第三章线性网络的一舭分析方法 第一节 支路电流法 第二节 网孔电流法 第三节 节点电压法
第三章 线性网络的一般分析方法 第一节 支路电流法 第二节 网孔电流法 第三节 节点电压法
第一节支路电流法 前一章介绍了电阻的串联和并联;电阻的星、三角连接的等效 变换两种实际电源模型的等效变换。这几种方法都是利用等效变 换,逐步化简电路进行分析计算的方法。这些方法适用于具有 定结构形式而且比较简单的电路。如要对较复杂的电路进行全面 的一般性的探讨,还需寻求一些系统化的方法即不改变电路 结构,先选择电路变量(电流或电压),再根据KCL、KⅥ建立 起电路变量的方程,从而求解变量的方法。支路电流法就是系统 化方法中的最基本的一种。 支路电流法是以每个支路的电流为求解的未知量,以基尔霍夫 二定理即KCL、KⅥL为依据,列方程求解电路的一种分析方 法
第一节 支路电流法 前一章介绍了电阻的串联和并联；电阻的星、三角连接的等效 变换两种实际电源模型的等效变换。这几种方法都是利用等效变 换，逐步化简电路进行分析计算的方法。这些方法适用于具有一 定结构形式而且比较简单的电路。如要对较复杂的电路进行全面 的一般性的探讨，还需寻求一些系统化的方法——即不改变电路 结构，先选择电路变量（电流或电压），再根据KCL、KVL建立 起电路变量的方程，从而求解变量的方法。支路电流法就是系统 化方法中的最基本的一种。 支路电流法是以每个支路的电流为求解的未知量，以基尔霍夫 一、二定理即KCL、KVL 为依据，列方程求解电路的一种分析方 法
为了便于讨论,先来复习几个名词。 (1)支路:电路中流过同一电流的一个分支称为一条支路。 (2)节点:三条或三条以上支路的联接点称为节点。 (3)回路:由若干支路组成的闭合路径其中每个节点只经过一次,这 条闭合路径称为回路。 (4)网孔:网孔是回路的一种。将电路画在平面上在回路内部不另 含有支路的回路称为网孔
为了便于讨论, 先来复习几个名词。 （1）支路: 电路中流过同一电流的一个分支称为一条支路。 （2）节点: 三条或三条以上支路的联接点称为节点。 (3) 回路: 由若干支路组成的闭合路径,其中每个节点只经过一次, 这 条闭合路径称为回路。 (4) 网孔: 网孔是回路的一种。将电路画在平面上, 在回路内部不另 含有支路的回路称为网孔
下面我们以圖3.所示的电路为例来说明支路电流法的应用。支路电流法以每个支 路的电流为求解的未知量。如3.1所示的电路,从图中可看到电路共有六条支 路,a、b、c、d四个节点。不论电路如何连接,在电路的每一个节点基尔霍夫电 流定律和电路的每一个回路中基尔霍夫电压定律总是成立的。 对于含有六条支路的电路,我们来寻找一 种系统的解题方法。首先我们假设每条支路的1 参考电流方向如图中箭头所示,并分别用i 29 i6来表示,然后分别对节点a、bcd列写 69 KCL方程如下 10V 49 a:-I1+I2+13=0b:-Ⅰ2+I4+l6=0 d C:-I3-I6+Is=0d:-I5-I4+I1=0 图3.支路电流法举例 -I1+12+13-2+14+16-I3-6+15=0 观察以上四个表达式,可看出其中的 任一个方程都可由其它三个方程得出 5-I4+I1=0 说明这四个方程中只有三个方程是独 立的。对于更多节点的电路,情况也 I2+14+16-3-16+1515-14+I1=0 一样。一般来讲,具有n个节点的电 路,只能列出(n-1)个独立的KcL -I1+I2+3=0 方程
下面我们以图 3.1所示的电路为例来说明支路电流法的应用。支路电流法以每个支 路的电流为求解的未知量。如图 3.1 所示的电路，从图中可看到电路共有六条支 路，a、b、c、d四个节点。不论电路如何连接，在电路的每一个节点基尔霍夫电 流定律和电路的每一个回路中基尔霍夫电压定律总是成立的。 对于含有六条支路的电路，我们来寻找一 种系统的解题方法。首先我们假设每条支路的 参考电流方向如图中箭头所示，并分别用i1～ i6来表示，然后分别对节点a、b、c、d 列写 KCL方程如下： a: -I1+I2+I3 =0 b: -I2+I4+I6=0 c: -I3-I6+I5=0 d: -I5-I4+I1=0 -I1+I2+I3-I2+I4+I6-I3-I6+I5=0 -I5-I4+I1=0 -I2+I4+I6-I3-I6+I5 -I5-I4+I1=0 -I1+I2+I3 =0 i1 i2 i3 i4 i5 i6 图3.1支路电流法举例 观察以上四个表达式，可看出其中的 任一个方程都可由其它三个方程得出。 说明这四个方程中只有三个方程是独 立的。对于更多节点的电路，情况也 一样。一般来讲，具有n个节点的电 路，只能列出（n-1）个独立的KCL 方程
