第七章明渠恒定非均匀流 由于产生明渠均匀流的条件非常严格,自然界中的水流条件很难满足,故实 际中的人工渠道或天然河道中的水流绝大多数是非均匀流。明渠非均匀流的特点 是底坡线、水面线、总水头线彼此互不平行(如图7-1所示)。产生明渠非均匀流的 原因很多,例如明渠横断面的几何形状或尺寸的沿流程改变,粗糙度或底坡沿流 程改变,在明渠中修建水工建筑物(闸、桥梁、涵洞等),都能使明渠水流发生非 均匀流。明渠非均匀流中也存在渐变流和急变流,若流线是接近于相互平行的直 线,或流线间夹角很小、流线的曲率半径很大,这种水流称为明渠非均匀渐变流。 反之,则为明渠非均匀急变流。 总水头线 水面线 hr 本章首先分析和讨论明渠非均匀流的一些基本概念和明渠急变流(水跃和水 跌),然后讨论明渠非均匀渐变流水深(或水位沿程变化的基本方程,最后着重研 究水面曲线变化规律,并进行水面线计算。而本章的重点是明渠非均匀流中水面 曲线变化的规律及其计算方法。在实际工程中,例如,在桥渡勘测设计时,为了 预计建桥后墩台对河流的影响,便需算出桥址附近的水位标髙;在河渠上修建水 电站,为了确定由于水位抬高所造成的水库淹没范围,亦要进行水面曲线的计算 因明渠非均匀流的水深沿程变化,即h=(s,为了不致引起混乱,将明渠均 匀流的水深称为正常水深,以h表示 §7-1明渠水流的三种流态 明渠水流有的比较平缓,象灌溉渠道中的水流和平原地区江河中的流动。如 果在明渠水流中有一障碍物,便可观察到障碍物上水深降低,障碍物前水位壅髙 能逆流上传到较远的地方(见图7-2a);而明渠水流有的则非常湍急,像山区河道 中的水流,过坝下溢的水流,跌水、瀑布和险滩地的水流。如遇障碍物仅在石块 附近隆起,障碍物上水深增加,障碍物干扰的影响不能问上游传播(见图7-2b)
第七章 明渠恒定非均匀流 由于产生明渠均匀流的条件非常严格，自然界中的水流条件很难满足，故实 际中的人工渠道或天然河道中的水流绝大多数是非均匀流。明渠非均匀流的特点 是底坡线、水面线、总水头线彼此互不平行(如图 7-1 所示)。产生明渠非均匀流的 原因很多，例如明渠横断面的几何形状或尺寸的沿流程改变，粗糙度或底坡沿流 程改变，在明渠中修建水工建筑物(闸、桥梁、涵洞等)，都能使明渠水流发生非 均匀流。明渠非均匀流中也存在渐变流和急变流，若流线是接近于相互平行的直 线，或流线间夹角很小、流线的曲率半径很大，这种水流称为明渠非均匀渐变流。 反之，则为明渠非均匀急变流。 图 7-1 本章首先分析和讨论明渠非均匀流的一些基本概念和明渠急变流(水跃和水 跌)，然后讨论明渠非均匀渐变流水深(或水位)沿程变化的基本方程，最后着重研 究水面曲线变化规律，并进行水面线计算。而本章的重点是明渠非均匀流中水面 曲线变化的规律及其计算方法。在实际工程中，例如，在桥渡勘测设计时，为了 预计建桥后墩台对河流的影响，便需算出桥址附近的水位标高；在河渠上修建水 电站，为了确定由于水位抬高所造成的水库淹没范围，亦要进行水面曲线的计算。 因明渠非均匀流的水深沿程变化，即 h=f(s)，为了不致引起混乱，将明渠均 匀流的水深称为正常水深，以 h0 表示。 §7-1 明渠水流的三种流态 明渠水流有的比较平缓，象灌溉渠道中的水流和平原地区江河中的流动。如 果在明渠水流中有一障碍物，便可观察到障碍物上水深降低，障碍物前水位壅高 能逆流上传到较远的地方(见图 7-2a)；而明渠水流有的则非常湍急，像山区河道 中的水流，过坝下溢的水流，跌水、瀑布和险滩地的水流。如遇障碍物仅在石块 附近隆起，障碍物上水深增加，障碍物干扰的影响不能问上游传播(见图 7-2b)
