实验编号： 实验指导书 实验项目： 混沌电路系统的设计与实验研究 所属课程： 自然界中的混沌与分盆 课程代码： NT901 面向专业： 全校本科生 学院（系）： 机械与动力工程学院 实验室：机械系统与振动国家重点实验室代号： 2015年3月9日
实验编号： 实 验 指 导 书 实验项目： 混沌电路系统的设计与实验研究 所属课程: 自然界中的混沌与分岔 课程代码: NT901 面向专业: 全校本科生 学院(系): 机械与动力工程学院 实验室 : 机械系统与振动国家重点实验室 代号: 2015 年 3 月 9 日
一、 实验目的 掌握电路中的非线性元件特性及其测试方法： 2. 熟悉采用面包板搭建电路的基本方法： 3. 了解混沌电路的基本设计思想： 4. 观察系统在不同参数下蔡氏电路的周期-分岔-混沌现象，深入理解混沌- 分岔现象的含义： 5. 研究蔡氏电路双向同步现象，了解混沌系统控制的基本方法。 二、 实验内容 1. 分析蔡氏电路特性及其设计基本思想： 蔡氏电路是由两个电容、一个电感、两个电阻以及一个非线性电阻构成， 结构非常简单却蕴含丰富的非线性行为，图1右是非线性电阻的传输特性，由 于曲线在2、4象限，所以该非线性电阻可以为电路震荡提供能量，可将其视作 非线性电源；同时它属于分段线性电阻，所以该电路亦为分段线性电路。 0 g(U) 图1蔡氏电路及非线性电阻特性曲线 分段线性电阻的实现方式有多种，如下图，我们采用了两个非线性电阻的 并联，通过适当选取各电阻值，可使分段线性电阻的特性满足下图非线性特性 要求。 图2非线性电阻的实现及其非线性伏安特性 2. 学习使用各仪器仪表，并选择检测各待用元器件： 本实验中用到的仪器仪表主要包括示波器及万用表，请在使用之前认真阅读 -2-
- 2 - 一、 实验目的 1. 掌握电路中的非线性元件特性及其测试方法； 2. 熟悉采用面包板搭建电路的基本方法； 3. 了解混沌电路的基本设计思想； 4. 观察系统在不同参数下蔡氏电路的周期-分岔-混沌现象，深入理解混沌- 分岔现象的含义； 5. 研究蔡氏电路双向同步现象，了解混沌系统控制的基本方法。 二、 实验内容 1． 分析蔡氏电路特性及其设计基本思想； 蔡氏电路是由两个电容、一个电感、两个电阻以及一个非线性电阻构成， 结构非常简单却蕴含丰富的非线性行为，图 1 右是非线性电阻的传输特性，由 于曲线在 2、4 象限，所以该非线性电阻可以为电路震荡提供能量，可将其视作 非线性电源；同时它属于分段线性电阻，所以该电路亦为分段线性电路。 图 1 蔡氏电路及非线性电阻特性曲线 分段线性电阻的实现方式有多种，如下图，我们采用了两个非线性电阻的 并联，通过适当选取各电阻值，可使分段线性电阻的特性满足下图非线性特性 要求。 图 2 非线性电阻的实现及其非线性伏安特性 2． 学习使用各仪器仪表，并选择检测各待用元器件； 本实验中用到的仪器仪表主要包括示波器及万用表，请在使用之前认真阅读
仪器使用说明书。而对于每个实验中需要使用的元器件（电容、电感、电阻）， 均需要万用表检测判定其大小及状态。用到的元件参数如下表所示，电容、 电感、电阻在使用之前，均需要用万用表检测是否正常，若元件误差大于5% 的请注意更换。 表1电路所用元器件及其参数 元器件名称 参数 元器件名称 参数 电容C1 9.4nF 电阻R3 22k9 电容C2 100nF 电阻R4 2.2k2 电感L 23mH 电阻R5 220Q 电感内阻RO 34.5Ω 电阻R6 2202 可变电阻R 0-2k0 电阻R7 1kQ 电阻R1 3.3k2 电阻R8 100Q 电阻R2 22kQ 运算放大器 ±9V 3. 根据原理图设计面包板布线，并搭建电路： 蔡氏电路由两个运放构成的非线性电阻部分以及由电容电感组成的储能 震荡部分如下图所示，根据以下原理图设计面包板布线 接示波器 TL082 OUT 1 Vcc+ N-司2 7OUT IN+ 61IN- Vcc 5 图3蔡氏电路原理图 图4运算放大器引脚图 运放供电电压为±9V,Vcc+接+9V,Vcc-接-9V,注意保证电源正负极不要 误接，否则将损坏运放器件。由于每块运放芯片均集成两个运放，为了搭建电 路条理清晰，我们每块芯片可以只使用其中一个运放，比如运放5,6,7号引脚 悬空不用（或1,2,3号悬空不用）。 4 调试电路，观察分段线性电阻非线性特征； 在对非线性电阻特性进行研究之前，需断开非线性电阻部分与电容电感震 -3-
