上海交通大学：《弹塑性力学》课程教学资源（讲义）应变分析（2/2）

2-2主应变 主平面，主方向，主应变 一点的应变状态也可以用张量表示一应变张量 引进符号 1 1 u Ov 6y= 2 dy Ox Ex 1 Ey Ow ay = 6, 1(ou Ow Ey 2 2z 8x MB6011弹性塑性力学 18 用应变分量表示du 设有ACDBEGHF正六面微单元体 Z H(x+dx,y+dy,z+dz) 可以认为它的应变是均匀的 A点 变形前：A(x,y, 变形后：A'(x+u,yV,z+W 0 yA(xy7 A点的位移、V、w为x,y,z的 连续函数 H点 u=f(x,y,z) 变形前：HI(x+dx,ytdy.(ztdz 变形后：H'{x+dx+(u+dul,[y+dy+v+dvl,I(z+dz+(w+dw》 其中du、dM、dw为H点相对于A点的位移 u+du=f(x+dx,y+dy,z+dz) 圆上1大峰 ME6011弹性塑性力学 19 1

1 ME6011 弹性塑性力学 2-2 主应变 主平面，主方向，主应变 一点的应变状态也可以用张量表示—应变张量              x w z u zx zx 2 1 2 1                  x v y u xy xy 2 1 2 1                  y w z v yz yz 2 1 2 1              zx zy z yx y yz x xy xz ij           18 引进符号 ME6011 弹性塑性力学 x z y o A(x,y,z) H(x+dx,y+dy,z+dz) u  f (x, y,z) u  du  f (x  dx, y  dy,z  dz) 19 H点 用应变分量表示dui A点

根据Taylor级数展开 u+du=f(x,y,z)+ dx+ of dy* d止地n的高阶所 u y du ou dx aud也 =Edx+Endy+dz Ox dy o 1(au ov 1(ou ow -dx+ dy+ d O 2 y 20z y 2 dy dx 刚体转动，不引起应变 y 同理dw=ndk+,少+6-止 可得dv=6dk+6,dy+ed正 0 圈上活庆大等 ME6011弹性塑性力学 20 主应变空间中，(6,62,6)表示一个应变状态 若增加了一个增量dr,且其方 向保持不变， dr 则r和dr在坐标轴上的投影是成比例的。 dr du d dw r dx dy dz du adx,dy ady,dw adz 系数行列式为零 du=adx=s dx+dy +sd (8x-8)dx+dy+dz=0 dy=ady =E dx+s dy+sddx+(6,-E)dy+sde=0 dw =adz=6_dx+s dy+s.dz dx+sdy+(8.-s)d=0 ©上海礼人空 ME6011弹性塑性力学 21 2

2 ME6011 弹性塑性力学 根据Taylor级数展开 ( , , ) dz (dx, dy,dz的高阶项) z f dy y f dx x f u du f x y z             dz z u dy y u dx x u du          u dz x w z u dy x v y u dz x w z u dy x v y u dx x u                                                        2 1 2 1 2 1 2 1 刚体转动，不引起应变 x y o u y x v dx dy dz x xy xz       dv dx dy dz yx y yz       dw dx dy dz zx zy z      20 同理 可得 ME6011 弹性塑性力学 y x z o r dr 主应变空间中， 表示一个应变状态 ( , , ) 1 2 3 r    dz dw dy dv dx du r dr      若增加了一个增量dr，且其方 向保持不变， 则r和dr在坐标轴上的投影是成比例的。 du  dx, dv  dy, dw  dz du dx dx dy dz x xy xz        dv dy dx dy dz yx y yz        dw dz dx dy dz zx zy z        ( x  )dx   xydy   xzdz  0  yxdx  ( y  )dy  yzdz  0  zxdx   zydy  ( z  )dz  0 系数行列式为零 21

