上海交通大学：《弹塑性力学》课程教学资源（讲义）弹性与塑性力学解题方法（1/3）

第4章弹性与塑性力学解题方法 按位移求解弹性力学问题 按应力求解弹性力学问题 平面问题和应力函数 逆解法和半逆解法 边界上中及其导数的力学意义 平面问题的极坐标解法 塑性力学的解题方法 上文通大学 ME6011弹性塑性力学 2

ME6011 弹性塑性力学 第4章 弹性与塑性力学解题方法 按位移求解弹性力学问题 按应力求解弹性力学问题 平面问题和应力函数 逆解法和半逆解法 边界上φ及其导数的力学意义 平面问题的极坐标解法 塑性力学的解题方法 2

弹性力学基本方程 体力和面力 位移(3) 平衡方程 本构方程6个 几何方程 3个 6个 应力(6) 应变(6) 上游文通大￥ 3 Shanghai Jiao Tong University ME6011弹性塑性力学

ME6011 弹性塑性力学 3 弹性力学基本方程 体力和面力 位移（3） 应力（6） 应变（6） 平衡方程 3个 几何方程 6个 本构方程6个

弹性力学的一般问题中，共包含15个未知函数， 将用15方程来求解 对于各向同性的弹性体： 3个平衡微分方程 6个几何方程（微分方程) 6个物理方程（广义胡克定律) ●边界条件（与上述方程组成封闭的定解问题） 上游文通大学 4 Shanghai Jiao Tong University ME6011弹性塑性力学

ME6011 弹性塑性力学 弹性力学的一般问题中，共包含15个未知函数， 将用15方程来求解。 对于各向同性的弹性体： 3个平衡微分方程 6个几何方程（微分方程） 6个物理方程（广义胡克定律） 边界条件（与上述方程组成封闭的定解问题） 4

§4一1弹性力学问题的基本方程 、空间问题的基本方程 00+ Ox 0下必十 dy rx十∫k=0 Oz >平衡微分方程 Ox 00y+01 0T对十0y +f,=0 0o1+f:=0 Oxj 0t远十 Ox t亚十0 dy o:+f2=0 Ou av Ou >几何方程 Ox 8x ay Ov 0i+ Ov &y 2 ox j Oxi ay Yn ay Ow Ou Ow 0z Oz 8x 上游文通大￥ Shanghai Jiao Tong University ME6011弹性塑性力学 5

ME6011 弹性塑性力学 § 4 －1 弹性力学问题的基本方程   0         x x yx zx f x y z      0         y xy y zy f x y z      0         z xz yz z f x y z    一、空间问题的基本方程 平衡微分方程 x u x     y v y     z w z     y u x v xy        z v y w yz        x w z u zx        几何方程   0   i j ij f x                i j j i ij x u x u 2 1  5

=Eb:-6,+a】 >物理方程（广义胡克定律） 8,=Eg,-a:+ax】 >偏量形式的广义胡克定律 8= 2e-6:+o,】 1 Yxy 20+)rg 2G S订 G E 1 ex S Yy 2G G 2+t 2G E 1 1 2(1+4) e G E 2G 2G 1 e 1 1+八 6订 ⊙6 2G 2G E E 上游文通大学 Shanghai Jiao Tong University ME6011弹性塑性力学 6

ME6011 弹性塑性力学    y y z x E         1    z z x y E         1 xy xy xy G E     2 ( 1  )      x x y z E         1            yz yz yz G E     2 ( 1  )   zx zx zx G E     2 ( 1  )   物理方程（广义胡克定律） ij ij s G e 2 1  偏量形式的广义胡克定律 x x s G e 2 1  y y s G e 2 1  z z s G e 2 1  xy xy G e  2 1  yz yz G e  2 1  zx zx G e  2 1  yz yz G e  2 1  ij ij ij E E          1 6

Ox =2G8+10 oy=2G8y+Ao >物理方程 0z=2G6z+0 o=2Ge)+86 Ty=GY = Eu ty=GYy (1+4)1-24) Tx=Gy 应力边界条件 位移边界条件 lox+mtw+nti=Fx u=u lty+moy+ntg=Fy V= ltx+mtn+no:F: w=W Oinj =Fi u,U, 上游文通大学 Shanghai Jiao Tong University ME6011弹性塑性力学 7

