板带轧制的边界单元法分析

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1989.05.024 北京科技大学学报 第11卷第5期 Vol.11 No.5 1989年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sept.1989 板带轧制的边界单元法分析 夏光瞿文吉 (压力加工系) 摘要：本文在计算板带轧制中的参数时应用了初始应力的弹塑性边界单元方法。计 算结果与实验值相等。该研究表明，弹塑性边界单元法用来分析板带轧制是满意的。 关键词：边界单元法，板栉轧制 The Analysis of the Boundary Element Method in Rolling Plate and Strip Xia Guang Qu Wenji ABSTRACT:In the paper,the elastoplastic boundary element method (BEM) of the initial strain is worked at calculating parameters of flat rolling of plate and strip.The calculating results obtained in studying on flat rolling of plate and strip coincide with the experimental data.The research shows that the ela- stoplastic BEM is satisfactory for analyzing flat rolling of plate and strip. KEY WORDS:BEM,rolling 金属的轧制是一种复杂的塑性变形过程，直接采用数学解析的方法来进行定量描述是非 常困难的。随着近些年来计算机技术的普及和发展，用数值的方法对轧制过程进行定性定量 描述已成为可能。 板带轧制是轧制变形方式中较为简单的一种，在此之前人们采用多种方法对它进行了深 入细致的研究。有限单元法是近年来用得较为成功的一种方法。它能求出轧制总压力、单位 压力分布、流体静压力分布以及应力应变速率分布等参数。刚塑性有限单元法的出现，大 大的节约了计算时间。但是，采用有限单元法编制程序较复杂，所需原始数据多。忽略物体 的弹性变形部分，对于变形量在10%以下的轧制变形过程就不太合适。边界单元法在轧制变 1988-06-01收稿 443

第 卷 第 期 北 京 科 年 月 、 一 技 大 学 学 报 。 。 板带轧制的边界单元法分析 百 从乙 韭 寺 」贯 之灵丢 匕 伟生么 户沁 目 压 力加 工 系 摘 要 本 文 在计算板带轧 制 中的 参 数时应 用 了 初始应 力 的弹塑性边 界单元 方法 。 计 算结果 与实验 值相 等 。 该研 究 表 明 ， 弹塑性 边界 单元 法 用 来 分析板 带轧 制是满 意 的 。 关 键词 边 界单元 法 ， 板带 轧 制 伦 夕 甲 ” ， 手 ， 认 · · 叭 一 士 一 手 人 ， 金属 的轧 制是 一种 复杂 的塑性 变形过 程 ， 直接采 用数 学解析 的方法来 进 行定量描述是 非 常困难的 。 随 着近些 年 来 计算机技 术的普 及和 发展 ， 用 数值 的方 法对轧制过 程进行定性定量 描述 已 成为可 能 。 板 带轧制是 轧 制 变形方 式 中较为简单的一种 ， 在此 之前 人 们 采用 多种方 法对它 进行 了探 入 细致 的研究 。 有限 单元法是 近年来 用得较为 成功 的一种方法 。 它 能 求 出轧制总压力 、 单位 压力分布 、 流 体 静 压 力分布 以 及应 力应 变速率分布等 参数 。 刚塑性 有限 单元 法 的 出 现 ， 大 大 的节 约了计算时 间 。 但是 ， 采用有 限 单元 法编制程 序 较 复杂 ， 所 需 原始数 据多 。 忽略物体 的弹性 变形 部分 ， 对于 变形量 在 。 以 下的轧制 变形过 程 就不太 合适 。 边 界单元 法在轧 制变 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1989．05．024

形中的应用是-…项值得研究的新课题。 本文采用Hencky全量理论推导的弹塑性边界单元法，分析了平辊的极带轧制问题。在 实验室用工业纯铝进行模拟轧制，实测了轧制压力。 1基本解 无限城受集中力作用产生的弹性位移解称之为基本解。它满足弹塑性问题的控制微分方 程（平衡方程）。设无限域P点k方向作用单位载荷在Q点方向产生的位移为“：：(P,Q),产 生的表面力为(P,Q),对平面应变问题有： “P,Q)-BG-四〔(3-4uIn÷d+"〕 (1) t(R,Q)=-dr{m1-2ad+2-1-2) Cn,-n〕} (2) 2弹塑性问题的基本方程 平衡方程： 011,i+f1=0 (3) 位移表示的平衡方程： Diikuk,1-2Ge+f=0 (4) 几何方程： e11=(1/2)(u1,5+u1,i) =ei,+eP (5) 本构方程：o11=Dk1(ek1-e) (6) OF ef:=Apd (F=0且dF>0) (7) e,=0 (F<0或F=0但 dF<0或dF=0) (8) F(ai,e21,k)=0 (9) 体积不变条件： e=ei1+E22+833=0 (10) 444

