三辊行星斜轧机力能参数计算

D0I:10.13374/j.iss1001-053x.1991.01.029 第13卷第1期 北京科技大学学报 Vol.13 No.1 1991年1月， Journal of University of Science and Technology Beijing Jn。1991 三辊行星斜轧机力能参数计算 李应强 猜要：论述了三辊行星斜轧机利用锥形轧银轧制时的力能参数计算方法，包括变形区 形状、接触线方程、接触弧长和接触面积，以及轧制力、轧制力矩的理论计算和数学模 型。 关键词：轧机，轧制力能金数，三根行星斜轧机 The Power Calculation of Three-Roll Planetary Mill Li Yinggiang' ABSTRACT:The power calculation methods of three-roll planetary mill by using cone rolls are discussed.A series of formulas,including the deformation zone,contact area,rolling force and rolling torque,are presented for practical use. KEY WORDS:rolling mill,power calculation,three-roll planetary mill 三辊行星斜轧机(PSW轧机)作为大辗轧角斜轧机，以其独特的优点，近年来在棒材、 管材生产中正在获得逐渐广泛的应用。理论分析和实际使用都证明，用圆锥形工作段配以适 当精整段的轧辊在PSW轧机上轧制棒材是最切合实际的。PSW轧机辊形理论规定锥形轧辊 设计所必须遵循的原则一不旋转理论及轧辊不干涉条件，即规定了轧机锥形轧辊直径及半 锥角的可行设计范围？1)。PSW轧机使用锥形辊时的轧制力能参数计算也就成为最重要的问 题之一。 下面讨论PSW轧机采用锥形辊轧制时的力能参数问题。 1990-09-01收稿 ◆机械工程系(Department of Mechanical Engineering) 37

第 卷第 期 年 月 ， 。 扮 。 。 三辊行星斜轧机力能参数计算 李 应 强 摘 婆 论迷了三辊行星 斜轧机利 用锥形轧辊轧制时的力 能参数计草方法 ， 包括变 形 区 形状 、 接触线 方粗 、 接触弧长和接触面积 ， 以 及 轧制力 、 轧 制力矩的理 论 计 算 和 数 学 模 型 。 关抽饲 轧机 ， 轧制力能参数 ， 三辊行星 料轧机 一 ’ 了 红 育 五 一 ，， 五 ， ， ， ， 一 三辊行星斜轧机 轧机 作 为大辗轧角斜轧机 ， 以其独特的优点 ， 近年来在棒材 、 管材生产中正在获得逐渐广泛的应 用 。 理论分析和 实际使用都证明 ， 用 圆锥形工作段配以适 当精整段的 轧辊在 轧机上轧制棒材是最切合实际的 。 轧 机辊形理论规定锥形轧辊 设 计蹄必须遵循的原则 — 不旋转理论及轧辊不干涉条件 ， 即规定 了轧机锥形轧辊直径及半 锥角的可行设 计范围 ‘ ” 。 轧机使用 锥形辊时的轧制力能参 数 计 算也就成 为最重要 的向 题之一 。 下面讨论 轧机采 用锥形 辊轧制时的力能 参数问 题 。 一 一 收稿 · 机械工程系 红 DOI ：10．13374／j ．issn1001—53x．1991．01．029

