2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (请先阅读“对论文格式的统一要求”) A题SARS的传播 SARS( Severe Acute Respiratory Syndrome,严重急性呼吸道综合症,俗称:非 典型肺炎)是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给 我国的经济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和 教训,认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件 的重要性。请你们对SARS的传播建立数学模型,具体要求如下 (1)对附件1所提供的一个早期的模型,评价其合理性和实用性。 (2)建立你们自己的模型,说明为什么优于附件1中的模型;特别要说明怎样 才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型, 这样做的困难在哪里?对于卫生部门所采取的措施做出评论,如:提前或延后5 天采取严格的隔离措施,对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据 供参考。 (3)收集SARS对经济某个方面影响的数据,建立相应的数学模型并进行预测。 附件3提供的数据供参考。 (4)给当地报刊写一篇通俗短文,说明建立传染病数学模型的重要性, 附件1 SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测 2003年5月8日 在病例数比较多的地区,用数理模型作分析有一定意义。前几天,XX老师用解析公式 分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上,我们加入了每个病人可以传染他人的期限(由 于被严格隔离、治愈、死亡等),并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化,然后先分析 香港和广东的情况以获得比较合理的参数,最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对 认识疫情,安排后续的工作生活有帮助。 第1页,共7页
第1页，共7页 2003 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） A 题 SARS 的传播 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非 典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓延给 我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和 教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件 的重要性。请你们对 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明怎样 才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型， 这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件 2 提供的数据 供参考。 （3）收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。 附件 3 提供的数据供参考。 （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 附件 1： SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测 2003年5月8日 在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式 分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由 于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析 香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对 认识疫情，安排后续的工作生活有帮助
1模型与参数 假定初始时刻的病例数为N,平均每病人每天可传染K个人(K一般为小数),平均每个 病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内,病例数目的增长随时间(单位天)的关系 N()=No(1+K) 如果不考虑对传染期的限制,则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后,变化 将显著偏离指数律,增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法,把到达L天的病例从 可以引发直接传染的基数中去掉 参数K和L具有比较明显的实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接 传染的期限,在此期限后他失去传染作用,可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等 等。从原理上讲,这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关,只有医疗 机构能有效缩短这个参数。但我们分析广东、香港、北京现有的数据后发现,不论对于疫情的 爆发阶段,还是疫情的控制阶段,这个参数都不能用得太小,否则无法描写好各阶段的数据 该参数放在15-25之间比较好,为了简单我们把它固定在20(天)上这个值有一定统计上的意 义,至于有没有医学上的解释,需要其他专家分析 参数κ显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率,与全社会的警觉程度、政 府和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期,社会来不及防备,此时K值比较大。