形 中的应 用是 一项值得 研究 的新 课题 。 本 文采 用 丁全 量理 论推 导的弹 塑性 边 界单 元 法 ， 分 析 了 一 平辊 的 板 带轧 制问题 。 在 实验室 用 工 业 纯铝进 行模拟 轧 制 实测 了轧 制 压 力 。 基 本 解 无 限 域 受 集 中力作 用 产生 的弹性 位 移解称之 为 基本解 。 它 满足 弹塑性 问题 的控 制微 分方 程 平衡 方程 。 设无 限 域 尸点 方 向作 用 单位 载荷 在 点 方 向产生 的位移 为。 尸 ， ， 产 生 的表面 力为 占 尸 ， ， 对平面应 变问题 有 六 ， 二 厅 一 “ 〔 一 召 一二一 宁 尸 主 、 十 一下犷 碑 ’ ， 二 汀 一 拼 ， 月 一二 一 之娜 亨 护 一 补 二 一 一 “ 产 卜 、 月 － 一 八 ‘ － 》 、 一 “ 尸 ， 弹塑性问题的基本方程 平 衡 方程 ， 位 移表示 的 平衡方 程 ， ， ， ‘ 一 川 ， 几 何方程 ￡ ， 』 二 ， 』， 二 。 犷 本 构方程 ‘ 二 犷， ， 一 ， ￡ 丫 二 凡 ‘产， ，’ 一 二 且 犷 二 或 之 。 但 或 二 ‘ ， 。 丫 ， 体 积不 变条件 君 嘴 。 罗 。 二

边界条件： k 41=4: ∈yu (11) t:=01n:=t: ∈yt (12) 3边界积分方程 用(1)式作权函数，对(4)式加权积分为零。应用格林积分公式，考虑(5)~(12)式，处 理奇异积分问题得平面应变问题的边界积分公式为： 边界点P。 Ck“:(Po)=J,(P。,Q)t(Qg)dp(Q) -P,0u:0dp0,) +∫。P,0,f:0an(Q） (13) +∫oiP,Qc,(Q)d(Q) 内点P 4(P=∫u:(P.Qt(Q)dy(Q。) -,":(P,Q:(Q,dp(0) +。(P,Qf.(Q)d(Q) +。p,Q)ei,(0a(0) (14) 由(5)~(6)式和(14)式可推得内点应力公式： (P)-J,(R,Q。u(Q)dyQ) -∫Pi(B,0(og)yQ) +。u(D,Q1.(Q)dpQ) +。i(D,Q)eQa(Q) G 2(1-)e(P) (15) 445

边 界条件 翻 甘 一 二 ， 二 任 夕 边界积分方程 用 〔 式作 权 函数 ， 对 式加权 积分为 零 。 应用 格林积分公 式 ， 考虑 式 ， 处 理奇异 积 分问题得平面 应 变问题 的边界积 分公式为 边 界点尸 。 一 。 ， · 。 ， 。 ，‘ 。 ， ， 。 ， 一 、 ‘ 。 ， 。 ，一 ‘ 。 ，‘ ‘ 。 ， 八皿‘一 、产、少、 连产、 了占，上勺‘月 山 、眨 二 了 ‘、 。 · 。 ， 。 ， 主 ‘ ， “ ‘ ， 。 决 门 ‘ 。 ， ，·丫 ‘。 ’ “ ‘。 ’ 内点 · 尸 二 ， · ， 。 ，‘ 。 ， ‘ 。 ， 久 ， 。 “ ， 。 丫 。 之 ， 兑 之 、 ， 。 兮 只 丫口口 ﹄十产，广恤 一十 由 一 式 和 式可推得 内点应 力公式 」 二 了 ， 。 · ， 。 。 · 。 。 。 。 一 · ， 。 ，‘ · ‘ 。 ， ‘ 。 ， 。 · · ， ， · ‘ ， ‘ ， 。 一 ， ，。 ， ‘ ，‘ “ ‘ ， 一 一 拼 ‘ 。 了