- 3 - 仪器使用说明书。而对于每个实验中需要使用的元器件（电容、电感、电阻）， 均需要万用表检测判定其大小及状态。用到的元件参数如下表所示, 电容、 电感、电阻在使用之前，均需要用万用表检测是否正常，若元件误差大于5% 的请注意更换。 表1 电路所用元器件及其参数 元器件名称 参数 元器件名称 参数 电容C1 9.4nF 电阻R3 22kΩ 电容C2 100nF 电阻R4 2.2kΩ 电感L 23mH 电阻R5 220Ω 电感内阻R0 34.5Ω 电阻R6 220Ω 可变电阻R 0-2kΩ 电阻R7 1kΩ 电阻R1 3.3kΩ 电阻R8 100Ω 电阻R2 22kΩ 运算放大器 ±9V 3． 根据原理图设计面包板布线，并搭建电路； 蔡氏电路由两个运放构成的非线性电阻部分以及由电容电感组成的储能 震荡部分如下图所示，根据以下原理图设计面包板布线 图3 蔡氏电路原理图 图4 运算放大器引脚图 运放供电电压为±9V， Vcc+接+9V，Vcc-接-9V，注意保证电源正负极不要 误接，否则将损坏运放器件。由于每块运放芯片均集成两个运放，为了搭建电 路条理清晰，我们每块芯片可以只使用其中一个运放，比如运放5,6，7号引脚 悬空不用（或1，2，3号悬空不用）。 4． 调试电路，观察分段线性电阻非线性特征； 在对非线性电阻特性进行研究之前，需断开非线性电阻部分与电容电感震 TL082 + + - - 接示波器
荡部分，使非线性电阻可看出一独立的二端电阻，然后搭建如下测试电路，其 中用于扫描的交流电源为5V,示波器分别测量U1及U2,以X-Y作图方式显示非线 性电阻的伏安特性 5交流 图5非线性电阻伏安特性图 5. 调试电路，观察不同参数下电路的周期震荡以及分岔、混沌震荡： 蔡氏电路搭建并检查好以后，即可通电调试，示波器两通道分别接Uc1和 Uc2,以X-Y作图方式显示震荡吸引子形状。用螺丝刀调节可变电阻R,可使电路 依次进入周期-分岔-混沌的震荡状态，并记录不同震荡状态下可变电阻的阻值 R。需注意的是，测量R时，需将可变电阻R从电路上拔下，然后测量R所处的电 阻值，切不可带电测量电阻，否则有损坏万用表的危险。 6. 通过反馈耦合，实现与其它小组混沌电路之间的混沌同步，并讨论混沌同 步用于通信保密的可行性。 将调试好并均处于同等混沌状态的两个混沌电路通过电阻R7=1k?进行双 向同步耦合，观察同步前后图像Uc1-Uc2'的变化。并确认两混沌系统是否同步 (本实验可两小组之间进行)。同步电路如下图连接 R7 g0) 图6同步电路原理图 三、实验示意图 (1)蔡氏非线性电阻特性研究 按图5搭建非线性特性研究实验电路，为了测量电路流过非线性电阻中电 -4-
- 4 - 荡部分，使非线性电阻可看出一独立的二端电阻，然后搭建如下测试电路，其 中用于扫描的交流电源为5V，示波器分别测量U1及U2，以X-Y作图方式显示非线 性电阻的伏安特性 图5 非线性电阻伏安特性图 5． 调试电路，观察不同参数下电路的周期震荡以及分岔、混沌震荡； 蔡氏电路搭建并检查好以后，即可通电调试，示波器两通道分别接Uc1和 Uc2，以X-Y作图方式显示震荡吸引子形状。用螺丝刀调节可变电阻R，可使电路 依次进入周期-分岔-混沌的震荡状态，并记录不同震荡状态下可变电阻的阻值 R。需注意的是，测量R时，需将可变电阻R从电路上拔下，然后测量R所处的电 阻值，切不可带电测量电阻，否则有损坏万用表的危险。 6． 通过反馈耦合，实现与其它小组混沌电路之间的混沌同步，并讨论混沌同 步用于通信保密的可行性。 将调试好并均处于同等混沌状态的两个混沌电路通过电阻R7=1kΩ进行双 向同步耦合，观察同步前后图像Uc1-Uc2’的变化。并确认两混沌系统是否同步 （本实验可两小组之间进行）。同步电路如下图连接 图6 同步电路原理图 三、 实验示意图 （1）蔡氏非线性电阻特性研究 按图 5 搭建非线性特性研究实验电路，为了测量电路流过非线性电阻中电
