《金属塑性变形理论》课程教学资源（PPT课件）第21讲 应力状态分析（斜面应力状态分析）

Lesson218第十章应力状态分析主要内容Main Content应力状态基本概念斜面上任一点应力状态分析求和约定和应力张量主应力及主切应力·球应力及偏差应力130±5/8124大学2MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 21 2025/8/24 2 第十章 应力状态分析 主要内容 Main Content • 应力状态基本概念 • 斜面上任一点应力状态分析 • 求和约定和应力张量 • 主应力及主切应力 • 球应力及偏差应力

Lesson21斜面上任一点应力状态分10.2析要想了解一点的应力状态必须知道过该点任意截面上的应力分布。但是过该点的截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必须采用其他方式进行描述。130起5/8124大号3MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 21 2025/8/24 3 10.2 斜面上任一点应力状态分 析 • 要想了解一点的应力状态必须知道过该点 任意截面上的应力分布。但是过该点的截 面有无穷多个，我们没有办法一一列举。 为此必须采用其他方式进行描述

Lesson21-55T-oIPPCST=0一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。130±5/8124大4MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 21 2025/8/24 4 一点的应力向量不仅取决于该 点的位置，还取决于截面的方位

Lesson21力，通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个四面体素130#5/8124大学5MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 21 2025/8/24 5 • 通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的 截面和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面 构成一个四面体素

Lesson2151SnzEEBOnCSTnSnxax0yXzxAdsTyx0TyzZVAxQy1o2009-11-11-3130±5/8124大6MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 21 2025/8/24 6 z x y o sx s y sz t xy t yz t yx t xz tzy tzx Sn n Snx Sny Snz sn t n B A C ds E A x o E 2009-11-11-3

Lesson218·该微分斜面面积为ds，外法线方向的方向余弦为:cos(n,x)=l 、cos(n,y)=m 、cos(n,z)=n·三个垂直坐标面的面积可以表示为：SoBc = S ABc cos(n, x)= ds · [SoAc = SABc cos(n, y)= ds · mSoBA = SABc cos(n,z)= ds · n.x方向余弦有：{2＋m2＋n2=1130#5/8124大学1MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 21 2025/8/24 7 • 该微分斜面面积为ds，外法线方向的方向余弦 为： cos(n,x)=l 、cos(n,y)=m 、cos(n,z)=n • 三个垂直坐标面的面积可以表示为： S S (n x) ds l OBC ABC = cos , =  SOAC = S ABC cos(n, y) = dsm SOBA = S ABC cos(n,z) = ds n x z a g n 1 2 2 2 方向余弦有：l + m + n =

Lesson218·由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有三个方向的受力平衡，即ZX=0ZY=0z=0在x方向： S·ds-ox·ds·l-t·ds·m-tx·ds·n=0在y方向:Sm.ds-txy.ds.l-o,·ds·m-t.y.ds·n=0Sn-·ds-tr-·ds.l-tr.ds.m-o.ds·n=0在z方向：130#5/8124大8MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 21 2025/8/24 8 • 由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都 有三个方向的受力平衡，即 X = 0 Y = 0 Z = 0 在x方向： 在y方向： 在z方向： Sn x  ds −s x  dsl −t yx  ds m −t z x  ds n = 0 Sn y ds −t xy dsl −s y dsm −t z y dsn = 0 Sn z ds −t xz dsl −t yz dsm −s z dsn = 0

Lesson218·整理后可得方程Snx =o,l+tyxm+tnSm, =Tl+o,m+t.yn(※)Sn=txl+tym+on·用矩阵表示为TOLJrzXSXmTTzyny130±5/8124大学9MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 21 2025/8/24 9 • 整理后可得方程 • 用矩阵表示为      = + + = + + = + + S l m n S l m n S l m n n z xz yz z n y xy y z y n x x yx z x t t s t s t s t t                      =           n m l S S S xz yz z xy y z y x yx z x n z n y n x t t s t s t s t t （※）

Lesson218，把微分斜面上的合应力S，向法线n方向投影，便可求出微分斜面上的正应力，或将Snx、Sm、Sm分别投影到法线n上，也同样得到微分斜面上的正应力，即O,=Snxl+Sm+Sn-n·将Sm、Smy、Sm带入上式得, =o,1? +o,m? +o,n? +2t,lm+2tymn+2txnl·微分面上的剪应力为th =S?-0?130±5/8124大学10MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 21 2025/8/24 10 • 把微分斜面上的合应力Sn，向法线n方向投影，便可 求出微分斜面上的正应力，或将Snx、Sny、Snz分别投 影到法线n上，也同样得到微分斜面上的正应力，即 • 将Snx、Sny、Snz带入上式得 • 微分面上的剪应力为 s n = Sn xl + Sn ym + Sn zn l m n lm mn nl n x y z xy yz zx s s s s 2t 2t 2t 2 2 2 = + + + + + 2 2 2 n Sn s n t = −

Lesson216·若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应力为零，则由O,=o,1?+o,m2 +o,n2+2tmlm+2txmn+2t.nl可得O, =,1? +0,m? +0,n而aS, =0?1? +02m? +o3n所以t, =(,-0,)1m? +(α2 -0,) mn? +(3 -0,)n?1?130±5/8124大学11FEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 21 2025/8/24 11 • 若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切 应力为零，则由 可得 而 所以 l m n lm mn nl n x y z xy yz zx s s s s 2t 2t 2t 2 2 2 = + + + + + 2 3 2 2 2 s n =s1 l +s m +s n 2 2 3 2 2 2 2 2 Sn =s1 l +s m +s n ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 1 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 2 l m m n n l t n = s −s + s −s + s −s