第五部分存储论（书第八部分） 人们在生产和日常生活中，经常将所需的物质、用品和食物暂时储存起来以备后用。储存的目的是 为了解决供应量和需求量、或供应时间与需求时间之间的不一致性上。人们在供应与需求这两个环节之 间加入储存这一环节，就能起到缓解供应与需求之间的不协调问题。 例如，企业生产需要原料。如没有储存一定的原料，会发生停工待料的情况：如原料储存过多，则 除积压资金外，还有支付一笔储存费用，并且还要考虑原料的保质期。 例如，商店需存储一定数量的货物。若存储数量不足，则会发生缺货现象，失去销售机会而减少利 润：若存储数量过多，则会发生货物积压，占用流动资金过多而影响周转。而且顾客的需求量是随机的。 例如，水电站在雨季到来之前，水库应蓄多少水？就发电需求来说，则蓄水越多越好，但若雨季降 雨量增大时，会引起水位猛增，引起安全隐患问题：就安全来说，则蓄水越少越好，但若雨季降雨量减 小时，会引起发电量不够问题。而且，降雨量的大小是随机的。应该如何调整蓄水量呢？ 诸如此类，这些与存储量有关的问题，需要人们做出抉择。这就是存储论（或称为库存论）所要研 究的问题。 第七章存储论（书第13章) 本章先介绍存储论的基本概念，确定性存储问题、随机性存储问题等的处理方法。 §7.1存储论的基本概念 一般来说，存储量因需求而减少，因补充而增加。存储论研究的问题是，多少时间补充一次货，每 次补充多少货，才能使产生的总费用最小。 1.需求 需求就是存储的输出。 有的需求是间断式的，有的需求是连续均匀的（见书P346图13-1,13-2）。有的需求是确定的，有 的需求是随机的。 如钢厂按合同每月供应10吨纲片给电机厂，书店每日卖出去的书可能是100本，也可能是80本（但 可经过统计得到一个统计规律，即需求的随机分布)。 2.补充 补充就是存储的输入，包括外购和自产。为了补充存储，必须订货。有的补充是一次性的，有的补 充是连续均匀的。 从订货到到货一般需求一定的时间，称为备货时间。备货时间可能是确定的，也可能是随机的。因 此，为了在某一时刻能补充存储，必须提前订货。这段时间称为提前时间。 3.费用 主要包括： (1)存储费。包括货物占用资金应付的利息、使用仓库、保管货物、货物损坏变质等支出的费用。 (2)外购费。包括订购费用（固定费用）和货物的成本费用（可变费用）。订购费用与订货次数有关 与订货数量无关，如手续费、电信来往、差旅费等：货物的成本费与订货次数无关与订货数量有
1 第五部分 存储论（书第八部分） 人们在生产和日常生活中，经常将所需的物质、用品和食物暂时储存起来以备后用。储存的目的是 为了解决供应量和需求量、或供应时间与需求时间之间的不一致性上。人们在供应与需求这两个环节之 间加入储存这一环节，就能起到缓解供应与需求之间的不协调问题。 例如，企业生产需要原料。如没有储存一定的原料，会发生停工待料的情况；如原料储存过多，则 除积压资金外，还有支付一笔储存费用，并且还要考虑原料的保质期。 例如，商店需存储一定数量的货物。若存储数量不足，则会发生缺货现象，失去销售机会而减少利 润；若存储数量过多，则会发生货物积压，占用流动资金过多而影响周转。而且顾客的需求量是随机的。 例如，水电站在雨季到来之前，水库应蓄多少水？就发电需求来说，则蓄水越多越好，但若雨季降 雨量增大时，会引起水位猛增，引起安全隐患问题；就安全来说，则蓄水越少越好，但若雨季降雨量减 小时，会引起发电量不够问题。而且，降雨量的大小是随机的。应该如何调整蓄水量呢？ 诸如此类，这些与存储量有关的问题，需要人们做出抉择。这就是存储论（或称为库存论）所要研 究的问题。 第七章 存储论（书第 13 章） 本章先介绍存储论的基本概念，确定性存储问题、随机性存储问题等的处理方法。 §7．1 存储论的基本概念 一般来说，存储量因需求而减少，因补充而增加。存储论研究的问题是，多少时间补充一次货，每 次补充多少货，才能使产生的总费用最小。 1． 需求 需求就是存储的输出。 有的需求是间断式的，有的需求是连续均匀的（见书 P346 图 13-1，13-2）。有的需求是确定的，有 的需求是随机的。 如钢厂按合同每月供应 10 吨纲片给电机厂，书店每日卖出去的书可能是 100 本，也可能是 80 本（但 可经过统计得到一个统计规律，即需求的随机分布）。 2． 补充 补充就是存储的输入，包括外购和自产。为了补充存储，必须订货。有的补充是一次性的，有的补 充是连续均匀的。 从订货到到货一般需求一定的时间，称为备货时间。备货时间可能是确定的，也可能是随机的。因 此，为了在某一时刻能补充存储，必须提前订货。这段时间称为提前时间。 3．费用 主要包括： （1） 存储费。包括货物占用资金应付的利息、使用仓库、保管货物、货物损坏变质等支出的费用。 （2） 外购费。包括订购费用（固定费用）和货物的成本费用（可变费用）。订购费用与订货次数有关 与订货数量无关，如手续费、电信来往、差旅费等；货物的成本费与订货次数无关与订货数量有
关，如货物本身的价格，运费等。设订购费用为C3,货物单价为K,订货数量为Q,则订货费 为C3+KQ。 (3)生产费。补充存储时，如不向外订购，由本企业自行生产，即自产，这时也需要支出两部分。一 项是准备费用（固定费用），如更换模具需要工时，添置某些专用设备费用：另一项是生产费用 (可变费用)，与生产产品的数量有关，如材料费，加工费等。设准备费用为C3,货物单位生产 费用为K,生产数量为Q,则生产费为C3+KQ。 (4)缺货费。当存储供不应求时所引起的损失，如失去销售机会的损失，停工待料的损失，不能履行 合同而交纳的罚款等。 4.存储策略 决定何时补充，补充多少的办法称为存储策略。常见的存储策略有四种： (1)定期定量订货法：隔一定时间T订货，订货数量固定Q,记作（工Q)策略。 (2)定期订货法：隔一定时间T检查一次库存，若存储量>S,则不订货，否则订货Q=S-1,使订货 后存储量达到固定量S,记作(TS)策略。 (3)定点订货法：每当存储量降到s(称为订货点)即订货，订货量为Q不变，记作(s,Q)策略。 (4)混合订货法：隔一定时间检查一次库存，若存储量I高于订货点s,则不订货，否则订货Q=-S山， 使存储数量达到S,记作(s,S)策略。 如何衡量一个存储策略的优劣呢？最直接的衡量标准，是计算该存储策略所耗用的总平均费用。 一个好的存储策略，既可以使总平均费用最小，又可避免因缺货而影响生产（或对客户失去信用）。 确定存储策略，首先要把实际问题抽象为数学模型。在研究建立模型时，需要做一些假设，目的是 使模型简单，易于理解，便于计算。 从存储模型来看，存储问题大体分为两类，确定性模型和随机性模型，前者中的数据均为确定的数 值，后者中则含有随机变量，而不是确定的数值。 §7.2确定性存储模型 设需求、补充、备货时间等数据都是确定的。以单位时间内产生的平均费用最小作为最优存储策略 的标准。通过以下分析可以看到，这时采用的最优策略都是定期定量订货法。 7.2.1模型一：不允许缺货，需求连续，一次性补充，备货时间很短 假设条件： (1)不允许缺货，即缺货费用无穷大： (2)需求是连续均匀的，设需求速度R(单位时间的需求量)为常数： (3)随时可以立即得到补充，即备货时间为零，并且补充是一次性的： (4)每次订货量（生产量）不变，订购费用（准备费用）C3和货物单价（单位生产费用）K不变。 (5)单位时间单位货物存储费C1不变。 (6)以单位时间内产生的平均费用最小为追求目标。 在需求确定的情况下，若每次订货量多，则订货次数可减少从而降低订货费，但会增加存储费。若 每次订货量少，则存储费可减少，但订货次数增多从而增加订货费。所以，为了找出使总平均费用最低 的策略，需要先导出费用函数。 设每隔T时间补充一次存储。由于存储量降到零时，可以立即得到补充，故可在存储量降到零时再 补充货物，因此存储量变化情况如下图。在0，刀时间内，存储量从Q以速度R均匀递减，递减到零时， 2
2 关，如货物本身的价格，运费等。设订购费用为 C3，货物单价为 K，订货数量为 Q，则订货费 为 C3+KQ。 （3） 生产费。补充存储时，如不向外订购，由本企业自行生产，即自产，这时也需要支出两部分。一 项是准备费用（固定费用），如更换模具需要工时，添置某些专用设备费用；另一项是生产费用 （可变费用），与生产产品的数量有关，如材料费，加工费等。设准备费用为 C3，货物单位生产 费用为 K，生产数量为 Q，则生产费为 C3+KQ。 （4） 缺货费。当存储供不应求时所引起的损失，如失去销售机会的损失，停工待料的损失，不能履行 合同而交纳的罚款等。 4．存储策略 决定何时补充，补充多少的办法称为存储策略。常见的存储策略有四种： （1） 定期定量订货法：隔一定时间 T 订货，订货数量固定 Q，记作(T,Q)策略。 （2） 定期订货法：隔一定时间 T 检查一次库存，若存储量 I>S，则不订货，否则订货 Q=S-I，使订货 后存储量达到固定量 S，记作(T,S)策略。 （3） 定点订货法：每当存储量降到 s（称为订货点）即订货，订货量为 Q 不变，记作(s,Q)策略。 （4） 混合订货法：隔一定时间检查一次库存，若存储量 I 高于订货点 s，则不订货，否则订货 Q=S-I， 使存储数量达到 S，记作(s,S)策略。 如何衡量一个存储策略的优劣呢？最直接的衡量标准，是计算该存储策略所耗用的总平均费用。 一个好的存储策略，既可以使总平均费用最小，又可避免因缺货而影响生产（或对客户失去信用）。 确定存储策略，首先要把实际问题抽象为数学模型。在研究建立模型时，需要做一些假设，目的是 使模型简单，易于理解，便于计算。 从存储模型来看，存储问题大体分为两类，确定性模型和随机性模型，前者中的数据均为确定的数 值，后者中则含有随机变量，而不是确定的数值。 §7．2 确定性存储模型 设需求、补充、备货时间等数据都是确定的。以单位时间内产生的平均费用最小作为最优存储策略 的标准。通过以下分析可以看到，这时采用的最优策略都是定期定量订货法。 7．2．1 模型一：不允许缺货，需求连续，一次性补充，备货时间很短 假设条件： （1） 不允许缺货，即缺货费用无穷大； （2） 需求是连续均匀的，设需求速度 R（单位时间的需求量）为常数； （3） 随时可以立即得到补充，即备货时间为零，并且补充是一次性的； （4） 每次订货量（生产量）不变，订购费用（准备费用）C3 和货物单价（单位生产费用）K 不变。 （5） 单位时间单位货物存储费 C1 不变。 （6） 以单位时间内产生的平均费用最小为追求目标。 在需求确定的情况下，若每次订货量多，则订货次数可减少从而降低订货费，但会增加存储费。若 每次订货量少，则存储费可减少，但订货次数增多从而增加订货费。所以，为了找出使总平均费用最低 的策略，需要先导出费用函数。 设每隔 T 时间补充一次存储。由于存储量降到零时，可以立即得到补充，故可在存储量降到零时再 补充货物，因此存储量变化情况如下图。在[0,T]时间内，存储量从 Q 以速度 R 均匀递减，递减到零时
可以立即得到补充，使存储量为Q,因此Q=RT。 存储量 R T 2T时间 (1)订货费：订货量Q=RT,故订货费为C+KRT。 (2) 存储费：T时间内的总存储量为QT/2=RT2/2(三角形面积)，故存储费为C,RT2/2。 (3)缺货费：由于不会出现缺货，故无缺货费用。 因此，单位时间内产生的平均费用为C(T=C3/T+KR+C1RT2(见书P349图13-4)，故数学模型为 minC(T) 令C()的导数为零，得最优订货间隔时间（订货周期）： TO- 2C3 最优订货量即经济批量公式(EOQ): O)=RTO)= 2CR V C 由于T,Q与K无关，所以以后在费用函数中省略KR,则得最佳费用 CD)=C(TD)= C+CR 2C3 2 2C =CC,R 这时平均订货费等于平均存储费，并且采用的存储策略为定期定量订货法(T,Q)策略。 注7.2.1：最大存储量S0=Q0= 2C,并且s70-9。 C 例7.2.1某厂按合同每年需提供D个产品，不能缺货。假定每一周期工厂需装配费C3元，每年每 单位产品存储费为C,元。问全年应分几批供货才能使装配费、存储费两者之和最小。 解一：设全年分n批供货，则每批生产量Q=Dm,周期为1/n年，即每T=l/n年供一次货。 每个周期（即一年）的平均存储量为Q2=D2n,故全年总存储费为C1D2n,全年总装配费为C3n, 全年总费用C(n)=CD2+Cn,零其导数为零，则得 最佳批次n,= CD 2C; (精确值：比较C[n),Cn]+1)的大小)： 最佳批量Q。=D/h= 2C,D C 最佳周期T。=1/n= CD 最小费用c()=V2CCD 3
