第四章流动型态与水头损失 任何实际液体都具有粘性,粘性的存在会使液流具有不同于理想流体的流速 分布,并使相邻两层运动液体之间、液体与边界之间除压强外还相互作用着切向 力(或摩擦力),此时低速层对高速层的切向力显示为阻力。而克服阻力作功过程 中就会将一部分机械能不可逆地转化为热能而散失,形成能量损失。单位重量液 体的机械能损失称为水头损失( Head Loss 本章主要研究恒定流的阻力和水头损失规律,它是水动力学基本理论的重要 组成部分。首先,从雷诺实验出发介绍流动的两种型态—一层流和紊流。然后着 重对两种流态的内部机理进行分析,并在此基础上引出液体在管道和明渠内流动 时水头损失的计算。对于与损失密切相关的边界层理论和绕流阻力仅作了概念性 的简介。 84-1水流阻力与水头损失的两种型式 液流边界不同,对断面流速分布有一定影响,进而影响流动阻力(Flow Resistance)和水头损失。为了便于计算,水力学一元分析法根据流动边界情况, 把水头损失h分为沿程水头损失( Friction Head Loss)/和局部水头损失( Local Head Loss两种型式。 沿程阻力和沿程水头损失 当流动的固体边界使液体作均匀流动时,水流阻力中只有沿程不变的切应力 称为沿程阻力(或摩擦力:克服沿程阻力作功而引起的水头损失则称为沿程水头 损失,以表示。沿程阻力的特征是沿流程连续分布,因而沿程损失的大小与流 程的长短成正比。由伯诺里方程得出均匀流的沿程水头损失为 PI 此时用于克服阻力所消耗的能量由势能提供,从而总水头线坡度J沿程不变,总 水头线是一条直线。 当液体作较接近于均匀流的渐变流动时(如明渠渐变流),水流阻力虽已不是 全部但却主要为沿程阻力,此时沿程阻力的大小如同流速分布一样,沿程发生变 化。可将十分接近的两过水断面之间的渐变流动看作是均匀流动,并引用均匀流 的沿程水头损失计算公式,实践表明是完全可以的。在第七章中计算明渠渐变流
第四章 流动型态与水头损失 任何实际液体都具有粘性，粘性的存在会使液流具有不同于理想流体的流速 分布，并使相邻两层运动液体之间、液体与边界之间除压强外还相互作用着切向 力(或摩擦力)，此时低速层对高速层的切向力显示为阻力。而克服阻力作功过程 中就会将一部分机械能不可逆地转化为热能而散失，形成能量损失。单位重量液 体的机械能损失称为水头损失(Head Loss)。 本章主要研究恒定流的阻力和水头损失规律，它是水动力学基本理论的重要 组成部分。首先，从雷诺实验出发介绍流动的两种型态——层流和紊流。然后着 重对两种流态的内部机理进行分析，并在此基础上引出液体在管道和明渠内流动 时水头损失的计算。对于与损失密切相关的边界层理论和绕流阻力仅作了概念性 的简介。 §4-1 水流阻力与水头损失的两种型式 液流边界不同，对断面流速分布有一定影响，进而影响流动阻力(Flow Resistance)和水头损失。为了便于计算，水力学一元分析法根据流动边界情况， 把水头损失 hw 分为沿程水头损失(Friction Head Loss)hf 和局部水头损失(Local Head Loss)hj 两种型式。 1．沿程阻力和沿程水头损失 当流动的固体边界使液体作均匀流动时，水流阻力中只有沿程不变的切应力， 称为沿程阻力(或摩擦力)；克服沿程阻力作功而引起的水头损失则称为沿程水头 损失，以 hf 表示。沿程阻力的特征是沿流程连续分布，因而沿程损失的大小与流 程的长短成正比。由伯诺里方程得出均匀流的沿程水头损失为 − + = = + 2 2 1 1 p z p h hw z f 此时用于克服阻力所消耗的能量由势能提供，从而总水头线坡度 J 沿程不变，总 水头线是一条直线。 当液体作较接近于均匀流的渐变流动时(如明渠渐变流)，水流阻力虽已不是 全部但却主要为沿程阻力，此时沿程阻力的大小如同流速分布一样，沿程发生变 化。可将十分接近的两过水断面之间的渐变流动看作是均匀流动，并引用均匀流 的沿程水头损失计算公式，实践表明是完全可以的。在第七章中计算明渠渐变流
