南京大学：《计算机问题求解》课程教学资源（课件讲稿）函数

计算机问题求解一论题1-10 函数 2015年12月3日

计算机问题求解 – 论题1-10 - 函数 2015年12月3日

间题1： “函数》与“关系》有什么异同？ 函数”与“集合”是什么关系？ 令关系f:R→R,fX)=+1,f是否是函数？ 就上述关系，我们熟悉的f(2)该如何表示？ f(2)={3}？f2)=3?

令关系:RR, (x) = x+1， 是否是函数？ 就上述关系，我们熟悉的(2)该如何表示？ (2)={3}？(2)=3？

函数的型构(signature): f:R→R,f(X)=X+1 问题2：你能用上例来解释什么是函数的domain? Codomain?Range? 你能用上例来解释什么是well defined function? 你能否构造一个不是well defined function?

函数的型构（signature）： :RR, (x) = x+1 问题2：你能用上例来解释什么是函数的domain? Codomain？Range？ 你能用上例来解释什么是well defined function? 你能否构造一个不是well defined function?

4 You probably learned that a function f R->R can be repre- sented by a graph,and that there is a vertical line test to determine whether or not f is a function (See Figure above) Which condition in the definition corresponds to the vertical line test?Why? 问题3： 你是否能解释一下？

( See Figure above)

When you define a new mathematical concept,it's always a good idea to think about it and pose questions.Of course,it's also a good idea to answer those questions,if you can.We now turn to some questions that we find interesting.See if you can think of some questions on your own. 问题4： 书中提出了什么问题？你想 出了什么“自己”的问题吗？

问题5： 函数相等到底是什么含义？ 函数作为关系，会让你想起什么？ 函数作为集合，会让你想起什么？ 函数作为”函数“，它们的相等，会让你 想起什么？

函数相等到底是什么含义？ 函数作为关系，会让你想起什么？ 函数作为集合，会让你想起什么？ 函数作为”函数“，它们的相等，会让你 想起什么？ 问题5：

几种特殊的函数 a满射onto of:A→B是满射的：ranf=B,if.yeB,xeA,使得f(X)=y ■单射(one to one) of:A→B是单射的：ye ranf,x∈A,使得f()=yif. X1,x2∈A,若x1≠x2'则f(X1)≠f(X2)if.x1,X2∈A,若f(X1) =fX2j,则x=x2 ■双射（一一对应的) 口满射+单射

几种特殊的函数  满射onto  :AB是满射的：ran=B, iff. yB, xA, 使得(x)=y  单射（one to one）   :AB是单射的：y ran, !xA, 使得(x)=y iff. x1 ,x2A, 若x1 x2，则(x1 ) (x2 ) iff. x1 ,x2A, 若(x1 ) =(x2 )，则x1 =x2。  双射（一一对应的）  满射+单射

几种特殊的函数：例子 ■f:R-→R,fX)=-x2+2X-1 ■f:Z+→R,f(x)=lnx,单射 问题6：为什么？ ■f:R→Z,fx)=Lx,满射 ·f:R→R,fX)=2x-1,双射 ■f:R+→R+,fX)=(x2+1)/X 口注意：x)≥2，而对任意正实数x,fx)=1/x) ·f:RxR→RxR,f()=,双射。 ■f:NxN→N,f()=|x2-y2I

几种特殊的函数：例子  :RR, (x)= -x 2+2x-1  :Z+R, (x)= ln x, 单射  :RZ, (x)= x, 满射  :RR, (x)= 2x-1，双射  :R+R+ , (x)= (x2+1)/x  注意：f(x)2, 而对任意正实数x，f(x)=f(1/x)  :RRRR, () = , 双射。  :NNN, () = | x 2 -y 2 |

有限集合上一一对应的函数的例子 ■S={1,2,3},可以在S上定义6个不同的一一对应 的函数（侮一个称为一个“置换”）：

有限集合上一一对应的函数的例子  S={1,2,3}, 可以在S上定义6个不同的一一对应 的函数 (每一个称为一个“置换”):          1 2 3 1 2 3 e          2 3 1 1 2 3           3 1 2 1 2 3           1 3 2 1 2 3           3 2 1 1 2 3           2 1 3 1 2 3 

函数的复合 A f B a● 1 b● 3 C● B C 56 g gof:A→D

函数的复合