一定范围内可用电压源Us 串联电阻Rs 作为模型 (如干电池) 对此图 由欧姆定律及 KVL 可写出如右方程 U U R I = s - s 当实际电源不接负载时 它处于开路状态 这时因I = 0 所以它 的端口电压等于定值电压 Us,这时的端电压称为开路电压 用 UOC 表示 Uoc =US 式中 Us 为电源的开路电压 Rs 为电源内阻 又叫 电源的输出电阻 如果负载短路 实际电源处于短路状态 这时短路电流 s oc sc R U I = 而端电压U = 0 由于实际电源内阻一般都很小 所以短路电流很大 以致会损坏电源 这是不允许的 实际电源的开路电压和短路电流的测量 实际电源的开路电压很容易测出 如果允许将电压源短路 只要 测出短路电流 就可以测定实际电源的内阻R U I s s sc = 但对一般实际电压源是不允许短路的 那么有没有办法测出呢 如右下图 方法是 接上适当 R 测出 U I 则 I U U I U U R s oc s - = - =
例:某直流电源的开路电压为12V,与外电阻接通后,用电压表 测得U=10V,=5,求R及R UR R 解 U10 R=c-C=12-10 =049 二、实际电流源模型——一般不得开路 理想电流源实际上是不存在的,总存在一定内阻,可以用理想电 流源ls和电导为Gs的电阻相并联来构成实际电源的模型。 有 可见,实际电源的输出电流1 小于定值电流s,端电压越大 6。分流 内导分流就越大,输出电流 就越小。 由欧姆定律、KCL:I=1,-GU(VAR曲线见P.32图2-14) 1.为电源短路电流,G为电源内电导: 实际电流源的G(内阻R越大)越小,内部分流越小,就越接近于 理想电流源。 例:上图中,1=4A,G,=S,当外接电阻R=89,求:,U 解 =-G0
( s s sc R U I = ) 例 某直流电源的开路电压为 12V 与外电阻接通后 用电压表 测得 U 10V I 5A 求 R 及Rs = W - = - = = = = W 0.4 5 12 10 2 5 10 I U U R I U R oc s 二 实际电流源模型── 一般不得开路 理想电流源实际上是不存在的 总存在一定内阻 可以用理想电 流源 Is 和电导为 Gs 的电阻相并联来构成实际电源的模型 由欧姆定律 KCL I = I s - GsU (VAR 曲线见 P. 32 图 2-14) I s 为电源短路电流 Gs为电源内电导 oc s s U I G = 实际电流源的Gs (内阻Rs 越大)越小 内部分流越小 就越接近于 理想电流源 例 上图中 I s = 4A Gs S 8 1 = 当外接电阻 R=8 求 I U A R U I V R G I U R U I I G U s s s s 2 8 16 16 8 1 8 1 4 1 = = = = + = + = - = Þ = 解 解
三、实际电源两种模型的等效互换 在电路分析中,由等效电路(如果两个电路对外电路的影响一致, 则这两个电路等效)的概念,电源的两种模型可等效互换,因为我们 关心的是电源对外电路的影响而不是电源内部的情况。 根据等效定义,两种模型等效则它们的VAR完全相同,则有 U Rs R Gs U,=R,或,=U,R,,应注意 1.互换时要注意电压源电压极性与电流源电流方向关系 2.两种模型中R相等,但联接方式不同 讨论 1)当R,→0理想电压源 当G→0理想电流源 彼此间是不能互换的,故电压源和电流源叫做独立源,有时简称电 源 2)这种等效仅对端口外部等效,对模型内部(虚线内部)不等效。 例:当/=0,P2=0(内部),而P=≠0(内部)。尽管Rs=Gs 但P≠Ps。然而对外部来说,它们吸收或发出的功率相等。在电 路分析中对电源用哪一种模型呢?这要视具体情况而定 例: I=? 3A 10 109 209 109 109 59 ★此处讲一下电压源串联、电流源并联
三 实际电源两种模型的等效互换 在电路分析中 由等效电路(如果两个电路对外电路的影响一致 则这两个电路等效)的概念 电源的两种模型可等效互换 因为我们 关心的是电源对外电路的影响而不是电源内部的情况 根据等效定义 两种模型等效则它们的 VAR 完全相同 则有 s s s s Us Rs U = R I 或I = / 应注意 1 互换时要注意电压源电压极性与电流源电流方向关系 2 两种模型中Rs 相等 但联接方式不同 讨论 1) 当 Rs ® 0 理想电压源 当 Gs ® 0 理想电流源 彼此间是不能互换的 故电压源和电流源叫做独立源 有时简称电 源 2) 这种等效仅对端口外部等效 对模型内部(虚线内部)不等效 例 当 I 0 PRs = 0(内部) 而 0 2 = ¹ S s GS G I P (内部) 尽管 S S G R 1 = 但 PRS ¹ PGS 然而对外部来说 它们吸收或发出的功率相等 在电 路分析中对电源用哪一种模型呢 这要视具体情况而定 例 此处讲一下电压源串联 电流源并联
例:P.422-4
例 P. 42 2 4