流，串联了一个100Q电阻R8,其电压U2与电流i成正比。通过示波器X-Y 作图，显示并观察蔡氏电路非线性电阻特性。读取折点位置并进行相关换算， 计算分段函数各处斜率。 (2)电路分岔与混沌研究 实际电路包括两个部分，由两个运放构成的非线性电阻部分以及由电容电感 组成的储能震荡部分，两部分电路连接参见图3，搭建的电路如下图所示： ot18a010a6 ..c. 4414898g089 图7搭建的实际电路图 (3)混沌电路同步控制研究 根据图6搭建混沌同步电路，观察同步前后图像Uc1-Uc1'的变化。同步前，两 系统为不相关的两个三阶系统，形成了超混沌吸引子，而同步之后，Uc1与Uc1? 互相跟随，相位相同，为一斜45°直线。 四、实验用主要仪器设备、消耗品 仪器设备名称 规格 消耗品名称 规格 万用表 VC9805A+ 运算放大器 TL082 模拟示波器 高精度电阻 多种 面包板 SYB-500 可调电阻 多种 设备箱 36*23*10 电容 多种 可调稳压电源 电感 多种 美工刀 二极管 1N4001 螺丝刀 剥线钳 得力DL2607 信号发生器 -5-
- 5 - 流，串联了一个 100Ω电阻 R8，其电压 U2 与电流 i 成正比。通过示波器 X-Y 作图，显示并观察蔡氏电路非线性电阻特性。读取折点位置并进行相关换算， 计算分段函数各处斜率。 （2）电路分岔与混沌研究 实际电路包括两个部分，由两个运放构成的非线性电阻部分以及由电容电感 组成的储能震荡部分，两部分电路连接参见图 3，搭建的电路如下图所示： 图7 搭建的实际电路图 （3）混沌电路同步控制研究 根据图6搭建混沌同步电路，观察同步前后图像Uc1-Uc1’的变化。同步前，两 系统为不相关的两个三阶系统，形成了超混沌吸引子，而同步之后，Uc1与Uc1’ 互相跟随，相位相同，为一斜45°直线。 四、 实验用主要仪器设备、消耗品 仪器设备名称 规格 消耗品名称 规格 万用表 VC9805A+ 运算放大器 TL082 模拟示波器 高精度电阻 多种 面包板 SYB-500 可调电阻 多种 设备箱 36*23*10 电容 多种 可调稳压电源 电感 多种 美工刀 二极管 1N4001 螺丝刀 剥线钳 得力DL2607 信号发生器
五、实验原理及原始计算数据、所应用的公式 实验的基本原理是蔡氏电路的电路原理，蔡氏电路是一个三阶自治电路，其 系统的状态方程为： C dU4_L。-U2-gU) dt R C:di R L亚=-U。-RL dt 8(Ua)=GwVa+(Ga-G+a-E, E=- Ry Vce +R2 11 Ga=- R Ra 1 1 Gb=RRa 式中，各个参数参见表1，其中C2=4.7nF+4.7nF(为两个电容并联)，可变电 阻R=l600~2000欧，R值将决定系统震荡状态，采用matlab数值解法研究电路 状态微分方程确定的非线性动力学方程，通过数值仿真可知，当调节可变电阻R 的值，可以使电路处于周期1、周期2、周期3、单漩涡混沌、双漩涡混沌等五 种不同的震荡状态。 六、实验数据记录 1、首先测取电路所用的电阻、电容和电感值，并做记录，检验各元件误差是 否在5%误差容许范围。 2、调整电路参数R,使电路系统进入周期1、周期2、周期3、单漩涡混沌、双 漩涡混沌等五种不同震荡状态，并测量各状态下的R值： ● 系统进入周期1运动时，R= : ●系统进入周期2运动时，R= 2: ●系统进入周期3运动时，R= 2: ●系统进入单漩涡混沌时：R= 9; ● 系统进入双漩涡混沌时：R= 9: 需注意的是，测量可变电阻R时，需将可变电阻R从电路上拔下，然后测量R -6-
