上海交通大学：《弹塑性力学》课程教学资源（讲义）弹性与塑性力学解题方法（2/3）

二、平面问题的基本方程 平面应力问题： 00x + 应力边界条件 >平衡方程 0c匹+f:=0 ay 0t对 2+j,=0 + lox+mt=Fx ay Ou Itx+moy =Fy >几何方程： v sy-by 1g= ax ay E o:-uo3] 平面应变问题： >物理方程 6y= El,-uo.] 1 ,E→1- μ→1-4 E Yo-GTo 国上大 MB6011弹性塑性力学 25 三、相容方程和AirY应力函数 du 00x+ s+fx=0 6x= 8-Eox-o,] ax ay av OTx ,= 6,= + Ox a0=0 ay El,-uos] ay = + 8x ay Yo G a28x+ ap2 相容方程（应变协调方程） 8x2 axay +6.+o,-+( +r） ay ■应力分量表示的相容方程 82 62 6.+o,）-1+( ax+ 体力为常量：又2口x+o,)=0 圈上清大生 ME6011弹性塑性力学 26 1

1 ME6011 弹性塑性力学 平衡方程   0      x x yx f x y     0      y xy y f x y   二、平面问题的基本方程                      y u x v y v x u xy y    x 几何方程：                   xy xy y y x x y G E E         1 1 1 x 物理方程 x m yx Fx l    xy m y Fy l    应力边界条件 平面应变问题： 2 1 , 1         E E 25 平面应力问题： ME6011 弹性塑性力学 三、相容方程和Airy应力函数 相容方程（应变协调方程） 0 0                      y xy y x x xy f x y f x y                          y u x v y v x u xy y    x                   xy xy y y x x y G E E         1 1 1 x y x x y x y xy             2 2 2 2 2                                 y f x f x y x y x y (1 ) 2 2 2 2    应力分量表示的相容方程                     y f x f x y x y (1 ) 2    2 2 2 2 2 x  y       体力为常量：   0 2   x   y  26

00x Ox ots+fx=0 +不含材料常数，只要两物 ay 体具有相同的形状，受相 Ofx Ox 三+f,=0 同面力，则不论何种材料 ay 何种平面问题，其应力分 82 Or?+ 82 布是相同的，数值亦相同。 x+o,)=0 解答普遍性。 卫两末有裤系数非齐次线性衡撒分方程，其通解等于对应的齐次通解加 00x+ OTx =0 特解： Ox ay 0y-0 Ox=-fx·x Ox=0 Ox ay o,=-f,.y 0y=0 =0 g =-yfx-xfy 国上唐成大生 ME6011弹性塑性力学 27 00x+ 0rg=0 00:0(-1g) 0A 0A Ox ay 0x= ay Tx = Ox OTx 80y=0 a(-tg)_0o上 aB aB Ox dy y= Ox Ox ay 存在一个函数仰(K》 (A= bp by 8'o 0o 8p Ox= ay2 0y= ar? Tx=- B= ap axoy 0x 4齐次通解 4全解： a2中 86 0= -xf. dy2 0,= -y, To=- OxCy 8o 8o 0= 02 6, dx? To=- OxOy -才-可 。p化，)：平面问愿的应力函数：不论伞（化，》取何函数，上式得到的应力分量恒满 足平衡徽分方程。(Airy stress function). :上潘久毛大警 ME6011弹性塑性力学 2

2 ME6011 弹性塑性力学 0 0                    x y x y xy y x xy       0 2 2 2 2                x y x y   0 0                      y xy y x x xy f x y f x y     不含材料常数，只要两物 体具有相同的形状，受相 同面力，则不论何种材料、 何种平面问题，其应力分 布是相同的，数值亦相同。 解答普遍性。 前两式为常系数非齐次线性偏微分方程，其通解等于对应的齐次通解加 上一个特解。 特解：  0            xy y y x x f y f x    0 0           xy x y y x  yf xf   27 ME6011 弹性塑性力学 0 0                    x y x y xy y x xy     ( ) x y x xy        ( ) x y xy y        xy x A y A x          xy y B x B y          B x y A         y x x y x y xy                  2 2 2 2 2 x,y) :平面问题的应力函数：不论  x,y) 取何函数，上式得到的应力分量恒满 足平衡微分方程。 （Airy stress function） 齐次通解 全解： 22 2 2 2 x x y y xy xf yf y x xy                22 2 2 2 x y xy x y yf xf y x xy              28 存在一个函数x,y)

