第五、六章动态电路的瞬态分析 许多实际电路不能只用电阻和电源元件来构造模型,往往还包含 电容元件和电感元件,这两种元件的伏安关系都涉及对电流、电压 的微分和积分,称为动态元件。含动态元件的电路称为动态电路。 这两章讨论的动态电路限于一阶和二阶电路, §5一1电容元件和电感元件 、电容元件 1.电容元件及其库伏特性 工程中电容器的应用极为广泛,那么究竟什么是电容器呢? 将两块金属极板用绝缘介质隔开,就形成了一个电容器。加上电 源后,极板上分别聚集等量异号的电荷,在绝缘介质中建立起电场, 并储存有电场能量,即U->±q→>存储电场能量。 极团 板 绝缘介质 t Us 实际电容器略其介质、漏电损耗电容元件 线性电容元件:理想二端元件,在电路中的图形符合为: 由图示参考方向,有q=C(库伏关系特性) ∴库伏特性为u、q平面上的一条过原点的直线 式中,C定义为该电容元件的电容,即:C=9 单位:法(拉)F 106F 常用辅助单位: 103F纳法 102F
1 第五 六章 动态电路的瞬态分析 许多实际电路不能只用电阻和电源元件来构造模型 往往还包含 电容元件和电感元件 这两种元件的伏安关系都涉及对电流 电压 的微分和积分 称为动态元件 含动态元件的电路称为动态电路 这两章讨论的动态电路限于一阶和二阶电路 5 1 电容元件和电感元件 一 电容元件 1 电容元件及其库伏特性 工程中电容器的应用极为广泛 那么究竟什么是电容器呢 将两块金属极板用绝缘介质隔开 就形成了一个电容器 加上电 源后 极板上分别聚集等量异号的电荷 在绝缘介质中建立起电场 并储存有电场能量 即 U® q®存储电场能量 实际电容器 电容元件 线性电容元件 理想二端元件 在电路中的图形符合为 由图示参考方向 有q = Cu (库伏关系特性) 库伏特性为 u q 平面上的一条过原点的直线 式中 C 定义为该电容元件的电容 即 C q u = 单位 法(拉)F 常用辅助单位 pF F nF F F F -12 -9 -6 10 10 10 纳法 m 忽略其介质 漏电损耗
※非线性电容的特性曲线不是通过原点的直线。 2.电容元件的VAR i U 如上图:当极板间电压变化时,极板上电荷也随之改变,于是电 容器电路中出现电流。当n、关联方向时,)=血=cmQ 可见 1)C为动态元件,u变化才有i;u不变化,相当于DC时 i=0→>C开路(隔直作用) 2)由于为有限值,不会跃变; u(0=r i(e)ds+lCi(eds u (0)=Li(5)ds 则:n40)=(0)+E 记忆元件 3)m>0,且a>0,→1>0,充电q↑ d t n>0,且0,但k 又u10,→1>0,q<0,但刚反向放电 总之,↑→)同↑→某个方向充电→储存能量↑ 小→某个方向放电→释放能量↓ 3.电场能量 u、i关联方向时,电容元件吸收的功率为 (O=()×(0=Ca0,则在b=(,时间内,电容元件电 场中的能量增加量为:dW=pdh=Cl()dh() 则t~t期间外电路供给电容的能量应为: W(1)=)×(5)d5 Cu()d(t)=C2(=Cu2()-n2( 如果充电是从tn=-∞开始,即v(-∞)=0,可知电容充电到v()时, 电容的储能为
2 非线性电容的特性曲线不是通过原点的直线 2 电容元件的 VAR 如上图 当极板间电压变化时 极板上电荷也随之改变 于是电 容器电路中出现电流 当u i 关联方向时 dt du t C dt dq i t c ( ) ( ) = = 可见 1) C 为动态元件 u变化才有i u不变化 相当于 DC 时 ® i 0®C 开路(隔直作用) 2) 由于i 为有限值 uc不会跃变 ò ò = + ¥ t c i d C i d C u t 0 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) x x x x 令 ò ¥ 0 ( ) 1 (0) i x dx C uc 则 ò = + t c c i d C u t u 0 ( ) 1 ( ) (0) x x 记忆元件 3) u >0 且 du dt > 0 ®i >0 充电 q u >0 且 du dt 0 但 q ¯ 又 u 0 ®i >0 q < 0 但 q ¯ 反向放电 总之 u ® q ® 