5 - Be e3-1e2+158-13=0 =0 Ex 6:-8 ◆ C1,E2,83 应变不变量 I1=6x+6,+6: 5=,6,+8,6.+8.6,-6-e-6 1g=6,6,6.+2E56-8,6-6,6-6,60 I{=61+62+63 主应变表示的应 变不变量 I3=682+E283+8361 I5=6826 周上活大峰 ME6011弹性塑性力学 22 2-3应变张量与应变偏量 和应力相似，应变也可以用张量表示。也可以分解 为与体积有关的球形应变张量和物体形状变化有关 的应变偏量。 0 0 0 球形应变张量 平均应变： 0 0 1 0 0 6-36+6+6) x-80 Ex 应变偏量 e= e,-E0 Ey :-0 ©上海礼人空 ME6011弹性塑性力学 23 3

3 ME6011 弹性塑性力学  0                zx zy z yx y yz x xy xz 0 2 3 2 1 3   I  I  I  1 2 3  ,  ,  应变不变量 x y z I       1 2 2 2 2 x y y z z x xy yz zx I             2 2 2 3 2 x y z xy yz zx x yz y zx z xy I               1 1 2 3 I     2 1 2 2 3 3 1 I         3 1 2 3 I     22 主应变表示的应 变不变量 ME6011 弹性塑性力学 2-3 应变张量与应变偏量 和应力相似，应变也可以用张量表示。也可以分解 为与体积有关的球形应变张量和物体形状变化有关 的应变偏量。 球形应变张量            0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      ij ( ) 3 1 0 1 2 3      平均应变： 应变偏量               0 0 0             zx zy z yx y yz x xy xz ij e 23

526:-6,-6:) en= 26,-6x-8） 3 Ex Ey (2-6x-,) 主应变表示应变偏量 =(26,-62-63) 0 0 0 (2e2-61-63) 0 0 0 2,--6 在考虑塑性变形时，经常采用体积不变假设，这时球形应 变张量为零，则应变张量等于应变偏量。 ©上活秋峰 M6011弹性塑性力学 24 主剪应变 %=±(62-63) y2=(E3-6) 61>62>63◆Ymax=61-63 Y3=±(6-62) 正八面体剪应变 2 应变强度（等效应变） 1 2 6=2w=3 V(G-62)2+(e2-6)2+(6-6)2 8表示变形的程度，永远是一个正值并与塑性变形功有 直接的联系。 圆人唑 ME6011弹性塑性力学 25 4

4 ME6011 弹性塑性力学                        (2 ) 3 1 (2 ) 3 1 (2 ) 3 1 zx zy z x y yx y x z yz x y z xy xz ij e                                       (2 ) 3 1 0 0 (2 ) 0 3 1 0 (2 ) 0 0 3 1 3 1 2 2 1 3 1 2 3          在考虑塑性变形时，经常采用体积不变假设，这时球形应 变张量为零，则应变张量等于应变偏量。 24 主应变表示应变偏量 ME6011 弹性塑性力学 主剪应变               ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 3 1 1 2 3          1 2 3      max 1 3     正八面体剪应变 2 3 2 2 2 0 1 3 2        2 3 1 2 2 3 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 3 2          应变强度（等效应变） 2 3 1 2 2 3 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1             i εi 表示变形的程度，永远是一个正值并与塑性变形功有 直接的联系。 25

必例题2-1 设物体中点的位移函数为： u=10×10-3+0.1×10-3xy+0.05×10-3z v=5×10-3-0.05×10-3x+0.1×10-3z 1w=10×10-3-0.1×10-3x2 试求物体中坐标为(1,1,1)的P点应变张量与应变偏量。 解：根据几何方程可得 8=0=0.1x10y5,==0.1x10-55,-=-01x10y Ox oy Ou ov = =0.1×10-3x-0.05×10-3 0+ y:= =-0.1×10-3xz+0.1×10-3y Oy Oz 2=0+0=-0.1x10E+0.05×103 ar a 上活元可大警 ME6011弹性塑性力学 26 将P点的坐标1,1,1)代入，并注意 1 6w=2… 0.1 0.025-0.025 应变张量： m= 0.025 0.1 0 ×10-3 -0.025 0 -0.1 1 60=-(0.1+0.1-0.1)×10-3≈0.033×103 3 0.067 0.025 -0.025 应变偏量： en= 0.025 0.067 0 ×10-3 -0.025 0 -0.133 圆海人唑 ME6011弹性塑性力学 27 5