1轧件变形区及接触线方程 2 对于PSW轧机，轧件变形区基体应是与轧辊回转体共轭的回转几何体。在轧制过程中这 两个回转体保持相切接触，既不发生干涉又不相互脱离，遵循共轭的原则。 在图1中，以y2为轴线的锥形轧辊半锥角为0，在x1轴上的轧辊小端半径为2，y1为 轧件轴线，二轴线间的公垂线长度为A。,A。的长度随辊头调整角的变化而变化(1)。为求解 PSW轧机锥形辊轧制的接触弧长及接触面积，必须首先解析在此轧制条件下的轧件变形区形 状和接触线方程。采用共轭理论指导下的球面包络法2)，可方便地解决这个问题如图1， 在轧件轴线上任取一点T,以T为球心作轧辊 锥形体的共轭球面，共轭球的半径为”。，与轧 辊锥形体相切于点。改变T点在y1轴上的位 置，可以得到一系列这样的球面，称为共轭球 族。与轧辊圆锥体共轭的轧件变形区回转体实 际上就是这一球族的包络面。 为求得共轭球族及其包络面的解析方程， 可将图1向x10121平面(V面)、y10121平 面(U面)、yz轴垂面(W面)分别投影，如 图2可画出其投影图。在图2上，球面包络法 的作图过程如下：在y轴上任取一点T(它在 U、V、W平面上的投影分别记为T'、T"、 图1锥形辊的一个共轭球 T',其它空间点的投影亦依此法标注)，记 Fig.1 A conjugate sphere of cone roll ∠0'O:T'为o,①是T点在W平面内的对 应参数。记T点在y:轴上的坐标为y1。TW'O;'为轧辊与轧件接触点处公法线在W平面内 的投影，为求其在U、V平面上的投影，可将T"'O:旋转到与U平面平行的位置上。作T'S 垂直于y2轴，延长T'S至T。并令ST。等于T"'O:',T.即为在公法线绕y2轴旋转到与U 平面平行的位置时T点在U平面上的投影，在这个位置上公法线在U平面上的投影应与轧辊 锥形体母线的投影相垂直。过T。点作轧辊母线的垂线T。n。,并延长之交y2轴于'，T。'即 为公法线旋转后的投影，T。n。为对应于T点的共轭球面半径r。,n。点为旋转后共轭接触点n 的投影。连接T,过n.作y2轴的垂线交'T′于n','点即为n点在U平面内的投影。可用 投影作图法，如图2所示求出n点在W平面及V平面上的投影n"'、n"。 以@角为参数，在图2上可得出： y1。= Aotgo sino r=Aoosa-Aotgoctgosina-rscosa (1) cOSO 式中p—一辗轧角 「2一在公垂线上轧辊的小端半径 &一轧辊圆锥半角 A。一公垂线长度 38

轧件变形区及接触线方程 对于 轧机 ， 轧件变形 区基体应是与轧 辊回转体共辆的回转几何体 。 在轧制过程 中这 两个 回转体保持相切接触 ， 既不发生干涉又不相互脱离 ， 遵循共辘的原则 。 在 图 中 ， 以 为轴线的锥形轧 辊半锥角为 ， 在 轴上的轧辊小端半 径 为 ， 为 轧件轴线 ， 二轴线 间的公垂线长度为 。 ， 。 的长度随辊头调整角的 变化而变化 〔 ’ 。 为求解 轧机锥形辊轧制的接触弧长及接触面积 ， 必须首先解析在此轧制条件下的轧件变形 区形 状和接触线方程 。 采用共辘理论 指导下的 球面包络法 〔 ’ ， 可方便地解决这个 问题 。 如 图 ， 在轧件轴线上任取一点 ， 以 为球心作 轧辊 锥形体的共扼球面 ， 共辘球的半径为 ， 与轧 辊锥形体相切于 点 。 改变 点在 轴上的位 置 ， 可以得到 一系列这样的球面 ， 称为共辘球 族 。 与轧 辊圆锥体共扼的轧件变形区回转体实 际上就是这一球族的包络面 。 为求得共扼球族及其包络面的解析方程 ， 可将 图 向 二 ， 平面 面 、 。 二 平 面 面 、 轴垂面 面 分别投影 ， 如 图 可画 出其投影 图 。 在 图 上 ， 球面包络法 的作 图过程如下 在 轴上任取一点 它在 、 、 平面上 的投影分 别 记 为 产 、 “ 、 ‘ ’ ， 其它空 间点 的投影亦依此法标注 ， 记 乙 笠 ‘ 声 扩 产 为。 ， 。 是 点在 平 面 内的对 图 锥形辊的一个共扼球 应参数 。 记 点在 轴上的坐标为 。 。 “ ‘ 矛为轧辊与轧件接触点处公 法 线在 平平 面 内 的投 影 ， 为求其在 、 平面上的投 影 ， 可将 “ ‘ 茎旋转到 与 乎面平行的位 置上 。 作 产 ， 垂直于 轴 ， 延长 ’ ’ 至 。 井令， 。 等于 “ ’ 二尹， 。 即为在公 法线 烧 轴旋 转 到与 平面平行的位置时 点 在 平面上 的投影 ， 在 这个位置上公 法线在 平面上 的投影应与轧辊 锥形体母线 的投 影相垂直 。 过 。 点作 轧 辊母线的 垂线 。 。 ， 并延长之 交夕 轴于 ‘ ， 。 ‘ 即 为公 法 线旋转后 的投 影 ， 。 。 为 对应于 点的 共辘球面半 径 。 ， 。 点 为旋转后 共辆 接触点 的投影 。 连接， ‘ ， 过 。 作 轴的垂线交 ‘ ‘ 于 丫 ， ， 点 即为 点在 平面 内的投 影 。 可用 投影作 图法 ， 如图 所示求出 点在 平面及 平面上的投影砂 产 、 “ 。 以。 角为参数 ， 在 图 上可得 出 。 二 。 一 尹 一 式 中 甲—辗轧 角 — 轧辊圆锥半角 — 在公 垂线上轧辊的小 端半径 。 — 公垂线长 度