某个方向充电 ® 储存能量 q ¯ ® 某个方向放电 ® 释放能量¯ 3 电场能量 u i 关联方向时 电容元件吸收的功率为 p t u t i t Cu t du t dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ´ = 则在dt (t t) = o 时间内 电容元件电 场中的能量增加量为 dW = pdt = Cu(t)du(t) 则t t o 期间外电路供给电容的能量应为 [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 t 2 o o t t t t t c Cu t du t Cu t C u t u t W t u i d o o = = = - = ´ ò ò x x x 如果充电是从t o = -¥ 开始 即u(-¥) = 0 可知电容充电到u(t) 时 电容的储能为
W()=C2()≥0 某个时刻电场能量只与当时的电压值有关,而与电压建立过程无 关。总之C为储能元件,是无源元件(不会释放出比它所储能量还多 的能量) 二、电感元件 定义:如图(P%6图5-4(a)所示,把金属导线绕在一骨架上就构 成了实际的电感器(或称电感线圈)。 1.电感元件及其韦安关系 电感是反映磁场能性质的电路参数,电感元件是实际线圈的理想 化模型,假想它是由无阻导线绕制而成的线圈。当一匝线圈中通以 电流i后,在线圈内部将产生磁通(称为自感磁通),N匝相链的线 圈通过N,记v=№,ⅵ称做磁通链(或磁链),即N匝相链的线 圈通过的自感磁通之和。 和是由线圈本身的电流产生的,叫做自感磁通和自感磁通 链 L 线性电感元件的图形符号为 我们规定磁通和磁通链v的参考方向与电流参考方向之间满 足右手螺旋法则,在这种参考方向下,任何时刻线性电感元件的自 感磁通链v与电流i是成正比的。 有 (称为韦安关系 式中:L称为该元件的自感或电感,是一个正实常数,单位:亨 (H),辅助单位有:H、mH;φ、v的单位:韦伯Wb 由上式知,电感元件的特性表征为磁链v与电流i的关系(韦安特 性) 对于线性电感,在v-i平面上,特性曲线为一条通过原点的直 线,如下图(a),否则称非线性电感,如图(b)
3 ( ) 0 2 1 ( ) 2 Wc t = Cu t ³ 某个时刻电场能量只与当时的电压值有关 而与电压建立过程无 关 总之 C 为储能元件 是无源元件(不会释放出比它所储能量还多 的能量) 二 电感元件 定义 如图(P.96 图 5 4(a))所示 把金属导线绕在一骨架上就构 成了实际的电感器(或称电感线圈) 1 电感元件及其韦安关系 电感是反映磁场能性质的电路参数 电感元件是实际线圈的理想 化模型 假想它是由无阻导线绕制而成的线圈 当一匝线圈中通以 电流 i 后 在线圈内部将产生磁通fL (称为自感磁通) N 匝相链的线 圈通过 NfL 记yL = NfL yL称做磁通链(或磁链) 即 N 匝相链的线 圈通过的自感磁通之和 fL和yL 是由线圈本身的电流产生的 叫做自感磁通和自感磁通 链 线性电感元件的图形符号为 我们规定磁通fL和磁通链yL 的参考方向与电流参考方向之间满 足右手螺旋法则 在这种参考方向下 任何时刻线性电感元件的自 感磁通链yL与电流 i 是成正比的 有 Li yL = (称为韦安关系) 式中 L 称为该元件的自感或电感 是一个正实常数 单位 亨 (H) 辅助单位有 mH mH fL yL的单位 韦伯 Wb 由上式知 电感元件的特性表征为磁链yL与电流 i 的关系(韦安特 性) 对于线性电感 在y ─ i 平面上 特性曲线为一条通过原点的直 线 如下图(a) 否则称非线性电感 如图(b)