72a+c,)=0 + + a+ 82)2 =0 7272p=0 ÷应力函数表示 的协调条件 讨论： lox+mty=Fx lts+moy=Fy 。应力函数（化y为双调和函数。满足P2P2p=0相当于满足平衡微分方程 和变形协调条件，即满足了平面问题的八个基本方程。 求出P(化，后，可根据通解求出应力分量，如果在边界上满足应力边界条件， 则得到的就是正确解答。 。求出应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求位移分量。 国上本大学 ME6011弹性塑性力学 29 。当体力为零时： Ox= o'g 2 0,= 0'g dr? 8'p g= axay Q平面应变问题： →， 1-4 ,E→1-μ 07272p=0 为四阶偏微分方程，直接求解比较困难，故常用逆解法和 半逆解法。 逆解法： 设定印(y) 中 边界条件>解决的问题 满足口4p=0 半逆解法： 解决的问题 边界形状→设定 →p(x,y 叉4p=0 x→正确解答 受力情况 边界条件 :上潘久毛大学 ME6011弹性塑性力学 30 3

3 ME6011 弹性塑性力学 0 2 2 2 2 2 2 2 2                             x y x y 0 2 2     应力函数表示 的协调条件   0 2   x   y  0 2 2 2 2 2                x y 应力函数x,y)为双调和函数。满足 2 2 = 0 相当于满足平衡微分方程 和变形协调条件，即满足了平面问题的八个基本方程。 求出x,y)后，可根据通解求出应力分量，如果在边界上满足应力边界条件， 则得到的就是正确解答。 求出应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求位移分量 。 讨论： x m yx Fx l    xy m y Fy l    29 ME6011 弹性塑性力学                     x y x y xy y x       2 2 2 2 2 当体力为零时： 平面应变问题： 2 1 , 1         E E  2 2 = 0 为四阶偏微分方程，直接求解比较困难，故常用逆解法和 半逆解法。 逆解法： 设定x,y) 满足 4 = 0 半逆解法：      xy y x    解决的问题 解决的问题 边界形状 受力情况      xy y x    x,y) 4 = 0 边界条件 设定 正确解答 边界条件 30

≤例题 图示很长的矩形柱体，材料的比重为Y,将其放入 形状相同的刚性槽内若不考虑摩擦力，设应力函数 的形式为0=Ar2y+By2+Cy2+Dx2 试求各应力分量、应变分量以及位移分量。 因上海大华 ME6011弹性塑性力学 31 解： 根据Airy应力函数可得通解 0o 0x= =6By+2C oy2 8o 0,= dr? =2Ay+2D 8o =-2Ax axdy f=0,f=-) 特解为：O=0,O,=0,Ty=yx 【w=-f-对， 所以全解为： 0,=6B+2C,0,=2Ay+2D, Ty=-2Ax+yx 圈上本大学 ME6011弹性塑性力学 32 4

4 ME6011 弹性塑性力学  例题 图示很长的矩形柱体，材料的比重为γ，将其放入 形状相同的刚性槽内若不考虑摩擦力，设应力函数 的形式为 2 3 2 2   Ax y  By Cy  Dx 试求各应力分量、应变分量以及位移分量。 h a a x y o 31 ME6011 弹性塑性力学 解： 根据Airy应力函数可得通解 32                             Ax x y Ay D x By C y xy y x 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2       特解为： 0 0 x y xy   ， ，   x ( 0, ) x y f f    xy x y   yf  xf 所以全解为： 6By 2C,  x   2Ay 2D,  y   2  xy    Ax x 

应力边界条件y=h处，tm=0→A=y/2 0,=0→D=-h/2 刚性槽的条件 6,k=0三和变量x无关6，=0 ￡=1+40-4)a,-uo,]=0→o,=1- o:=r(y-h) a0-创一B片名c=n变 1-46 1-42 1+0-2p0y-m) 8,=1+0-0o,-uo,=E1-4 u=J8,= y=0时，v=0 v=∫e,dy 11+I-2四-例+K ◆K=0 E 1-4 国上活庆大峰 ME6011弹性塑性力学 33 §4一5逆解法和半逆解法 求解弹性力学问题在数学上是比较复杂的，因此不 得不采用逆解法和半逆解法。 优点：这样求解，在数学上比较容易； 缺点：带有一定的偶然性和相当大的局限性，有时 需要进行多次反复试算。 圈上清大峰 ME6011弹性塑性力学 34 5