。 (U) 2 n" (W) 1,x2 图2共轭球作图过程 Fig.2 Drawing procedure of a conjugate sphere 0一图示参变量 r。一①变量下的共轭球面半径 y1。一@变量下的y1值 共轭球族投影圆方程可写成： F=(y1-y1。)2+2-r8=0 (2) 此圆族的包络曲线方程为： F=0 1aF/3o=0 将(1)、(2)式代入上式解得： )2i。=roV√1-(cosasin@sinp-cososina)2 (3) yi。=y1m-r。(cosasin@sinp-cospsina) 上式是轧件变形区纵截面曲线参数方程，式中2。，y1。为曲线的21，y,坐标。 令m=-(cosasin@sinp-cososina),(3)式可简化成： }2i。=ra√1-m2 (4) yio=ylo+ram 依照图2中接触点n的作图过程，将接触点n在x1y121一01坐标系中的坐标x1、y1、2: 坐标分别记为7、5、5，可求得n点的坐标方程，即接触线参数方程为： 9=rcosacosω =y1-ra(cosasinosinp-cososina) (5) 5=r。(sinasinp+cosacososin@） 39

派 图 共扼球作 图过程 ， 。 — 图示参变量 ，。 — 。 变量下的 值 共辘球族投 影圆方程可写成 。 — 。 变量下 的 共辗球面半 径 二 一 夕 。 “ 对 一 弓 二 此圆族的包络 曲线方程为 ‘ 忆 。 将 、 式代人上式解得 二 兮 。 侧 一 砰 一 尹 艺 璧 。 一 。 尹 一 尹 上式是轧件变形 区纵 截面 曲线参 数方程 ， 式 中二 兮州 为 曲线的 二 ，， 坐 标 。 令二 一 ， 一 ， ， 式可简化成 二 全 。 二 。 侧 一 夕宁 。 。 依照 图 中接触点 ” 的作 图过程 ，将接触点 。 在二 一 。 坐标系 中的 坐标 、 、 二 坐标分别记为， 、 夸 、 右 ， 可求得 。 点的坐 标方程 ， 即接触线参数方程为 艺 “ · “ “ 乞 一 夕 ‘份万 『 “ “ “ ，‘ ‘ ， 一 ，， ‘ “ ’ 。 吸 皿 甲

I=cosacoso m=-(cosasinosino-cososina) (6) n=sinasing+cosacososina 则(5)式可简化成： f刀=r。1 专=y1。+r。m (7) 5=r。n 可以证明12+m+n2=1,1、m、n可看成是共轭球半径矢量r的方向余弦。将接触线 方程写成向量形式，则： r。=y1。i+r。 (8) 式中一y轴方向单位矢量。 2·接触弧长及接触面积 (⑤)式所表达的接触点在轧制过程中应该认为是轧辊与轧件接触上的轧出点。在 PSW轧机上，被轧质点在离开点后可认为仍保持径向位置并沿轧件前进方向运动，在大盘 旋转1/3周后再次进入下一轧辊，成为下一轧辊的轧入点。在已知轧辊曲面及轧件变形区曲 面的条件下，可以沿轧制线方向将轧件变形区分割成若干计算段，用计算机计算各段的接触 长、接触面积，进而进行轧制力及轧制力矩的计算。 2.1求裁战方程及有关参数 如图8所示，在y轴上任取一点S,S在U、V、W面上的投影分别为S1、S1、S1', S,点的y,坐标为y。,对应参变量为®。过S1点作y轴的垂面，此垂面在轧辊及轧件变形 区上切得藏线工2、工1，L,为一圆，而L2在轧辊辊形设计的有效范围内为一椭圆。在图3 中，可求得： L椭圆高心率： e=sing (9) cosa 椭圆长轴长度： 2a =racosa Lcos(+a) 1 1 cos(p-aj +yitg(o+a)-tg(o-a)] (10) 椭圆中心03在￥1y121一01坐标系中的坐标值： 40