水头损失时就是这样处理的。 2.局部阻力及局部水头损失 液流因固体边界急剧改变而引起速度分布的急剧改组,由此产生的阻力称为 局部阻力。其相应的水头损失称为局部水头损失,以h表示。它一般发生在水流 边界突变处附近,例如图(4-1-1)中水流经过“弯头”、“缩小”、“放大”及“闸门” 等处。 总水头线 管水头线 图4-1 沿程水头损失和局部水头损失,都是由于液体在运动过程中克服阻力作功而 引起的,但又具有不同的特点。沿程阻力主要显示为“摩擦阻力”的性质。而局 部阻力主要是因为固体边界形状突然改变,从而引起水流内部结构遭受破坏,产 生漩涡,以及在局部阻力之后,水流还要重新调整整体结构适应新的均匀流条件 的过渡过程所造成的 管路或明渠中的水流阻力都是由几段等直径圆管或几段几何形状相同的等截 面渠道的沿程阻力和以断面形式急剧改变引起的局部阻力所组成。因此,流段两 截面间的水头损失可以表示为两截面间的所有沿程损失和所有局部损失的总和, 其中n-一等截面的段数:m—一局部阻力个数。该式称为水头损失的叠加原 理, §4-2实际流动的两种型态 十九世纪初人们就已经发现圆管中液流的水头损失和流速有一定关系。在流 速很小的情况下,水头损失和流速的一次方成正比,在流速较大的情况下,水头 损失则和流速的二次方或接近二次方成正比。直到183年,由英国物理学家雷诺 ( Osborne Reynolds)的试验研究,才使人们认识到水头损失与流速间的关系之所以 不同,是因为液体运动存在着两种型态:层流和紊流
水头损失时就是这样处理的。 2．局部阻力及局部水头损失 液流因固体边界急剧改变而引起速度分布的急剧改组，由此产生的阻力称为 局部阻力。其相应的水头损失称为局部水头损失，以 hj 表示。它一般发生在水流 边界突变处附近，例如图(4-1-1)中水流经过“弯头”、“缩小”、“放大”及“闸门” 等处。 图 4-1-1 沿程水头损失和局部水头损失，都是由于液体在运动过程中克服阻力作功而 引起的，但又具有不同的特点。沿程阻力主要显示为“摩擦阻力”的性质。而局 部阻力主要是因为固体边界形状突然改变，从而引起水流内部结构遭受破坏，产 生漩涡，以及在局部阻力之后，水流还要重新调整整体结构适应新的均匀流条件 的过渡过程所造成的。 管路或明渠中的水流阻力都是由几段等直径圆管或几段几何形状相同的等截 面渠道的沿程阻力和以断面形式急剧改变引起的局部阻力所组成。因此，流段两 截面间的水头损失可以表示为两截面间的所有沿程损失和所有局部损失的总和， 即 = = = + m k jk n i hw h fi h 1 1 其中 n——等截面的段数；m——局部阻力个数。该式称为水头损失的叠加原 理。 §4-2 实际流动的两种型态 十九世纪初人们就已经发现圆管中液流的水头损失和流速有一定关系。在流 速很小的情况下，水头损失和流速的一次方成正比，在流速较大的情况下，水头 损失则和流速的二次方或接近二次方成正比。直到 1883 年，由英国物理学家雷诺 (Osborne Reynolds)的试验研究，才使人们认识到水头损失与流速间的关系之所以 不同，是因为液体运动存在着两种型态：层流和紊流
雷诺实验 雷诺实验的装置如图4-2-1所示。由水箱A中引出水平固定的玻璃管B,上 游端连接一光滑钟形进口,另一端有阀门C用以调节流量。容器D内装有重度与 水相近的色液,经细管E流入玻璃管中,阀门F可以调节色液的流量 图4-2-1 试验时容器中装满水,并始终保持液面稳定,使水流为恒定流。先徐徐开启 阀门C,使玻璃管内水的流速十分缓慢。再打开阀门F放出少量颜色水。此时可 以见到玻璃管内色液呈一细股界线分明的直流束,如图4-2-1(a),它与周围清水 互不混合。这一现象说明玻璃管中水流呈层状流动,各层的质点互不掺混。这种 流动状态称为层流( Laminar flow)。如阀门C逐渐开大到玻璃管中流速足够大时, 颜色水出现波动,如图4-2-1(b所示。