《金属塑性变形理论》课程教学资源（PPT课件）第26讲 变形力学方程（力平衡微分方程）

Lesson266为了进行力能参数和变形参数的工程计算，需要建立变形力学的有关方程诸如静力方程（包括力平衡微分方程和应力边界条件方程）；几何方程（包括应变与位移关系方程和变形协调方程）：物理方程（包括塑性条件方程和应力与应变关系方程）等。力平衡微分方程有3个：几何方程有6个；物理方程有6个：塑性条件方程有1个一般塑性加工力学问题需要建立这16个方程。本章着重讲解这些方程的导出及其相关的物理含义。130±5/8124大学2EBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 26 2025/8/24 2 • 为了进行力能参数和变形参数的工程计算，需要建 立变形力学的有关方程诸如静力方程（包括力平衡 微分方程和应力边界条件方程）；几何方程（包括 应变与位移关系方程和变形协调方程）；物理方程 （包括塑性条件方程和应力与应变关系方程）等。 力平衡微分方程有3个； 几何方程有6个； 物理方程有6个； 塑性条件方程有1个 一般塑性加工力学问题需要建立这16个方程。本章着重 讲解这些方程的导出及其相关的物理含义

Lesson268第十二章变形力学方程主要内容Main Content力平衡微分方程屈服条件应力应变关系方程等效应力、等效应变平面变形和轴对称变形130±5/8124大学3MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 26 2025/8/24 3 第十二章 变形力学方程 主要内容 Main Content • 力平衡微分方程 • 屈服条件 • 应力应变关系方程 • 等效应力、等效应变 • 平面变形和轴对称变形

Lesson26812.1力平衡微分方程一般情况下，变形体内各点的应力状态；是不同的，不能仅用一点的应力状态描述或表示整个变形体的受力情况。但是变形体内各点间的应力状态的变化又不是任意的，其各应力分量必须满足静力平衡关系一一力平衡微分方程。130±5/8124大学MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 26 2025/8/24 4 12.1 力平衡微分方程 • 一般情况下，变形体内各点的应力状态 是不同 的，不能仅用一点的应力状态描述或表示整个变 形体的受力情况。但是变形体内各点间的应力状 态的变化又不是任意的，其各应力分量必须满足 静力平衡关系——力平衡微分方程。  ij

Lesson268直角坐标系的力平衡微分12.1.1方程·设变形体内有两相邻点a及a，a点的坐标为x、y、z，a点的坐标为x+dx、y+dy、z+dz，通过a及ai点各作互相垂直的三个坐标面，围成一个微分六面体。在此微分体上作用着法线应力和切应力。130起5/8124大号5MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 26 2025/8/24 5 12.1.1 直角坐标系的力平衡微分 方程 • 设变形体内有两相邻点a及a1，a点的坐标 为x、y、z，a1点的坐标为x+dx、y+dy、 z+dz，通过a及a1点各作互相垂直的三个坐 标面，围成一个微分六面体。在此微分体 上作用着法线应力和切应力

Lesson265atyxdhyxCaaxdxDaxat=XdzL2XOzx2012-4-25-3130±5/8124大6MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 26 2025/8/24 6 z x y dx x x x   +   dz z zx zx   +   dy y yx yx   +   yx  zx   x 2012-4-25-3

Lesson268·通过a点的x平面上作用着=f(x,y,z)，而通过a点的x平面上作用着o, = f(x+ dx, y,z)1 a? f(x,= f(x, y,z)+ f(x,y,)dx+ax?2!Ox可简化为dgdxax其它各应力分量同理可得。120起5/8124大窖7MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 26 2025/8/24 7 • 通过a点的x平面上作用着 ，而 通过a1点的x平面上作用着 f (x y z) x  = , , f (x dx y z) x , , 1  = + ( ) ( ) ( ) +   +   = + 2 2 2 , , 2! , , 1 , , dx x f x y z dx x f x y z f x y z 可简化为 dx x x x x   = +    1 其它各应力分量同理可得

Lesson266·如果不考虑惯性力，按静力平衡X=0at2aodzdxdydydzdx+1Ozax=(o)dydz + (tw)dzdx + (t)dxd)整理得ot,daOT-xdzdydx = 0dxddvdxdz1.24azaxoyOTyxdgatzX:0ayOzax130#5/8124大学8MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 26 2025/8/24 8 • 如果不考虑惯性力，按静力平衡 X = 0 = 0   +   +   dzdydx z dydxdz y dxdydz x x yx z x    dx dydz x x x         +   dz dxdy z zx zx         + +  dy dzdx  y yx yx           + +   ( )dydz =  x ( )dxdy zx + ( yx )dzdx +  整理得 = 0   +   +   x y z x yx zx   

Lesson268·同理，由Zz=有类似的结果ZY=0ot.dgOTxyxX=0ZX=0Ozaxay求和约定得形式dgOTxyOtey00j=0.0ZY=0Ozaxayaiot,atdgy2Zz=0X:0axOzayaoij高速塑性加工时，=(惯性力不可忽略ai130±5/8124大学9MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 26 2025/8/24 9 • 同理，由 、 有类似的结果 Y = 0 Z = 0 = 0   +   +   x y z xy y zy    = 0   +   +   x y z xz yz  z   = 0   i  ij + = 0   j ij f i 高速塑性加工时，  惯性力不可忽略 求和约定得形式 = 0   +   +   x y z x yx zx    Y = 0 Z = 0 X = 0

Lesson266·力平衡微分方程反映了变形体内正应力的变化与切应力变化的内在联系和平衡关系可用来分析和求解变形区的应力分布。130±5/8124大号10MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 26 2025/8/24 10 • 力平衡微分方程反映了变形体内正应力的 变化与切应力变化的内在联系和平衡关系， 可用来分析和求解变形区的应力分布

Lesson266柱面坐标系的力平衡微分12.1.27方程dgOterat0.-0021=0OrOzr00ratatre00eOt202Tre0eaz.0Ozro0OrTe1agrdrdeOrarrot,dOte:TOrY2ater：0deTorOzOrr00ra0oedeOa02011-12-2-3130±5/8124大11MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 26 2025/8/24 11 12.1.2 柱面坐标系的力平衡微分 方程 = 0 − +   +   +   r r z r r  r z r  r       0 2 + =   +   +   r r z r r  z r      + = 0   +   +   r r z r r z z z r z       r d  r dr r r r   +          d   +  r        d r r   + dz z zr zr   +   2011-12-2-3