上述两种情况表明,明渠水流存在两种不同的流态。它们对于所产生的干扰波 Disturbance wave)的传播,有着不同的影响。障碍物的存在可视为对水流发生的 干扰,下面分析干扰波在明渠中传播的特点 为了了解干扰波传播的特点,可以观察一个简单的实验: 若在静水中沿铅垂方向丢下一块石子,水面将产生一个微小波动,称为微波 ( Microwave),这个波动以石子着落点为中心,以一定的速度c向四周传播,平面 上的波形将是一连串的同心圆,如图7-3a所示。这种在静水中传播的微波速度c 为相对波速。若把石子投入明渠均匀流中,则微波的传播速度应是水流的流速与 相对波速的向量和。当水流断面平均流速ν小于相对波速c时,微波将以绝对速 度v′=pc向上游传播,同时又以绝对速度v=ν+c向下游传播(见图7-3b),这种 水流称为缓流( Subcritical Flow)。当水流断面平均流速ν等于相对流速c时,微波 向上游传播的绝对速度v=0,而向下游传播的绝对速度v=2c(见图7-3c),这 种水流称为临界流( Critical Flow)。当水流断面平均流速ν大于相对波速c时,微 波只以绝对速度v′=wc向下游传播,而对上游水流不发生任何影响(见图7-3d), 这种水流称为急流( Supercritical Flow)。 (c)y=c (4)>c 图7-3 由此可知,只要比较水流的断面平均流速ν和微波相对速度c的大小,就可 判断干扰微波是否会往上游传播,也可判别水流是属于哪一种流态 当ν<c时,水流为缓流,干扰波能向上游传播。 νc时,水流为临界流,干扰波不能向上游传播
上述两种情况表明，明渠水流存在两种不同的流态。它们对于所产生的干扰波 (Disturbance Wave)的传播，有着不同的影响。障碍物的存在可视为对水流发生的 干扰，下面分析干扰波在明渠中传播的特点。 图 7-2 为了了解干扰波传播的特点，可以观察一个简单的实验： 若在静水中沿铅垂方向丢下一块石子，水面将产生一个微小波动，称为微波 (Microwave)，这个波动以石子着落点为中心，以一定的速度 c 向四周传播，平面 上的波形将是一连串的同心圆，如图 7-3a 所示。这种在静水中传播的微波速度 c 为相对波速。若把石子投入明渠均匀流中，则微波的传播速度应是水流的流速与 相对波速的向量和。当水流断面平均流速 v 小于相对波速 c 时，微波将以绝对速 度 v′=v-c 向上游传播，同时又以绝对速度 v′=v+c 向下游传播(见图 7-3b)，这种 水流称为缓流(Subcritical Flow)。当水流断面平均流速 v 等于相对流速 c 时，微波 向上游传播的绝对速度 v′=0，而向下游传播的绝对速度 v′=2c(见图 7-3c)，这 种水流称为临界流(Critical Flow)。当水流断面平均流速 v 大于相对波速 c 时，微 波只以绝对速度 v′=v+c 向下游传播，而对上游水流不发生任何影响(见图 7-3d)， 这种水流称为急流(Supercritical Flow)。 图 7-3 由此可知，只要比较水流的断面平均流速 v 和微波相对速度 c 的大小，就可 判断干扰微波是否会往上游传播，也可判别水流是属于哪一种流态。 当 v＜c 时，水流为缓流，干扰波能向上游传播。 v=c 时，水流为临界流，干扰波不能向上游传播