继续开大阀门,当管中流速增至某一数值 时,颜色水突然破裂、扩散遍至全管,并迅速与周围清水混掺,玻璃管中整个水 流都被均匀染色(如图4-2-1(c-),层状流动已不存在。这种流动称为紊流 Turbulence)。由层流转化成紊流时的管中平均流速称为上临界流速v。如果用灯 光把液体照亮,可以看出:紊流状态下的颜色水体是由许多明晰的、时而产生、 时而消灭的小漩涡组成。这时液体质点的运动轨迹是极不规则的,不仅有沿管轴 方向(质点主流方向)的位移,而且有垂直于管轴的各方位位移。各点的瞬时速度 随时间无规律地变化其方向和大小,具有明显的随机性 图4-2-2 试验如以相反程序进行,即管中流动先处于紊流状态,再逐渐关小阀门C
1．雷诺实验 雷诺实验的装置如图 4-2-1 所示。由水箱 A 中引出水平固定的玻璃管 B，上 游端连接一光滑钟形进口，另一端有阀门 C 用以调节流量。容器 D 内装有重度与 水相近的色液，经细管 E 流入玻璃管中，阀门 F 可以调节色液的流量。 图 4-2-1 试验时容器中装满水，并始终保持液面稳定，使水流为恒定流。先徐徐开启 阀门 C，使玻璃管内水的流速十分缓慢。再打开阀门 F 放出少量颜色水。此时可 以见到玻璃管内色液呈一细股界线分明的直流束，如图 4-2-1(a)，它与周围清水 互不混合。这一现象说明玻璃管中水流呈层状流动，各层的质点互不掺混。这种 流动状态称为层流(Laminar Flow)。如阀门 C 逐渐开大到玻璃管中流速足够大时， 颜色水出现波动，如图 4-2-1(b)所示。继续开大阀门，当管中流速增至某一数值 时，颜色水突然破裂、扩散遍至全管，并迅速与周围清水混掺，玻璃管中整个水 流都被均匀染色(如图 4-2-1(c))，层状流动已不存在。这种流动称为紊流 (Turbulence)。由层流转化成紊流时的管中平均流速称为上临界流速 c v 。如果用灯 光把液体照亮，可以看出：紊流状态下的颜色水体是由许多明晰的、时而产生、 时而消灭的小漩涡组成。这时液体质点的运动轨迹是极不规则的，不仅有沿管轴 方向(质点主流方向)的位移，而且有垂直于管轴的各方位位移。各点的瞬时速度 随时间无规律地变化其方向和大小，具有明显的随机性。 图 4-2-2 试验如以相反程序进行，即管中流动先处于紊流状态，再逐渐关小阀门 C
当管内流速减低到不同于ν的另一个数值时,可发现细管E注出的色液又重现直 线元流。这说明圆管中水流又由紊流恢复为层流。不同的只是由紊流转变为层流 时的平均流速要比层流转变为紊流的流速小,称为下临界流速v 为了分析沿程水头损失随速度的变化规律,通常在玻璃管的某段(如图4-2-1 中的1~2段)上,针对不同的流速v,测定相应的水头损失h。将所测得的试验数 据画在对数坐标纸上,绘出h与v的关系曲线,如图42-2所示。试验曲线明显 地分为三部分: (1)ub段当vv时,流动只能是紊流,试验曲线ef的开始部分是直线,与 横轴成60°15′,往上略呈弯曲,然后又逐渐成为与横轴成63°25′的直线。ef 的斜率m2=1.75~20。 (3)be段当v<ν<v,水流状态不稳定,既可能是层流(如bc段),也可能 是紊流(be段),取决于水流的原来状态。应注意的是在此条件下层流状态会被任 何偶然的干扰所破坏,很不稳定。例如,层流状态如果被管壁上的个别凸起所破 坏,那末在v<v<v!时,它就不会回到原来的层流状态而呈紊流的型态。 上述试验结果可用下列方程表示 lgh,=lg k+mlgv 即 层流时,m=1.0,h=kν,说明沿程损失与流速的一次方成正比;紊流时,m=1.75~ 2.0,h=k2v175-20,说明沿程损失与流速1.75~2.0次方成正比 雷诺实验虽然是在圆管中进行,所用液体是水,但在其它边界形状,其它实 际液体或气体流动的实验中,都能发现这两种流动型态。因而雷诺等人的实验的 意义在于它揭示了液体流动存在两种性质不同的型态—一层流和紊流。层流与紊 流不仅是液体质点的运动轨迹不同,其内部结构也完全不同,反映在水头损失规 律不一样上。所以分析实际液体流动,例如计算水头损失时,首先必须判别流动 的型态。 2.层流、紊流的判别标准一一临界雷诺数雷诺曾用不同管径圆管对多种液 体进行实验,发现下临界流速v的大小与管径d、液体密度ρ和动力粘性系数μ 有关,即v=d,p,)。这四个物理量之间的关系可以借助于量纲分析方法得到 R 或