令 拼 一 价 一 甲 、 月 甲 甲 。 二 公 则 式可简化成 挑 ︸︺ ， 刁一一 犷产卜， 户亡︸ 可以证明 ’ 十 ， ’ ” ， · ， 人 卞 ， 可看成是共辘球半 径 矢量 『摘方向 余弦 。 将接触线 方程写 成 向量形式 ， 则 「 二 夕 户 加 式 中 — 轴方向单位矢量 。 接触弧长及接触面积 蕊薰熙嚣趟薰悬蒸嚣 点 。 在 在大盘 形区曲 面的 条件下 ， 可以沿轧制线方向将轧件变形 区分割成若午计算段 ， 用 计算机计算各段的接触 弧长 、 接触面积 ， 进而进行轧制力及轧制力 矩的计算 。 ， 「 求截雄方怪及有关今教 如图 所示 ， 在 、 轴上任取 一点 ， 点 的夕 ，坐标为 乳 ， 对应参变量为。 。 在 、 、 面上的投影分别 为‘ ， 笠 、 ‘ ， 过 点作 轴的垂面 ， 此垂面在乳辊及 轧 件 变形 区上切得截线 、 ， ， 为一圆 ， 而 在轧辊辊形设计的有效范围内 为一椭 圆 。 在 图 中 ， 可求得 椭 圆 离心 率 尹 ‘ 椭圆长轴长度 。 ， 一‘ 一互一‘ 一 互一‘ 二、 、 甲 尹 一 尸 贾 〔 甲 一 甲 一 〕 椭圆 中心 。 在， 幻 一 。 坐标系中的坐标值

x1。=A0 2 (11) +号i.cgp+a)+g仰-a) 椭圆短轴长度： 2b=2a√1-e2 (12) 式中a一椭圆长半轴； e一椭圆离心率。 在椭圆中心0s建立x,0323坐标，接触点在其上的坐标为： (￥3=A0-门 z3=21。-5 (13) 在x303z3坐标中，L2椭圆方程可写成： 慕+1 a 2 如果用接触点处轧辊截线曲率半径作为此时的轧辊半径近似值，则轧辊半径： 0 ￥3 (162d (9-p-a） 21 90φ () 0 Xu) D 01 (W) 1,2 图3垂直截面内的接触氟 Fig.3 Contact arc in perpendicular section 41

劣 。 二 。 二 。 二 李 。 。 。 一 一一‘ 一 一一上一一 、 艺 、 又甲 吸甲 一 尹 小 一一 少 全 。 〔 尹 甲 一 〕 尹、‘， 椭圆短轴长度 训 一 么 式 中 —椭圆长半轴 —椭圆 离心率 。 在椭圆 中心 。 建立， 。 幻坐标 ， 接触点 在其上的坐标为 二 。 一 刀 二 二 。 一 雪 了 、、、 矛， 在二 ，。 二 坐标 中 ， 椭圆方程可写 成 上‘ 一 丝护 十 一砖砂 如果用 接触点处轧辊截线曲率半径作 为此时的轧辊半径近似值 ， 则轧辊半径 图 垂直截面 内的接触弧 台