ν>c时,水流为急流,干扰波不能向上游传播。 要判别流态,必须首先确定微波传播的相对速度,现在用水流能量方程和连 续性方程推导微波相对速度的计算公式: 如图7-4所示,在平底矩形棱柱体明渠中,假设渠中水深为h,设开始时, 渠中水流处于静止状态,用一竖直平板以一定的速度向左推动一下,在平板的左 侧将激起一个干扰微波 ⊥t 0 图7-4 微波波髙为Δh,微波以波速c向左移动。某观察者若以波速c随波前进,他 将看到微波是静止不动的,而水流则以波速c向右移动。这正如人们站在船头所 观察到的船行波是不动的,而河道的静水和两岸的景观则以船的速度向后运动 对上述移动坐标系来说,水流是作恒定非均匀流动。根据伽利略相对运动原 理,假若忽略摩擦阻力不计,以水平渠底为基准面,对水流的两相距很近的1-1 和2-2断面建立连续性方程式和能量方程式,有 hc=(h+△h)v2 =h+M+ 联解上两式,并令a1≈a2≈1,得 gh (7-1-1) 对波高较小的微波,可令△hh≈0,则上式可简化为 上式就是矩形明渠静水中微波传播的相对波速公式 如果明渠断面为任意形状时,则可证得 A (7-1-3) 式中:h=为断面平均水深,A为断面面积,B为水面宽度
v＞c 时，水流为急流，干扰波不能向上游传播。 要判别流态，必须首先确定微波传播的相对速度，现在用水流能量方程和连 续性方程推导微波相对速度的计算公式： 如图 7-4 所示，在平底矩形棱柱体明渠中，假设渠中水深为 h，设开始时， 渠中水流处于静止状态，用一竖直平板以一定的速度向左推动一下，在平板的左 侧将激起一个干扰微波。 图 7-4 微波波高为Δh，微波以波速 c 向左移动。某观察者若以波速 c 随波前进，他 将看到微波是静止不动的，而水流则以波速 c 向右移动。这正如人们站在船头所 观察到的船行波是不动的，而河道的静水和两岸的景观则以船的速度向后运动一 样。 对上述移动坐标系来说，水流是作恒定非均匀流动。根据伽利略相对运动原 理，假若忽略摩擦阻力不计，以水平渠底为基准面，对水流的两相距很近的 1-1 和 2-2 断面建立连续性方程式和能量方程式，有 hc=(h+Δh)v2 g v h h g c h 2 2 2 2 2 2 1 + = + + 联解上两式，并令α1≈α2≈1，得 c= + + h h h h gh 2 1 1 2 (7-1-1) 对波高较小的微波，可令Δh/h≈0，则上式可简化为 c= gh (7-1-2) 上式就是矩形明渠静水中微波传播的相对波速公式。 如果明渠断面为任意形状时，则可证得 c= gh B A g = (7-1-3) 式中： B A h = 为断面平均水深，A 为断面面积，B 为水面宽度
由上式可以看出,在忽略阻力情况下,微波的相对波速的大小与断面平均水 深的1/2次方成正比,水深越大微波相对波速亦越大。 以上所讲的是微波在静水中的传播速度,当水流是流动的,设水流的断面平 均流速为ν,微波传播的绝对速度γ′应是静水中的相对波速c与水流流速的代数 v′=v士c=v土 (7-1-4) 式中,取正号时为微波顺水流方向传播的绝对波速,取负号时为微波逆水流方向 传播的绝对波速。 对临界流来说,断面平均流速恰好等于微波相对波速,即 v=c=√g 上式可改写为 若对v√gh作量纲分析(见第十章可知它是无量纲数,称为佛汝德 Froude) 数,用符号F表示。显然,对临界流来说佛汝德数恰好等于1,因此也可用佛汝 德数来判别明渠水流的流态: 当Fr1,水流为急流 佛汝德数在水力学中是一个极其重要的判别数,为了加深理解它的物理意义, 可把它的形式改写为 Frs A h 由上式可以看出,佛汝德数是表示过水断面单位重量液体平均动能与平均势能之 比的二倍开平方,随着这个比值大小的不同,反映了水流流态的不同。当水流的 平均势能等于平均动能的二倍时,佛汝德数F≈1,水流是临界流。佛汝德数愈大, 意味着水流的平均动能所占的比例愈大 佛汝德数的物理意义,还可以从液体质点的受力情况来认识。设水流中某质 点的质量为dm,流速为u,则它所受到的惯性力F的量纲式为 dm dma·4|=|m2·=[m] 重力G的量纲式为