- 6 - 五、 实验原理及原始计算数据、所应用的公式 实验的基本原理是蔡氏电路的电路原理，蔡氏电路是一个三阶自治电路，其 系统的状态方程为： 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 0 ( ) ( ) ( ) c c c c c c c L L c L dU U U C g U dt R dU U U C i dt R di L U R i dt ， ( )( ) 2 1 ( ) g Uc1 GbUc1 Ga Gb Uc1 E Uc1 E ， 3 4 1 4 1 2 1 1 1 1 1 R R G R R G V R R R E b a cc 式中，各个参数参见表 1，其中 C2=4.7nF+4.7nF（为两个电容并联）,可变电 阻 R=1600~2000 欧，R 值将决定系统震荡状态，采用 matlab 数值解法研究电路 状态微分方程确定的非线性动力学方程，通过数值仿真可知，当调节可变电阻 R 的值，可以使电路处于周期 1、周期 2、周期 3、单漩涡混沌、双漩涡混沌等五 种不同的震荡状态。 六、 实验数据记录 1、 首先测取电路所用的电阻、电容和电感值，并做记录，检验各元件误差是 否在5%误差容许范围。 2、 调整电路参数R，使电路系统进入周期1、周期2、周期3、单漩涡混沌、双 漩涡混沌等五种不同震荡状态，并测量各状态下的R值： 系统进入周期1运动时，R= Ω； 系统进入周期2运动时，R= Ω； 系统进入周期3运动时，R= Ω； 系统进入单漩涡混沌时：R= Ω； 系统进入双漩涡混沌时：R= Ω； 需注意的是，测量可变电阻R时，需将可变电阻R从电路上拔下，然后测量R
所处的电阻值，切不可带电测量电阻。 3、测量混沌同步状态下，各状态变量同步误差峰峰值Ucl-Uc1'及Uc2-Uc2', 并将该误差与同步之前误差在数量级上进行对比。 七、实验结果计算及曲线 利用示波器观测周期1、周期2、周期3、单漩涡混沌、双漩涡混沌等五种不同 震荡状态，绘制各吸引子图像或相机拍摄示波器显示的各吸引子图像，并与计算 机仿真计算结果进行比较。 八、对实验结果和实验中某些现象的分析讨论 主要对蔡氏电路的非线性动力学行为进行讨论： (1)在研究非线性电阻特性时，观察有哪些与线性电阻特性不同： (2)李天岩和J.A.York提出的“周期三蕴含混沌”的思想在本实验中是否可以 体现？为什么？ (3)混沌同步实验时，两系统达到混沌同步是需要条件的，观察在何种情况下， 系统可达到混沌同步？ 九、实验方法指示及注意事项 1.万用表 本实验万用表型号为VC9805A+,可测量直流电压、直流电流、交流电压、交 流电流、电阻和音频电平等，还可以测温度、频率、电容量、电感量及半导体器 件的一些参数等。 万用表的使用注意事项： (1)万用表开机前请勿将表笔用于任何电压、电流测量。任何测量之前请确认 所用量程是否合适。 (2) 在使用万用表过程中，不能用手去接触表笔的金属部分，这样一方面可 7
- 7 - 所处的电阻值，切不可带电测量电阻。 3、 测量混沌同步状态下，各状态变量同步误差峰峰值Uc1-Uc1’ 及Uc2-Uc2’， 并将该误差与同步之前误差在数量级上进行对比。 七、 实验结果计算及曲线 利用示波器观测周期1、周期2、周期3、单漩涡混沌、双漩涡混沌等五种不同 震荡状态，绘制各吸引子图像或相机拍摄示波器显示的各吸引子图像，并与计算 机仿真计算结果进行比较。 八、 对实验结果和实验中某些现象的分析讨论 主要对蔡氏电路的非线性动力学行为进行讨论： （1） 在研究非线性电阻特性时，观察有哪些与线性电阻特性不同； （2） 李天岩和J.A.York提出的“周期三蕴含混沌”的思想在本实验中是否可以 体现？为什么？ （3） 混沌同步实验时，两系统达到混沌同步是需要条件的，观察在何种情况下， 系统可达到混沌同步? 九、 实验方法指示及注意事项 1.万用表 本实验万用表型号为VC9805A+，可测量直流电压、直流电流、交流电压、交 流电流、电阻和音频电平等，还可以测温度、频率、电容量、电感量及半导体器 件的一些参数等。 万用表的使用注意事项： （1） 万用表开机前请勿将表笔用于任何电压、电流测量。任何测量之前请确认 所用量程是否合适。 （2） 在使用万用表过程中，不能用手去接触表笔的金属部分 ，这样一方面可