R=62(票+） (14) 其中a、b、￥3、23可用(9)一(13)各式求得。 轧件截线L1圆的半径可用(3)式求得，即： r=2i。 (15) 2,2求接触氯长及接触面积 如图8，接触弧长： /2Rr.-(r.-r) b。=VR+r。 (16) 4 其中R一接触点轧辊半径，式(14)； r接触点轧件半径，式（15) r。一轧件在轧人点的半径，式(18) ”,值可根据在变形区内质点的流动速度遵循秒流量相等的原则来决定。设轧件出口半径 为A1o,出口速度为o,则有下式成立： m4r,g8。=号oi-ye++i (17) 式中yi。,2i。一ω参数下，变形区纵截面曲线坐标函数，式(4) yi。,21。一进人计算截面轧人点的轧件质点坐标函数，式(4)： V。一轧件出口速度， oH一大盘转动角速度，r/min, A1。一轧件出口半径。 (17)式左端给出大盘转动1/3周时轧出的金属流量，等式的右端给出从计算截面向轧 件入口方向取一段轧件变形区所得的体积计算式，这一段轧件变形区将在大盘转动1/3周的 时间内流过计算截面。可用计算机求解(17)式，z。就是所求的，值，即： r,=2。 (18) 也可以用·。圆和L,椭圆截线方程求解，进而计算接触长。 在×10121坐标中： r2圆方程为x1+2号=2忌 L2椭圆方程为1二A)+21-2)2=1 b2 02 用计算机求解方程： ve-好=4n-tva-e1- (19) 得合理根×1,21。 42

一。 · 碧 鲁 夸 其 中 、 、 二 、 二 可用 一 各式求得 。 轧件截线 圆的半径可用 式 求 得 ， 即 君 贫 。 。 求接触弧长及接触面积 如 图 ， 接触弧长 。 习否丁万一一宁 于 叮，丁一 吸犷 一 ， 八 十 其 中 —接触点轧辊半径 ， 式 —接触点轧件半 径 ， —轧件在轧入点的 半径 ， 式 ， 值可根 据在变形 区内质点 的流动速度遵循秒流量相等 的原则来决定 。 为才 。 ， 出 口速度为厂 。 ， 则有下式成立 式 设轧件出 口半径 ， ， 。 汀 ， 扑 八 ’ 犷 “ 万而蕊 了 气 贯二 一 。 二 贯 二 二 ， 君 。 式 中 贾 。 ， 对 。 — “ 参数下 ， 变形 区纵截面 曲线坐标函数 ， 式 川 。 ， 儿一 进人计算截面轧人点的轧件质点坐标函 数 ， 式 犷 。 —轧件出 口速度， —大盘转动角速 度 ， 、 。 —轧件出 口半 径 。 式左端给出大盘转动 周时轧出的金属流量 ， 等式的右端给出从 计算截面向轧 件人 口方 向取一段轧件 变形 区所得的体积计算式 ， 这 一段轧件变形区将在大盘转动 周的 时 间内流过 计算截面 。 可用 计算机求解 式 ， 儿就是所求的 ， 值 ， 即 二 了二 也可以用 ， 圆和 椭圆截线方程 求解 ， 进而 计算接触弧 长 。 在 。 ，二 坐标 中 圆方程为 二 荃 璧 扰 椭圆方程为 劣 一 。 么 之 一 之 。 ， 一一不砰 一 — ‘ 上 用 计算机求解方程 斌二不万 · 件 丫舀下五万不不二砰 得合理根二 ，， 二

则接触弧长： b。=/(n-x1)2+(5-21)名 (20) 接触面积则可用下式表达： △S。=b。·△yia 式中△y。一两计算截面沿轧件轴向距离。 了轧制力和轧制力矩 在理想的轧制状态下，PSW轧机可实现轧件不旋转无扭轧制。在一般现场轧制条件下 轧件在变形区中的扭转也是很小的，所以可以假设各计算段上的轧制力不对轧件构成扭矩， 即轧制力垂直地与轧制线相交。每一计算段的轧制力可用下式计算： △p。=ASo“pm 式中Pm一平均单位轧制压力。 △p。轧制力作用角度ω。（见图3）可用下式计算： ogsotg (21) 式中0。（见图3）可用下式由参量@换算而得： tg=sinocosp+sinptga coSO (22) 上式是从图2所示的几何关系推出的。 3 /y Axis of roll Axis of roll APo sint po (v) pa=△2 sinosinp 1o2 og入b1 (U) AP:xAP cos Xa 出 6 △P sino8cosp AP7 (W) 2%2 图4轧制刀的分解 Fig.4 Components of the rolling force 43

