2-2传递函数 传递函数是经典控制最基本,最重要的概念之 1.定义:线性定常系统在初始条件为零时,输出量的拉氏变 换和输入量的拉氏变换之比 设:输入--r(t),输出-c(t),则传递函数: G(S) Llc(t C(s) Lrt R(s) 式中:C(s)=Lc(t)输出量的拉氏变换式 R(s)=L[r(t)]输入量的拉氏变换式 那么 C(S=R(SG(S) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换: c(t)=[C(s)]=L[R(s)G(s)]
1 2－2 传递函数 传递函数 是经典控制最基本，最重要的概念之一。 1. 定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变 换和输入量的拉氏变换之比。 设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数： 式中：C(s)=L[c(t)]——输出量的拉氏变换式 R(s)=L[r(t)]——输入量的拉氏变换式。 那么 C(s)=R(s)G(s) 控制系统的时间响应c(t)等于C(s)的拉氏反变换： R(s) C(s) L[r(t)] L[c(t)] G(s) = = c(t) [C(s)] L [R(s)G(s)] -1 = =
2-2传递函数 推广到一般情况,系统的时域数学模型—微分方程: c(t) a dc(t) dt n-1 +a1,+ac(t) dt dt b r(t) +brt dt 其中,b(i=012n,j=012.m)均为实数,是由 系统本身的结构参数所决定,对上式两边进行拉氏变换 ans"C(s)+anS"C(s)+……a1sC(s)+aasC(s) =bmS R(S)+bmS R(s)+,.bsR(S)+boR(S) 所以,控制系统传递函数的一般表达式: C(s bs"+b +……bS+b R()ans"+an1s+……a;s+a (s)_(s+=,)(s+=2)…(s+ C G()R(s) K (s+p1)(s+p2)…(S+Ppn)
2 2－2 传递函数 推广到一般情况，系统的时域数学模型——微分方程： 其中， (i =0,1,2,…….n; j =0,1,2…….m) 均为实数，是由 系统本身的结构参数所决定，对上式两边进行拉氏变换： 所以，控制系统传递函数的一般表达式: a c(t) dt dc(t) a dt d c(t) a dt d c(t) a n-1 1 0 n-1 n n-1 n n + ++ + b r(t) dt dr(t) b dt d r(t) dt d r(t) b m-1 1 0 m-1 m m-1 m = m + b ++ + b s R(s) b s R(s) b sR(s) b R(s) a s C(s) a s C(s) a sC(s) a sC(s) 1 0 m 1 m-1 m m 1 0 n 1 n-1 n n = + + + + + + − − 1 0 n 1 n 1 n n 1 0 m 1 m 1 m m a s a s a s a b s b s b s b R(s) C(s) G(s) + + + + + + = = − − − − ( s p )(s p ) ( s p ) ( s z )(s z ) ( s z ) K R(s) C(s) G(s) 1 2 n 1 2 m r + + + + + + = = a , b i j
2-2传递函数 2.几点说明 1)传递函数是系统(或环节)在复数域中的数学模型,是固 有特性的描述,反映了线性定常系统输入量和输出量之间 的一种关系式。 2)传递函数只取决于系统本身的结构参数,与外界输入无关 3)传递函数是复变量的有理真分式函数,即m≤n(m、n分 别为分子、分母的最高阶次。) 4)若输入为单位脉冲函数,即r(t)=8(t),则R(s)=L[r(t)y=1,则 ct=L R(SG(s=L IG(s) 这说明此时系统的c(t)与传递函数G(s)有单值对应关系,它们 都可以用来表征系统的动态特性 5)闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0,就是系统的特征 方程
3 2－2 传递函数 2. 几点说明： 1) 传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固 有特性的描述，反映了线性定常系统输入量和输出量之间 的一种关系式。 2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关。 3) 传递函数是复变量s的有理真分式函数，即mn。（ m 、n分 别为分子、分母的最高阶次。） 4) 若输入为单位脉冲函数，即r(t)=(t)，则R(s)=L[r(t)]=1，则 这说明此时系统的c(t)与传递函数G(s)有单值对应关系，它们 都可以用来表征系统的动态特性。 5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征 方程。 c(t) L [R(s)G(s)] L [G(s)] -1 -1 = =
2-3方块图 方块图基本单元 图模型的一个突出优点是直观、形象,是工程上用来分析 复杂系统的重要手段。方块图组成的四个基本单元: r() c(t) R(S) R(S)-C(s) R(s) C(S) G(s) R(S) C(s) C(s) C(S) (c) 1)信号线;(2)分支点(又叫测量点):(3)比较点(又叫 求和点;(4)方块(又叫环节); 系统的方块图实质上是将原理图与数学方程两者结合起来,它 种对系统的全面描写