2.电感的伏安关系VAR 在电感元件中,当电流i随时间变化时,磁链v也随时间改变。 根据法拉第电磁感应定律,此时元件中产生感应电压,感应电压等 于磁链的变化率,如果取u、i关联方向时,电感的VAR为: duo di(t) l(D)= 可见:(1)L为动态元件,(变化,才有u (2)电流不变,即DC时,u=0,L相当于短路 (3)跃变( d∞)时,→l=∞∴只要u≠∞,i就不会跃变。 (4)对()式积分,可把电感的电流i表示为电压的函数 0=⊥wd=⊥ws+2ae55 令:1(0=厂.95, i()为初始电流 0)=00zJ(5d5(积分形式的VAR) 可见:L元件的0)不仅与t时刻的v(0有关,还与u的历史有关, 故L为记忆元件 对式(*)任选初始时刻n’则有 i()=i(0)+(5)d5 3.磁场能量 电感线圈中有电流时,其周围即建立磁场,因此电感是一种能存 储磁场能量的元件。 取u、i关联参考方向,则瞬时功率为 P(D)=(1)×(1)=L10)( p()可正可负,p()为正,表示电感从外电路吸收能量; p()为负,表示电感向外电路放出能量 从t到t期间供给电感的能量为 W()=u(5)xd5=5(-2(n 以上就是电感在(t,n)期间获得的储能,若t=-∞,则由于(-∞)=0, 可知t时刻,电感的储能为:W2()=L(0≥0。∴电感在某一时刻的 储能只与该时刻的电流值有关 可见:(1)L——无源元件; (2)L——储能元件,不耗能,L不会释放出比它所储能 量还多得多的能量
4 2 电感的伏安关系 VAR 在电感元件中 当电流 i 随时间变化时 磁链yL也随时间改变 根据法拉第电磁感应定律 此时元件中产生感应电压 感应电压等 于磁链的变化率 如果取 u i 关联方向时 电感的 VAR 为 dt di t L dt d t u t ( ) ( ) ( ) = = y (*) 可见 (1) L 为动态元件 (i 变化 才有 u) (2) 电流不变 即 DC 时 u = 0 L 相当于短路 (3) i 跃变( di dt ® ¥ )时 ® u = ¥ 只要u ¹ ¥ i 就不会跃变 (4) 对(*)式积分 可把电感的电流 i 表示为电压 u 的函数 ò ò ò = = + -¥ -¥ t t u d L u d L u d L i t 0 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) x x x x x x (**) 令 i L (0) u( )d 1 0 = -¥ ò x x i(0)为初始电流 i t i L u d t ( ) = ( ) + ( ) ò 0 1 0 x x (积分形式的 VAR) 可见 L 元件的i(t)不仅与 t 时刻的u(t)有关 还与 u 的历史有关 故 L 为记忆元件 对式(**)任选初始时刻t 0 则有 i t i t L u d t t ( ) = ( ) + ( ) 0 ò 1 0 x x (***) 3 磁场能量 电感线圈中有电流时 其周围即建立磁场 因此电感是一种能存 储磁场能量的元件 取 u i 关联参考方向 则瞬时功率为 dt di t p t u t i t Li t ( ) 吸 ( ) ( )´ ( ) = ( ) p(t)可正可负 p(t)为正 表示电感从外电路吸收能量 p(t)为负 表示电感向外电路放出能量 从t 0到 t 期间供给电感的能量为 [ ( ) ( )] 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 0 W t u i d L i t i t t t L = ´ = - ò x x x 以上就是电感在(t 0 t)期间获得的储能 若t 0 = -¥ 则由于i(-¥) = 0 可知 t 时刻 电感的储能为 ( ) 0 2 1 ( ) 2 WL t = Li t ³ 电感在某一时刻的 储能只与该时刻的电流值有关 可见 (1) L── 无源元件 (2) L── 储能元件 不耗能 L 不会释放出比它所储能 量还多得多的能量
以上我们介绍了L与C,通过分析可知,某一时刻电感的储能只 与该时刻的电流有关,某一时刻电容的储能只与该时刻的电压有关, 电路的储能可用电感电流及电容电压来表明。我们把某一时刻的电 感电流和电容电压称为该时刻的状态。初始时刻t的1(4)和v2()称 为电路的初始状态。(P.99画线部分) 例:有一电感元件,L=0.2H,在指定的参考方向下(如图a),通 过的电流i的波形如图b所示,求电感元件中产生的自感电压u的波 形,并计算在电流增大过程中电感元件从电源吸收的能量。 t〔 t〔ms) 解:当0<t<4ms时 d i 当4ms<t<6ms时,i=2+12,u=Lm=-04 的波形如图c所示 电流增大过程中电感元件吸取的能量等于i=4ms时的磁场能 L2=×0.2×(4x10-3)2J=1.6×10-6J=1.61 0~4ms吸收 释放 例:若2H电感的电压波形如图(a)所示,试画出电流的波形 1个i t〔s t〔s 解:本题涉及积分的问题,可以先用积分求出函数表达式再画波 形。对图(a)所示v(波形可分段写出函数式如下 l(1≤t≤2) () 4-(3≤1≤4) 利用式(*)可分段计算)
