沈阳师范大学：《电动力学》课程教学资源（教案）第三章 静磁场

第三章静磁场本章主要研究静磁场的一些求解方法。由于静磁场的基本方程是矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入势函数来求解。因此，本章首先引进静磁场的矢势函数和标势函数，讨论失势和标势适用范围。然后将静电势方程的求解方法如分离变量法推广应用到静磁场情况。重点静磁场的矢势和标势。恒定电流激发静磁场。电磁性质方程：B=HH +HM对于均匀线性介质B=μuH 。s3.1失势及其微分方程教学目标：1.理解并掌握静磁场势；2.会推导矢势满足的泊松方程和边值关系；3.初步具有应用场方程和边界条件求解静磁场的思想；课程思政：世界是物质的，磁场也是一种客观存在的物质。教学时长：2学时教学重点：静磁场矢势的引入，泊松方程和边值关系。教学难点：静磁场矢势的计算。教学方法：类比法、讲授法、讨论法、演示法

第三章 静磁场 本章主要研究静磁场的一些求解方法。由于静磁场的基本方程是 矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入势函数来求解。因此， 本章首先引进静磁场的矢势函数和标势函数，讨论矢势和标势适用范 围。然后将静电势方程的求解方法如分离变量法推广应用到静磁场情 况。重点静磁场的矢势和标势。 恒定电流激发静磁场。 电磁性质方程： B H M = +   0 0 对于均匀线性介质 B H   =  。 §3.1 矢势及其微分方程 教学目标： 1.理解并掌握静磁场矢势； 2.会推导矢势满足的泊松方程和边值关系； 3.初步具有应用场方程和边界条件求解静磁场的思想； 课程思政：世界是物质的，磁场也是一种客观存在的物质。 教学时长：2学时 教学重点：静磁场矢势的引入，泊松方程和边值关系。 教学难点：静磁场矢势的计算。 教学方法：类比法、讲授法、讨论法、演示法

教学内容：一、稳恒电流磁场的势1.静磁场的基本方程稳恒电流磁场（静磁场）：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变化的磁场。特点：电荷为匀速运动，J与t无关，故H、B与t无关。基本方程：[VxH=-jIV.B=0边值关系：[nx(H, -H,)=α（一般α=0）[nx(B2-B)=0本节仅讨论B=，即不存在铁磁介质。在这里静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。实际上建立一个与电荷一起运动的参照系，在这个参照系中，稳恒磁场转化为静电场。故电场和磁场是电磁场的不同侧面。2.矢势A（1）矢势的引入：静电场为有源无旋场，电场线永不闭合，故V×E=0=Vβ=-E，一标势（电势）。稳恒电流磁场为有旋无源场，磁感线总闭合，不能直接引入标势。因为V×B=0，可令B=VxA

教学内容： 一、稳恒电流磁场的矢势 1.静磁场的基本方程 稳恒电流磁场（静磁场）：传导电流（即运动电荷）产生的不随 时间变化的磁场。 特点：电荷为匀速运动， J  与 t 无关，故 H  、B  与 t 无关。 基本方程：       =   = B 0 H J    边值关系：      − =  − = ( ) 0 ( ) 2 1 2 1 n B B n H H         本节仅讨论 B H   =  ，即不存在铁磁介质。在这里静电场和磁场可 以分离，不发生直接联系。 实际上建立一个与电荷一起运动的参照系，在这个参照系中，稳 恒磁场转化为静电场。故电场和磁场是电磁场的不同侧面。 2.矢势 A  （1）矢势的引入： 静电场为有源无旋场，电场线永不闭合，故 E E    = 0   = − ，  ——标势（电势）。 稳恒电流磁场为有旋无源场，磁感线总闭合，不能直接引入标势。 因为  B = 0  ，可令 B A =  （一般  = 0  ）