由上式可以看出，在忽略阻力情况下，微波的相对波速的大小与断面平均水 深的 1/2 次方成正比，水深越大微波相对波速亦越大。 以上所讲的是微波在静水中的传播速度，当水流是流动的，设水流的断面平 均流速为 v，微波传播的绝对速度 v′应是静水中的相对波速 c 与水流流速的代数 和，即 v′=v±c=v± gh (7-1-4) 式中，取正号时为微波顺水流方向传播的绝对波速，取负号时为微波逆水流方向 传播的绝对波速。 对临界流来说，断面平均流速恰好等于微波相对波速，即 v=c= g 上式可改写为 = = 1 gh c gh v (7-1-5) 若对 v/ gh 作量纲分析(见第十章)可知它是无量纲数，称为佛汝德(Froude) 数，用符号 Fr 表示。显然，对临界流来说佛汝德数恰好等于 1，因此也可用佛汝 德数来判别明渠水流的流态： 当 Fr＜1，水流为缓流； Fr=1，水流为临界流； Fr＞1，水流为急流。 佛汝德数在水力学中是一个极其重要的判别数，为了加深理解它的物理意义， 可把它的形式改写为 Fr= 2 2 2 h g v gh v B A g v = = (7-1-6) 由上式可以看出，佛汝德数是表示过水断面单位重量液体平均动能与平均势能之 比的二倍开平方，随着这个比值大小的不同，反映了水流流态的不同。当水流的 平均势能等于平均动能的二倍时，佛汝德数 Fr=1，水流是临界流。佛汝德数愈大， 意味着水流的平均动能所占的比例愈大。 佛汝德数的物理意义，还可以从液体质点的受力情况来认识。设水流中某质 点的质量为 dm，流速为 u，则它所受到的惯性力 F 的量纲式为 ［F］= 3 2 2 v L v L v L dt dx dx du dm dt du dm = = • • = • • • 重力 G 的量纲式为
[G]=[g·dm]=[pgL3] 而惯性力和重力之比开平方的量纲式为 PL v 这个比值的量纲式与佛汝德数相同。由此可知佛汝德数的力学意义是代表水 流的惯性力和重力两种作用力的对比关系。当这个比值等于1时,恰好说明惯性 力作用与重力作用相等,水流是临界流。当Fr>1时,说明惯性力作用大于重力 的作用,惯性力对水流起主导作用,这时水流处于急流状态。当Fr<1时,惯性 力作用小于重力作用,这时重力对水流起主导作用,水流处于缓流状态。 §7-2断面比能与临界水深 上节主要从运动学的角度分析了明渠水流的三种流态,而这三种流态所表现 出来的能量特性也是不同的。下面就从能量角度加以分析。 面比能、比能曲线 图7-5所示为一渐变流,若以0-0为基准面,则过水断面上单位重量液体所 具有的总能量为 E=z+-==+hcos+ (7-2-1) Z0 9 0- 00 图 式中θ为明渠底面与水平面的倾角 如果我们把参考基准面选在渠底这一特殊位置,把对通过渠底的水平面0′ 所计算得到的单位能量称为断面比能( Specific Energy),并以E3来表示,则 e=hcos 6+ g 不难看出,断面比能E是过水断面上单位重量液体总能量E的一部分,二者 相差的数值乃是两个基准面之间的高差z0
