沈阳师范大学：《电动力学》课程教学资源（教案）第二章 静电场

第二章静电场本章主要研究静电场的一些求解方法。由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入电势来求解。因此，本章首先引进静电场的标量势函数一电势并讨论电势的一些基本特性。然后讨论静电势方程的几种求解方法一分离变量法、镜象法、格林函数法以及电荷在小区域分布时的近似求解方法。重点难点为镜像法和分离变量法。静止电荷激发静电场。电磁性质方程：P=X.8E=(8-80)ED=(D=SE+P①均匀各向同性线性介质：p,=-V.P=(α-1)p6(op=-n-(P, -P)②静电平衡时的导体：导体内部：j=oE=0+0=E=D=P=Pp==0。外部表面：E=En=，E=0电荷分布在表面上，电场处处垂直于导体表面。静电场的基本特点：①j=0，B=H=0，静电场可单独存在

第二章 静电场 本章主要研究静电场的一些求解方法。由于静电场的基本方程是 矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入电势来求解。因此，本 章首先引进静电场的标量势函数—电势并讨论电势的一些基本特性。 然后讨论静电势方程的几种求解方法—分离变量法、镜象法、格林函 数法以及电荷在小区域分布时的近似求解方法。重点难点为镜像法和 分离变量法。 静止电荷激发静电场。 电磁性质方程： ① 均匀各向同性线性介质：          = −  − = −  = − = = + = = − ( ) ( 1) ( ) ( ) 2 1 0 0 0 0 n P P P D E D E P P E E P P e                        ② 静电平衡时的导体： 导体内部： J = E = 0   0  E = D = P =  P =  = 0      。 外部表面： E = En = , Et = 0   电荷分布在表面上，电场处处垂直 于导体表面。 静电场的基本特点： ① J  0  ，B = H = 0   ，静电场可单独存在

②E,B,p,P等均与t无关③不考虑永久磁体（M=0）基本方程：VxE=0,V.D=P;边值关系：nx(E,-E)=0，n·(D,-D))=α。s2.1静电场的标势及其微分方程教学目标：1.理解并掌握静电场标势，掌握静电场能量：2.会推导电势满足的泊松方程和边值关系；3.初步具有应用场方程和边界条件求解静电场的思想；课程思政：世界是物质的，电场是一种客观存在的物质。教学时长：2学时教学重点：静电场标势的引入，泊松方程和边值关系，静电场能量。教学难点：静电势的边值关系应用。教学方法：讲授法、讨论法、练习法、演示法。教学内容：一、静电场的标势1.静电势的引入：静电场为无旋场即V×E=0，所以可以引入标量函数β，令E=-V，则(V×E=-×V=0)

② E B P    , , , 等均与 t 无关 ③不考虑永久磁体（ M  0  ）基本方程：  E = 0  ,   D =   ； 边值关系： n  (E2 − E1 ) = 0    , n (D2 − D1 ) =     。 §2.1 静电场的标势及其微分方程 教学目标： 1.理解并掌握静电场标势，掌握静电场能量； 2.会推导电势满足的泊松方程和边值关系； 3.初步具有应用场方程和边界条件求解静电场的思想； 课程思政：世界是物质的，电场是一种客观存在的物质。 教学时长：2学时 教学重点：静电场标势的引入，泊松方程和边值关系，静电场能量。 教学难点：静电势的边值关系应用。 教学方法：讲授法、讨论法、练习法、演示法。 教学内容： 一、静电场的标势 1．静电势的引入： 静电场为无旋场即  E = 0  ，所以可以引入标量函数  ， 令 E = −  ，则 ( E = − = 0) 

这里β为静电场标势（简称电势）。说明：①β的选择不唯一，相差一个常数，只要知道即可确定E②取负号是为了与电磁学讨论一致③满足选加原理=+2.电势的物理意义由E=-Vβ可得do- d+d+ d=Vo.diax ayayOz即dp=-E.di故E·dlPo-Pp可见，电势可以没有物理意义，但是两点间的电势差有物理意义，即为单位正电荷所受电场力做功的负值。3.点电荷的电势由点电荷的电场强度，很容易得出点电荷的电势-Jp4元60QP,=4元Eor多个点电荷时Qi0=E_S14元80斤当电荷连续分布时0(x)=[ P()dv4元80

这里  为静电场标势（简称电势）。 说明： ①  的选择不唯一，相差一个常数，只要知道  即可确定 E  ② 取负号是为了与电磁学讨论一致 ③  满足迭加原理  = 1 + 2 2.电势的物理意义 由 E = −  可得 d dx dy dz dl x y z         = + + =      即 d = −  E dl 故  − = −  Q P Q P E dl     可见，电势可以没有物理意义，但是两点间的电势差有物理意义， 即为单位正电荷所受电场力做功的负值。 3.点电荷的电势 由点电荷的电场强度，很容易得出点电荷的电势 2 2 0 0 4 4 P p r P Q Q e dl dr r r      = −  =   0 4 p Q r   = 多个点电荷时 0 4 i i i Q r   = 当电荷连续分布时 0 ( ') ' ( ) V 4 x dV x r    = 