显然V.V×A)=0总成立。A称为磁场的失势。（2）A的物理意义由J,B.d = J,(V×A).ds - fA.di其中S为回路，L为边界的任一曲面。物理意义：A·di=JB·dsA沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为界的任一曲面的磁通量。而每点A无直接物理意义（3）A的不唯一性已知A，可唯一确定B=V×A，但对于同一个B，令A=A+Vy显然V×A=V×A+V×(V)=V×A=B由此可见B并不对应唯一的A。若对A的散度给予限制，则可使A的任意性减少。取V.A=0称为库仑规范条件。采用规范条件后，由于A的散度和旋度都确定了，A就唯一确定了。注意也可采用库仑规范条件之外的其它规范条件。二、矢势A满足的泊松方程和边值关系1.泊松方程

显然   = （ A） 0 总成立。 A  称为磁场的矢势。 （2） A  的物理意义 由     =    =  S S L B dS A dS A dl       ( ) 其中 S 为回路，L 为边界的任一曲面。 物理意义：    =  L S A dl B dS     A  沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为界的任一曲面的 磁通量。而每点 A  无直接物理意义 （3） A  的不唯一性 已知 A  ，可唯一确定 B A   =  ，但对于同一个 B  ，令 A A  = +  显然  =  +   =  = A A ( ) A B   由此可见 B  并不对应唯一的 A  。 若对 A  的散度给予限制，则可使 A  的任意性减少。 取   A = 0  称为库仑规范条件。 采用规范条件后，由于 A  的散度和旋度都确定了， A  就唯一确定 了。注意也可采用库仑规范条件之外的其它规范条件。 二、矢势 A  满足的泊松方程和边值关系 1．泊松方程

在均匀各向同性线性介质中，B= μH,VxH-j,将B=V×A代入可得B_I×B=I×(V×A)=I[v(V.A)-VA=jVxBLL在V.A=0的条件下V?A=-Wj此即矢势A满足的泊松方程。直角坐标系中分量方程：VA=-UJ,, i=x,,z说明：1）恒稳电流磁场矢势A满足矢量泊松方程；@=-2）与静电场中形式相同，A也要选取参考点。S2．泊松方程的特解A ="[()dv"(i= 1,2,3)4元1A=(dv"p(x)dv（：4元JV4元JVrr已知J(x)，可直接用特解求A，但若j与磁场相互制约，则必须求解失量泊松方程。3.A的边值关系A2t = AuA2n = Atn

在均匀各向同性线性介质中， B H   =  ， H J    = ， 将 B A   =  代入可得 B A A A J B        =  =   = [(  ) −  ] = 1 ( ) 1 1 2     在   A = 0  的条件下 A J    = − 2 此即矢势 A  满足的泊松方程。 直角坐标系中分量方程： 2  = − A J i i  ，i = x, y,z 说明： 1）恒稳电流磁场矢势 A  满足矢量泊松方程； 2）与静电场中     = − 2 形式相同， A  也要选取参考点。 2．泊松方程的特解  =   = V i i i r J x dV A ( 1,2,3) ( ) 4        = V r J x dV A ( ) 4      （    = V r (x )dV 4 1     ） 已知 J (x )   ，可直接用特解求 A  ，但若 J  与磁 场相互制约，则必须求解矢量泊松方程。 3． A  的边值关系 A2t = A1t A A 2 1 n n = r x   x  V V  ／ Ｐ

4矢量泊松方程解的唯一性定理给定V内传导电流j和V边界S上的A,或B,，则V内稳恒电流磁场由V?A=-和边界条件唯一确定。[例1]无穷长直载流导线载流为I，求磁场的矢势和磁感应强度。解：建立如图所示柱坐标系，由A(3) = 0[ J(3)dv4元取电流微元，则IdzA=H4元/R+22取Ro点的矢势值为零，则A=-olinRe2元R。显然B=V×A=Le。2元R由此可见，对于这种简单对称性问题直接求势并不方便，反而利用场方程直接求磁感应强度B更为方便。故通常不适合直接求B的情况再去求解相对复杂的A。[例2]设x0空间为真空，有电流I沿z轴流动。求磁感应强度和磁化电流分布。12解：建立柱坐标系。设x0空间0I.磁感应强度为B，均满足恒定磁场基本方程：V.B=0,VxH=0边界条件为