下面我们再来研究电路中的回路,对图3.1的 电路,它的回路是很多的,因为只要着干支路1 组成的闭合路径其中每个节点只经过次这十:::2N0 条闭合路径称为回路。那是不是我们必须把 10v 所有的回路中电压方程都列出来,才能求出 电路中所要求的参量呢?下面我们就来研究 49 这个问题。对应于图中标出的三个回路,应 用KVL,可以列出回路电压方程如下 回路L1:i1+2i2+4i4=10(1) 如果从外面绕一大圈, 回路L2:-2i2+3i3-6i=8(2) 有i+3i3+5i5=10 而(1)+(2)-(3)有 回路L3:-4i4+5is+6i=8(3) I1+3i3+5i5=10 以上三个回路方程中,没有哪个方程能从另外两如: 个方程中推出,所以都是独立的回路方程 3i3+5i5-4i4-2i2=0 如果再用其它回路列方程,我们可以验证他 们都不是独立方程。 而(2)-(3)等于此式
以上三个回路方程中，没有哪个方程能从另外两 个方程中推出，所以都是独立的回路方程。 如果再用其它回路列方程，我们可以验证他 们都不是独立方程。 如果从外面绕一大圈， 有 i1 + 3i3 + 5i5 = 10 而 （1）+（2）-（3）有 I1 + 3i3 + 5i5 = 10 如： 3i3 + 5i5 - 4i4 - 2i2 = 0 而 （2）-（3）等于此式 i1 i2 i3 i4 i6 下面我们再来研究电路中的回路，对图3.1的 电路，它的回路是很多的，因为只要若干支路 组成的闭合路径,其中每个节点只经过一次, 这 条闭合路径称为回路。那是不是我们必须把 所有的回路中电压方程都列出来，才能求出 电路中所要求的参量呢？下面我们就来研究 这个问题。对应于图中标出的三个回路，应 用KVL，可以列出回路电压方程如下： 回路L1： i1 +2i2 +4i4 =10 （1） 回路L2：-2i2+3i3 - 6i6 =8 （2） 回路L3：-4i4 + 5i5 +6i6 =-8 （3） L3 L1 L2 i5 - +
>对于独立回路应如何选择,原则上也是任意的。一般 在每选一个回路时,只要使这回路中至少具有一条新 支路在其它已选定的回路中未曾出现过,那末这个回 路就一定是独立的。通常,平面电路中的一个网孔就 是一个独立回路,网孔数就是独立回路数,所以可选 取所有的网孔列出一组独立的KL方程
➢对于独立回路应如何选择，原则上也是任意的。一般， 在每选一个回路时，只要使这回路中至少具有一条新 支路在其它已选定的回路中未曾出现过，那末这个回 路就一定是独立的。通常，平面电路中的一个网孔就 是一个独立回路，网孔数就是独立回路数，所以可选 取所有的网孔列出一组独立的KVL方程
可以证明,具有n个节点、b条支路的电路具有b-(n-1)个独立 的回路电压方程,与这些方程相对应的回路称为独立回路。 所以我们可以得出:具有n个节点、b条支路的电路独立的KCL 方程:(n-1)个,独立的KVL方程:b-(n-1)个。 ●综上所述,对于具有n个节点、b条支路的电路,根据KCL能列出 (n-1)个独立方程,根据KvL能列出b-(n-1)个独立方程,两种独 立方程的数目之和正好与所选待求变量的数目相同,联立求解即可 得到b条支路的电流。 对我们研究的例题,有6条支路,4个节点,所以可列出4-1=3个独 立的节点电流方程;列出6-(4-1)=3个独立的回路电压方程,而 这两组方程的数目正好等于电路的支路数。 那么,我们可以考虑,如果对于一个电路,假设如图31所示 电路中所有的元件的取值都是已知的,只有电路中各条支路的电流 是未知的被求量,那么以支路电流为未知数列出的KCL方程和KvL 方程数正好等于支路数,而这些方程又都是关于支路电流的方程, 所以联立求解就可求出各支路电流