5 ME6011 弹性塑性力学 应力边界条件 y  h 处， 0 0   y xy   刚性槽的条件  0  a a x  dx  x 和变量 x 无关  0 x  A   2 D  h 2 x  y      1 [(1 ) ] 0 1     x  x y E      ( y h)  y    ( ) 1 y h x        1 6      B  1 2 h C        ( ) 1 1 (1 )(1 2 ) [(1 ) ] 1 y h E E y y x                     0  u dx x  hy K y E v dy y         ) 2 ( 1 1 (1 )(1 2 ) 2      y  0时，v  0 K  0 33 ME6011 弹性塑性力学 34 §4－5 逆解法和半逆解法 求解弹性力学问题在数学上是比较复杂的，因此不 得不采用逆解法和半逆解法。 优点：这样求解，在数学上比较容易； 缺点：带有一定的偶然性和相当大的局限性，有时 需要进行多次反复试算

§4-5 逆解法和半逆解法 一、平面问题的多项式解答一逆解法 (不计体力) 1.ax +by +c 0o 0x= 满足7272p=0 8o 0x=0 0y= ax2 0,=0 8o =- axay g=0 lox+mtyx=Fx Fx=0 lt+moy=Fy F,=0 ◆ 不论弹性体何种形状，不论坐标轴如何选择，线性应力函数对应于无面力、 无应力的状态。 ·在应力函数中加上或减去一个线性函数并不影响应力。 国上唐成大生 ME6011弹性塑性力学 35 2.9=ax2 x=0 满足72p2p=0 0,=2a 7g=0 边界条件： lox+m=Fx ITx +moy=Fy 左右边界： |Fx=0 F,=0 2a 上下边界： Fx=0 F,=±2a ◆矩形板在y方向受均匀拉伸（压缩）。 圈上清大生 ME6011弹性塑性力学 36 6

6 ME6011 弹性塑性力学 §4－5 逆解法和半逆解法 一、平面问题的多项式解答－逆解法 （不计体力） 不论弹性体何种形状，不论坐标轴如何选择，线性应力函数对应于无面力、 无应力的状态。 在应力函数中加上或减去一个线性函数并不影响应力。 1 .   ax  by  c 满足 2 2 = 0                     x y x y xy y x       2 2 2 2 2         0 0 0 xy y x    x m yx Fx l    xy m y Fy l    0 0   y x F F 35 ME6011 弹性塑性力学 x y 矩形板在 y 方向受均匀拉伸（压缩）。 2 2 .   ax 满足 2 2 = 0         0 2 0 xy y x a    x m yx Fx l    xy m y F y l    0 0   y x F F 边界条件： 左右边界： 上下边界： F a F y x 2 0    2a 2a 36

3.=qy2 Ox =2c 满足7272g=0 0,=0 =0 边界条件： lox+mt=Fx 2c (lts+may=Fy X 左右边界： Fx=+2c F,=0 2c 上下边界： Fx=0 F,=0 ◆矩形板在x方向受均匀拉伸（压缩）。 国上唐成大生 MB6011弹性塑性力学 37 4.o =bxy 0x=0 满足7272p=0 0,=0 g=-b 边界条件： lox+m=Fx 6 lts+my=Fy 左右边界： 」Fx=0 TF,=土b 上下边界： Fx=±b F,=0 ◆矩形板在四周受均布剪应力作用。 9=ax 2+bxy +cy2 ? 圈上清大生 ME6011弹性塑性力学 38 7

7 ME6011 弹性塑性力学 x y 矩形板在 x 方向受均匀拉伸（压缩）。 2 3 .   cy 满足 2 2 = 0         0 0 2 xy y x c    x m yx Fx l    xy m y F y l    0 2    y x F F c 边界条件： 左右边界： 上下边界： 0 0   y x F F 2c 2c 37 ME6011 弹性塑性力学 x y 矩形板在 四周受均布剪应力作用。 4 .   bxy 满足 2 2 = 0          xy b y x    0 0 x m yx Fx l    xy m y F y l    F b F y x    0 边界条件： 左右边界： 上下边界：  0   y x F F b b b b b 2 2   ax  bxy  cy 38 ??