这也被称为电势叠加原理。二、静电势的微分方程和边值关系1．泊松方程考虑D=E，E=-Vβ，代入到.D=p中，可得= =-P6此即电势满足的泊松方程。其中p仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。当区域中没有自由电荷时，泊松方程变为齐次的拉普拉斯方程：Vp=0（适用于p=0的区域）。2．边值关系（1）两介质交接面上边值关系可以证明，电势在介质交界面处满足以下边值关系[o1], = p2]s -, -2non证明：（a）pls=2ls由-=-.i，P—Q积分为零，所以=即l,=2ls。-=-（为自由面电荷分布）(b)620nls-)Gions由n-(D,-D,)=0=D2,-Di,=α82E2n-8/EIn=

这也被称为电势叠加原理。 二、静电势的微分方程和边值关系 1．泊松方程 考虑 D E E = = −   ， ，代入到  = D  中，可得 2        = −  = −  = E      = − 2 此即电势满足的泊松方程。其中  仅为自由电荷分布，适用于均匀各 向同性线性介质。 当区域中没有自由电荷时，泊松方程变为齐次的拉普拉斯方程： 2  =  0 （适用于  = 0 的区域 ）。 2．边值关系 （1）两介质交接面上边值关系 可以证明，电势在介质交界面处满足以下边值关系      = −   −   =        S S S S n n 1 1 2 2 1 2 证明：（a） 1 S 2 S  = 由  − = −  Q P Q P E dl     ，P→Q 积分为零，所以  P =  Q 即 1 S 2 S  = 。 （b）      = −   −   n S n S 1 1 2 2 （  为自由面电荷分布） 由 n (D2 − D1 ) =      D2n − D1n =   2E2n −  1E1n = 

002opiag: En =:.82=1anonIsOnIs（2）导体表面上的边值关系由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系：9], = const -- 0- - odanls[例1]求均匀电场的电势。解：取场中任一点为坐标原点，并设为电势零点。=-I' E-di =-o J' ai=-E f' diO=-E,.r即在球坐标系中p=-Ercoso[例2]求无限大平行板电容器中的场。设电压为U。解：建立如图坐标系，电势满足V=0在此坐标系中化为d'Φ=0dz?此方程的解为=Gz+C2

∵ n En   = −  ∴      =     S S n n 1 1 2 2 _ （2）导体表面上的边值关系 由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将 介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内 部电场为零，则可以得到第二个边值关系： S S S S S const Q dS dS n n        =   = − = − =   或   [例 1]求均匀电场的电势。 解：取场中任一点为坐标原点，并设为电势零点。 0 0 0 P P  = −  = −  E dl E dl   0 0 P = −  E dl  即  = −  E r 0 在球坐标系中 0   = −E r cos [例 2]求无限大平行板电容器中的场。设电压为 U。 解：建立如图坐标系,电势满足 2 0  =  在此坐标系中化为 2 2 0 d dz  = 此方程的解为 1 2  = + c z c

边界条件为=0 (2=0)β=U (z=d)将解代入边界条件可得C=0, G=U/Td故极板间的电势为U0=U.E=-Vo=-ed可见，利用电势满足的泊松方程和边值关系可以很容易地得到简单对称性电场的解。三、静电场的能量1.能量密度：AE.D（均匀各向同性线性介质）W=22.总能量[ E.DdvW =-(V→0)2.J由 E.D=-Vβ.D=-V.(pD)+pV.D=pp-V.(pD)( v-(μD)dvppdy-W=02JDα101: /v.(pD)dV = fpD.dsds-y?y2Y"D.aS!fpD.ds-0→8Y

边界条件为  = = 0 ( 0) z  = = U z d ( ) 将解代入边界条件可得 2 1 c c 0 U d = = ， 故极板间的电势为 U z d  = z U E e d  = − = −  可见，利用电势满足的泊松方程和边值关系可以很容易地得到简 单对称性电场的解。 三、静电场的能量 1.能量密度： w E D   =  2 1 （均匀各向同性线性介质） 2.总能量  =  ( → ) 2 1 W E DdV V   由 E D D ( D) D ( D)        = −  = −  + =  −     W = dV −  ( D)dV 2 1 2 1    ∵     =  S D dV D dS     ( ) ∽ D dS 2 1 1    ∽ 2  ∴   →    → S D dS D dS 0   1      

故可得出V该公式只适合于静电场情况。注意能量不仅分布在电荷区，而且存在于整个场中。[,pdV计算总能量，但pp不代表即若已知p，，可以由W=能量密度。3.电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）设外场电势为。，场中电荷分布为p(x)，体系具有的总能量为：W总=J,(p+pe)(p+pe)dv- Jeav+ feoa+[(pe + Pe0)dv可以证明：J. pedv - J., Pendv因此：fe..dv+wWa=ebdyW=J.po.dv称为体系的相互作用能，或带电体系在外场中的能量。教学过程设计：线上学习电势的普通物理引入方法、物理意义、泊松方程和边值关系25分钟。课堂教学电势的失量场引入方法、边值关