3 可以立即得到补充，使存储量为 Q，因此 Q=RT。 （1） 订货费：订货量 Q=RT，故订货费为 C3+KRT。 （2） 存储费：T 时间内的总存储量为 2 QT RT /2 /2 = （三角形面积），故存储费为 2 1 C RT / 2 。 （3） 缺货费：由于不会出现缺货，故无缺货费用。 因此，单位时间内产生的平均费用为 C(T)=C3/T+KR+C1RT/2（见书 P349 图 13-4），故数学模型为 0 min ( ) T C T ≥ 令 C(T)的导数为零，得最优订货间隔时间（订货周期）： (1) 3 1 2C T C R = 最优订货量即经济批量公式（EOQ）： (1) (1) 3 1 2C R Q RT C = = 由于 1 1 T Q, 与 K 无关，所以以后在费用函数中省略 KR，则得最佳费用 (1) (1) 1 3 3 1 13 3 1 1 2 () 2 2 2 C R C C C T C CR CC R C CR == + = 这时平均订货费等于平均存储费，并且采用的存储策略为定期定量订货法( (1) (1) T Q, )策略。 注 7.2.1：最大存储量 (1) (1) 3 1 2C R S Q C = = ，并且 (1) (1) 3 1 1 2 C S T C = 。 例 7.2.1 某厂按合同每年需提供 D 个产品，不能缺货。假定每一周期工厂需装配费 C3元，每年每 单位产品存储费为 C1 元。问全年应分几批供货才能使装配费、存储费两者之和最小。 解一：设全年分 n 批供货，则每批生产量 Q=D/n，周期为 1//n 年，即每 T=1/n 年供一次货。 每个周期（即一年）的平均存储量为 Q/2=D/2n，故全年总存储费为 C1D/2n，全年总装配费为 C3n， 全年总费用 C(n)= C1D/2n+C3n，零其导数为零，则得 最佳批次 1 0 3 2 C D n C = （精确值：比较 0 0 Cn Cn ([ ]), ([ ] 1) + 的大小）； 最佳批量 3 0 0 1 2 / C D Q Dn C = = ； 最佳周期 3 0 0 1 2 1/ C T n C D = = 最小费用 0 13 c n CC D () 2 = -R -R Q T 2T 时间 存储量
解二：利用EOQ公式。设全年分n批供货，则周期T-1/n年。由条件知R=D,故T= n0= CD (精确值：比较C([n四])，C([n四]+1)的大小，其中C(n)=C/T+KR+CRT2=C3n+CD2n), Q0= 2CR CD,CO=C.C,R=CCD. 7.2.2模型二：不允许缺货，需求连续，补充连续，备货时间很短 假设条件（模型一中条件(3）变化)： (1)不允许缺货，即缺货费用无穷大： (2)需求是连续均匀的，设需求速度R(单位时间的需求量)为常数： (3)随时可以立即得到补充，即备货时间为零，并且补充是连续均匀的，设进货（生产）速度P(单 位时间的进货（生产）量)为常数，P>R: (4) 每次订货（生产）量不变，订购费用（准备费用）C3不变。 (5)单位时间单位货物存储费C1不变。 (6)以单位时间内产生的平均费用最小为追求目标。 由于进货（生产）速度P大于需求速度R,并且当存储量降到零时可以立即得到补充，故可在存储 量降到零时再补充货物，因此存储量变化情况如下图。在0，T]内，存储量从0开始以速度P-R均匀增加， 直到S:在T,I刀内，存储量从S开始以速度R减少，直到0。因此，S=T(P-R)=(TT)R,故T=TRP, S=TRP-R)/P。 存储量卜 P-R/ R T 2T时间 (1) 订货费：订货量Q=RT,故订货费为C3+KRT。 (2) 存储费：T时间内的总存储量为ST/2=RT2(P-R)/2P,故存储费为C,RT2(P-R)/2P。 (3)缺货费：由于不允许缺货，故无缺货费用。 因此，单位时间内产生的平均费用为C(TD=C/T+C,TR(P-R)/2P(省略了常数KR),故数学模型为 min C(T) T20 令C(T)导数为零，得最优订货间隔时间（订货周期）： T2)= 2CP 2C3 P CR(P-R) VCRVP-R 最优生产批量： Q23=RT②= 2CRP V C VP-R 最优进货持续（生产）时间：
4 解二：利用 EOQ 公式。设全年分 n 批供货，则周期 T=1/n 年。由条件知 R=D，故 (1) 3 3 1 1 2 2 C C T CR CD = = ， (1) 1 3 2 C D n C = （精确值：比较 (1) (1) Cn Cn ([ ]), ([ ] 1) + 的大小，其中 C(n)=C3/T+KR+C1RT/2=C3n+C1D/2n）， (1) 3 3 1 1 2 2 CR CD Q C C = = ， (1) 13 13 C CC R CC D = = 2 2 。 7．2．2 模型二：不允许缺货，需求连续，补充连续，备货时间很短 假设条件（模型一中条件(3)变化）： （1） 不允许缺货，即缺货费用无穷大； （2） 需求是连续均匀的，设需求速度 R（单位时间的需求量）为常数； （3） 随时可以立即得到补充，即备货时间为零，并且补充是连续均匀的，设进货（生产）速度 P（单 位时间的进货（生产）量）为常数，P>R； （4） 每次订货（生产）量不变，订购费用（准备费用）C3 不变。 （5） 单位时间单位货物存储费 C1 不变。 （6） 以单位时间内产生的平均费用最小为追求目标。 由于进货（生产）速度 P 大于需求速度 R，并且当存储量降到零时可以立即得到补充，故可在存储 量降到零时再补充货物，因此存储量变化情况如下图。在[0,T1]内，存储量从 0 开始以速度 P-R 均匀增加， 直到 S；在[T1,T]内，存储量从 S 开始以速度 R 减少，直到 0。因此，S=T1(P-R)=(T-T1)R，故 T1=TR/P， S=TR(P-R)/P。 （1） 订货费：订货量 Q=RT，故订货费为 C3+KRT。 （2） 存储费：T 时间内的总存储量为 2 ST RT P R P /2 ( )/2 = − ，故存储费为 2 1 C RT P R P ( )/2 − 。 （3） 缺货费：由于不允许缺货，故无缺货费用。 因此，单位时间内产生的平均费用为 C(T)=C3/T+C1TR(P-R)/2P（省略了常数 KR），故数学模型为 0 min ( ) T C T ≥ 令 C(T)导数为零，得最优订货间隔时间（订货周期）： (2) 3 3 1 1 2 2 ( ) CP C P T CR P R CR P R = = − − 最优生产批量： (2) (2) 3 1 2C R P Q RT C PR = = − 最优进货持续(生产)时间： -R P-R T1 S T 2T 时间 存储量
T@=TOR/P= CP(P-R) 最大存储量： S2=TR(P-R)/P= 2CR P VP-R 最佳费用： C)=C(T)=2CC;R VP-R 这时平均订货费等于平均存储费。 显然，采用的存储策略为定期定量订货法(T,Q)策略。 注72.2：模型二的结果与模型一的结果差一个因子√P一R P >1,故T2>T0,Q2)>Q四，S2<S0, C2<C。当备货时间很短，即P→o时， P→1，故7a→T,Q→0，S→S"=0, \P- C2→C0,并且T2= 2CR →0。 NC P(P-R) 注72.3：97=，同注72. C 例7.2.2P353例3，例4 7.2.3模型三：允许缺货，需求连续，一次性补充，备货时间很短 假设条件（模型一中条件1变化）： (1)允许缺货，单位时间单位货物缺货费C2为常数，但进货时需先补足缺货： (2)需求是连续均匀的，设需求速度R(单位时间的需求量)为常数： (3)随时可以立即得到补充，即备货时间为零，并且补充是一次性的： (4)每次订货量不变，订购费用（准备费用）为C3。 (5)单位时间单位货物存储费C,不变。 (6)以单位时间内产生的平均费用最小为追求目标。 这时，企业可在存储量降到零后再等一段时间然后进货，这样可减少订货次数以减少订货固定费用， 但会引缺货而支付一部分费用，存储量变化情况如下图。在0，T]时间内，存储量从S以速度R均匀递减， 递减到零，在[T,刀时间内为缺货，最后达到B,在T时刻订货后可以立即得到补充，补足缺货量后，再 使存储量为S,因此S=RT2,B=R(T-T2)。 存储量4 -R -R T 12T 时间 B 5
5 (2) (2) 3 1 1 2 / ( ) C R T T RP CP P R = = − 最大存储量： 2 (2) 3 1 2 ( )/ C R P S T RP R P C PR = −= − 最佳费用： (2) (2) 1 3 () 2 / P C C T CC R P R = = − 这时平均订货费等于平均存储费。 显然，采用的存储策略为定期定量订货法( 2 2 T Q, )策略。 注 7.2.2：模型二的结果与模型一的结果差一个因子 1 P P R > − ，故 (2) (1) T T > ， (2) (1) Q Q> ， (2) (1) S S < ， (2) (1) C C< 。当备货时间很短，即 P → ∞ 时， 1 P P R → − ，故 (2) (1) T T → ， (2) (1) Q Q → ， (2) (1) (1) S SQ → = ， (2) (1) C C → ，并且 (2) 3 1 1 2 0 ( ) C R T CP P R = → − 。 注 7.2.3： (2) (2) 3 1 1 2 C S T C = ，同注 7.2.1。 例 7.2.2 P353 例 3，例 4 7．2．3 模型三：允许缺货，需求连续，一次性补充，备货时间很短 假设条件（模型一中条件 1 变化）： （1） 允许缺货，单位时间单位货物缺货费 C2 为常数，但进货时需先补足缺货； （2） 需求是连续均匀的，设需求速度 R（单位时间的需求量）为常数； （3） 随时可以立即得到补充，即备货时间为零，并且补充是一次性的； （4） 每次订货量不变，订购费用（准备费用）为 C3。 （5） 单位时间单位货物存储费 C1 不变。 （6） 以单位时间内产生的平均费用最小为追求目标。 这时，企业可在存储量降到零后再等一段时间然后进货，这样可减少订货次数以减少订货固定费用， 但会引缺货而支付一部分费用，存储量变化情况如下图。在[0,T2]时间内，存储量从 S 以速度 R 均匀递减， 递减到零，在[T2,T]时间内为缺货，最后达到 B，在 T 时刻订货后可以立即得到补充，补足缺货量后，再 使存储量为 S，因此 S=RT2，B=R(T-T2)。 T2 -B -R -R S T 2T 时间 存储量