［G］=［g·dm］=［ρgL3］ 而惯性力和重力之比开平方的量纲式为 = = gL V gL L v G F 2 1 3 2 2 2 1 这个比值的量纲式与佛汝德数相同。由此可知佛汝德数的力学意义是代表水 流的惯性力和重力两种作用力的对比关系。当这个比值等于 1 时，恰好说明惯性 力作用与重力作用相等，水流是临界流。当 Fr＞1 时，说明惯性力作用大于重力 的作用，惯性力对水流起主导作用，这时水流处于急流状态。当 Fr＜1 时，惯性 力作用小于重力作用，这时重力对水流起主导作用，水流处于缓流状态。 §7-2 断面比能与临界水深 上节主要从运动学的角度分析了明渠水流的三种流态，而这三种流态所表现 出来的能量特性也是不同的。下面就从能量角度加以分析。 1．面比能、比能曲线 图 7-5 所示为一渐变流，若以 0-0 为基准面，则过水断面上单位重量液体所 具有的总能量为 E=z+ g v 2 2 = z0 + hcos + g v 2 2 (7-2-1) 图 7-5 式中θ为明渠底面与水平面的倾角。 如果我们把参考基准面选在渠底这一特殊位置，把对通过渠底的水平面 0′ -0′所计算得到的单位能量称为断面比能(Specific Energy)，并以 Es 来表示，则 Es = hcos + g v 2 2 (7-2-2) 不难看出，断面比能 Es 是过水断面上单位重量液体总能量 E 的一部分，二者 相差的数值乃是两个基准面之间的高差 z0
从77)式中可看出,E=E=0,故“=正-2,而=-,“B=mh= 故 de (7-2-3) dE 对于明渠均匀流,闩J,=0,即断面比能沿程不变,这是因为明渠均匀 流水深加及流速ν沿程不变 在明渠非均匀流中,对于平坡=0和逆坡0的渠道,根据方程(7-2-3) 总是负值,即0的情形,断面比能沿程变化的情况,则要看能坡dE/ds与底坡i的相对 大小来决定了。因为非均匀流iJ如果水流的能量损失强度(坡度)0,反之,如水流的能量损失强度J少>i,则 dEs/ds<0。 由此可见:断面比能沿程变化表示明渠水流的不均匀程度,因此,在明渠非 均匀流中,断面比能Es的性质就有着特殊重要的意义。 在实用上,因一般明渠底坡较小,可认为cosb≈1,故常采用 E =h+ (7-2-4) 或写作 E,=h+ A2 (7-2-5) 由上式可知,当流量Q和过水断面的形状及尺寸一定时,断面比能仅仅是水 深的函数,即E=(h),按照此函数可以绘出断面比能随水深变化的关系曲线,该 曲线称为比能曲线。很明显,要具体绘出一条比能曲线必须首先给定流量Q和渠 道断面的形状及尺寸。对于一个已经给定尺寸的渠道断面,当通过不同流量时, 其比能曲线是不相同的;同样,对某一指定的流量,渠道断面的形状及尺寸不同 时,其比能曲线也是不相同的 假定已经给定某一流量和渠道断面的形状及尺寸,现在来定性地讨论一下比 能曲线的特性。由(72-5)式可知,若过水断面积A是水深h的连续函数,当h→0 时,A→0,则 2g41∞,故E→∞。当b→∞时,4,WQQ2~0,因而 Es→h→∞。若以h为纵坐标,以E为横坐标,根据上述讨论,绘出的比能曲线 见图76,曲线的下端以横坐标轴为渐近线,上端以与坐标轴成45°夹角并通过 原点的直线为渐近线。该曲线在K点断面比能有最小值Emn。K点把曲线分成上
从(7-7)式中可看出，Es=E-z0，故 dz dz ds dE ds dEs 0 = − ，而 i ds dz = − 0 ， J ds dh ds dEs w = − = − ， 故 i J ds dEs = − (7-2-3) 对于明渠均匀流，i=J， = 0 dh dEs ，即断面比能沿程不变，这是因为明渠均匀 流水深 h0 及流速 v 沿程不变。 在明渠非均匀流中，对于平坡 i=0 和逆坡 i＜0 的渠道，根据方程(7-2-3)， ds dEs 总是负值，即 ds dEs ＜0。这说明断面比能在此情况下总是沿程减少的；而在顺坡渠 道 i＞0 的情形，断面比能沿程变化的情况，则要看能坡 J=-dE/ds 与底坡 i 的相对 大小来决定了。因为非均匀流 i≠J。如果水流的能量损失强度(坡度)J＜i，则 dEs/ds ＞0，反之，如水流的能量损失强度 J＞i，则 dEs/ds＜0。 