以保证测量的准确，另一方面也可以保证人身安全。 (3) 电容、电感、电阻在使用之前，均需要用万用表检测是否正常，若元件误 差大于5%的请注意更换。 2.面包板 面包板是专为电子电路的无焊接实验设计制造的。由于各种电子元器件可 根据需要随意插入或拔出，免去了焊接，节省了电路的组装时间，而且元件可 以重复使用，所以非常适合电子电路的组装、调试和训练。 面包板如下图所示。插座板中央有一凹槽，凹槽两边各由65列小孔，每一列 的五个小孔在电气上相互连通。集成电路的引脚就分别插在凹槽两边的小孔 上。插座上、下边各一排（即X和Y排）在电气上是分段相连的55个小孔， 分别作为电源与地线插孔用。X和Y排的1-15孔、16-35孔、36-50孔在电 气上是连通的。 X排 连通 连通 连通 2gp3器238S3 b口o口0 bbg0口gg00口 a006000a00000000060b00b00000g6o0口006o0oa006o6ooo06o6a66a6aa0o6o60 g00b06000000000000000060606666666666o66666b666666ba6a6666b6aa666b 0a000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 名3800品品080oP00a066 排 连通 连通 连通 面包板的使用注意事项： (1)安装分立元件时，应便于看到其极性和标志，将元件引脚理直后，比划 好长度之后，在需要的地方折弯。为了防止裸露的引线短路，可以使用 带套管的导线，一般不剪断元件引脚，以便于重复使用。 (2)对多次使用过的运算放大器的引脚，必须将引脚整齐，引脚不能弯曲， 所有的引脚应稍向外偏，这样能使引角与插孔可靠接触。要事先根据电 路图确定元器件在面包板上的排列方式，目的是走线方便（可查看面包 板搭建参考电路)。为了能够正确布线并便于查线，所有集成电路的插 入方向要保持一致，不要为了临时走线方便或缩短导线长度而把集成电 -8-
- 8 - 以保证测量的准确，另一方面也可以保证人身安全。 （3） 电容、电感、电阻在使用之前，均需要用万用表检测是否正常，若元件误 差大于5%的请注意更换。 2.面包板 面包板是专为电子电路的无焊接实验设计制造的。由于各种电子元器件可 根据需要随意插入或拔出，免去了焊接，节省了电路的组装时间，而且元件可 以重复使用，所以非常适合电子电路的组装、调试和训练。 面包板如下图所示。插座板中央有一凹槽，凹槽两边各由65列小孔,每一列 的五个小孔在电气上相互连通。集成电路的引脚就分别插在凹槽两边的小孔 上。插座上、下边各一排（即 X 和 Y 排）在电气上是分段相连的 55 个小孔， 分别作为电源与地线插孔用。X 和Y 排的 1-15 孔、16-35 孔、36-50 孔在电 气上是连通的。 面包板的使用注意事项： （1） 安装分立元件时，应便于看到其极性和标志，将元件引脚理直后，比划 好长度之后，在需要的地方折弯。为了防止裸露的引线短路，可以使用 带套管的导线，一般不剪断元件引脚，以便于重复使用。 （2） 对多次使用过的运算放大器的引脚，必须将引脚整齐，引脚不能弯曲， 所有的引脚应稍向外偏，这样能使引角与插孔可靠接触。要事先根据电 路图确定元器件在面包板上的排列方式，目的是走线方便（可查看面包 板搭建参考电路）。为了能够正确布线并便于查线，所有集成电路的插 入方向要保持一致，不要为了临时走线方便或缩短导线长度而把集成电