(1)订货费：订货量Q=RT,故订货费为C+KRT。 (2)存储费：T时间内的总存储量为ST/2=RT/2,故存储费为CRT/2。 (3)缺货费：T时间内的总缺货量为B(T-T,)/2=R(T-T)2/2,故缺货费为C,R(T-T,)2/2。 因此，单位时间内产生的平均费用为C,)=[C,+CR2+C,RT-P/2](省略了常数KR). 得数学模型 min C(T,T) T2520 令C(T,T)的两个偏导为零，得最优订货间隔时间（订货周期）： T3)= 2C3(C,+C2) 2C3 C,+C2 CC,R 最优有货时间： 2C3 C+C2 C+C 最大存储量： S0)=RT:)= 2C,R/ C +C2 最大缺货量： B=R()-)=C+C)C: 2CC;R 最优订货量： Q3=RT3)= 2C3R C+C. 最佳费用： C3=C(T,T)=2CC3R C+C. V C 显然，采用的存储策略为定期定量订货法(T),Q)策略。 注72.4：模型三的结果与模型一的结果差一个因子 +C>1,故T)>Tw,g>g， V C2 C)<Cu,S)<S0。当不允许缺货，即C2→o时， G+C→1，故7→T",Q→Q", V C C)→C0,S)→S0=Q",并且I)→TD,B)= 2CCR →0。 V(C,+C2)C2 注725： ,S7-号，同注721和723。 C 注7.2.6：对于允许缺货，补充需要一定时间的问题，猜想是在模型一的基础上，乘以 C+C2和 VP-R° 6
6 （1） 订货费：订货量 Q=RT，故订货费为 C3+KRT。 （2） 存储费：T 时间内的总存储量为 2 2 2 ST RT /2 /2 = ，故存储费为 2 1 2 C RT / 2 。 （3） 缺货费：T 时间内的总缺货量为 2 2 2 BT T RT T ( )/2 ( ) /2 − =− ，故缺货费为 2 2 2 CRT T ( ) /2 − 。 因此，单位时间内产生的平均费用为 2 2 2 3 12 2 2 1 C T T C C RT C R T T ( , ) /2 ( ) /2 T =+ + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ （省略了常数 KR）。 得数学模型 2 2 0 min ( , ) T T CTT ≥ ≥ 令 2 CTT (, ) 的两个偏导为零，得最优订货间隔时间（订货周期）： (3) 31 2 3 1 2 12 1 2 2( ) 2 CC C C C C T CC R CR C + + = = 最优有货时间： (3) (3) 2 3 1 2 2 1 2 1 2 C 2C C C T T C C CR C + = = + 最大存储量： (3) (3) 3 1 2 2 1 2 2C R C C S RT C C + = = 最大缺货量： (3) (3) (3) 1 3 2 1 22 2 ( ) ( ) CC R B RT T C CC = −= + 最优订货量： 3 (3) 3 1 2 1 2 2C R C C Q RT C C + = = 最佳费用： 3 (3) (3) 1 2 2 13 2 (,) 2 C C C C T T CC R C + = = 显然，采用的存储策略为定期定量订货法( (3) (3) T Q, )策略。 注 7.2.4：模型三的结果与模型一的结果差一个因子 1 2 2 1 C C C + > ，故 (3) (1) T T > ， (3) (1) Q Q> ， (3) (1) C C< ， (3) (1) S S < 。当不允许缺货，即 C2 → ∞ 时， 1 2 2 1 C C C + → ，故 (3) (1) T T → ， (3) (1) Q Q → ， (3) (1) C C → ， (3) (1) (1) S SQ → = ，并且 (3) (1) T T 2 → ， (3) 1 3 1 22 2 0 ( ) CC R B C CC = → + 。 注 7.2.5： (3) (3) 3 1 1 2 C S T C = ，同注 7.2.1 和 7.2.3。 注 7.2.6：对于允许缺货，补充需要一定时间的问题，猜想是在模型一的基础上，乘以 1 2 2 C C C + 和 P P − R
7.2.4模型四：允许缺货，需求连续，补充连续，备货时间很短 假设条件（模型二中条件(1）变化，模型三中条件(3)变化)： (1)允许缺货，单位时间单位货物缺货费C2为常数，但进货时需先补足缺货： (2)需求是连续均匀的，设需求速度R(单位时间的需求量)为常数： (3)随时可以立即得到补充，即备货时间为零，并且补充是连续均匀的，设进货（生产）速度P(单 位时间的进货（生产）量)为常数，P>R: (4)每次订货（生产）量不变，订购费用（准备费用）为C3。 (5)单位时间单位货物存储费C,不变。 (6)以单位时间内产生的平均费用最小为追求目标。 存储量变化情况如下图。在0，T4]时间内存储量从0以速度P-R均匀递增到S,在[T4,T2]时间内不生 产，存储量从S以速度R均匀递减到0，在[T4,T]时间内为缺货并且不生产，在[T,门时间内生产，除满 足需求外，以速度P-R补足[T2,T]内的缺货。因此，S=(P-R)T4=R(T2-T4),即T,=RT/P,S=(P-R)RT,/P。 B-A7PRTr即万=5+0-r,工-了=0-xT-5.B-mT-.进货持 P 续（生产）时间T=T+T-T=RT1P。 存储量 P-R P-R 2T 时间 -B (1) 订货费：订货量Q=RT,故订货费为C+KRT。 (2) 存储费：T时间内的总存储量为头=-RR四，故存储费为CP-RR四 2P 2P (4)缺货费：T时间内的总缺货量为BT,_RP-RT-I,故铁货费为C,RP-RYT-I 2 2P 2P 因此.单位时间内产生的平为费用为C证)=C+C-哑÷CP-T-少 2P (省略 2P 了常数KR)。得数学模型 C(℃，) 令C(T,T,)的两个偏导为零，最优订货间隔时间（订货周期）： T= 最优有货时间： 最优订货量：