5.p=y3 0x=6y 满足P272p=0 0=0 Txy=0 边界条件： lox+mty=Fx ltg+moy=F, 上下边界： 」Fx=0 F,=0 左边界： Fx=-6Ay F,=0 右边界： Fx=6Ay F,=0 F-F3 ◆矩形板受偏心拉力作用。 因上萨大生 MB6011弹性塑性力学 39 5.9=Ay3 0x=6y 满足P2p2g=0 0,=0 上下边界： Fx=0 T=0 F,=0 左边界： Fx=-6Ay F,=0 h 右边界： Fx=6Ay 0 F,=0 ·矩形板受纯弯曲作用。 同一应力函数在不同的坐标系中解 决的问题也不同。 圈上清大生 ME6011弹性塑性力学 40 8

8 ME6011 弹性塑性力学 矩形板受偏心拉力作用。 3 5 .   Ay 满足 2 2 = 0         0 0 6 xy y x Ay    x m yx Fx l    xy m y F y l    0 6    y x F F Ay 边界条件： 左边界： 上下边界： 0 0   y x F F h 1 x y o 右边界： 0 6   y x F F Ay l F F 2 0 F F dy 3 Ah h   x  39 ME6011 弹性塑性力学 矩形板受纯弯曲作用。 3 5 .   Ay 满足 2 2 = 0         0 0 6 xy y x Ay    0 6    y x F 左边界： F Ay 上下边界： 0 0   y x F F l h 1 x y o 右边界： 0 6   y x F F Ay l x y o 同一应力函数在不同的坐标系中解 决的问题也不同。 40

例：单位厚度的矩形截面梁，受到单位厚度的力偶矩M作用，试求应力分量和位移 分量。 lox+mT=Fx 解：设：p=y3 边界条件： t+ma,=Fy 满足口272g=0 主边界（上下边界）： 应力分量： x=6Ay y= h:1=0,m=±山 0=0 T=0 Fx=0 F,=0 自然满足。 圈上海支大峰 MB6011弹性塑性力学 41 M σx=6Ay g,=0 Txr=0 lox+mt=Fx lts+may=Fy 次边界： x=l;1=1,m=0 Fx=6Ay≠0 Fy=0 不满足。 ◆静力等效边界条件(Saint--Venant principle): 把物体的一小部分边界上的面力，改为具体分布不同，但静 力等效的面力，只影响近处应力分布，对远处影响很小。 ◆静力等效：主矢量相等、主矩相等。 圈上海文1大华 ME6011弹性塑性力学 42 9

9 ME6011 弹性塑性力学 3 解：设：   Ay 满足 2 2 = 0         0 0 6 xy y x Ay    x m yx Fx l    xy m y F y l    ; 0, 1; 2 h y lm     边界条件： 主边界（上下边界）： 0 0   y x F F h 1 自然满足。 l x y o 例：单位厚度的矩形截面梁，受到单位厚度的力偶矩M作用，试求应力分量和位移 分量。 M M 应力分量： 41 ME6011 弹性塑性力学 静力等效边界条件（Saint-Venant principle）：         0 0 6 xy y x Ay    x m yx Fx l    xy m y F y l    0 6 0    y x F F Ay 把物体的一小部分边界上的面力，改为具体分布不同，但静 力等效的面力，只影响近处应力分布，对远处影响很小。 不满足。 h 1 次边界： x  l; l  1, m  0 l x y o M M 静力等效：主矢量相等、主矩相等。 42

M 次边界：x=1;l=1,m=0 F.=6Ay≠0 F,=0 不满足。 h/2 h/ 主矢量相等： ∫F=0 ∫6A=0 -h/2 -h/2 h/2 F,=0 -h12 主矩相等： h/2 h/ Fxy=M ∫6Ay2=M -h12 -h/2 A 2M 2M A= h3 因上萨大生 ME6011弹性塑性力学 43 M 0x=6y 0,=0 Txy =0 2M y A= 12M.M h3 ·应力分量： :=月y= 0,=0 弯曲截面系数 1.h3 I= 12 T=0 y ◆应变分量： 1 8-Eo-uo小 8= EI 6,= El,-uo] EI 1 Yo=GTo Xo=0 G 圈上海大学 MB6011弹性塑性力学 44 10

10 ME6011 弹性塑性力学 0 6 0    y x F F Ay 主矢量相等： 不满足。 h 1 次边界：x  l; l  1, m  0 l x y o M M Fx y dy 0 / 2 / 2    h h x F dy 0 / 2 / 2    h h F y dy F ydy M h h  x   / 2 / 2 6 0 / 2 / 2    h h Aydy 主矩相等： Ay dy M h h    / 2 / 2 2 6 M Ah  2 3 3 2 h M A  43 ME6011 弹性塑性力学 应力分量：         0 0 6 xy y x Ay    Fx h 1 l x y o M M y dy 3 2 h M A             0 0 12 3 xy y x I My y h M    12 1 3 h I   应变分量：                   xy xy y y x x y G E E         1 1 1 x              0 x xy y EI My EI My     44 弯曲截面系数