5 ME6011 弹性塑性力学  例题2-1 设物体中点的位移函数为： w xyz v x yz u xy z 3 3 3 3 3 3 3 3 10 10 0.1 10 5 10 0.05 10 0.1 10 10 10 0.1 10 0.05 10                         试求物体中坐标为(1,1,1)的P点应变张量与应变偏量。 解：根据几何方程可得 xy z w z y v y x u x y x 3 3 3 0.1 10 , 0.1 10 , 0.1 10                       3 3 0.1 10 0.05 10             x x v y u xy  xz y z v y w yz 3 3 0.1 10 0.1 10               26 3 3 0.1 10 0.05 10              yz z u x w zx  ME6011 弹性塑性力学 将P点的坐标(1,1,1)代入，并注意 1 2 xy xy     3 10 0.025 0 0.1 0.025 0.1 0 0.1 0.025 0.025                应变张量：  ij  3 10 0.025 0 0.133 0.025 0.067 0 0.067 0.025 0.025                应变偏量： eij  3 3 0 (0.1 0.1 0.1) 10 0.033 10 3 1          27

≤例题2-2 设某一物体发生如下的位移： u=ao+ax+azy+az,v=bo+bx+by+bz w=C+Cx+C2y+C32a,b,C,均为常数 试证明： (1)各应变分量在物体内为常数（即所谓均匀变形）； (2)物体内的平面保持为平面，直线保持为直线，平行面 保持为平行面，平行线保持为平行线，正平行六面体变成斜 平行六面体，圆球面变成椭球面。 证明：①各应变分量在物体内为常数 将位移分量代入几何方程（略） ME6011弹性塑性力学 28 ②变形后，物体内的平面保持为平面 设物体内某平面的方程为Ax+By+Cz+D=0 变形后，该平面上任一点(K,y,z)将变到新位置， 其坐标x1y1,Z)为 x=x+u=x+ao+ax+azy+a3z y=y+v=y+bo+bx+by+bz ◆x,y,z Z1=z+w=z+Co+Cx+c2y+C3z x=Aix+Ay+A+Ao y=Bx+B2y+B+Bo ·Ax+By+Cz+D=0 =Cix+C2y+C+Co →Ax+B'y+Cz+D=0平面方程 ©上海大空 ME6011弹性塑性力学 29 6

6 ME6011 弹性塑性力学  例题2-2 设某一物体发生如下的位移： w c c x c y c z ai bi ci 均为常数 u a a x a y a z v b b x b y b z , , , 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3             试证明： （1）各应变分量在物体内为常数（即所谓均匀变形）； （2）物体内的平面保持为平面，直线保持为直线，平行面 保持为平行面，平行线保持为平行线，正平行六面体变成斜 平行六面体，圆球面变成椭球面。 证明：① 各应变分量在物体内为常数 将位移分量代入几何方程（略） 28 ME6011 弹性塑性力学 ② 变形后，物体内的平面保持为平面 设物体内某平面的方程为 Ax  By Cz  D  0 变形后，该平面上任一点(x,y,z)将变到新位置， 其坐标(x1,y1,z1)为 z z w z c c x c y c z y y v y b b x b y b z x x u x a a x a y a z 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3                      x, y, z 1 1 2 1 3 1 0 1 1 2 1 3 1 0 1 1 2 1 3 1 0 z C x C y C z C y B x B y B z B x A x A y A z A                         Ax  By Cz  D  0 0 * 1 * 1 * 1 * A x  B y C z  D  平面方程 29