由此可见：断面比能沿程变化表示明渠水流的不均匀程度，因此，在明渠非 均匀流中，断面比能 Es 的性质就有着特殊重要的意义。 在实用上，因一般明渠底坡较小，可认为 cosθ≈1，故常采用 g v Es h 2 2 = + (7-2-4) 或写作 2 2 2gA Q Es h = + (7-2-5) 由上式可知，当流量 Q 和过水断面的形状及尺寸一定时，断面比能仅仅是水 深的函数，即 Es=f(h)，按照此函数可以绘出断面比能随水深变化的关系曲线，该 曲线称为比能曲线。很明显，要具体绘出一条比能曲线必须首先给定流量 Q 和渠 道断面的形状及尺寸。对于一个已经给定尺寸的渠道断面，当通过不同流量时， 其比能曲线是不相同的；同样，对某一指定的流量，渠道断面的形状及尺寸不同 时，其比能曲线也是不相同的。 假定已经给定某一流量和渠道断面的形状及尺寸，现在来定性地讨论一下比 能曲线的特性。由(7-2-5)式可知，若过水断面积 A 是水深 h 的连续函数，当 h→0 时，A→0，则 2 2 2gA Q →∞，故 Es→∞。当 h→∞时，A→∞，则 2 2 2gA Q →0，因而 Es→h→∞。若以 h 为纵坐标，以 Es 为横坐标，根据上述讨论，绘出的比能曲线 见图 7-6，曲线的下端以横坐标轴为渐近线，上端以与坐标轴成 45°夹角并通过 原点的直线为渐近线。该曲线在 K 点断面比能有最小值 Esmin。K 点把曲线分成上
下两支。在上支,断面比能随水深的增加而增加:在下支,断面比能随水深的增 加而减小。 E E 图7 若将(7-2-5)式对h取导数,可以进一步了解比能曲线的变化规律 aO ao- dA gAdh (7-2-6) dh de B h dA h TIn 图7-7 因在过水断面上a为过水断面A由于水深h的变化所引起的变化率,它恰 等于水面宽度(见图7-7),即 (7-27) 代入上式,得 dE 0o= 2 若取a=1.0,则上式可写作
下两支。在上支，断面比能随水深的增加而增加；在下支，断面比能随水深的增 加而减小。 图 7-6 若将(7-2-5)式对 h 取导数，可以进一步了解比能曲线的变化规律 dh dA gA Q gA Q h dh d dh dEs 3 2 2 2 1 2 = − = + (7-2-6) 图 7-7 因在过水断面上 dh dA 为过水断面 A 由于水深 h 的变化所引起的变化率，它恰 等于水面宽度(见图 7-7)，即 dh dA =B (7-2-7) 代入上式，得 B A g v gA Q B dh dEs 2 3 2 1 1 = − = − (7-2-8) 若取α=1.0，则上式可写作 2 1 Fr dh dEs = − (7-2-9)
上式说明,明渠水流的断面比能随水深的变化规律是取决于断面上的佛汝德数 对于缓流,Fr0,相当于比能曲线的上支,断面比能随水深的增加 而增加;对于急流,Fr>1,则<0,相当于比能曲线的下支,断面比能随水 深的增加而减少;对于临界流,F≈1,则 dE 相当于比能曲线上下两支的分 界点,断面比能为最小值 2.临界水深 临界水深( Critical Depth)是指在断面形式和流量给定的条件下,相应于断面单 位能量为最小值时的水深。亦即E=Em时,h=hK,如图76所示。 临界水深hk的计算公式可根据上述定义得出。 dE 令=0,以求E=Emim时之水深hk,由(7-28)式得 02B 0 g AK 或 (7-2-11) 上式便是求临界水深的普遍式,称为临界流程。式中等号的左边是已知值,右边 Bk及Ak为相应于临界水深的水力要素,均是hk的函数,故可以确定kk。由于 A3/B一般是水深h的隐函数形式,故常采用试算或作图的办法来求解。 合 ∫(h) F,升 分 对于给定的断面,设各种h值,依次算出相应的A、B和竺值。以竺为横 坐标,以h为纵坐标作图7-8。 从式(7-2-11)知,图中对应于恰等于≌的水深h便是hk 对于矩形断面的明渠水流,其临界水深h可用以下关系式求得
