第十讲空间群(I):非点式操作
第十讲 空间群(II)：非点式操作
非点式对称操作 点对称操作:r=Rrr=xa+yb+cr=a+地+c 空间群操作:r={Rr=Rr+t(赛兹算符) 对非点式操作t=τ,是单胞的分数平移,而对于 点式操作t=T=0 螺旋轴:11种,21;31、32;4142、43; 6162、6 2\ 31 6A、6 4 5 滑移面:a、b、c;n;d
非点式对称操作 ۞ 螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43； 61、62、63、64、65 ۞ 滑移面：a、b、c；n；d 点对称操作：r’ = Rr r’=x’a + y’b +z’c r=xa + yb +zc 空间群操作：r’ = {R|t}r = Rr + t (赛兹算符) 对非点式操作 t = ，是单胞的分数平移，而对于 点式操作t = = 0
点对称操作 3609n(n=1,2,34,6) 1(E,L1) 1(,C) 2(C2,L2 +|o+ (0,P),m + 3(C3,L 3(S65,L3) 4(C4,L4 4(S43,L4 6(C6, L 6 6(S35,L 旋转轴, 旋转反演轴,n
360o /n (n = 1,2,3,4,6) 1 (E, L1 ) 2 (C2 , L2 ) 3 (C3 , L3 ) 4 (C4 , L4 ) 6 (C6 , L6 ) 1 (i, C) 2 (σ, P), m 3 (S6 5 , Li 3 ) 4 (S4 3 , Li 4 ) 6 (S3 5 , Li 6 ) + , + + _ , 旋转轴， n 旋转反演轴， n 点对称操作
对称轴爷号 号对称轴图示沿轴向的符 符 符号平移特征号对称轴图示沿轴向的 右手螺旋 符号平移特征 1—次旋转轴无无4四次旋转轴◆无 1个反演轴 无 c/44 无 42|四次螺旋轴 2c/4 2二次旋转轴 3c/4 平行于纸面 c/2 4四次反演轴◆ 二次螺旋轴 平行于纸面226六次旋转轴 无无 6 c/6 3三次旋转轴 无 2c/6 c/3 63六次螺旋轴 3c/6 三次螺旋轴 4c/6 2c/3 6 5c/6 3三次反演轴△无6六次反演轴♂无
对称轴符号 符 号 对称轴 图示 符号 沿轴向的 右手螺旋 平移特征 1 一次旋转轴 一个反演轴 二次旋转轴 二次螺旋轴 三次旋转轴 三次螺旋轴 三次反演轴 2 21 3 31 32 3 1 无 无 无 平行于纸面 无 平行于纸面 无 无 c/2 a/2或b/2 c/3 2c/3 符 号 对称轴 图示 符号 沿轴向的 右手螺旋 平移特征 4 四次旋转轴 四次反演轴 四次螺旋轴 六次旋转轴 六次螺旋轴 六次反演轴 43 6 61 65 4 无 无 6 无 c/4 c/6 5c/6 41 42 2c/4 3c/4 62 63 64 无 2c/6 3c/6 4c/6
对称面巷号 图示符号 符号对称面 垂直于投影面平行于投影面 滑移特征 ⊥a或b轴)(⊥c轴) 反映面 没有(如果平面在z=14的 (镜面) 高度,就在符号边标注 沿[00移a/2,或沿[010滑 移b/2,或两个沿滑移 轴滑移面 无 沿滑移c/2,或在菱形轴 中沿[)移(a+bc)/2 n对角滑移面 (a+b)2,(b+c)2,(a+c)/2,或 网) (a+b+c)/2四方和立方) 滑移面二+二 381/8/(a±b)/4,(b±)4a±Cy△ 或(a士b±c)/4(四方和立方)
对称面符号 符号 对称面 反映面 (镜面) 轴滑移面 m a, b c n d 对角滑移面 (网) “金刚石” 滑移面 图示符号 垂直于投影面 平行于投影面 滑移特征 没有(如果平面在z=1/4的 高度，就在符号边标注 1/4) 无 沿[100]滑移a/2，或沿[010]滑 移b/2，或两个沿滑移 沿z轴滑移c/2，或在菱形轴 中沿[111]滑移(a+b+c)/2 (a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2, 或 (a+b+c)/2(四方和立方) (a±b)/4, (b±c)/4, (a±c)/4, 或(a±b±c)/4(四方和立方) (⊥a或b轴) (⊥c轴) 3/8 1/8
复习: 点对称操作、7种晶系、32种点群、 14种布拉菲格子、点式空间群
复习： 点对称操作、7种晶系、32种点群、 14种布拉菲格子、点式空间群
点对称操作 n=In(iCn), S,=oCn IlI 1(E) () 2(C2) 2(o),m(On V) (C21,C2) 3(S6。5) 3(C3) S6,S2(C3),S3(0,S4(C32),S65,S6(E) (C31,C32,C3 35.3 31,3 4(C4) 4(S43) (C4,C42,C43,C4)SA4),S2(4),S8(4)S(E 6(C6) 6(35 6 S3S3(C32),S3(),Sa(C3,S3,S3(E 5 6 6 65,64, 6 6 6.6