当管内流速减低到不同于 c v 的另一个数值时，可发现细管 E 注出的色液又重现直 线元流。这说明圆管中水流又由紊流恢复为层流。不同的只是由紊流转变为层流 时的平均流速要比层流转变为紊流的流速小，称为下临界流速 vc。 为了分析沿程水头损失随速度的变化规律，通常在玻璃管的某段(如图 4-2-1 中的 1～2 段)上，针对不同的流速 v，测定相应的水头损失 hf。将所测得的试验数 据画在对数坐标纸上，绘出 hf 与 v 的关系曲线，如图 4-2-2 所示。试验曲线明显 地分为三部分： (1)ab 段 当 v＜vc 时，流动为稳定的层流，所有试验点都分布在与横轴(lgv 轴)成 45°的直线上，ab 的斜率 m1=1.0。 (2)ef 段 当 v＞ c v 时，流动只能是紊流，试验曲线 ef 的开始部分是直线，与 横轴成 60°15′，往上略呈弯曲，然后又逐渐成为与横轴成 63°25′的直线。ef 的斜率 m2=1.75～2.0。 (3)be 段 当 vc＜v＜ c v ，水流状态不稳定，既可能是层流(如 bc 段)，也可能 是紊流(be 段)，取决于水流的原来状态。应注意的是在此条件下层流状态会被任 何偶然的干扰所破坏，很不稳定。例如，层流状态如果被管壁上的个别凸起所破 坏，那末在 vc＜v＜ c v 时，它就不会回到原来的层流状态而呈紊流的型态。 上述试验结果可用下列方程表示 h k m v f lg = lg + lg 即 f m h = kv 层流时，m1=1.0，hf=k1v，说明沿程损失与流速的一次方成正比；紊流时，m2=1.75～ 2.0，hf=k2v 1.75～2.0，说明沿程损失与流速 1.75～2.0 次方成正比。 雷诺实验虽然是在圆管中进行，所用液体是水，但在其它边界形状，其它实 际液体或气体流动的实验中，都能发现这两种流动型态。因而雷诺等人的实验的 意义在于它揭示了液体流动存在两种性质不同的型态——层流和紊流。层流与紊 流不仅是液体质点的运动轨迹不同，其内部结构也完全不同，反映在水头损失规 律不一样上。所以分析实际液体流动，例如计算水头损失时，首先必须判别流动 的型态。 2．层流、紊流的判别标准——临界雷诺数 雷诺曾用不同管径圆管对多种液 体进行实验，发现下临界流速 vc 的大小与管径 d、液体密度ρ和动力粘性系数μ 有关，即 vc=f(d,ρ,μ)。 这四个物理量之间的关系可以借助于量纲分析方法得到 d d vc c c = Re = Re 或 vcd Rec =
式中 液体的运动粘性系数 Re—一不随管径大小和液体的物理性质而变的无量纲常数,称为下临界雷 诺数。 同理,对上临界流速ν,则有 d 式中Re-—上临界雷诺数 前己说明:水流处于层流状态时,必须vv 因 由此可见临界雷诺数是判别流动状态的普遍标准。当ReRe 时为紊流 大量实验资料表明:对于圆管有压流动,下临界雷诺数为Re≈2300,是 个相当稳定的数值,外界扰动几乎与它无关。而上临界雷诺数Re!,却是一个不 稳定的数值,主要与进入管道以前液体的平静程度及外界扰动条件有关。由实验 得圆管有压流的上临界雷诺数Re′ ≈12,000或更大(40,000~50.000 实际工程中总存在扰动,因此Re没有实际意义。因此采用下临界雷诺数Re 与水流的雷诺数Re比较来判别流动型态。在圆管中 Re re2300 为紊流 这里需要指出的是在上面各雷诺数中引用的“d”,表示取管径作为流动的特 征长度。对于非圆管,其特征长度也可以取其它的流动长度来表示:如水力半径 R。此时的雷诺数记作为