③变形后，物体内的直线保持为直线 在变形前，于物体内任取一直线 Ax+By+C+D=0 4B9 Ax+B2y+C2+D3=0 A B,C2 两不平行平面的交线 两个不平行 Ax+By+C+D=0 的平面方程 ++C+D:=0 ④变形后，物体内的平行面保持为平行面 Ax+By+Cz+D=0 4=8-9 Ax+B2y+C2z+D=0 x+By+C+D=0 可证明4_尽 = x+B,y+C+D;=0 4B:C; ME6011弹性塑性力学 9 ⑤变形后，物体内的平行线保持为平行线 两平行线：一个平面与两个平行平面所交的直线， 由前述结论：平行平面变形后仍为两两平行的平面， 直线依然为直线，所以其交线自然仍为平行直线。 ⑥变形后，正平行六面体变成斜平行六面体 变形前的正六面体，变形后，平行面保持平行， 而剪应变一般不全为零，即变形前互相垂直平面， 变形后不再垂直而变成斜平行六面体。 圆认唑 ME6011弹性塑性力学 31 7

7 ME6011 弹性塑性力学 ③ 变形后，物体内的直线保持为直线 在变形前，于物体内任取一直线            0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 两不平行平面的交线 2 1 2 1 2 1 C C B B A A               0 0 * 1 2 * 1 2 * 1 2 * 2 * 1 1 * 1 1 * 1 1 * 1 A x B y C z D A x B y C z D 两个不平行 的平面方程 ④ 变形后，物体内的平行面保持为平行面 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1         A x B y C z D A x B y C z D 2 1 2 1 2 1 C C B B A A   0 0 * 1 2 * 1 2 * 1 2 * 2 * 1 1 * 1 1 * 1 1 * 1         A x B y C z D A x B y C z D * 2 * 1 * 2 * 1 * 2 * 1 C C B B A A 可证明   30 *** 111 *** 222 ABC ABC   ME6011 弹性塑性力学 ⑤ 变形后，物体内的平行线保持为平行线 两平行线：一个平面与两个平行平面所交的直线， 由前述结论：平行平面变形后仍为两两平行的平面， 直线依然为直线，所以其交线自然仍为平行直线。 ⑥ 变形后，正平行六面体变成斜平行六面体 变形前的正六面体，变形后，平行面保持平行， 而剪应变一般不全为零，即变形前互相垂直平面， 变形后不再垂直而变成斜平行六面体。 31

⑦变形后，物体内的圆球面变成椭球面 以等截面直杆的简单拉伸为例说明 u=-us.X v=-Ey6、u均为常数，4一泊松比 w=8.z 变形后 x=x+u=(1-M8.)x y=y+v=(1-E.)y 31=z+w=(1+6.)z P 变形前，圆球面方程为x2+y2+2=R2 e 变形后，椭球面方程为 x y 1-e2T1-4uE2T1+E.)2 =R2 上活大峰 ME6011弹性塑性力学 32 2-4应变协调方程 从位移与应变关系的表达式出发 应力分析：平衡方程一一物体处于平衡状态 应变分析：？ ou ou dv 位移→应变， 6x= Ox = dy dx a Ov Ow €，= dy Y= dz oy 应变→位移 Ow Ou Ow 三个未知位移函数 6= 一十 d2 Y== 8 dx 六个几何方程 如何得到一个单值位移函数？ 酒哀司大摩 ME6011弹性塑性力学 33 8