4．矢量泊松方程解的唯一性定理 给定 V 内传导电流 J  和 V 边界 S 上的 At 或 Bt ，则 V 内稳恒电 流磁场由 A J    = − 2 和边界条件唯一确定。 [例 1]无穷长直载流导线载流为 I，求磁场的矢势和磁感应强度。 解：建立如图所示柱坐标系，由 0 ( ') ' ( ) 4 V J x dV A x r   =  取电流微元，则 0 2 2 d 4 z L I z A R z   = +  取 R0 点的矢势值为零，则 0 0 ln 2 z I R A e R   = − 显然 0 2 z I B A e R   =  = 。 由此可见，对于这种简单对称性问题直接求矢势并不方便，反 而利用场方程直接求磁感应强度 B  更为方便。故通常不适合直接求 B  的情况再去求解相对复杂的 A  。 [例 2]设 x 0 空间为真空， 有电流 I 沿 z 轴流动。求磁感应强度和磁化电流分布。 解：建立柱坐标系。 设 x 0 空间 磁感应强度为 B2，均满足恒定磁场基本方程：  = B 0， = H 0 边界条件为

Bl, =0,Bl →00 ,B2l→=0, B,l=o→Bxlo =Bo, ,Hdi=J.,Hd+J,H,di=I提出试探解B=K，B=K元元元此解显然满足前四个边界条件，由Bx =0 = Bz x=-0可得K=K,B=,=B,=Tr由ai=di+di=可得K.I元r+K.元=uTrHor: B=B,= /μ+元r在x<0空间，磁化强度为：M,=(兰-1)B,=(μ-1) 4 二Hooμ+μ元r磁化电流为：I=d,M.di -f,M,-di --o1μ+μo由此例可见，可以用第二章静电场中边值问题求解方法求解静磁场问题。这些方法不限于求解静电场，也不限于求解势函数，也可以直接用来求解场量。三、静磁场的能量

1 0 r B → = ， 1 r 0 B = → ， 2 0 r B → = ， 2 r 0 B = →  1 2 x x x x 0 0 B B = = = ， 1 2 1 2 L L L H dl H dl H dl I  =  +  =    提出试探解 1 1 2 2 I I B K e B K e r r     = = ， 此解显然满足前四个边界条件，由 1 2 x x x x 0 0 B B = = = 可得 K K 1 2 = ， 1 2 I I B K e B K e r r      = = = 由 1 2 1 2 L L L H dl H dl H dl I  =  +  =    可得 0 + = I I K r K r I r r        0 1 2 0 + I B B e r       = = 在 x < 0 空间，磁化强度为： 0 1 1 0 0 0 ( 1) ( 1) + I M B e r          = − = − 磁化电流为： 1 0 1 + 0 M L L I M dl M dl I     − =  =  =   由此例可见，可以用第二章静电场中边值问题求解方法求解静 磁场问题。这些方法不限于求解静电场，也不限于求解势函数，也 可以直接用来求解场量。 三、静磁场的能量

1.静磁场能量密度LB.HWa"22.静磁场总能量在均匀各向同性线性介质中总能量为W=[B.HdvJ也可推导[A.JavN=注意：1）能量分布在磁场内，不仅分布在电流区；!A.j不是能量密度。2)23.电流分布j在外磁场中的相互作用能设j.为外磁场电流分布，A为外磁场的矢势；J为处于外磁场B中的电流分流分布，它激发的场的失势为A。总能量：W=J(a+A),(I+ j,avJ(A.J)dV+J(A.J.dV+J(A.J.+AJ)d其中最后一项称为相互作用能，记为W，可以证明：W,-J(A.j.)dV = J(A. J)dv教学过程设计：线上学习矢势的引入、物理意义、泊松方程和边值关系25分钟。课堂教学矢势的深入理解、应用、静磁场能量65分钟