路倒插，同时在给运放芯片供电之前，要确保电源正负极与运放正负极 对应，一旦反接，运放芯片将在瞬间烧毁。 (3)为了查线方便，连接线尽量采用不同颜色。例如：电源正极用红色线， 负极采用蓝色线，地线采用黑色线。并且可根据电路实际情况，可将电 路分成非线性电阻部分以及储能震荡部分分别搭建，而后再连接两模块。 3.示波器 示波器使用注意事项： 1.示波器使用不当容易损坏或影响使用寿命，每次开机前及关机后，要确保把 灰度调节到最小。开机后缓慢转动增大光点或扫描线亮度，亮度只要能看清 即可，注意尽量不要让聚焦的小亮点在屏上停留不动，防止显示屏荧光物质 被损坏； 2.尽量减少示波器开关次数； 3.本实验主要使用示波器的两通道作图X-Y。 十、尚待解决的问题 学生通过实验观察和研究，如果有问题或新的思想可以在实验报告中给出。 十一、对学生的要求 (1)实验前需初步了解电路基本知识以及非线性动力学基本知识： (2)具有较好的动手能力： (3)具备探索精神与团队合作意识 十二、参考文献 -9
- 9 - 路倒插，同时在给运放芯片供电之前，要确保电源正负极与运放正负极 对应，一旦反接，运放芯片将在瞬间烧毁。 （3） 为了查线方便，连接线尽量采用不同颜色。例如：电源正极用红色线， 负极采用蓝色线，地线采用黑色线。并且可根据电路实际情况，可将电 路分成非线性电阻部分以及储能震荡部分分别搭建，而后再连接两模块。 3.示波器 示波器使用注意事项： 1．示波器使用不当容易损坏或影响使用寿命，每次开机前及关机后，要确保把 灰度调节到最小。开机后缓慢转动增大光点或扫描线亮度，亮度只要能看清 即可，注意尽量不要让聚焦的小亮点在屏上停留不动，防止显示屏荧光物质 被损坏； 2．尽量减少示波器开关次数； 3．本实验主要使用示波器的两通道作图X-Y。 十、 尚待解决的问题 学生通过实验观察和研究，如果有问题或新的思想可以在实验报告中给出。 十一、 对学生的要求 （1） 实验前需初步了解电路基本知识以及非线性动力学基本知识； （2） 具有较好的动手能力； （3） 具备探索精神与团队合作意识 十二、 参考文献
[1]L.O.Chua.The genesis of Chua's circuit []Archiv for Elektronik and Uberstragungstechnik,Vol.46, No.4,1992.250-257 [2]LO.Chua,M.Komuro,and T.Matsumoto.The double scroll family,Parts I and II [J].IEEE Trans,Circuits syst. Vol.33.No.11,1986,1073-1118 [3]卢元元，薛丽萍，蔡氏电路实验研究 [4]林馨蕊，王启志，基于蔡氏电路的Matlab仿真 []刘福才等，双向耦合的混沌系统反同步性研究 [6]陈关荣，吕金虎，Lorenz系统族的动力学 备注 实验设计者：雷敏 首开实验时间：2010-10 编写人：刘显波 编写时间：2010-6-9 -10-
- 10 - [1] L.O.Chua. The genesis of Chua's circuit [J]. Archiv for Elektronik and Uberstragungstechnik, Vol.46, No.4,1992,250-257 [2] L.O.Chua, M.Komuro, and T.Matsumoto. The double scroll family, Parts I and II [J]. IEEE Trans, Circuits syst. Vol.33, No.11,1986,1073-1118 [3] 卢元元，薛丽萍，蔡氏电路实验研究 [4] 林馨蕊，王启志，基于蔡氏电路的Matlab仿真 [5] 刘福才等，双向耦合的混沌系统反同步性研究 [6]陈关荣，吕金虎，Lorenz系统族的动力学 备注 实验设计者：雷敏 首开实验时间：2010-10 编写人：刘显波 编写时间：2010-6-9
