《金属塑性变形理论》课程教学资源（PPT课件）第38讲 上界定理及其应用（虚功原理及最大塑性功原理）

Lesson386第十五章上界定理及其应用主要内容Main Content虚功原理及最大塑性功原理上界定理的概念·上界定理的应用一一间断速度场130起5/8124大学2MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 38 2025/8/24 2 第十五章 上界定理及其应用 主要内容 Main Content • 虚功原理及最大塑性功原理 • 上界定理的概念 • 上界定理的应用——间断速度场

Lesson38815.1虚功原理及最大塑性功原理·在塑性加工成型所需功率的上下界中寻找更为接近真实解的力能参数及金属流动等问题，称为极限分析。·极值原理包括上界定理和下界定理，它们都是根据虚功原理和最大塑性功原理得出的，但各自分析问题的出发点不同。32025/8124大学MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 38 2025/8/24 3 15.1 虚功原理及最大塑性功原理 • 在塑性加工成型所需功率的上下界中寻找更为接 近真实解的力能参数及金属流动等问题，称为极 限分析。 • 极值原理包括上界定理和下界定理，它们都是根 据虚功原理和最大塑性功原理得出的，但各自分 析问题的出发点不同

Lesson388·上界定理是对工件的变形区虚拟一个运动许可速度场，而未必满足力微分方程和应力边界条件，在满足上述条件所求得的成型所需的功率或变形力大于或等于真实的变形功率和变形力。：下界定理是对工件的变形区虚拟一个静力许可应力场，而未必满足体积不变条件和速度边界条件，在满足上述条件求得的成型所需的功率和变形力小于或等于真实的变形功率和变形力。1305/8124大学DMEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 38 2025/8/24 4 • 上界定理是对工件的变形区虚拟一个运动许可速度场， 而未必满足力微分方程和应力边界条件，在满足上述条 件所求得的成型所需的功率或变形力大于或等于真实的 变形功率和变形力。 • 下界定理是对工件的变形区虚拟一个静力许可应力场， 而未必满足体积不变条件和速度边界条件，在满足上述 条件求得的成型所需的功率和变形力小于或等于真实的 变形功率和变形力

Lesson38历史发展上世纪四十年代未期A：A．马尔科夫，R：希尔，W：普拉格等人对弹性一塑性材料和刚一塑性材料，从数学塑性理论角度对极值定理进行了证明和探讨。五十年代到七十年代才逐渐把塑性理论的极值定理用于解塑性加工成型的实际问题。可以说五、六十年代是工程法和滑移线法占主要地位，然而到七十年代极限分析法则居主导，目前在工程中普遍应用。12025/8124大学5MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 38 2025/8/24 5 历史发展 • 上世纪四十年代末期A．A．马尔科夫，R．希尔， W．普拉格等人对弹性一塑性材料和刚一塑性材料，从 数学塑性理论角度对极值定理进行了证明和探讨。五十 年代到七十年代才逐渐把塑性理论的极值定理用于解塑 性加工成型的实际问题。可以说五、六十年代是工程法 和滑移线法占主要地位，然而到七十年代极限分析法则 居主导，目前在工程中普遍应用

Lesson386·在任何塑性加工成型过程都有多于一个的运动许可的速度场或静力许可应力场，所以便存在多于一个的上界解或下界解。这样，在许多上界解中找到最小的或在许多下界解中找到最大的，便会得到更接近真实的解。由于设定运动许可速度场比设定静力许可应力场容易，并且得到的上界解又能满足加工设备强度和功率验算安全的要求，所以上界解应用比较广。12025/8124大学6MEBEIUNITEOUNIVERSITT

Lesson 38 2025/8/24 6 • 在任何塑性加工成型过程都有多于一个的运动许可的速 度场或静力许可应力场，所以便存在多于一个的上界解 或下界解。这样，在许多上界解中找到最小的或在许多 下界解中找到最大的，便会得到更接近真实的解。由于 设定运动许可速度场比设定静力许可应力场容易，并且 得到的上界解又能满足加工设备强度和功率验算安全的 要求，所以上界解应用比较广。 * .

Lesson385虚功原理15.1.1·稳定平衡状态的变形体中，当给予变形体一几何约束所许可的微小位移（因为该位移只是几何约束所许可，实际上并未发生，故称虚位移）时，则外力在此虚位移上所作的功（称虚功），必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚应变功。·也常用功率表达虚功率原理130起5/8124大号MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 38 2025/8/24 7 15.1.1 虚功原理 • 稳定平衡状态的变形体中，当给予变形体一几 何约束所许可的微小位移（因为该位移只是几 何约束所许可，实际上并未发生，故称虚位移） 时，则外力在此虚位移上所作的功（称虚功）， 必然等于变形体内的应力在虚应变上所作的虚 应变功。 • 也常用功率表达虚功率原理

Lesson386·其表达式为：(py+pyy,+p.y.dF[(o,e,+0,e,+0.6 +2t,e, +2t,6y+2te求和约定的形式f (pv,)dF = f (o,e,)dv(i, j=x,y,z)外力功率内力功率130±5/8124大学8MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 38 2025/8/24 8 • 其表达式为： ( + + ) = F px vx py vy pz vz dF ( )dV V  x x + y y + z z + xy xy + yz yz + z x z x       2  2  2  求和约定的形式 ( ) ( )   = V ij ij F pi vi dF   dV (i, j = x, y,z) 外力功率 内力功率

Lesson383含义·内力虚功率与外力虚功率平衡，内力满足力平衡方程，在边界上与外力满足应力边界条件虚应变速率与虚速度满足几何方程内力与虚应变速率之间没有任何联系130起5/8124大号9MEBEIUNITEOUNIVERSITY

Lesson 38 2025/8/24 9 含义 • 内力虚功率与外力虚功率平衡 • 内力满足力平衡方程，在边界上与外力满足应力 边界条件 • 虚应变速率与虚速度满足几何方程 • 内力与虚应变速率之间没有任何联系

Lesson386有速度不连续线时的虚功率原理Vn1 = Vn2P△v, = Vt2 - VilB,P2FiTNVtVnlP3F2N,T2VePnVn2F2LdB2P;N, =-N2Pn-1130#5/8124大10T =-T2MEBEIUNITEO UNIVERSITY

Lesson 38 2025/8/24 10 有速度不连续线时的虚功率原理 P1 P2 P3 F1 Pi Pn-1 Pn F2 Ld N1 = −N2 T1 = −T2 n1 n2 v = v t t2 t1 v = v −v F1 F2 N1 N2 T2 T1 vn1 vn2 vt1 vt2 B1 B2

Lesson386·对F,区应用虚功率原理(px + p,y,)dS+ f. (Nvn +Tv.)dS =(o,e, +0,e,+2te·对F,区应用虚功率原理 (pxVx + Pyy,)dS+ f. (N2Vn2 +Tv2)dS =(oxe,+0ye, +2tye130±5/8124大学11MEBELUNITEO UNIVERSITY

Lesson 38 2025/8/24 11 • 对F1区应用虚功率原理 ( + ) + ( + ) =   1 1 1 1 1 B L x x y y n t d p v p v dS N v T v dS ( )dF F  x x + y y + xy xy 1     2  • 对F2区应用虚功率原理 ( + ) + ( + ) =   2 2 2 2 2 B L x x y y n t d p v p v dS N v T v dS ( )dF F  x x + y y + xy xy 2     2 