2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 B题彩票中的数学 近年来“彩票飓风”席卷中华大地,巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩 民”的行列,目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 传统型”采用“10选6+1”方案:限从6组0~9号球中摇出6个基本号码 每组摇出一个,然后从0~4号球中摇出一个特别号码,构成中奖号码。投注者从 09十个号码中任选6个基本号码(可重复),从04中选一个特别号码,构成 注,根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号 码“ abcdef+g”为例说明中奖等级,如表一(X表示未选中的号码)。 表 中奖 10选6+1(6+1/10) 基本号码 特别号说明 等级码 等奖| abcdef 选7中(6+1) 等奖| abcdef 等奖| abcdex Xbcdef 四等奖| abcdXX Xbcdex XXcdef I跚 中(6) 中(5) 中(4) 五等奖| abcXXx XbcdXX XXcdex XXXdef 选7中(3) 等奖 abxXXx XbcXXX XXcdxx XXXdex XXXXef选7中(2) “乐透型”有多种不同的形式,比如“33选7”的方案:先从01~33个 号码球中一个一个地摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别 号码。投注者从0133个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码 与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。又如“36 选6+1”的方案,先从0136个号码球中一个一个地摇出6个基本号,再从剩下 的30个号码球中摇出一个特别号码。从0136个号码中任选7个组成一注(不 可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考 虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单 注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖 金设置方案如表三,其中 、三等奖为高项奖,后面的为低项奖。低项奖数 额固定,高项奖按比例分配,但一等奖单注保底金额60万元,封顶金额500万 元,各高项奖额的计算方法为 [(当期销售总额×总奖金比例)一低项奖总额]×单项奖比例
2002 高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 B 题 彩票中的数学 近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩 民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 “传统型”采用“10 选 6+1”方案：限从 6 组 0~9 号球中摇出 6 个基本号码， 每组摇出一个，然后从 0~4 号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从 0~9 十个号码中任选 6 个基本号码（可重复），从 0~4 中选一个特别号码，构成 一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号 码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X 表示未选中的号码）。 表一 中 奖 等 级 10 选 6+1（6+1/10） 基 本 号 码 特别号 码 说 明 一等奖 abcdef g 选 7 中（6+1） 二等奖 abcdef 选 7 中（6） 三等奖 abcdeX Xbcdef 选 7 中（5） 四等奖 abcdXX XbcdeX XXcdef 选 7 中（4） 五等奖 abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选 7 中（3） 六等奖 abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选 7 中（2） “乐透型”有多种不同的形式，比如“33 选 7”的方案：先从 01~33 个 号码球中一个一个地摇出 7 个基本号，再从剩余的 26 个号码球中摇出一个特别 号码。投注者从 01~33 个号码中任选 7 个组成一注（不可重复），根据单注号码 与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36 选 6+1”的方案，先从 01~36 个号码球中一个一个地摇出 6 个基本号，再从剩下 的 30 个号码球中摇出一个特别号码。从 01~36 个号码中任选 7 个组成一注（不 可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考 虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。 以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的 50%，投注者单注金额为 2 元，单 注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖 金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数 额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额 60 万元，封顶金额 500 万 元，各高项奖额的计算方法为： [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例