4 一、方块图基本单元 图模型的一个突出优点是直观、形象，是工程上用来分析 复杂系统的重要手段。方块图组成的四个基本单元： （1） 信号线； （2）分支点(又叫测量点)；（3）比较点(又叫 求和点)；（4）方块（又叫环节）； 系统的方块图实质上是将原理图与数学方程两者结合起来，它 一种对系统的全面描写。 2－3 方块图 G s( ) R s( ) + - C s( ) r t( ) c t( ) R s C s ( ) ( ) − C s( ) C s( ) ( ) a ( ) b ( ) c ( ) d R s( ) R(s) C s( )
2-3方块图 (t)R i2(t) R 例 R(s) 1(s) R U1(s) 1(s) ()-u1(t) C =1(t) R 12(s) 12(s) (t) [i1(t)-12()dt u1(t)-c(t) C(s) R 2(s) C(s) C (b) 2
5 2－3 方块图 + _ + _ + _ Ka 1 1 C s 2 1 C s 2 1 R 1 R R s( ) C s( ) 1 U s( ) 1 U s( ) 1 U s( ) 1 I s( ) 1 I s( ) 2 I s( ) 2 I s( ) 2 I s( ) C s( ) (b) 1 i t( ) 2 i t( ) 1 u t( ) c t( ) r t( ) R1 R2 C2 C1 i (t) R r(t) u (t) 1 1 1 = − = [i (t) − i (t)]dt C 1 u (t) 1 2 1 1 i (t) R u (t) c(t) 2 2 1 = − = i (t)dt C 1 c(t) 2 2 例：
2-3方块图 将上图汇总得到: R() C(s) RI CIs
6 2－3 方块图 + _ + _ + - 1 1 C s 2 1 R 2 1 1 C s 1 R R s( ) C s( ) 将上图汇总得到：
2-3方块图 二、方块图运算法则: 1、串联运算法则 x1(s) X2(s) G1(s) G2(s) 因为 1(s)=X2(s) X1(s) 2(s) ksx()_x2()X()=G(SG2() 1()X1(s)X2() 结论:多个环节串联后总的传递函数等于每个环 节传递函数的乘积。 G(s)=G1(s)G2(s)……Gn(s)
7 2－3 方块图 二、方块图运算法则： 1、串联运算法则 因为 结论：多个环节串联后总的传递函数等于每个环 节传递函数的乘积。 G(s) = G1 (s) G2 (s) Gn (s) 1 X s( ) 2 X s( ) 3 X s( ) 2 G s( ) 1 G s( ) X (s) X (s) G (s) 1 2 1 = X (s) X (s) G (s) 2 3 2 = G (s)G (s) X (s) X (s) X (s) X (s) X (s) X (s) G(s) 1 2 2 3 1 2 1 3 = = • =
2-3方块图 2、并联运算法则 G(s)1x1(s) R(S) G2(s) 因为 X(S G1(s) R(S X,(S)+X,S)=C(s) R(S) 所以 Ys)C(s)_X1(s)+X2)_X1(s)X2(s) R(S) R(S) RI(S) R(S) G1(S)+G2(s) 结论:多个环节并联后的传递函数等于所有并 联 环节传递函数之和 G(s)=G1(s)+G2(s)+……+Gn(s)
8 2－3 方块图 2、并联运算法则 因为 所以 结论：多个环节并联后的传递函数等于所有并 联 环节传递函数之和。 G(s) = G1 (s) + G2 (s) + + Gn (s) R s( ) C s( ) 1 G s( ) 2 G s( ) 1 X s( ) 2 X s( ) + - R(s) X (s) G (s) 1 1 = X (s) X (s) C(s) R(s) X (s) G (s) 1 2 2 2 = + = G (s) G (s) R(s) X (s) R(s) X (s) R(s) X (s) X (s) R(s) C(s) G(s) 1 2 1 2 1 2 = + = + + = =
2-3方块图 3、反馈运算法则A9a2 B(s) 前向通道和反馈通道传递函数分别为G(s)、H(s) C(S)=G(SE(S)=G(SR(S)-B(S)I =G(S[R(S)-H(S)C(S) G(s) R(S 1+G(SH(S) 结论:具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加(若正反馈为减)前向通道与反 馈通道传递函数的乘积
9 2－3 方块图 3、反馈运算法则 前向通道和反馈通道传递函数分别为G ( s )、 H ( s ) 结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 馈通道传递函数的乘积。 + _ R s( ) C s( ) H s( ) B s( ) E s( ) G s( ) G(s)[R(s) H(s)C(s)] C(s) G(s)E(s) G(s)[R(s) B(s)] = − = = − 1 G(s)H(s) G(s) R(s) C(s) + =
序号 变换方式 原方块图 等效方块图 A-B+ A-B+C 比较点交换 C B 比较点分解 A-B+C A-b+O B B AG-B Ag-B 比较点前移 B B G AG-BG AG-BG 比较点后移 B B A A 分支点前移 AG
10 序号 1 2 3 4 5 + - A + + B C A B C − + + - A B C + A B C − + + + A B + AG B − - A B - AG B − 1 G A + B - AG BG − B A + - AG BG − G AG AG AG AG G G G G G A + B C A B C − + - + + + C B A + A B C − + _ 原方块图 等效方块图 比较点交换 比较点分解 比较点前移 比较点后移 分支点前移 变换方式 A A G G