ME6011 弹性塑性力学 (1  )(1 2 )      E   zx zx yz yz xy xy G G G           x  2G x    y  2G y    z  2G z   物理方程 应力边界条件 x m yx n zx Fx l      xy m y n zy Fy l      xz m yz n z Fz l      位移边界条件 u  u v  v w  w  ijnj  Fi ui  ui ij G ij  ij   2   7

三、弹性力学问题的解法 1.位移法 以位移分量为 用位移表示应力 求出位移 基本未知量 和应变 分量 物理 己几何 方程 方程 求出应力 求出应变 分量 分量 2.应力法 以应力分量为 消去位移和应变 求出应力 基本未知量 分量 分量 几何 物理 方程 方程 求出位移 求出应变 分量 分量 h 上海充通大学 Shanghai Jiao Tong University ME6011弹性塑性力学 8

ME6011 弹性塑性力学 三、弹性力学问题的解法 1. 位移法 以位移分量为 基本未知量 用位移表示应力 和应变 求出位移 分量 求出应变 分量 求出应力 分量 2. 应力法 几何 方程 物理 方程 以应力分量为 基本未知量 消去位移和应变 分量 求出应力 分量 求出应变 分量 求出位移 分量 物理 方程 几何 方程 8

四、弹性力学问题的基本类型 1.力的边值问题 在物体的全部表面上给定面力的问题。 应力法 2.位移的边值问题 在物体的全部表面上给定位移的问题。 位移法 3.混合边值问题 在物体的一部分表面上给定面力，而在另一部分表面上给定位移 的问题。 应力法或位移法 上连通大学 ME6011弹性塑性力学 9

ME6011 弹性塑性力学 四、弹性力学问题的基本类型 2. 位移的边值问题 1. 力的边值问题 在物体的全部表面上给定面力的问题。 在物体的全部表面上给定位移的问题。 3. 混合边值问题 在物体的一部分表面上给定面力，而在另一部分表面上给定位移 的问题。 位移法 应力法 应力法或位移法 9

§4一2按位移求解弹性力学问题 基本方程 00+f:=0 ox j 2 Oxi O=2Gc)+86j ui Ox =G xi Oxi +286) (4-1) G a2u:+ uj 8x 8x 8x 8xj a0+f,=0 +δgaxj 80 60 a2u+ a'u Oxj Oxi G + 8x 8xj x,oxj a0+f=0 xi (2+G) +G x a2u+,=0 8x 8x (2+G) 00+GV2u;+f:=0 Oxi 上游文通大￥ 10 Shanghai Jiao Tong University ME6011弹性塑性力学

ME6011 弹性塑性力学 § 4 －2 按位移求解弹性力学问题 基本方程   0   i j ij f x                i j j i ij x u x u 2 1  ij G ij  ij   2   ij i j j i ij x u x u  G                 （ 4 － 1 ） 2 2 0 j i ij i jj ij j u u G f x x xx x                     j j i i x u x u        2 2 0 j i i jj ij i u u G f x x xx x                     2 () 0 i i i jj u GG f x xx          ( ) 0 2        i i i G u f x G   j i ij i ij j x x a a            10

(2+G) 00+GV2u:+f:-0 (4-2) Lame方程 xi Eu Oui V2= 02 02 OE2×32 62 λ+G= (1+4)1-24) 0= Oxi ax joxj a2+ 2 G Laplace算子 2+G= (1-24) G ae (4-3) >位移分量表示的平 1-24ax; +GV2ui+fi=0 衡微分方程 G +GV2u+fx=0 1-2u ax G00 +G72v+f,=0 1-2u dy G60 +G72w+f2=0 1-2u 0z 上海文通大￥ Shanghai Jiao Tong University ME6011弹性塑性力学 11

ME6011 弹性塑性力学 ( ) 0 2       i i i G u f x G   (1 )(1 2 ) E G         i i x u     22 22 2 2 2 2 x j x j x y z          Laplace算子 （4－2） Lame'方程 (1 2 )     G G 0 1 2 2        i i i G u f x G   （4－3）  位移分量表示的平 衡微分方程 0 1 2 2        x G u f x G   0 1 2 2        y G v f y G   0 1 2 2        z G w f z G   11