7 7．2．4 模型四：允许缺货，需求连续，补充连续，备货时间很短 假设条件（模型二中条件（1）变化，模型三中条件（3）变化）： （1） 允许缺货，单位时间单位货物缺货费 C2 为常数，但进货时需先补足缺货； （2） 需求是连续均匀的，设需求速度 R（单位时间的需求量）为常数； （3） 随时可以立即得到补充，即备货时间为零，并且补充是连续均匀的，设进货（生产）速度 P（单 位时间的进货（生产）量）为常数，P>R； （4） 每次订货（生产）量不变，订购费用（准备费用）为 C3。 （5） 单位时间单位货物存储费 C1 不变。 （6） 以单位时间内产生的平均费用最小为追求目标。 存储量变化情况如下图。在[0,T4]时间内存储量从 0 以速度 P-R 均匀递增到 S，在[T4,T2]时间内不生 产，存储量从 S 以速度 R 均匀递减到 0，在[T4,T3]时间内为缺货并且不生产，在[T3,T]时间内生产，除满 足需求外，以速度 P-R 补足[T2,T3]内的缺货。因此，S=(P-R)T4=R(T2-T4)，即 4 2 T RT P = / ， 2 S P R RT P = − ( )/ 。 B=R(T3-T2)=(P-R)(T-T3)，即 3 2 (1 ) R R TT T P P = +− ， 32 2 (1 )( ) R T T TT P − =− − ， 2 ( ) ( ) RP R B TT P − = − 。进货持 续(生产)时间 14 3 T T T T RT P = +− = / 。 （1） 订货费：订货量 Q=RT，故订货费为 C3+KRT。 （2） 存储费：T 时间内的总存储量为 2 2 2 ( ) 2 2 ST P R RT P − = ，故存储费为 2 2 1 ( ) 2 P R RT C P − 。 （4） 缺货费：T 时间内的总缺货量为 2 2 2 ( ) ( )( ) 2 2 BT T RP R T T P − −− = ，故缺货费为 2 2 2 ( )( ) 2 RP R T T C P − − 。 因此，单位时间内产生的平均费用为 2 2 2 2 2 31 2 1 ( ) ( )( ) (, ) 2 2 P R RT R P R T T CTT C C C TP P ⎡ − −− ⎤ =+ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （省略 了常数 KR）。得数学模型 2 2 0 min ( , ) T T CTT ≥ ≥ 令 2 CTT (, ) 的两个偏导为零，最优订货间隔时间（订货周期）： (4) 3 1 2 1 2 2C C C P T CR C P R + = − 最优有货时间： (4) (4) 2 3 1 2 2 1 2 1 2 C 2C P C C T T C C CR P R C + = = + − 最优订货量： 时间 P-R P-R T4 T2 T3 T -B -R -R S 2T 存储量
Q(4)=RT)= 2C,R C+C:P VC C2 VP-R 最优进货持续（生产）时间： T(4)=RT(4)/P= 2CR C]+C2 CP(P-R)C2 最大存储量： s.-受儿受风 2C;R P 最大缺货量： ()-CCC.VP-R 2CC R P 最佳费用： Cw=C(T,I)=√2CCR 显然，采用的存储策略为定期定量订货法(T,Q)策略。 注72.7：模型四的结果与模型二的结果差一个因子 G+G>1,故T">Ta,g">Q, V C2 C1 ST)。当备货时间很短，即P→o时， P VP-R →1，故T)→T),Q→Q), C)→C),S)→S3),I4→T),并且T4= C+C2→0。 VCP(P-R)C2 注72.9：s70=9,同注721、72.3和72.5。 2 C 7.2.5价格有折扣的存储问题 前面讨论的货物单价是常数，得出的存储策略与货物单价无关。现在讨论货物单价随订购（或生产） 数量有关的存储问题。 设货物单价K(Q)为三个等级变化（书P358图13-9）： K 0≤0K,>K·其他条件同模型一。则一个周期T=Q/R内的总费用为C,+K(Q)Q+)CQT,单位 时间的平均费用为（见书P359图13-10）： 8
8 (4) (4) 3 1 2 1 2 2C R C C P Q RT C C PR + = = − 最优进货持续(生产)时间： (4) (4) 3 1 2 1 1 2 2 / ( ) C R C C T RT P CP P R C + = = − 最大存储量： (4) (4) 3 1 2 2 1 2 RP R C C ( ) 2C R P S T P C C PR − + ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 最大缺货量： (4) (4) (4) 1 3 2 1 22 ( ) 2 ( ) ( ) RP R P CC R B TT P C CC P R − = −= + − 最佳费用： (4) (4) (4) 1 2 2 13 2 (,) 2 C C P C C T T CC R C PR ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 显然，采用的存储策略为定期定量订货法( (4) (4) T Q, )策略。 注 7.2.7：模型四的结果与模型二的结果差一个因子 1 2 2 1 C C C + > ，故 (4) (2) T T > ， (4) (2) Q Q> ， (4) (2) C C − ，故 (4) (3) T T > ， (4) (3) Q Q> ， (4) (3) C C 。当备货时间很短，即 P → ∞ 时， 1 P P R → − ，故 (4) (3) T T → ， (4) (3) Q Q → ， (4) (3) C C → ， (4) (3) S S → ， (4) (3) T T 2 2 → ，并且 (4) 3 1 2 1 1 2 2 0 ( ) C R C C T CP P R C + = → − 。 注 7.2.9： (4) (4) 3 1 1 2 C S T C = ，同注 7.2.1、7.2.3 和 7.2.5。 7．2．5 价格有折扣的存储问题 前面讨论的货物单价是常数，得出的存储策略与货物单价无关。现在讨论货物单价随订购（或生产） 数量有关的存储问题。 设货物单价 K(Q)为三个等级变化（书 P358 图 13-9）： 1 1 21 2 3 2 0 ( ) K QQ KQ K Q Q Q K QQ ⎧ ≤ > 。其他条件同模型一。则一个周期T QR = / 内的总费用为 3 1 1 ( ) 2 C K Q Q C QT + + ，单位 时间的平均费用为（见书 P359 图 13-10）：