边界应力采用非积分方式求解。局部座标下边界点P。(见图1)的应力表示式为： 1=o+2Ge+26(ea-e） 022=P2 4012=P1 (16) 戈 图1局部座标(x1J) Fig.1 Local coordinate system (=1y1) 4 边界积分方程的离散 问题的边界采用二节点线性单元离散，区域用三节点三角形线性网格分割。边界上每个 节点有一个(13)式与之对应，每个内点有一个(15)式与之对应，经整理得系统的方程式 为： {y}=〔K)(eP}+{M} (17) {g}=〔B){eP}+{N} (18) 采用座标变换法，可将(16)式变换成整体座标下的应力表示式： {o}s=〔G){T}:+〔H'){U}:+〔D'){eP}: (19) (17)~(19)式构成边界单元法迭代方程。式中{εP}是未知的，采用迭代方法求 解。 5轧制问题求解 Element 平辊的板带轧制为平面应变问题。考虑轧 Node 件上下对称，取其上半部分加以研究。设定变 形区为ABCDEF。变形区边界用34个两节点 线性单元离散，区域用84个三角形线性网格分 Internal point Cell 割，见图2所示。 图2网格划分 模拟轧制过程，轧件沿x方向逐步送人轧 辊。轧件人口厚度为H,出口厚度为h,DE近 Fig.2 Mesh system 446

边 界应 力采 用 卜积 分方 式 求解 。 局 部 座标 下边 界点 。 见图 的应 力 表 示式 为 『 叮 ， 一 玉、 名 一 卜 纷 · 一 尸 图 局 部座标 二 一， 边界积分方程的离散 问题 的边 界采用 二 节点 线性 单 元离散 ， 区域 用 三节点 三 角形 线性 网格 分割 。 边 界上每个 节点 有 一 个 式与之对应 ， 每 个 内点 有一 个 式 与之对应 ， 经整理得 系统 的方程 式 为 少 二 〔 〕 。 口 二 〔 〕 ￡ 采用 座标 变换 法 ， 可 将 式 变换成整体座标 下的应 力表 示式 ， 二 〔 ‘ 〕 ‘ 〔 ‘ 〕 〔 ‘ 〕 ￡ 一 式 构成 边 界单元 法 迭代 方程 。 式 中 。 是 未知 的 ， 采 用 迭 代 方 法 求 解 。 车制 问题求解 平辊 的 板带轧 制 为平 面 应 变问题 。 考虑 轧 件 上 一「对称 ， 取 其 上半部 分加 以研究 。 设定 变 形 区为 。 变 形 区边 界用 个 两节点 线性 单元 离散 ， 区域 用 个 三 角形 线性 网格 分 割 ， 见 图 所示 。 模拟 轧制过 程 ， 轧件 沿 方 向逐步 送人 轧 辊 。 轧件人 口厚 度 为 ， 出 口 厚度 为 ， 近 广砚花 、 、 卜 吸勺劝 闷 郊 图 网 格 划 分

似为直线段，轧辊半径为R,每次轧件送入量为△x,已知边界条件为： ①AB段所有节点的水平面力为零，垂直位移为零。 ,DE段所有节点水平位移为零，垂直位移为： H-h △x uy = 2/R(H-h)-(H-h)214 (20) ③其余各段所有节点面力分量为零。 表面力不连续问题采用双节点处理，初始塑性应变场设定为零。编制Fortran语言计 算机程序，采用双精度，在本校M-150计算机上计算了平辊板带轧制问题，求得轧制压力、 轧制单位压力分布以及变形区内的塑性应变场和应力场。 6实验验证 为验证计算结果的正确性，在本校压力加工系110mm二辊轧机上用退火处理的工业纯 铝板模拟了薄板的冷轧过程。试样厚度2.08mm~3.04mm,宽度有3种规格：49mm,57mm, 90mm。每个试样轧6道次，第1道次的压下率任5%以内。 工业纯铝的材料特性为： 弹性模量 E=70605MPa 泊松比 4=0.33 应力一应变关系 00=3.231+0.9048e·553897 表1是轧制工艺参数，表2是轧制力计算值与实测值的比较。从表2看出，轧制力计算 值与实测值最大误差为15,1%，二者基本吻合，这验证了该方法的正确性。 表1轧制工艺参数 Table 1 Rolling technology parameters 试样号 辊径，mm 样宽，血m H,mm h,mm △h,mm e,% 1" 110 90 2.094 2.020 0,074 3.53 2* 110 90 2.084 2.022 0.062 2.98 7 110 鸡 2.119 2.032 0.087 4.11 9* 110 49 2.435 2.349 0,086 3.53 12* 110 57 3.042 2.965 0.077 2,53 A 447