8 ME6011 弹性塑性力学 ⑦ 变形后，物体内的圆球面变成椭球面 以等截面直杆的简单拉伸为例说明 z P z z z u x v y w z               z 、 均为常数， —泊松比 变形后                  z z w z y y v y x x u x z z z (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 1    变形前，圆球面方程为 2 2 2 2 x  y  z  R 变形后，椭球面方程为 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 (1 ) (1 ) (1 ) R x y z z z z          32 ME6011 弹性塑性力学 从位移与应变关系的表达式出发 33 应力分析： 平衡方程——物体处于平衡状态 应变分析：?? 位移应变， x u x     y v y     z w z     x w z u zx        x v y u xy        y w z v yz        应变位移 如何得到一个单值位移函数？ 三个未知位移函数 六个几何方程 2-4 应变协调方程

研究物体变形时，一般都取一个平行六面体（单元体）微 元进行分析； 物体在变形时，各相邻的小单元体必然是互相有联系的； 物体在变形前是连续的，变形后仍是连续的。 a)变形前 党紧 付案餐 连续物体应变之间是以某种关系互相联系的。 ??一一保证变形体连续 应变协调条件 上活成司大警 ME6011弹性塑性力学 34 设物体中某一点的坐标是化，J乃z),其位移是山，3w, 应变为E,8,6,YY,Yx Ou 8x= u &x 02 @xoy? 02 du v × a Ov Oxoy oy 8x 8y= Ov dr? ovex? 0+ 2. 0yx 02 &x2 Oxoy a26y+ E: a2yg a6+ OY 022 ay2 0yoz dr? e2 0yoz 圆上大生 ME6011弹性塑性力学 35 9

9 ME6011 弹性塑性力学 研究物体变形时，一般都取一个平行六面体（单元体）微 元进行分析； 物体在变形时，各相邻的小单元体必然是互相有联系的； 物体在变形前是连续的，变形后仍是连续的。 连续物体应变之间是以某种关系互相联系的。 34 ？？——保证变形体连续 应变协调条件 ME6011 弹性塑性力学 设物体中某一点的坐标是(x, y, z)，其位移是u, v, w， 应变为 x y z xy yz zx  ,  ,  ,  ,  ,  x u x     y v y     2 3 2 2 x y u y x        2 3 2 2 y x v x y        +                 x v y u x y 2 = y x x y x y xy             2 2 2 2 2 z y y z yz y z             2 2 2 2 2 x z y z z x zx             2 2 2 2 2 35

0Ys 8v 8u x ay 0 0xoz 0yoz Ow Ov 2v 0+ ax axdy 0x 0yoz + o'u &w 两边对 &x 求偏 导 y+ r 8u =2 86: oy 8x Oxoyoz oyoz a 0yx ay=2 6y 8x dy x02 a Or= )=2 26: 变形协调方程 ay xoy 上青成司大警 ME6011弹性塑性力学 36 直角坐标下的应变协调方程 8+ E 0Yo 2 ar2 )=202g Oxoy Ox 82 ay Ox 0yoz 0Ey a26 0yx ay型 Or 8y 2 02 ayd ay)=2 a⑦yzax dy x8z 0Es Oy a + &x2 0z2 a1g)=2 6 oyoz ay 02 xoy 圆上1大峰 ME6011弹性塑性力学 37 10

10 ME6011 弹性塑性力学 x w z u zx        xy v u x y        yz w v y z        y z u x z v z xy           2 2  z x v x y w x yz           2 2  x y w y z u y zx           2 2  _ + y z u    2 = 2 x y z y z u x z y x xy zx yz x                        3 2 ( ) 2 2 z x y z x y yz xz xy z                   2 ( ) 2 y z x y x z xy yz zx y                   2 ( ) 2 变形协调方程 36 两边对 x求偏 导 ME6011 弹性塑性力学 37 直角坐标下的应变协调方程 y x x y x y xy             2 2 2 2 2 z y y z yz y z             2 2 2 2 2 x z y z z x zx             2 2 2 2 2 2 ( )2 xy yz zx x x z y x yz               z x y z x y yz xz xy z                   2 ( ) 2 y z x y x z xy yz zx y                   2 ( ) 2