故可得出  W = dV 2 1 该公式只适合于静电场情况。注意能量不仅分布在电荷区，而且 存在于整个场中。 即若已知   ， ，可以由  = V W dV 2 1 计算总能量，但  2 1 不代表 能量密度。 3.电荷体系在外电场中的能量（相互作用能） 设外场电势为  e ，场中电荷分布为 (x)   ，体系具有的总能量为：     + + = + = + +  dV e dV e dV W dV e e e e e e ( ) 2 1 2 1 2 1 ( )( ) 2 1      总     可以证明：    edV =  edV 因此： 1 1 2 2 W e dV e dV 总 = +    e e + W W dV e  =  称为体系的相互作用能，或带电体系在外场中的能量。 教学过程设计：线上学习电势的普通物理引入方法、物理意义、泊松 方程和边值关系 25 分钟。课堂教学电势的矢量场引入方法、边值关  e z y x 

系的证明、典型静电场电势求解、静电场能量求解65分钟。在课堂教学中安排不同方法引入电势的优势、静电场基本方程和边值关系的不同表述、静电场总能量求解的不同方法等问题讨论。课件设计：SB电务净电话电信LL电R9So-,-2dmePSR-S-第一苦#电场的标势及儿微分为程AA-电setn第二章静电场satans1dt.n拍能方程股动做关ao--e-Esad-电MEEo-faR-EA-EEd电系务的美及动关容LARURCENEw5Fo-/ssnPESEERaY-E-I-BSAEAR+-品E--1-E学RO-120RSEEMEMEE本E(tod-ed-0eddense(05)4V.-P--LeEro10电动力宁第一年电话力字系二单例3求半经为，带电为Q的导体球的静电能里。三、静电场能量解法1：IEDavW-IEDW=04rrdEDay-J-VoDdyra0-J.[-V.(OD)+ov-DJavSneed-f,oD.as-f.podv-f.podvpoav0 aooW=pav00-0fafara2478,088,01314★课后作业：课后习题2.1。教学反思：1.注意引导学生深入体会电势的引入方法；

系的证明、典型静电场电势求解、静电场能量求解 65 分钟。在课堂 教学中安排不同方法引入电势的优势、静电场基本方程和边值关系的 不同表述、静电场总能量求解的不同方法等问题讨论。 课件设计： 课后作业：课后习题 2.1。 教学反思： 1.注意引导学生深入体会电势的引入方法；

2.引导学生体会不同形式静电场基本方程的使用优势；3.充分奠定学生静电场基本概念和基本性质基础，为后续学习做好铺垫

2.引导学生体会不同形式静电场基本方程的使用优势； 3.充分奠定学生静电场基本概念和基本性质基础，为后续学习做好铺 垫

s2. 2 唯一性定理教学目标：1.理解并掌握静电场的唯一性定理；2.会应用唯一性定理（试探法）求解简单的静电场边值问题3.进一步发展应用场方程和边界条件求解静电场的思想；课程思政：体会对称性的规律美。教学时长：2学时教学重点：唯一性定理，试探法求解静电场。教学难点：应用试探法求解静电场。教学方法：讲授法、讨论法、练习法、演示法教学内容：一、泊松方程和边界条件假定所研究的区域为V，在一般情况下V内可以有多种介质或导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。设V内所求电势为gi，它们满足泊松方程SV0,=-P(i=1,2,.",m)6泊松方程或拉普拉斯方程（p=0区域）的解有多种形式，要确定且唯一确定V内电场，必须给出边界条件。在数学上这称为给定边值条件的求解问题：一般边界条件有两类：

§2.2 唯一性定理 教学目标： 1.理解并掌握静电场的唯一性定理； 2.会应用唯一性定理（试探法）求解简单的静电场边值问题； 3.进一步发展应用场方程和边界条件求解静电场的思想； 课程思政：体会对称性的规律美。 教学时长：2学时 教学重点：唯一性定理，试探法求解静电场。 教学难点：应用试探法求解静电场。 教学方法：讲授法、讨论法、练习法、演示法。 教学内容： 一、泊松方程和边界条件 假定所研究的区域为 V，在一般情况下 V 内可以有多种介质或 导体，对于每一种介质自身是均匀线性各向同性。 设 V 内所求电势为 i ，它们满足泊松方程 ( 1,2, , ) 2 i m i  i = − =     泊松方程或拉普拉斯方程（  = 0 区域）的解有多种形式，要确 定且唯一确定 V 内电场，必须给出边界条件。在数学上这称为给定 边值条件的求解问题： 一般边界条件有两类： V S