5 以上我们介绍了 L 与 C 通过分析可知 某一时刻电感的储能只 与该时刻的电流有关 某一时刻电容的储能只与该时刻的电压有关 电路的储能可用电感电流及电容电压来表明 我们把某一时刻的电 感电流和电容电压称为该时刻的状态 初始时刻t 0的i t L ( ) 0 和u t C ( ) 0 称 为电路的初始状态 (P. 99 画线部分) 例 有一电感元件 L 0.2H 在指定的参考方向下(如图 a) 通 过的电流 i 的波形如图 b 所示 求电感元件中产生的自感电压 u 的波 形 并计算在电流增大过程中电感元件从电源吸收的能量 解 当0 < t < 4ms时 i = t V dt di u = L = 0.2 当4ms < t < 6ms时 i = -2t +12 V dt di u = L = -0.4 u(t)的波形如图 c 所示 电流增大过程中电感元件吸取的能量等于i = 4ms时的磁场能 Li 0.2 (4 10 ) J 1.6 10 J 1.6mJ 2 1 2 1 2 3 2 6 = ´ ´ ´ = ´ = - - 0 4ms 吸收 4ms 6ms 释放 例 若 2H 电感的电压波形如图(a)所示 试画出电流的波形 解 本题涉及积分的问题 可以先用积分求出函数表达式再画波 形 对图(a)所示u(t)波形可分段写出函数式如下 ï ï î ï ï í ì - £ £ £ £ - £ £ £ £ = 4 (3 4) 1(2 3) 1(1 2) (0 1) ( ) t t t t t t u t 利用式(***)可分段计算i(t)
在051期间:1010)+=n=24 t=1秒时,()=A 此间()波形为抛物线,从0增加到A,曲线向上凹 在15152期间:()=()+M3≈1+1[-Dxh=-5+3A t=2秒时,i(2) 此间()线性下降,由A降至-A 在25153期间:m()=(2)+7 Z4=+5=2+5A 秒时,i(3) 在3≤1≤4期间:m()=(3)+,05M=元+(4-)、25N t=4秒时,(4)=A 此间()波形为按抛物线上升,曲线向下凹,从A增加到A。 在t>4时,v()为零,因而()=A。 根据以上分析结果画出)波形,如图b所示。 三、电感的串联 与电阻串联一样,上图为电感串联电路,假设电压、电流参考方 向关联,由电感元件的VAR可得: l4=L12,42=L2,,l1=L4,…,un=Ln,由K得 l=l1+l+…+l++ d i di d i d d i =(L1+L2+…+L…+Ln) dt 所以,串联等效电感为:L=L+L2+L+L+L+Ln=∑L 任一电感上的电压为:u(0=E4(),k=12L,n
6 在0 £ t £1期间 A t u d td L i t i t t 2 2 1 ( ) 0 1 ( ) (0) 2 0 0 = + = + = ò ò x x x t = 1秒时 i A 4 1 (1) = 此间i(t)波形为抛物线 从 0 增加到 A 4 1 曲线向上凹 在1£ t £ 2期间 A t u d dt L i t i t t 4 3 2 ( 1) 2 1 4 1 ( ) 1 ( ) (1) 1 1 = + = + - ´ = - + ò ò x x t = 2秒时 i A 4 1 (2) = - 此间i(t)线性下降 由 A 4 1 降至 A 4 1 - 在2 £ t £ 3期间 A t u d dt L i t i t t 4 5 2 2 1 4 1 ( ) 1 ( ) (2) 2 2 = + = + = + ò ò x x t = 3 秒时 i(3) A 1 4 = 在3 £ t £ 4期间 t A t u d t dt L i t i t t 2 7 2 4 (4 ) 2 1 4 1 ( ) 1 ( ) (3) 2 3 3 = + = + - = - + - ò ò x x t = 4秒时 i(4) A 1 2 = 此间i(t)波形为按抛物线上升 曲线向下凹 从 A 4 1 增加到 A 2 1 在t > 4时 u(t)为零 因而i t A 2 1 ( ) = 根据以上分析结果画出i(t)波形 如图 b 所示 三 电感的串联 与电阻串联一样 上图为电感串联电路 假设电压 电流参考方 向关联 由电感元件的 VAR 可得 u L di dt 1 = 1 ,u L di dt 2 = 2 , u L di dt k = k , u L di dt n = n 由 KVL 得 u = u1 + u2 + +uk+ +un = L di dt L di dt 1 + 2 + +L + di dt k +L di dt n = (L1 + L2 + +Lk +Ln ) di dt 所以 串联等效电感为 å= = + + + + + = n k L L L Lk Ln Lk 1 1 2 L L 任一电感上的电压为 ( ) u(t) L L u t k k = k = 1,2,L,n
式中:L=∑,生称为分压系数 四、电感的并联 L 1 电感并联电路与其等效电感 由电感的VAR及电路的KCL不难得出电感并联的等效电感为: ∑,即:电感并联电路等效电感的倒数等于相并联各电感 倒数之和。 任一电感上的电流为:4(0)=Jd=(0,式中k=12L,m,该 式称为电感并联分流公式,上称为分流系数,上式表明电感并联分 流符合反比关系 五、电容的串联 电容串联电路与其等效电容 上图为n个电容的串联电路,设电流、电压参考方向关联。根据 电容元件的电压电流约束关系得 n(0=a 1()=x[(5d u(n) i(2d2 由KVL得电容串联电路总电压: l(1)=a1(1)+l2()++l4(1)++un(1)
7 式中 L Lk k n = = å 1 , L L k 称为分压系数 四 电感的并联 由电感的 VAR 及电路的 KCL 不难得出电感并联的等效电感为 å= = n L k 1 Lk 1 1 即 电感并联电路等效电感的倒数等于相并联各电感 倒数之和 任一电感上的电流为 i t L u d L L i t k k t k ( ) = ( ) = ( ) -¥ ò 1 x x ,式中k = 1,2,L,n 该 式称为电感并联分流公式 L Lk 称为分流系数 上式表明电感并联分 流符合反比关系 五 电容的串联 上图为 n 个电容的串联电路 设电流 电压参考方向关联 根据 电容元件的电压电流约束关系得 u t C i d t 1 1 1 ( ) = ( ) ò-¥ x x u t C i d t 2 2 1 ( ) = ( ) ò-¥ x x u t C k i d k t ( ) = ( ) ò-¥ 1 x x u t C n i d n t ( ) = ( ) ò-¥ 1 x x 由 KVL 得电容串联电路总电压 u(t) = u (t) + u (t) 1 2 + +uk (t) + +u t n ( ) 电感并联电路与其等效电感
i(2d2 i(d5+…”+ CJ5d5+…+ i(2)d5 i(2)d 5M=3式中:=∑ C是n个电容串联后的等效电容,它的倒数等于n个相串联电容倒 数之和。 因流经各串联电容的电流是同一电流,有:∫(91=CO 所以,相串联的电容C4上的电压为: i()d2=-(t) 此式称为电容串联电路分压公式,其中C称为分压系数,它说明电 容串联电路分压与电容值C呈反比关系。 六、电容的并联 t】i(t u(t) b 电容并联电路与其等效电容 上图为n个电容的并联电路,由KCL及电容元件上的电流电压 微分关系可的等效电容为 C1+C2+…+Ck…+ CK 即:电容并联电路等效电容等于相并联的各电容之和。 相并联电容上的电压是同一电压,又如=1(0,推得 相并联电容C上的电流为:4=CD=1(),k=12L,n 式中C是并联后的等效总电容,上式称为电容并联分流公式,其中≌ 为分流系数,它表明电容并联电路分流与电容值C呈正比关系 七、C和L的模型(自学) 作业:P.1215-1、5-3