为了简单 起见,我们从开始至到高峰期间均采用同样的K值(从拟合这一阶段的数据定出),即假定这 阶段社会的防范程度都比较低,感染率比较高。到达高峰期后,我们在10天的范围内逐步调整 K值到比较小,然后保持不变,拟合其后在控制阶段的全部数据,即认为社会在经过短期的剧 烈调整之后,进入一个对疫情控制较好的常态。显然,如果疫情出现失控或反复的状态,则K 值需要做更多的调整。 2计算结果 1对香港疫情的计算和分析。香港的数据相对比较完整准确。但在初期,由于诊断标 准等不确切,在3月17日之前,没有找到严格公布的数据。我们以报道的2月15日作为发现 第一例病人的起点,2月27日从报道推断为7例。3月17日后则都是正式公布的数据。累积 病例数在图1中用三角形表示。我们然后用上述方法计算。4月1日前后(从起点起45天左 右)是疫情高峰时期,在此之前我们取K=0.16204。此后的10天,根据数据的变化将K逐步 调到0.0273,然后保持002乃3算出后面控制期的结果。短期内K调整的幅度很大,反映社会 的变化比较大。图中实心方黑点是计算的累积病例数。从计算累积病例数,很容易算出每天新 增病例数(当然只反映走向,实际状况有很大涨落)。可以看出,香港疫情从起始到高峰大约 45天,从高峰回落到1/10以下(每天几个病例)大约40天(5月上中旬),到基本没有病例 还要再经过近一个月(到6月上中旬)。 22对广东疫情的计算和分析。广东的起点是02年11月16日,到今年2月下旬达到高峰, 经过了约100天。在今年2月10日以前的数据查不到,分析比较困难。总体上看,广东持续的时 间比香港长得多,但累积的总病例数却少一些,这反映出广东的爆发和高峰都不强烈。但广东 的回落也比较慢。从2月下旬高峰期到现在经过了约70天,还维持着每天10来个新增病例,而 同样过程香港只用了约40天。这种缓慢上升和下降的过程也反映到K值上。比较好的拟合结果 是,在高峰期之前(t<101天),K=0.0892:在随后的10天逐步调整到0031。用这组参数算 出的后期日增病例数比实际公布的偏小,说明实际上降低得更慢。这种情况与疫情的社会控制 状况有没有什么关系,需要更仔细的分析。 23对北京疫情的分析与预测。北京的病例起点定在3月1日,经过大约59天在4月29日左 右达到高峰。我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913。这个值比 香港的0.16204来得低,说明北京初期的爆发程度不如香港,但遗憾的是上升时间持续了近60 天,而香港是45天,这就造成了累积病例数大大超过香港。从图2中还看出4月20日以前公布的 数据大大低于计算值。而我们从对香港、广东情况的计算中,知道疫情前期我们的计算还是比
第2页，共7页 1 模型与参数 假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个 病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系 是： N（t）= N0 (1+K) t 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化 将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从 可以引发直接传染的基数中去掉。 参数K和L具有比较明显的实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接 传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等 等。从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗 机构能有效缩短这个参数。但我们分析广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的 爆发阶段，还是疫情的控制阶段，这个参数都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。 该参数放在15-25之间比较好，为了简单我们把它固定在20（天）上这个值有一定统计上的意 义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。 参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政 府和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期，社会来不及防备，此时K值比较大。为了简单 起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出），即假定这 阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整 K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧 烈调整之后，进入一个对疫情控制较好的常态。显然，如果疫情出现失控或反复的状态，则K 值需要做更多的调整。 2 计算结果 2.1 对香港疫情的计算和分析。香港的数据相对比较完整准确。但在初期，由于诊断标 准等不确切，在 3 月 17 日之前，没有找到严格公布的数据。我们以报道的 2 月 15 日作为发现 第一例病人的起点，2 月 27 日从报道推断为 7 例。3 月 17 日后则都是正式公布的数据。累积 病例数在图 1 中用三角形表示。我们然后用上述方法计算。4 月 1 日前后（从起点起 45 天左 右）是疫情高峰时期，在此之前我们取 K=0.16204。此后的 10 天，根据数据的变化将 K 逐步 调到 0.0273，然后保持 0.0273 算出后面控制期的结果。短期内 K 调整的幅度很大，反映社会 的变化比较大。图中实心方黑点是计算的累积病例数。从计算累积病例数，很容易算出每天新 增病例数（当然只反映走向，实际状况有很大涨落）。可以看出，香港疫情从起始到高峰大约 45 天，从高峰回落到 1/10 以下（每天几个病例）大约 40 天（5 月上中旬），到基本没有病例 还要再经过近一个月（到 6 月上中旬）。 2.2 对广东疫情的计算和分析。广东的起点是02年11月16日，到今年2月下旬达到高峰， 经过了约100天。在今年2月10日以前的数据查不到，分析比较困难。总体上看，广东持续的时 间比香港长得多，但累积的总病例数却少一些，这反映出广东的爆发和高峰都不强烈。