上海交通大学通识教育核心课程 SJTU core curriculum for general education 第五讲 微积分的创立、发展与批判
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微积分是人类智力的伟大成就之一，其地位介于自 然和人文科学之间，成为高等教育成果硕然的中 介。不幸的是，有时候教师采用机械的方法教授 微积分，不能展现其作为生动智力斗争成果所具 有的魅力。这种延续了2500多年的智力斗争的历 史，深深扎根于人类奋斗的许多方面，并且，只 要人们像了解大自然那样去努力认识自己，它就 还会继续发展下去 。 [美]R.柯朗
一 、微积分的创立 如果说微积分是人类智慧谱写的一曲“英 雄交响曲”，那么，它的序曲从是从什么 时候开始的呢？
微分的定义 若f(x)在[a,b]上连续，x是[a,b]内一点， 若极限 lim f(x+△y)-f(△x) △x→0 △x 对任意的△x一·0都存在，则称极限为f(x)在 点X=X处的导数，记作 df (o) 或f(x) dx
0 0 0 ( ) ( ) lim x f x x f x x 0 ' 0 ( ) ( ) df x f x dx ,或
积分的定义 在[a,b]取n-1个点，X,X2,Xn-4,且令a=Xo,b=Xn, a=Xo0,1-→0
1 ( ) n n i i i S f x , 0 lim ( ) b n a n S f x dx
极限！ 导数是“差商”的极限，积分是“和”的极限！ 《原本》卷3： 设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减 转大药的鑫企羞或左不 继续重复这一过程，必有某 余量将小于给定的较小的量 欧多克斯原理 虽然这一 思想允许将面积或体积“穷竭”，但是希 人从将登二迂程进行到无限，而总是寻我那 岛 条的我 “某个余量”， 极限方法
刘徽：数而求穷者，不用筹算， 谓以情推！ ·庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。 刘徽：割圆术、弧田术、阳马术 阳马：鳖臑=2：1 “置余广袤高之数各半之，则四分之三又可知也。半之弥少， 其余弥细，至细曰微，微则无形。由是言之， 安取余哉。 数而求穷之者，谓以情推，不用筹算
17世纪以来，随着生产实践的深入和对自然现象的 深刻认识，对数学提出了大量的问题，主要集中在： (1)由距离和时间的关系，求物体在任意时刻的瞬 时速度和加速度； 2)确定运动物体在其轨道上任一点的运动方向， 以及研究光线通过透镜而是出的切线问题： (3)求函数的最大值和最小值： (4)求曲线的长度、曲线围成的面积、体积，物体 的重心，等等。 在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻 求解决这些问题的新的数学工具，正是他们的努力， 最终导致微积分的诞生。下面将简要介绍几位先驱 者的具有代表性的工作
开普勒与旋转体体积 lOANNIS KEPPUERI 1 othematrd Carla图 0e切西年g st书unC C四 RADIUS VECTOR
1613年10月30日， 开普勒行 了他的第二次婚礼。色准备 几大桶葡萄酒，可是经销商 算酒桶体积的拙劣方法， 青 础 不过，当时开普勒的 真出的 受到人们的欢迎 是 《求酒桶体积之新法》 老议勒的 法来计算酒桶的容积， 会的头头们厕更是责怿 开 说他竟然去研究这些 题基章或用而普用和 (Nova stereometria doliorum 数学游戏，而把绘制地 vinariourum,Linz,1615) 制《鲁道尔关行星表》这 的头等天事给耽搁了，扬言 样要 停发开普勒的薪水
《求酒桶体积之新法》 (Nova stereometria doliorum vinariourum,Linz,1615)