8 = ò-¥ 1 C1 i d t (x) x + ò-¥ 1 C2 i d t (x) x + + + ò-¥ 1 C i d k t (x) x ò-¥ + t n i d C (x) x 1 = ( + + 1 1 C1 C2 + + 1 Ck ò-¥ + t n i d C ) (x) x 1 = = = å ò-¥ ò-¥ 1 1 1 C i d C i d k k n t t (x) x (x) x 式中 1 1 C k 1 Ck n = = å C 是 n 个电容串联后的等效电容 它的倒数等于 n 个相串联电容倒 数之和 因流经各串联电容的电流是同一电流 有 i d Cu t t (x) x = ( ) ò-¥ 所以 相串联的电容Ck 上的电压为 ( ) ( ) 1 ( ) u t C C i d C u t t k k k ò-¥ = x x = 此式称为电容串联电路分压公式 其中 C Ck 称为分压系数 它说明电 容串联电路分压与电容值Ck 呈反比关系 六 电容的并联 上图为 n 个电容的并联电路 由 KCL 及电容元件上的电流电压 微分关系可的等效电容为 C = C1 + C2 + +Ck+ +Cn = Ck k n = å 1 即 电容并联电路等效电容等于相并联的各电容之和 相并联电容上的电压是同一电压 又 du dt C = i t 1 ( ) 推得 相并联电容Ck 上的电流为 i(t) C C dt du i C k k = k = k = 1,2,L,n 式中C是并联后的等效总电容 上式称为电容并联分流公式 其中C C k 为分流系数 它表明电容并联电路分流与电容值Ck 呈正比关系 七 C 和 L 的模型(自学) 作业 P. 121 5 1 5 3 电容并联电路与其等效电容
§5-2一阶电路的瞬态分析 动态电路 1.稳态 (1)不随时间发生变化; (2)周期性地变化,这一状态称为电路的稳定工作状态。 2.暂(瞬)态: 含有动态元件的电路发生“换路”(或工作条件发生变化,需经 历一个稳态到另一个稳态的过渡,此过渡过程称为暂(瞬)态过程。 例:电路如图(a)所示: 当K合上之前,i=0,u2=0,在某一时刻b合上K,则由KVL 有 即 Ri+L+-lidt 求导、整理:RC如0+LC(+(=c如~~~(二阶微分方程) 若将L短路,则有:RCm+=C、或 阶微分方程) 既然是微分方程,那么它们的解必然是随时间t而变,也就是说, 以2、u2、并不是直接达到最终的稳态(固定值),而是要经历一段 时间,我们把这种含L、C的电路称为动态电路,而将L、C元件称 为动态元件 般情况下,当电路中含有: 个储能元件→描述为一阶微分方程 二个储能元件→描述为二阶微分方程 二 一阶电路 二阶电路 n个储能元件→描述为n阶微分方程 n阶电路 二、动态电路的特点 设有电路,如图(b)。当κ0,S打在1,st)R E对C充电,n↑=E,达到一种稳定状态;x S在t=0时刻打到2,C对外放电,直至放E三 U 光(v=0),从而进入另一种稳定状态 这里,S从1→>2,称之为换路,理解为瞬间
9 5 2 一阶电路的瞬态分析 一 动态电路 1 稳态 (1) 不随时间发生变化 (2) 周期性地变化 这一状态称为电路的稳定工作状态 2 暂(瞬)态 含有动态元件的电路发生 换路 (或工作条件发生变化) 需经 历一个稳态到另一个稳态的过渡 此过渡过程称为暂(瞬)态过程 例 电路如图(a)所示 当 K 合上之前 i = 0 uR = 0 在某一时刻 t 合上 K 则由 KVL 有 uR + u L + uC = us 即 Ri L di dt C + + ò idt = us 1 求导 整理 dt du i t C dt di t LC dt di t RC s + + ( ) = ( ) ( ) 2 2 (二阶微分方程) 若将 L 短路 则有 RC di dt i C du dt s + = (一阶微分方程) 既然是微分方程 那么它们的解必然是随时间 t 而变 也就是说 uR uL uC 并不是直接达到最终的稳态(固定值) 而是要经历一段 时间 我们把这种含 L C 的电路称为动态电路 而将 L C 元件称 为动态元件 一般情况下 当电路中含有 一个储能元件®描述为一阶微分方程 一阶电路 二个储能元件®描述为二阶微分方程 二阶电路 n 个储能元件® 描述为 n 阶微分方程 n 阶电路 二 动态电路的特点 设有电路 如图(b) 当 t<0 S 打在 1 E 对 C 充电 uC E 达到一种稳定状态 S 在 t 0 时刻打到 2 C 对外放电 直至放 光(uC = 0 ) 从而进入另一种稳定状态 这里 S 从 1®2 称之为换路 理解为瞬间