1.静磁场能量密度 1 2 w B H m =  2.静磁场总能量 在均匀各向同性线性介质中总能量为  W = B  HdV   2 1 。 也可推导  W = A JdV   2 1 注意： 1）能量分布在磁场内，不仅分布在电流区； 2） A J    2 1 不是能量密度。 3.电流分布 J  在外磁场中的相互作用能 设 e J  为外磁场电流分布， Ae  为外磁场的矢势； J  为处于外磁场 Be  中的电流分流分布，它激发的场的矢势为 A  。 总能量：  W = (A + Ae )(J + Je )dV 2 1      = (A J )dV 2 1    + (Ae  Je )dV 2 1    + (A Je + Ae  J )dV 2 1     其中最后一项称为相互作用能，记为 Wi . 可以证明： Wi  = (A Je )dV    = (Ae  J )dV   教学过程设计：线上学习矢势的引入、物理意义、泊松方程和边值关 系 25 分钟。课堂教学矢势的深入理解、应用、静磁场能量 65 分钟

在课堂教学中安排静电场和静磁场场方程、性质对比、类比静电场引入矢势、矢势应用的优势、求解等问题讨论课件设计：sees001一，大务RROSANLSRNIA第一美势及共做分为MenVi-0PaR-Jw--第二碰坊场的关价R-A极方柜动关术V.1-0DG8Sww$i-l4EB8PB1的关实养验方及动能关2动热关系-43(03-9xa-0h-01.r.a180y[3a-[oa-ad..--3-元-5Wxa-m在充A生标系中P6W--n-3N)-A-4GA-AIJERE-ARd,d-A一岁元E-2ei-+i1012HAE三、2Eeawma-eanokhe：8383r-SfaAn-Ees,RnsiAd-uA-la..F-isanf-A云吃r-jaamia.aeaw-no-o-13141516三净场R三、流三.办0A电e/SsiEBE-r-lia-aH电7F信F-11a.Ar-oa-ioTar电）M（Er-04ar-haer-pamR）（中Ena17课后作业：课后习题3.1，3.3，3.4。教学反思：1.注意引导学生深入体会势函数的引入方法；

在课堂教学中安排静电场和静磁场场方程、性质对比、类比静电场引 入矢势、矢势应用的优势、求解等问题讨论。 课件设计： 课后作业：课后习题 3.1，3.3，3.4。 教学反思： 1.注意引导学生深入体会势函数的引入方法；

2.引导学生体会失势的使用优势；3.充分奠定学生静磁场基本概念和基本性质基础，为后续学习做好铺垫

2.引导学生体会矢势的使用优势； 3.充分奠定学生静磁场基本概念和基本性质基础，为后续学习做好铺 垫

s2.磁标势教学目标：1.理解并掌握静磁场势；2.会推导势满足的泊松方程和边值关系；3.初步具有应用场方程和边界条件求解静磁场的思想；课程思政：世界是物质的，磁场也是一种客观存在的物质。教学时长：1学时教学重点：磁标势引入的条件，泊松方程和边值关系，利用磁标势求解静磁场。教学难点：利用磁标势求解静磁场。教学方法：类比法、讲授法、讨论法、演示法。教学内容：一、磁标势的引入V×H=j磁场为有旋场，不能在全空间引入。在电流为零的区域静磁场H·di一般不为零。故引入磁标势需特定条件，只能在j=0区域引入，且在引入区域中任何回路都不能与电流相连环。即引入区域为无自由电流分布的单连通域。用公式表示为d,H.di =0.在没有自由电流的单连通区域，场方程为VxH=0V.B=0

§2. 磁标势 教学目标： 1.理解并掌握静磁场矢势； 2.会推导矢势满足的泊松方程和边值关系； 3.初步具有应用场方程和边界条件求解静磁场的思想； 课程思政：世界是物质的，磁场也是一种客观存在的物质。 教学时长：1学时 教学重点：磁标势引入的条件，泊松方程和边值关系，利用磁标势求 解静磁场。 教学难点：利用磁标势求解静磁场。 教学方法：类比法、讲授法、讨论法、演示法。 教学内容： 一、磁标势的引入 H J    = 磁场为有旋场，不能在全空间引入。在电流为零的区域 静磁场   L H dl   一般不为零。故引入磁标势需特定条件，只能在 J = 0  区 域引入，且在引入区域中任何回路都不能与电流相连环。即引入区域 为无自由电流分布的单连通域。 用公式表示为 0 L H dl  =  。 在没有自由电流的单连通区域，场方程为 0 0 H B   =   =