C(O)-CQ+CR/Q 0≤0≤g CIQ)-CR/Q+RK(Q)+CQ-C"(0)-C0+CR/Q+RK ≤0≤02 2 C(Q)-CQ+CR/Q+ 得数学模型 曲C(g, 令其导数为零，得0。- 2C,R (1)若Q。<g,计算C(g),C“(g),Cm(g2),则最优批量g°为使min{C(g),C"(g),Cm(g)}达 到最小者。 (2)若g≤Q。<22,计算C"(Q),Cm(g2),则最优批量Q°为使min{C"(Q),Cm(g)}达到最小者。 (3)若92≤Q,则0=0 一般，若折扣分为m个等级： K 0≤0<0 K2 9≤Q<92 K(Q)= K, 9-1≤Q<0 Km Qm-1≤Q 对应的单位时间平均费用为C(@)=2C0+CR0+RK,J=l2,,m。令Q= 2CR。若 Q,-≤Q<g,则最优批量Q°为使min{C(Q),C+(g),…,C"(Qm-)}达到最小者。 例7.2.2某厂每年需某种元件R=5000个，每次定货费C3=500元，保管费C=10元，不允许缺货。 元件单价K随采购量变化： 20 0≤Q<1500 K(Q)= 119 1500≤9 确定最佳订货量。 2C R 解：0- 2×500×5000 ≈707<1500（个）， 10 C'(Q,)=2CQ+CR/Q。+RK=2×10x707+500x500/707+500×20≈107071： cQ)=C0+CR/g+k-x10x150+50×501500+500x19=104165: 故最佳订货量为1500个。 §7.3随机性存储模型 9
9 13 1 1 3 1 13 2 1 2 13 3 2 1 ( ) / 0 2 1 1 ( ) / ( ) ( ) / 2 2 1 ( ) / 2 I II III C Q C Q C R Q RK Q Q C Q C R Q RK Q C Q C Q C Q C R Q RK Q Q Q C Q C Q C R Q RK Q Q ⎧ = + + ≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ = + + = = + + ≤≤ ⎨ ⎪ ⎪ =+ + ≤ ⎪ ⎩ 得数学模型 0 min ( ) Q C Q ≥ 令其导数为零，得 3 0 1 2C R Q C = 。 （1）若Q Q 0 1 < ，计算 01 2 ( ), ( ), ( ) I II III CQ C QC Q ，则最优批量 * Q 为使 min{ ( ), ( ), ( )} 01 2 I II III CQ C QC Q 达 到最小者。 （2）若QQQ 102 ≤ < ，计算 0 2 ( ), ( ) II III CQC Q ，则最优批量 * Q 为使 min{ ( ), ( )} 0 2 II III CQC Q 达到最小者。 （3）若Q Q 2 0 ≤ ，则 * Q Q= 0 一般，若折扣分为 m 个等级： 1 1 21 2 1 1 0 ( ) j j j m m K QQ K Q QQ K Q K Q QQ K QQ − − ⎧ ≤ < ⎪ ≤ < ⎪ ⎪⎪ = ⎨ ≤ < ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ≤ " " 对应的单位时间平均费用为 1 3 1 ( ) / , 1,2, , 2 j C Q C Q C R Q RK j m =+ + = j " 。 令 3 0 1 2C R Q C = 。 若 Q QQ j−1 0 ≤ < j ，则最优批量 * Q 为使 1 min{ ( ), ( ), , ( )} 0 1 jj m CQ C Q C Q j m + " − 达到最小者。 例 7.2.2 某厂每年需某种元件 R=5000 个，每次定货费 3 C = 500 元，保管费 1 C =10 元，不允许缺货。 元件单价 K 随采购量变化： 20 0 1500 ( ) 19 1500 Q K Q Q ⎧ ≤ < = ⎨ ⎩ ≤ 确定最佳订货量。 解： 3 0 1 2 2 500 5000 707 1500 10 C R Q C × × = = ≈< （个）， 1 0 10 3 0 1 1 1 ( ) / 10 707 500 5000 / 707 5000 20 107071 2 2 C Q C Q C R Q RK = + + =× × + × + × ≈ ； 2 1 11 3 1 2 1 1 ( ) / 10 1500 500 5000 /1500 5000 19 104165 2 2 C Q C Q C R Q RK = + + =× × + × + × ≈ ； 故最佳订货量为 1500 个。 §7．3 随机性存储模型