完成。电路的接通或断开、电路参数或电源的突变均可理解为换路。 S在1时,称为换路前,记为t=0 S在2时,称为换路后,记为t=04 可以看到,S从1打到2后,欲使v=0,需要一定时间,这个过 程就称为过渡过程或暂态过程。 同理:若R改为R’,或C改为C’,则参数改变后,也要有 过渡。 结论:当动态电路的结构或元件参数发生改变时,如电源或无源 元件断开或接入,信号的突然注入等,电路将从一个稳定状态逐步 过渡到另一个稳定状态,这中间的过程即是过渡过程。(P,102画线) 三、初始条件 若有n阶微分方程:a1()+a2-n()+…+an1f(0)+an=b 欲求f(),必须事先知道:f(o)f'0)…,f(0)(即初始值) 对于动态电路:即为v0.),(0,)及其导数n2-(0,),-(0,)。 四、换路定理 1.电容 由()=n()二[4k,令:=0,1=0 l(0,)=l2(0)+ Co'c(5dE 只要为有限值,必有:(M=0 ∴v(0)=u(0,)——换路定理 即:在换路的一瞬间,电容上的电压不会跃变 若u(0)=0则u0,)=0,这一瞬间,C被短路→()=u(a) 2.电感 有i4(0)=i1(0)——换路定理二 即:在换路的一瞬间,电感上流动的电流不会跃变 若i()=0,则(0)=0,即在t=0,这一时刻,电感相当于开路 l2(1)=i2(0.) 五、初始值的求解 1.由t=0的电路求u(0),i1(0) 若1=0-时电路已达稳态,则∫L--短路 开路 于是,0_电路→0电阻电路
10 完成 电路的接通或断开 电路参数或电源的突变均可理解为换路 S 在 1 时 称为换路前 记为 = 0- t S 在 2 时 称为换路后 记为t = 0 可以看到 S 从 1 打到 2 后 欲使uC = 0 需要一定时间 这个过 程就称为过渡过程或暂态过程 同理 若 R 改为 R 或 C 改为 C 则参数改变后 也要有一 过渡 结论 当动态电路的结构或元件参数发生改变时 如电源或无源 元件断开或接入 信号的突然注入等 电路将从一个稳定状态逐步 过渡到另一个稳定状态 这中间的过程即是过渡过程 (P.102 画线) 三 初始条件 若有 n 阶微分方程 a f t a f t an f t an b n n + + + - + = - ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 2 ( ) 1 欲求 f (t) 必须事先知道 (0) (0) (0) -1 ¢ n f f f (即初始值) 对于动态电路 即为 (0 ) u + (0 ) + i 及其导数 (0 ) 1 + n - u (0 ) 1 + n- i 四 换路定理 1 电容 由 ò = + t t c c o c o i d C u t u t (x) x 1 ( ) ( ) 令 o = 0- t = 0+ t u u C c (0 ) c (0 ) i c ( )d 1 0 0 + = - + - + ò x x 只要i c为有限值 必有 1 0 0 0 C i c (x)dx - + ò = uc uc (0 ) (0 ) - = + ──换路定理一 即 在换路的一瞬间 电容上的电压不会跃变 若uc (0- ) = 0 则uc (0+ ) 0 这一瞬间 C 被短路Þu t u t c c ( ) ( ) 0 - 0 + = 2 电感 有 i L (0+ ) = i L (0 ) - ──换路定理二 即 在换路的一瞬间 电感上流动的电流不会跃变 若i L (0- ) = 0 则i L (0+ ) = 0 即在t = 0+ 这一时刻 电感相当于开路 Þ = - ( ) 0 i t L ( ) 0 + i t L 五 初始值的求解 1 由t = 0 的电路求uc (0 ) - i L (0 ) - 若t = 0 时电路已达稳态 则 于是 0 电路 ® 0 电阻电路 î í ì 开路 短路 C L