式中 ν——液体的运动粘性系数； Rec——不随管径大小和液体的物理性质而变的无量纲常数，称为下临界雷 诺数。 同理，对上临界流速 c v ，则有 vcd c Re = 式中 c Re ——上临界雷诺数。 前已说明：水流处于层流状态时，必须 v＜vc；如将 v 及 vc 各乘以 d ，则有 vd v dc 令 vd Re = (4-2-1) 得到层流状态下 Re＜Rec 式中 Re 为无量纲数，称为雷诺数。它综合反映了影响流态的有关因素。反映了 水流的惯性力与粘滞力之比。 同理，当水流处于紊流状态下，v＞ c v 因而 vd v dc c Re Re 由此可见临界雷诺数是判别流动状态的普遍标准。当 Re＜Rec 时为层流；Re＞ c Re 时为紊流。 大量实验资料表明：对于圆管有压流动，下临界雷诺数为 Rec≈2300，是一 个相当稳定的数值，外界扰动几乎与它无关。而上临界雷诺数 c Re ，却是一个不 稳定的数值，主要与进入管道以前液体的平静程度及外界扰动条件有关。由实验 得圆管有压流的上临界雷诺数 vcd c Re = ≈12,000 或更大(40,000～50,000)。 实际工程中总存在扰动，因此 c Re 没有实际意义。因此采用下临界雷诺数 Rec 与水流的雷诺数 Re 比较来判别流动型态。在圆管中 vd Re = 若 Re＜Rec=2300 为层流 Re＞Rec=2300 为紊流 这里需要指出的是在上面各雷诺数中引用的“d”，表示取管径作为流动的特 征长度。对于非圆管，其特征长度也可以取其它的流动长度来表示：如水力半径 R。此时的雷诺数记作为
R 式中R=2-—称水力半径( hydraulic Redius),是过水断面面积A与湿周wetd Perimeter)x(断面中固体边界与液体相接触部分的周线长)之比,这时临界雷诺数 中的特征长度也应取相应的特征长度来表示,而临界雷诺数应为575 对于明渠水流(无压流动),通常以水力半径R为雷诺数中的特征长度,即临界雷 诺数Rc=2E=575。一般明渠流的雷诺数都相当大,多属于紊流,因而很少进行 流态的判别。 例4-1某段自来水管,其管径d=100mm,管中流速v=1.0m/s,水的温度为10℃,试判 明管中水流型态 解在温度为10℃时,水的粘性运动系数,由式(1-3-6)得 1+00337+002123÷01 0.01775 0013lcm2/s 1.3591 管中水流的雷诺数 d100×10 Re 0.013l 因此管中水流处在紊流型态 例4-2用直径d=25mm的管道输送30℃的空气。问管内保持层流的最大流速是多少? 解30℃时空气运动粘性系数v=16.6×10°m2s,最大流速就是临界流速,由于 2300 2300×16.6×10 得 0.025 从以上两例看出,水和空气的流动绝大多数都是紊流。 §4-3均匀流的沿程水头损失和基本方程式 均匀流的沿程水头损失 在均匀流的情况下只存在沿程水头损失。为了确定均匀流自断面1-1流至断 面2-2的沿程水头损失,可写出断面1-1和断面22的伯诺里方程式(图43-1) PL+21 -g g
vR Re = 式中 A R = ——称水力半径(Hydraulic Redius)，是过水断面面积 A 与湿周(Wetted Perimeter)χ(断面中固体边界与液体相接触部分的周线长)之比，这时临界雷诺数 中的特征长度也应取相应的特征长度来表示，而临界雷诺数应为 575。 对于明渠水流(无压流动)，通常以水力半径 R 为雷诺数中的特征长度，即临界雷 诺数 vcR Rec = =575。一般明渠流的雷诺数都相当大，多属于紊流，因而很少进行 流态的判别。 例 4-1 某段自来水管，其管径 d=100mm，管中流速 v=1.0m/s，水的温度为 10℃，试判 明管中水流型态。 解 在温度为 10℃时，水的粘性运动系数，由式(1-3-6)得 1.3591 0.01775 1 0.0337 0.000221 0.01775 2 = + + = t t =0.0131cm2 /s 管中水流的雷诺数 0.0131 100 10 Re = = vd =7660\= Re＞Rec=2300 因此管中水流处在紊流型态。 