可以证明，具有n个节点、b条支路的电路具有b-(n-1)个独立 的回路电压方程，与这些方程相对应的回路称为独立回路。 ⚫ 所以我们可以得出：具有n个节点、b条支路的电路,独立的KCL 方程：（n-1）个，独立的KVL方程：b-(n-1)个。 ⚫ 综上所述，对于具有n个节点、b条支路的电路，根据KCL能列出 （n-1）个独立方程，根据KVL能列出b-(n-1)个独立方程，两种独 立方程的数目之和正好与所选待求变量的数目相同，联立求解即可 得到b条支路的电流。 对我们研究的例题，有6条支路，4个节点，所以可列出4-1=3个独 立的节点电流方程；列出6-（4-1）=3个独立的回路电压方程，而 这两组方程的数目正好等于电路的支路数。 ⚫ 那么，我们可以考虑，如果对于一个电路，假设如图3.1所示， 电路中所有的元件的取值都是已知的，只有电路中各条支路的电流 是未知的被求量，那么以支路电流为未知数列出的KCL方程和KVL 方程数正好等于支路数，而这些方程又都是关于支路电流的方程， 所以联立求解就可求出各支路电流。 ⚫
通过上面分析我们可总结出支路电流法分析计算电路的一般 步骤如下: (1)在电路图中选定各支路(b个)电流的参考方向,设 出各支路电流。 (2)对独立节点列出(m-1)个KCL方程。 (3)取网孔列写KvL方程,设定各网孔绕行方向列出b (m-1)个KⅥL方程。 (4)联立求解上述b个独立方程,便得出待求的各支路 电流
通过上面分析, 我们可总结出支路电流法分析计算电路的一般 步骤如下: （1） 在电路图中选定各支路（b个）电流的参考方向, 设 出各支路电流。 （2） 对独立节点列出(n-1)个KCL方程。 （3） 取网孔列写KVL方程, 设定各网孔绕行方向, 列出b- (n-1)个KVL方程。 （4） 联立求解上述b个独立方程, 便得出待求的各支路 电流
例1、求图示电路中各支路电流和各元件的功率 解以支路电流I、I、I3为变量应用KCL、KⅥ列出等式 (1)对于两节点a、b,可列出一个独立的 节点电流方程 a:-I1+I3+I2=0 59 UsI (2)列写网孔独立回路电压 10V )35V 方程: U3()30v b 101+5l3=30+10 5335-30 (3)联立求解各支路电流得 I1=3AI2=1Al3=2A
例 1、求图示电路中各支路电流和各元件的功率。 解 以支路电流I1、I2、I3为变量, 应用KCL、KVL列出等式 I1 I3 I2 (1)对于两节点a、b ,可列出一个独立的 节点电流方程。 a: -I1 + I3 + I2 = 0 (2) 列写网孔独立回路电压 方程： 10I1 + 5 I3= 30+10 15I2 -5 I3=35-30 (3)联立求解各支路电流得： a b I1 = 3A I2 = 1A I3 = 2A Us1 Us2 Us3
I1=3A、I2=1A、I3=2A I、I、I3均为正值,表明它的实际方向与所 选参考方向相同,三个电压源全部是从正极输 109a159 出电流,所以全部输出功率。 13[ Q L5输出的功率为 10 Us1 U:2()35V U14=10×3=30W 30V U2输出的功率为 U2=35×1=35W U3输出的功率为 U322=30×2=60W 各电阻吸收的功率为 IxIxR P=10×3×3+5×2×2+15×1×1=125W 功率平衡,表明计算正确
I1、I2、I3 均为正值, 表明它的实际方向与所 选参考方向相同, 三个电压源全部是从正极输 出电流，所以全部输出功率。 Us1输出的功率为 Us1I1=10×3=30W Us2输出的功率为 Us2I2=35×1=35W Us3 输出的功率为 Us3I2=30×2=60W 各电阻吸收的功率为 I×I×R P =10×3×3+5×2×2+15×1×1=125w 功率平衡, 表明计算正确。 I1 I2 a b Us1 Us2 Us3 I3 I1 = 3A、I2 = 1A 、I3 = 2A