上式说明，明渠水流的断面比能随水深的变化规律是取决于断面上的佛汝德数。 对于缓流，Fr＜1，则 dh dEs ＞0，相当于比能曲线的上支，断面比能随水深的增加 而增加；对于急流，Fr＞1，则 dh dEs ＜0，相当于比能曲线的下支，断面比能随水 深的增加而减少；对于临界流，Fr=1，则 dh dEs =0，相当于比能曲线上下两支的分 界点，断面比能为最小值。 2．临界水深 临界水深(Critical Depth)是指在断面形式和流量给定的条件下，相应于断面单 位能量为最小值时的水深。亦即 Es=Esmin 时，h=h\-K，如图 7-6 所示。 临界水深 hK 的计算公式可根据上述定义得出。 令 dh dEs =0，以求 Es=Esmin 时之水深 hK，由(7-2-8)式得 1 0 3 2 − = K K gA Q B (7-2-10) 或 K K B A g Q 2 3 = (7-2-11) 上式便是求临界水深的普遍式，称为临界流程。式中等号的左边是已知值，右边 BK 及 AK 为相应于临界水深的水力要素，均是 hK 的函数，故可以确定 hK。由于 A 3 /B 一般是水深 h 的隐函数形式，故常采用试算或作图的办法来求解。 图 7-8 对于给定的断面，设各种 h 值，依次算出相应的 A、B 和 B A 3 值。以 B A 3 为横 坐标，以 h 为纵坐标作图 7-8。 从式(7-2-11)知，图中对应于 B A 3 恰等于 g Q 2 的水深 h 便是 hK。 对于矩形断面的明渠水流，其临界水深 hK 可用以下关系式求得
此时,矩形断面的水面宽度B等于底宽b,代入临界流方程(72-11)便有 a@2(bh) g b 得 (7-2-12) 式中q=9,称为单宽流量。可见,在宽b一定的矩形断面明渠中,水流在临界水 深状态下,Q=h)。利用这种水力性质,工程上出现了有关的测量流量的简便设 施 对于无压圆管水流,其临界水深k亦可从式(7-2-11)算得: 此时,无压圆管过水断面的水力要素为 过水断面面积A=2 水面宽度B=d·sn9 充满度a=b=sm1g 从而可知 aQ=Ak=f(d,hx) 当流量Q及管径d给定后,便可根据上式算得圆形断面无压水流的临界水深 kκ值。在实际工程中,对于梯形断面或不满流圆形断面的临界水深k的决定,常 可在有关的水力计算图表中查得,或编程求解,从而避免了上述复杂的计算。 3.临界底坡、縵坡和陡坡 设想在流量和断面形状、尺寸一定的棱柱体明渠中,当水流作均匀流时,如 果改变明渠的底坡,相应的均匀流正常水深加亦随之而改变。如果变至某一底坡, 其均匀流的正常水深加恰好与临界水深k相等,此坡度定义为临界底坡( Critical Slope)
此时，矩形断面的水面宽度 B 等于底宽 b，代入临界流方程(7-2-11)便有 g Q 2 = ( ) b bhK 3 得 3 3 2 2 g q gb Q hK = = (7-2-12) 式中 q= b Q ，称为单宽流量。可见，在宽 b 一定的矩形断面明渠中，水流在临界水 深状态下，Q=f(hK)。利用这种水力性质，工程上出现了有关的测量流量的简便设 施。 