例 4-2 用直径 d=25mm 的管道输送 30℃的空气。问管内保持层流的最大流速是多少? 解 30℃时空气运动粘性系数ν=16.6×10-6m2 /s，最大流速就是临界流速，由于 Re = = 2300 vcd c 得 0.025 Re 2300 16.6 10−6 = = d v c c =1.527m/s 从以上两例看出，水和空气的流动绝大多数都是紊流。 §4-3 均匀流的沿程水头损失和基本方程式 1．均匀流的沿程水头损失 在均匀流的情况下只存在沿程水头损失。为了确定均匀流自断面 1-1 流至断 面 2-2 的沿程水头损失，可写出断面 1-1 和断面 2-2 的伯诺里方程式(图 4-3-1)。 h f g p v z g p v z + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
9 图4-3-1 对均匀流,有 因此 P (4-3-1) 式(4-3-1)说明,在均匀情况下,两过水断面间的沿程水头损失等于两过水断面测 压管水头的差值,即克服沿程阻力所消耗的能量全部由势能提供。 由于沿程水头损失是克服沿程阻力(切应力)所做的功,因此有必要讨论并建 立沿程阻力和水头损失的关系一一均匀流基本方程 2.均匀流基本方程 取出自过水断面1-1至2-2的一段圆管均匀流,其长度为l,过水断面面积 A1=A2=A,湿周为x。现分析其作用力的平衡条件。 断面1-1至22间的流段是在断面1-1上的动水压力P1,断面22上的动水 压力P2,流段本身的重量G及流段表面切力(沿程阻力)T共同作用下保持均匀流 动的 写出在水流运动方向上诸力投影的平衡方程式 PI-Pp2+GCOS a-10 因P1=pA,P2=P4,而且cosa 并设液流与固体边壁接触面上的平均切 应力为τ0。代入上式,得 P1A-P2A-4---2 r0x=0 以yA除全式,得 P-P2+ to x 由式(4-3-1)知 PI P2 于是 to.21=0 R
图 4-3-1 对均匀流，有 g v g v 2 2 2 2 2 2 1 1 = 因此 − + = + 2 2 1 1 p z p h z f (4-3-1) 式(4-3-1)说明，在均匀情况下，两过水断面间的沿程水头损失等于两过水断面测 压管水头的差值，即克服沿程阻力所消耗的能量全部由势能提供。 由于沿程水头损失是克服沿程阻力(切应力)所做的功，因此有必要讨论并建 立沿程阻力和水头损失的关系——均匀流基本方程。 2．均匀流基本方程 取出自过水断面 1-1 至 2-2 的一段圆管均匀流，其长度为 l，过水断面面积 A1=A2=A，湿周为χ。现分析其作用力的平衡条件。 断面 1-1 至 2-2 间的流段是在断面 1-1 上的动水压力 P1，断面 2-2 上的动水 压力 P2，流段本身的重量 G 及流段表面切力(沿程阻力)T 共同作用下保持均匀流 动的。 写出在水流运动方向上诸力投影的平衡方程式 P1-P2+Gcosα-T=0 因 P1=p1A，P2=p2A，而且 cosα= l z z 1 − 2 ，并设液流与固体边壁接触面上的平均切 应力为τ0。代入上式，得 0 0 1 2 1 2 − = − − − l l z z p A p A Al 以γA 除全式，得 l A z z p p 0 1 2 1 2 − + − = 由式(4-3-1)知 h f p z p z = − + + 2 2 1 1 于是 R l l A h f 0 0 = = (4-3-2)