则接触弧长 。 二 了 ，一 ， ’ 十 雪一 二 ， “ 接触面积则 可用 下式表达 △ 。 。 。 △ 兮 。 式 中 △ 兮 。 — 两 计算截面沿轧件轴向距离 。 轧制力和轧制力矩 在理 想 的轧 制状态 下 ， 轧机可 实现 轧件不旋转 无扭轧制 。 在一般现场轧 制 条件下 轧件在 变形 区 中的 扭转也是很小 的 ， 所 以可以假设各 计算段上的轧 制力不对轧件构成扭矩 ， 即轧 制力垂直地 与轧制 线相交 。 每 一计算段的轧 制力可用 下式 计算 。 二 △ 。 。 式 中 — 平 均单位轧制压力 。 △ 。 轧 制力作用 角度。 言 见 图 可用 下式计算 。 卜 。 。 一 一 ，李乙 式 中。 。 见 图 可用 卞式 由参量。 换算而 得 尹 甲 公 上式是从 图 所 示的几何关 系推 出的 。 狱 久 ， 了 ， 了 仓片六 附加 甲 ’ 气 图 轧枷刀的分解 遵 五

△p。相对于轧辊的各分力及轧制力矩可用下列公式求得（见图4）： 轴向力 △p,=△p.sinw8sinp 轧制力矩 AMx=△p。(yi.cos@ssinp-Asinωocosp) (23) x2方向径向力△p:x=△P。cos0。 2方向径向力△px=△p.sin@。cosp 对于一个轧辊： 轧制力矩 M.=z△M, 轴向力 p。=△p. x方向径向力 p,.=∑△prx (24) 22方向径向力1 ,=∑△P,: 径向合力 p,=vp2,+p2. 利用本文所提供的一系列公式在计算机上进行计算，可快捷的得到各种不同锥形轧辊的 轧制力能参数，一般分15~20段进行计算时即可得到相当的精度。 4结论 共轭球面包络法给出了在PSW轧机上利用锥形轧辊得到的轧件变形区及接触线的精确 表达式，为截面法计算接触红长及接触面积提供了基础，从而可进一步计算轧制力和轧制力 矩。在本文计算公式上建立起来的PSW轧机轧制力、轧制力矩计算程序对不同的轧机参数 及轧辊参数具有良好的适应性，计算快捷，精度高，是PSW轧机、轧辊设计者的有力工 具。 参考文献 1康祖立，李应强。上海金属，1984，(4)：34 2林学福，秦念祖，马香峰。北京钢铁学院学报，1981，(4)：23 44

八 相对于轧辊的各分力及轧制力矩可用下列公 式求得 见图 轴向力 轧制力矩 ’ 方向径向力 从二 方向径向力 △ 。 △ 。 甲 对 困 △夕。 夕 宝 。 言 甲 一 。 。 甲 △ 妥 △夕。 。 笼 么夕。 言 甲 对于一个轧辊 轧制力矩 轴向力 二 方 向径向力 “ 方向径 向力 径向合力 对去 乙 △万 ， 乙 △ 。 二 △ 二 ， 名 ， 侧 尹 二 罗 ， ‘，产 利用本文所提供的一系列公式在计算机上进行计算 ， 可快捷的得到各种不 同锥形轧辊的 轧制力能参数 ， 一般分 一 段进行计算时即可得到相 当的精库 。 结 论 共扼球面包络法给出了在 轧机上利用 锥形轧辊得到的轧件变形 区及接触线的精确 表达式 ， 为截面 法计算接触弧长及接触面积提供了基础 ， 从而可进一步计算轧制力和轧制力 矩 。 在本文计算公式上建立起来的 轧机轧制力 、 轧制力矩计算程序对不同的轧机参数 及轧辊参数具有 良好的适应性 ， 计算快捷 ， 精度高 ， 是 轧机 、 轧辊设计者 的 有 力 工 具 。 参 考 文 蔽 康祖立 ， 李应强 上海金属 ， ， ’ 林学 福 ， 秦 念祖 ， 马香峰 北京钢铁学院学报 ，