1 (E) 2 (C2 ) 3 (C3 ) 4 (C4 ) 6 (C6 ) 1 (i) 2 (σ), m 3 (S6 5 ) 4 (S4 3 ) 6 (S3 5 ) (C4 1 , C4 2 , C4 3 , C4 4 ) (C6 1 , C6 2 , C6 3 , C6 4 , C6 5 , C6 6 ) (C3 1 , C3 2 , C3 3 ) n = 1n (iCn ), Sn = σCn (σh , σv , σd ) S4 (43 ), S4 2 (42 ), S4 3 (4), S4 4 (E) 点对称操作 !!! (C2 1 , C2 2 ) S6 , S6 2 (C3 ), S6 3 (i), S6 4 (C3 2 ), S6 5 , S6 6 (E) 3 5 , 3 4 , 3 3 , 3 2 , 3 1 , 3 6 S3 , S3 2 (C3 2 ), S3 3 (σh ), S3 4 (C3 ), S3 5 , S3 6 (E) 6 5 , 64 , 63 , 62 , 6, 66
参考轴:a,b,c(无需正交) (x,y2,z) (x,y, z) r= xa t yb + zc rExa+vb+zc 对称算符r=Rr xy a11 a11 a 11/X Y=90°直角坐标 21c21 a 21 Z a31 a31 a Z y=120六角坐标 恒等1 镜面{m001},反映 100(X x 00(X xyz 0 y 010 001人z 00-1人z 附录1
恒等 1 镜面{m[001]}，反映 x’ y’ z’ x y z -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 = x’ y’ z’ x y z = -1 -0 -0 -0 -1 -0 -0 -0 -1 参考轴： 对称算符 r’ = Rr a, b, c (无需正交) x’ y’ z’ x y z a11 a21 a31 a11 a21 a31 a11 a21 a31 = r = xa + yb + zc r’ = x’a + y’b + z’c (x,y,z) (x’,y’,z’) r r’ a b c = 90o 直角坐标 = 120o 六角坐标 附录 1
对称奈件量系 特点 全对称点群 1(E或1() 斜abca所y f.y=9 2(C2)或2m)单斜a#c,a=月=90y 2/m 两个2(C)或2m)正交a#a=B=y=90 mmm 4(c4)或4(S43)四方a=bc,a=B=y=900 4/mmm 3(c3)或3(S65)三方 a=b≠c,a=B=90,y=I200 3m a=b=c,a=B=y菱形 6(c)或6(S:5)六方a=bc,a=B=90,y=120 6/mmm 四个三次轴立方a=b=c,a=B=y=900 m3m
对称条件 晶系 特点 四个三次轴 三 斜 单 斜 正 交 四 方 三 方 六 方 立 方 1(E)或1(i) 2(C2 )或2(m) 两个2(C2 )或2(m) 4(C4 )或4(S4 3 ) 3(C3 )或3(S6 5 ) 6(C6 )或6(S3 5 ) a≠ b≠ c, ≠≠ a≠b≠c, = = 90o≠ a≠b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = 90o , = 120o a = b = c, = = = 90o a = b = c, = = 菱形 a = b≠c, = = 90o , = 120o 全对称点群 1 2/m mmm 4/mmm 6/mmm m3m 3m
1u)2(2)222324)6( 3(L 23(3L243 1()m(P)mm24/m 6/m 3m L22P)(L4PC)(L6PC)(L33P 3L24L33PC) 322/m mmm 4mm 6mm 32(L33L3)43m (L2PC)(3L23PC)(L44P)(L66P) (3L14L36P) 432 种点群及其点对称操作一 4/mmm 6/mmm 3(L) (L44L25PC)(L66L27PC) (3L4L36L2) 422 622 3m 3 (L4L)(62)(L4323P)(3L4L3629PO 42m 62m L42L22P)(L%33P
1(L1 ) 1 m(P) (C) 42m (Li 42L22P) 2(L2 ) 2/m (L2PC) 222(3L 2 ) mm2 (L22P) mmm (3L23PC) 4 (Li 4 ) 422 (L44L2 ) 4/mmm (L44L25PC) 4mm (L44P) 4/m (L4PC) 4(L4 ) 62m (Li 63L23P) 6 (Li 6 ) 622 (L66L2 ) 6/mmm (L66L27PC) 6mm (L66P) 6/m (L6PC) 6(L6 ) 23(3L24L3 ) m3 (3L24L33PC) 432 (3L44L36L2 ) m3m (3L44L36L29PC) 3m (Li 33L23P) 3(L3 ) 3m (L33P) 32(L33L2 ) 43m (3Li 44L36P) 3(Li 3 ) 32 种 点 群 及 其 点 对 称 操 作