但广东 的回落也比较慢。从2月下旬高峰期到现在经过了约70天，还维持着每天10来个新增病例，而 同样过程香港只用了约40天。这种缓慢上升和下降的过程也反映到K值上。比较好的拟合结果 是，在高峰期之前（t < 101天），K=0.0892；在随后的10天逐步调整到0.031。用这组参数算 出的后期日增病例数比实际公布的偏小，说明实际上降低得更慢。这种情况与疫情的社会控制 状况有没有什么关系，需要更仔细的分析。 2.3 对北京疫情的分析与预测。北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左 右达到高峰。我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913。这个值比 香港的0.16204来得低，说明北京初期的爆发程度不如香港，但遗憾的是上升时间持续了近60 天，而香港是45天，这就造成了累积病例数大大超过香港。从图2中还看出4月20日以前公布的 数据大大低于计算值。而我们从对香港、广东情况的计算中，知道疫情前期我们的计算还是比
较可行的。从而可以大致判断出北京前期实际的病例数。图中的公布数据截止到5月7日(从起 点起67天),其后的计算采用的是香港情况下获得的参数。按这种估算,北京最终累积病例数 将达到3100多。 1000 计算累 △公布累积 驶100 日2月15日起嫩 图1对香港疫情的拟合 ■计算累积到 o计算日增钢 △公布累积列 10 自3月1日起 图2对北京疫情的分析 图3是计算的日增病例数。后期下降得较快的实心方黑点是采用香港参数获得的。这就是 说,如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话,就可以在高峰期后的40天(从起点起100天) 左右,即6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月,即7月上中旬达到日增0病例。但 如果北京的新病例下降速度与广东类似的话,则要再多花至少一个月,才能达到上述的效果 且累积总病例数会到3800左右。至于什么原因造成香港下降速度快而广东下降速度慢,需要有 关方面作具体分析
第3页，共7页 较可行的。从而可以大致判断出北京前期实际的病例数。图中的公布数据截止到5月7日（从起 点起67天），其后的计算采用的是香港情况下获得的参数。按这种估算，北京最终累积病例数 将达到3100多。 图1 对香港疫情的拟合 图2 对北京疫情的分析 图3是计算的日增病例数。后期下降得较快的实心方黑点是采用香港参数获得的。这就是 说，如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话，就可以在高峰期后的40天（从起点起100天） 左右，即6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。但 如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果， 且累积总病例数会到3800左右。至于什么原因造成香港下降速度快而广东下降速度慢，需要有 关方面作具体分析
采用馡港 o采用广东缀 △近日公布数 10 自3月1日起燉 图3北京日增病例走势分析 3结论 每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右,这个值在不同地区和不同疫情 阶段似乎变化不大。病人的平均每天感染率与社会状况有关,在疫情爆发期较大,在疫情控制 期要小很多。香港的初期爆发情况比广东和北京都剧烈,但控制效果明显比较好。北京后期如 果控制在香港后期的感染率水平上,则有望在6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约 个月,即7月上中旬达到日增0病例。而累积总病例数将达到3100多。但如果北京的新病例 下降速度与广东类似的话,则要再多花至少一个月,才能达到上述的效果,且累积总病例数会 到3800左右。 附件2:北京市疫情的数据 (ta:http://www.beiing.gov.cn/resouRce/detail.asp?resourCeld=66070) 日期|已确诊病例累计现有疑似病例死亡累计治意出院累计 4月20日 339 4月21日 4月22日 4月23日 4月24日 774 4月25日 877 第4页,共7页
第4页，共7页 图3 北京日增病例走势分析 3 结论 每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在 20 天左右，这个值在不同地区和不同疫情 阶段似乎变化不大。病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫情爆发期较大，在疫情控制 期要小很多。香港的初期爆发情况比广东和北京都剧烈，但控制效果明显比较好。北京后期如 果控制在香港后期的感染率水平上，则有望在 6 月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一 个月，即 7 月上中旬达到日增 0 病例。而累积总病例数将达到 3100 多。但如果北京的新病例 下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会 到 3800 左右。 附件 2：北京市疫情的数据 ( 据：http://www.beijing.gov.cn/Resource/Detail.asp?ResourceID=66070 ) 日 期 已确诊病例累计 现有疑似病例 死亡累计 治愈出院累计 4 月 20 日 339 402 18 33 4 月 21 日 482 610 25 43 4 月 22 日 588 666 28 46 4 月 23 日 693 782 35 55 4 月 24 日 774 863 39 64 4 月 25 日 877 954 42 73
月26日 4月27日 l114 1255 4月28日 1275 月29日 1358 4月30日 1408 5月1日 1553 月2日 5月3日 5月4日 1803 100 118 5月5日 1510 5月6日 1523 5月7日 1514 110 5月8日 月9日 1425 114 5月10日 116 月11日 5月12日 1378 月13日 月14日 1308 5月15日 2388 1317 5月16日 2405 5月17日 1250 5月18日 147 5月19日 2437 1249 150 5月20日 5月21日 24 5月22日 1205 18 528 5月23日 1179 5月24日 1134 5月25日 2499 167 04