(1)根据这些方案的具体情况,综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和 奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性 (2)设计一种“更好”的方案及相应的算法,并据此给彩票管理部门提出 建议 (3)给报纸写一篇短文,供彩民参考。 表二 中奖 33选7(7/33) 36选6+1(6+1/36) 基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明 等奖●●●●●●● 「选7中(7)●●●●●● 选7中(6+1) 等奖●●●●●●o★选7中(6+1)●●●● 选7中(6) 等奖|·●●●●●o 选7中(6)●●●●·o★选7中(5+1) 四等奖●●●●●○○★选7中(5+1) ●●●O 选7中(5) 五等奖●●●●●00选7中(5)●●●●oo★选7中(4+1 六等奖●●●●○OO★选7中(4+1)●●●●OO 选7中(4) 七等奖[●●●●OOO 选7中(4)●●●OOO 7中(3+1) 注:·为选中的基本号码;★为选中的特别号码;o为未选中的号码。 表三 奖项一等奖二等奖三等奖四等奖五等奖六等奖七等奖备注 序号方案 比例比例金额金额|金额金额 1|6+1/10 20%30% 50 2|6+1/1060%20%20%300|20 按序 36+1/1065%15%20%300 46+1/1070%15%15%300 ∞0 5555 按序 7/2960%20%20 300 6|6+1/2960%25%15%20020 7/3065%15%20%500 7/3070%10%20%20050 9|7/3075%10%15%200 500 5 107/3160%15%25%50050 20 10 117/3175%10%15%32030 27/3265%15%20%500 137/32 70% 10% 20%500 10 147/3275%10% 15% 500 50 10
（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和 奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。 （2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出 建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。 表二 基 本 号 码 特别号码 说 明 基 本 号 码 特别号码 说 明 注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。 表三 序号 奖项 方案 一等奖 比 例 二等奖 比 例 三等奖 比 例 四等奖 金 额 五等奖 金 额 六等奖 金 额 七等奖 金 额 备 注 1 6+1/10 50% 20% 30% 50 按序 2 6+1/10 60% 20% 20% 300 20 5 按序 3 6+1/10 65% 15% 20% 300 20 5 按序 4 6+1/10 70% 15% 15% 300 20 5 按序 5 7/29 60% 20% 20% 300 30 5 6 6+1/29 60% 25% 15% 200 20 5 7 7/30 65% 15% 20% 500 50 15 5 8 7/30 70% 10% 20% 200 50 10 5 9 7/30 75% 10% 15% 200 30 10 5 10 7/31 60% 15% 25% 500 50 20 10 11 7/31 75% 10% 15% 320 30 5 12 7/32 65% 15% 20% 500 50 10 13 7/32 70% 10% 20% 500 50 10 14 7/32 75% 10% 15% 500 50 10 中 奖 等 级 33 选 7（7/33） 36 选 6+1（6+1/36） 一等奖 ●●●●●●● 选 7 中（7） ●●●●●● ★ 选 7 中（6+1） 二等奖 ●●●●●●○ ★ 选7中（6+1） ●●●●●● 选 7 中（6） 三等奖 ●●●●●●○ 选 7 中（6） ●●●●●○ ★ 选 7 中（5+1） 四等奖 ●●●●●○○ ★ 选7中（5+1） ●●●●●○ 选 7 中（5） 五等奖 ●●●●●○○ 选 7 中（5） ●●●●○○ ★ 选 7 中（4+1） 六等奖 ●●●●○○○ ★ 选7中（4+1） ●●●●○○ 选 7 中（4） 七等奖 ●●●●○○○ 选 7 中（4） ●●●○○○ ★ 选 7 中（3+1）
157/3370%10%20%600 167/3375%10%15%500 50 177/3465%|15%20%500|30 187/3468%12%20%500 60605 197/3570%15%15%300 207/35 70% 10% 20%500100 30 217/3575%10%15%1000100 52555 7/3580%10%10%200 237/35100%20002 无特别号 246+1/3675%10%15%500 100 10 256+1/3680%|10%10%50010010 267/36 20% 500 10 2773770%1515%1500100 286/4082%10% 200 10 295/6060%20%20%30030
15 7/33 70% 10% 20% 600 60 6 16 7/33 75% 10% 15% 500 50 10 5 17 7/34 65% 15% 20% 500 30 6 18 7/34 68% 12% 20% 500 50 10 2 19 7/35 70% 15% 15% 300 50 5 20 7/35 70% 10% 20% 500 100 30 5 21 7/35 75% 10% 15% 1000 100 50 5 22 7/35 80% 10% 10% 200 50 20 5 23 7/35 100% 2000 20 4 2 无特别号 24 6+1/36 75% 10% 15% 500 100 10 5 25 6+1/36 80% 10% 10% 500 100 10 26 7/36 70% 10% 20% 500 50 10 5 27 7/37 70% 15% 15% 1500 100 50 28 6/40 82% 10% 8% 200 10 1 29 5/60 60% 20% 20% 300 30