对于无压圆管水流，其临界水深 hK亦可从式(7-2-11)算得： 此时，无压圆管过水断面的水力要素为 过水断面面积 ( sin ) 8 2 = − d A 水面宽度 2 sin B = d • 充满度 = = 4 sin 2 d h 从而可知 ( ) K K K f d h B A g Q , 2 3 = = (7-2-13) 当流量 Q 及管径 d 给定后，便可根据上式算得圆形断面无压水流的临界水深 hK值。在实际工程中，对于梯形断面或不满流圆形断面的临界水深 hK 的决定，常 可在有关的水力计算图表中查得，或编程求解，从而避免了上述复杂的计算。 3．临界底坡、缓坡和陡坡 设想在流量和断面形状、尺寸一定的棱柱体明渠中，当水流作均匀流时，如 果改变明渠的底坡，相应的均匀流正常水深 h0 亦随之而改变。如果变至某一底坡， 其均匀流的正常水深 h0 恰好与临界水深 hK相等，此坡度定义为临界底坡(Critical Slope)
h 图79 若已知明渠的断面形状及尺寸,当流量给定时,在均匀流的情况下,可以将 底坡与渠中正常水深的关系绘出如图7-9所示。不难理解,当底坡i增大时,正 常水深ho将减小;反之,当i减小时,正常水深h将增大。从该曲线上必能找出 个正常水深恰好与临界水深相等的K点。曲线上K点所对应的底坡ⅸ即为临界 底坡。 在临界底坡上作均匀流时,一方面它要满足临界流方程式 A g Bx 另一方面又要同时满足均匀流的基本方程式 Q=4Ck√Rk 联解上列二式可得临界底坡的计算式为: gXk Iy= (7-2-14) aCkRk Bx aCkBx 式中RK、κK、Ck为渠中水深为临界水深时所对应的水力半径、湿周、谢才系数。 由(7-2-14)式不难看出,明渠的临界底坡ⅸ与断面形状与尺寸、流量及渠道的 糙率有关,而与渠道的实际底坡无关。 个坡度为i的明渠,与其相应(即同流量、同断面尺寸、同糙率)的临界底坡 相比较可能有三种情况,即:ⅸi。根据可能出现的不同情况,可 将明渠的底坡分为三类 jⅸk,为临界坡 由图7-9可以看出,明渠水流为均匀流时,若ⅸⅸ,则正常水深h>hk;若 i>ⅸ,则正常水深加<kk;若rⅸk,则正常水深ho=hκ。所以在明渠均匀流的情况
图 7-9 若已知明渠的断面形状及尺寸，当流量给定时，在均匀流的情况下，可以将 底坡与渠中正常水深的关系绘出如图 7-9 所示。不难理解，当底坡 i 增大时，正 常水深 h0 将减小；反之，当 i 减小时，正常水深 h0 将增大。从该曲线上必能找出 一个正常水深恰好与临界水深相等的 K 点。曲线上 K 点所对应的底坡 iK 即为临界 底坡。 在临界底坡上作均匀流时，一方面它要满足临界流方程式 K K B A g Q 2 3 = 另一方面又要同时满足均匀流的基本方程式 K K K K Q = A C R i 联解上列二式可得临界底坡的计算式为： K K K K K K K K C B g C R B gA i 2 2 = = (7-2-14) 式中 RK、χK、CK为渠中水深为临界水深时所对应的水力半径、湿周、谢才系数。 由(7-2-14)式不难看出，明渠的临界底坡 iK 与断面形状与尺寸、流量及渠道的 糙率有关，而与渠道的实际底坡无关。 一个坡度为 i 的明渠，与其相应(即同流量、同断面尺寸、同糙率)的临界底坡 相比较可能有三种情况，即：i＜iK，i=iK，i＞iK。根据可能出现的不同情况，可 将明渠的底坡分为三类： i＜iK，为缓坡(Mild slope) i=iK,为陡坡(Steep Slope) i＞iK，为临界坡 由图 7-9 可以看出，明渠水流为均匀流时，若 i＜iK，则正常水深 h0＞hK；若 i＞iK，则正常水深 h0＜hK；若 i=iK，则正常水深 h0=hK。所以在明渠均匀流的情况