似为直线 段 ， 轧 辊半 径 为 ， 每 次轧件送入量 为△ ， 已 知边 界条件 为 ① 段所 有 节点 的水平 面 力为零 ， 垂 直 位 移为零 。 容 、 段所 有 节点水 平 位移 为零 ， 垂 直 位移 为 一 △劣 “ “ 一了 训左两万丽 二丈万二 丙万 飞 ③ 其 余 各 段所 有节 点 面 力分量 为 零 。 表 面 力不连 续 问题 采 用双 节点处 理 ， 初 始 塑 性 应 变 场 设定 为 零 。 编 制 语 言 计 算机程 序 ， 采用双 精 度 ， 在 本 校 一 巧 。 计算机 上计算 了平辊 板 带 轧制问题 ， 求 得轧制 压 力 、 轧制单位 压 力分布 以 及变 形 区 内的塑 性 应 变场 和应 力场 。 实 验 验 证 为 验 证 计 算结 果 的正 确性 ， 在 本 校压力加 工系 必 二辊轧机上 用退 火处 理 的 工 业纯 铝板 模拟 了薄 板 的冷轧过 程 。 试样 厚 度 。 一 ， 宽 度 有 种规 格 ， ， 。 每 个 试样 轧 道 次 ， 第 道 次 的压 下率 在 以 内 。 工业纯铝 的材料特性 为 弓单性模量 二 泊 松 比 拼 。 应 力一 应 变关系 『。 二 。 。 ￡ 弓 表 是 轧制 工 艺参数 ， 表 是 轧 制力计算值 与实测值的比较 。 从表 看出 ， 轧 制 力计算 值 与实测值最大误 差 为 ， 二者 基本 吻 合 ， 这验 证 了该方 法 的正确性 。 表 轧 制 工 艺 参 数 试 样 号 辊 径 ， 样 宽 ， ， ， △ ， 。 ， 忿 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 任︺今‘ 奋弃弓 生

表2轧制压力计算值与实测值(N) Table 2 Calculated rolling pressures and experimental ones 试样号 1° 2 4 9* 12 计算 值 10280 10251 12113 6987 6850 尖测值 8938 9016 10682 7154 7399 误差公 15,1 13.7 13.4 2.33 11,39 6结 论 (1)边界单元法是计算板带轧制的一种有效方法，它能计算出轧制总压力，轧制单位压 力分布以及变形区的应力应变分布。 (2)本文的弹塑性边界单元法采用了小变形条件下的Hencky全量理论，载荷增量的大 小直接影响到计算结果的收敛性和准确性。计算表明，对于给定的位移边界条件，每次位移 载荷增量的绝对值以10-4~10-·mm为宜，太小了虽然收敛性好但费机时。 (3)本文采用非积分的方法求解边界应力，在节点处求出的边界应力是不连续的，取其 平均值加以光滑，计算虽然粗糙一点，但方法简单，仍不失其实用性。 参考文献 1 Brebbia C A and Telles J C F.Boundary Element Technigues,Springer- Verlag,1984 2钱仁根。边界积分方程及边界单元法，北京钢铁学院，1986 3钱仁根，乔端。有限单元法的非线性理论，北京钢铁学院，1982 4夏光.北京钢铁学院硕士学位论文，1988 448

衰 轧制 压 力计算位 与实 洲位 试 样 号 ’ ’ 实什 侧算 值值 误 差 。 。 结 论 边 界单元法是 计 算 板 带 轧制 的一 种有效 方祛 ， 它 能 计算 出轧制总压 力 ， 轧 制单位压 力分布以 及 变形 区的应 力应 变分布 。 本文 的弹 塑性边界单元法采用 了小 变形 条件 下的 全 量 理 论 ， 载荷增量 的 大 小直接影响到 计算结 果 的收敛 性和准确性 。 计 算表 明 ， 对于 给定 的 位移 边界条件 ， 每次位移 载荷增量 的绝 对值以 。 一 弓 一 一 ’ 为宜 ， 太小 了虽然收敛 性好但 费机时 。 本文 采用非 积分的方 法求解边界应 力 ， 在 节点 处求 出的边 界应力是 不连 续 的 ， 取其 平 均值加 以光滑 ， 计算虽 然粗糙一点 ， 但方 法简单 ， 仍不失 其实用性 。 ， ， 考 文 献 ‘ ， 钱仁根 。 边界积分方程及边界单元法 ， 北京钢铁学院 ， 钱仁根 ， 乔端 有限单元法 的非线性理 论 ， 北京 钢铁学院 ， 夏 光 北京钢铁学 院硕 士学 位论 文