随机性存储模型的重要特点是需求是随机的，其概率或分布是己知的。例如，商店对某种商品进货 500件，可能在一个月内售完，也可能在两个月后还有剩余。商店如果想既不因缺货（概率意义上）而 失去销售机会，又不因带销过多而积压资金，那么必须采取新的存储策略，使赢利期望值最大或损失期 望值最小。 例7.3.1某商店拟在新年期间出售一批日历年画，每售出一千张可赢利700元，但若不能售出，必 须削价处理，这样每千张要亏400元，但是削价后一定可售完。根据以往经验，市场需求的概率为： 需求量（千张） 0 1 2 3 4 5 概率 0.050.100.250.350.150.10 每年只能订购一次。问应订购多少年画才能使获利最大。 解：如果订货量为5千张，则 市场需求为0千张时获利W(5)=(-400)×5+700×0=-2000（元) 市场需求为1千张时获利W(5)=(-400)×4+700×1=-900(元) 市场需求为2千张时获利W(5)=(-400)×3+700×2=200(元) 市场需求为3千张时获利W(5)=(-400)×2+700×3=1300(元) 市场需求为4千张时获利W(5)=(-400)×1+700×4=2400（元) 市场需求为5千张时获利W(5)=(-400)×0+700×5=3500(元) 故E(W(5)=0.05×(-2000)+0.10×(-900)+0.25×200+0.35×1300+0.15×2400+0.10×3500=1025(元) 同样，可得表： 需求量 0 1 2 J 4 5 赢利 订货量 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10 期望值 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -400 700 700 700 700 700 645 2 -800 300 1400 1400 1400 1400 1180 3 -1200 -100 1000 2100 2100 2100 1440* 4 -1600 -500 600 1700 2800 2800 1315 5 -200 -900 200 1300 2400 3500 1025 因此应该订货3千张年画，可使获利期望值达到1440元。 同样，也可从损失期望（滞销损失加缺货损失）最小角度考虑。 7.3.1模型五：固定订货周期，不考虑订购费用，需求是随机离散的 考虑报童问题：报童每天售报数量是一个随机数，根据以往经验知道，售出r份报纸的概率为P()。 报童每售出一份报纸可赚k元，如报纸未售完，则每份赔h元。两次订报之间没有联系。问报童每天最 好准备多少份报纸？ 假设条件： (1)订货周期是固定的，设为T: (2)一个订货周期内的需求是随机离散的，设需求为r的概率为P),单位利润为k: (3)每次订货量不变，不考虑订购费用： (4)多余货物的单位损失费用为h。 (5) 以一个订货周期内产生的期望收益最大为追求目标。 设每个订货周期的订货量为Q。 若r≤Q(供过于求)，则因售出”份而赚了k,但因积压Q-r份而赔了(Q-r)h,故收益 o
10 随机性存储模型的重要特点是需求是随机的，其概率或分布是已知的。例如，商店对某种商品进货 500 件，可能在一个月内售完，也可能在两个月后还有剩余。商店如果想既不因缺货（概率意义上）而 失去销售机会，又不因滞销过多而积压资金，那么必须采取新的存储策略，使赢利期望值最大或损失期 望值最小。 例 7. 3.1 某商店拟在新年期间出售一批日历年画，每售出一千张可赢利 700 元，但若不能售出，必 须削价处理，这样每千张要亏 400 元，但是削价后一定可售完。根据以往经验，市场需求的概率为： 需求量（千张） 0 1 2 3 4 5 概率 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.10 每年只能订购一次。问应订购多少年画才能使获利最大。 解：如果订货量为 5 千张，则 市场需求为 0 千张时获利W (5) ( 400) 5 700 0 2000 = − × + × =− （元） 市场需求为 1 千张时获利W (5) ( 400) 4 700 1 900 = − × + × =− （元） 市场需求为 2 千张时获利W (5) ( 400) 3 700 2 200 =− × + × = （元） 市场需求为 3 千张时获利W (5) ( 400) 2 700 3 1300 =− × + × = （元） 市场需求为 4 千张时获利W (5) ( 400) 1 700 4 2400 =− ×+ × = （元） 市场需求为 5 千张时获利W (5) ( 400) 0 700 5 3500 =− × + × = （元） 故 E W( (5)) 0.05 ( 2000) 0.10 ( 900) 0.25 200 0.35 1300 0.15 2400 0.10 3500 1025 = ×− + ×− + × + × + × + × = （元） 同样，可得表： 需求量 订货量 0 0.05 1 0.10 2 0.25 3 0.35 4 0.15 5 0.10 赢利 期望值 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -400 700 700 700 700 700 645 2 -800 300 1400 1400 1400 1400 1180 3 -1200 -100 1000 2100 2100 2100 1440* 4 -1600 -500 600 1700 2800 2800 1315 5 -200 -900 200 1300 2400 3500 1025 因此应该订货 3 千张年画，可使获利期望值达到 1440 元。 同样，也可从损失期望（滞销损失加缺货损失）最小角度考虑。 7．3．1 模型五：固定订货周期，不考虑订购费用，需求是随机离散的 考虑报童问题：报童每天售报数量是一个随机数，根据以往经验知道，售出 r 份报纸的概率为 P(r)。 报童每售出一份报纸可赚 k 元，如报纸未售完，则每份赔 h 元。两次订报之间没有联系。问报童每天最 好准备多少份报纸？ 假设条件： （1） 订货周期是固定的，设为 T； （2） 一个订货周期内的需求是随机离散的，设需求为 r 的概率为 P(r)，单位利润为 k； （3） 每次订货量不变，不考虑订购费用； （4） 多余货物的单位损失费用为 h。 （5） 以一个订货周期内产生的期望收益最大为追求目标。 设每个订货周期的订货量为 Q。 若 r Q≤ （供过于求），则因售出 r 份而赚了 rk，但因积压 Q r − 份而赔了 ( ) Q rh − ，故收益