或 式(4-3-2)及(4-3-3)给出了沿程水头损失与切应力的关系,是研究沿程水头损失的 基本公式,称为均匀流基本方程。式中J为单位长流程的水头损失,称为水力坡 度( Hydraulic Slope)。对于无压均匀流,按上述步骤,列出沿流动方向的力平衡方 程式。同样可得与式(4-3-2)、(4-3-3)相同结果,所以该方程对层流、紊流、有压 流和无压流均适用。 3.均匀流过水断面切应力分布 在推导式(4-3-2)时,是考虑了1~2流段内整个液流的力的平衡。如果对于圆 管均匀流,只取流段内一圆柱体液流来分析作用力的平衡(如图4-3-2),圆柱的轴 与管轴重合,圆柱半径为r,作用在圆柱表面上的切应力为r,则仿照前述步骤, 亦可得出 (4-3-4) p2 图4-3-2 由式(4-3-3)得圆管壁上的切应力T0为 比较式(43-4)与式(5-3-5),可得 (4-3-6) ro 式(4-3-6)说明在圆管均匀流的过水断面上,切应力呈直线分布,管壁处切应力为 最大值τo,管轴处切应力为零 §4-4圆管中的层流运动 1.圆管层流的流速分布 为进一步研究切应力τ与平均速度v的关系。而r的大小与水流的流动型态 有关,本节先就圆管中的层流运动进行分析,圆管中的层流运动也称为哈根-泊肃 叶( Hagen Poseuille)流动
或 Rl l h R f = = 0 (4-3-3) 式(4-3-2)及(4-3-3)给出了沿程水头损失与切应力的关系，是研究沿程水头损失的 基本公式，称为均匀流基本方程。式中 J 为单位长流程的水头损失，称为水力坡 度(Hydraulic Slope)。对于无压均匀流，按上述步骤，列出沿流动方向的力平衡方 程式。同样可得与式(4-3-2)、(4-3-3)相同结果，所以该方程对层流、紊流、有压 流和无压流均适用。 3．均匀流过水断面切应力分布 在推导式(4-3-2)时，是考虑了 1～2 流段内整个液流的力的平衡。如果对于圆 管均匀流，只取流段内一圆柱体液流来分析作用力的平衡(如图 4-3-2)，圆柱的轴 与管轴重合，圆柱半径为 r，作用在圆柱表面上的切应力为τ，则仿照前述步骤， 亦可得出 J r 2 = (4-3-4) 图 4-3-2 由式(4-3-3)得圆管壁上的切应力τ0 为 J r 2 0 0 = (4-3-5) 比较式(4-3-4)与式(5-3-5)，可得 0 0 r r = (4-3-6) 式(4-3-6)说明在圆管均匀流的过水断面上，切应力呈直线分布，管壁处切应力为 最大值τ0，管轴处切应力为零。 §4-4 圆管中的层流运动 1．圆管层流的流速分布 为进一步研究切应力τ与平均速度 v 的关系。而τ的大小与水流的流动型态 有关，本节先就圆管中的层流运动进行分析，圆管中的层流运动也称为哈根-泊肃 叶(Hagen_Poseuille)流动
这个问题可以用积分实际液体运动方程式(3-5-3)得到解答。这里,仅用较为 简单且物理意义明显的方法求得。 液体在层流运动时,液层间的切应力可由牛顿内摩擦定律求出,由式(1-3-5) 图4-4-1 圆管中有压均匀流是轴对称流。为了计算方便,现采用圆柱坐标r,x(图 4-4-1)。此时为二元流。 由于r=roy 因此 du du dy dr 圆管均匀流在半径r处的切应力可用均匀流方程式(4-3-4)表示 T=-r 由上面两式得 于是 注意到J对均匀流中各元流来说都是相等的,积分上式得 在管壁上,即r=处,v=0(固体边界无滑动条件) 所以 (4-4-1) 式(4-4-1)说明圆管层流过水断面上流速分布是一个旋转抛物面,这是层流的重要 特征之 流动中的最大速度在管轴上,由(4-4-1)式,有 2.圆管层流的断面平均流速