第5页，共7页 4 月 26 日 988 1093 48 76 4 月 27 日 1114 1255 56 78 4 月 28 日 1199 1275 59 78 4 月 29 日 1347 1358 66 83 4 月 30 日 1440 1408 75 90 5 月 1 日 1553 1415 82 100 5 月 2 日 1636 1468 91 109 5 月 3 日 1741 1493 96 115 5 月 4 日 1803 1537 100 118 5 月 5 日 1897 1510 103 121 5 月 6 日 1960 1523 107 134 5 月 7 日 2049 1514 110 141 5 月 8 日 2136 1486 112 152 5 月 9 日 2177 1425 114 168 5 月 10 日 2227 1397 116 175 5 月 11 日 2265 1411 120 186 5 月 12 日 2304 1378 129 208 5 月 13 日 2347 1338 134 244 5 月 14 日 2370 1308 139 252 5 月 15 日 2388 1317 140 257 5 月 16 日 2405 1265 141 273 5 月 17 日 2420 1250 145 307 5 月 18 日 2434 1250 147 332 5 月 19 日 2437 1249 150 349 5 月 20 日 2444 1225 154 395 5 月 21 日 2444 1221 156 447 5 月 22 日 2456 1205 158 528 5 月 23 日 2465 1179 160 582 5 月 24 日 2490 1134 163 667 5 月 25 日 2499 1105 167 704
月26日 2504 1069 5月27日 1005 5月28日 2514 5月29日 5月30日 1006 5月31日 6月16日 2053 6月17日 6月18日 2154 6月19日 2171 6月20日 252 2189 6月21日 2521 2231 6月22日 6月23日 6月 6月2日 734 1157 l189 6月4日 1263 6月5日 716 1321 6月6日 713 1403 6月8日 1543 6月9日 451 184 1653 6月10日 1747 6月13日 1944 6月14日 1994 6月15日 2015 6月7日 1446 6月11日 6月12日
第6页，共7页 5 月 26 日 2504 1069 168 747 5 月 27 日 2512 1005 172 828 5 月 28 日 2514 941 175 866 5 月 29 日 2517 803 176 928 5 月 30 日 2520 760 177 1006 5 月 31 日 2521 747 181 1087 6 月 16 日 2521 3 190 2053 6 月 17 日 2521 5 190 2120 6 月 18 日 2521 4 191 2154 6 月 19 日 2521 3 191 2171 6 月 20 日 2521 3 191 2189 6 月 21 日 2521 2 191 2231 6 月 22 日 2521 2 191 2257 6 月 23 日 2521 2 191 2277 6 月 1 日 2522 739 181 1124 6 月 2 日 2522 734 181 1157 6 月 3 日 2522 724 181 1189 6 月 4 日 2522 718 181 1263 6 月 5 日 2522 716 181 1321 6 月 6 日 2522 713 183 1403 6 月 8 日 2522 550 184 1543 6 月 9 日 2522 451 184 1653 6 月 10 日 2522 351 186 1747 6 月 13 日 2522 71 187 1944 6 月 14 日 2522 4 189 1994 6 月 15 日 2522 3 189 2015 6 月 7 日 2523 668 183 1446 6 月 11 日 2523 257 186 1821 6 月 12 日 2523 155 187 1876
附件3:北京市接待海外旅游人数(单位:万人) 1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月 9411.316819820.318820924924.724.319418.6 1998 9.611715.819919.517817823.321.424.520.115.9 199910.112917721021.020421925829.3298236165 200114260196259276243230278273285328185 11.526.420426.128928.025230828.728122.220.7 13.729723.128929027426.032.231432.629.2229 200315417123.51161.7826188162 第7页,共7页
第7页，共7页 附件 3：北京市接待海外旅游人数（单位：万人） 年 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.6 9.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.9 10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.5 11.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.5 11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7 13.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9 15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2