这个问题可以用积分实际液体运动方程式(3-5-3)得到解答。这里，仅用较为 简单且物理意义明显的方法求得。 液体在层流运动时，液层间的切应力可由牛顿内摩擦定律求出，由式(1-3-5) dy du = 图 4-4-1 圆管中有压均匀流是轴对称流。为了计算方便，现采用圆柱坐标 r，x (图 4-4-1)。此时为二元流。 由于 r=r0-y 因此 dr du dy du = − dr du = − 圆管均匀流在半径 r 处的切应力可用均匀流方程式(4-3-4)表示 rJ 2 1 = 由上面两式得 r J dr du 2 1 = − = 于是 rdr J du 2 = − 注意到 J 对均匀流中各元流来说都是相等的，积分上式得 r C J u = − + 2 4 在管壁上，即 r=r0 处，u=0(固体边界无滑动条件) 2 0 4 r J C = 所以 ( ) 4 2 2 0 r r J u = − (4-4-1) 式(4-4-1)说明圆管层流过水断面上流速分布是一个旋转抛物面，这是层流的重要 特征之一。 流动中的最大速度在管轴上，由(4-4-1)式，有 2 max 0 4 r J u = (4-4-2) 2．圆管层流的断面平均流速
因为流量O= laudA=vA,选取宽d的环形断面为微元面积dA,可得圆管层 流的断面平均流速 sQ(/m(-r2m=85 比较(44-2)、(4-4-3)得 V=umax 即圆管层流的断面平均流速为最大流速的一半。这是层流的又一重要特征与下节 论及的圆管紊流相比,层流流速在断面上的分布是很不均匀的。 由式(44-1)及式44-3)得无量纲关系式 21 (4-4-5) 3.圆管层流的沿程水头损失 为了实用上计算方便,沿程水头损失通常用平均流速ν的函数表示。对于圆 管层流,由式(4-3)得 m“2 或 (4-4-6) 式(4-4-6)说明,在圆管层流中,沿程水头损失和断面平均流速的一次方成正比 与前述雷诺实验证实的论断一致 般情况下沿程水头损失,可以用速度水头表示,上式可改写成 64 641y2 64 (4-4-7) 则 (4-4-8) 这是常用的沿程水头损失计算公式,称为魏斯巴赫-达西( We ibach- H P.G. Darcy) 公式,适用于层流、紊流、有压流和无压流。式中λ称沿程阻力系数,在圆管层 流中只与雷诺数成反比,与管壁粗糙程度无关。§4-8中将介绍的实验硏究也得 到同样的结论。 4.管道进口的流动 上面所推导出的一些计算公式,只适用于均匀流动情况,在管路进口附近是 无效的。当液体由水箱经光滑圆形进口流入管内,其速度最初在整个过水断面上
因为流量 Q=∫AudA=vA，选取宽 dr 的环形断面为微元面积 dA，可得圆管层 流的断面平均流速 2 0 2 2 0 0 2 0 8 ( )2 4 1 0 r J r r rdr J A r udA A Q v A r = = = − = (4-4-3) 比较(4-4-2)、(4-4-3)得 max 2 1 v = u (4-4-4) 即圆管层流的断面平均流速为最大流速的一半。这是层流的又一重要特征与下节 论及的圆管紊流相比，层流流速在断面上的分布是很不均匀的。 由式(4-4-1)及式(4-4-3)得无量纲关系式 = − 2 0 2 1 r r v u (4-4-5) 3．圆管层流的沿程水头损失 为了实用上计算方便，沿程水头损失通常用平均流速 v 的函数表示。对于圆 管层流，由式(4-4-3)得 2 2 0 8 32 d v r v l h J f = = = 或 2 32 d vl h f = (4-4-6) 式(4-4-6)说明，在圆管层流中，沿程水头损失和断面平均流速的一次方成正比。 与前述雷诺实验证实的论断一致。 一般情况下沿程水头损失，可以用速度水头 g v 2 2 表示，上式可改写成 g v d l g v d l vd h f Re 2 64 2 64 2 2 = = 令 Re 64 = (4-4-7) 则 g v d l h f 2 2 = (4-4-8) 这是常用的沿程水头损失计算公式，称为魏斯巴赫-达西(J.Weisbach-H.P.G.Darcy) 公式，适用于层流、紊流、有压流和无压流。式中λ称沿程阻力系数，在圆管层 流中只与雷诺数成反比，与管壁粗糙程度无关。§4-8 中将介绍的实验研究也得 到同样的结论。 4．管道进口的流动 上面所推导出的一些计算公式，只适用于均匀流动情况，在管路进口附近是 无效的。当液体由水箱经光滑圆形进口流入管内，其速度最初在整个过水断面上
